专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.直角三角形斜边中线模型 1 模型2.中位线模型 6 模型3.中点四边形模型 11 17 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则 ． 【答案】3 【详解】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，∴AB=2CD=10，∵BC=8，∴AC==6， ∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴，即，∴DE=3，故答案为：3． 例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：中，，点E为的中点，，， ，，， ，故选B． 例3．（2023·江苏盐城·统考中考模拟）如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形∴，， ∴△BOC是直角三角形∴∴BC=5 ∵H为BC中点∴ 故最后答案为． 例4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，、相交于点，点、分别是、的中点，若，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接AH，CH，∵在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中点，∴AH=CH=BD． ∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH=90°． ∵∠BEC=80°，∴∠GEH=∠BEC=80°，∴∠GHE=90°-80°=10°．故选：B．    例5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，N是边的中点．D，E分别是边，上的动点，始终保持，M是上的中点，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，    在中，，，， 是斜边的中点，， 是的斜边上的中点，且，， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立， 则的最小值为，故答案为：． 例6．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，．(1)求证：；(2)若，．求的周长． 【答案】(1)证明见解析．(2)9． 【详解】（1）证明：∵于点，于点，∴与都为直角三角形， 又∵为的中点，∴，，∴． （2）由（1）可知，∵为的中点，∴， ∴，∴，， ∵，∴， ∴，， ∴，∴， 又∵，∴为等边三角形，∴，∴的周长为． 模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）在中，，分别为边，的中点，，则的长为 cm. 【答案】 【详解】如图所示，    、分别为、边上的中点，是的中位线，； 又∵，∴；故答案为：． 例2．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，平分交边于点E，点F是的中点，连接，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形为矩形，对角线与交于点， ∴，∴，， 又∵平分，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴， 又∵，为的中点，∴在中，为中位线，∴故选：D． 例3．（2023下·四川南充·八年级校考期中）如图，已知矩形的面积为1．分别为的中点，若四边形的面积为，分别为的中点，四边形的面积记为，…，依此类推，第n个四边形的面积记为，则 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形为矩形，分别为的中点， ∴，∴，∴， 同理可得：，∴四边形为菱形， 连接，则，∴， 同理可得：，，……．故答案为：．    例4．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，点D，E，F分别的中点，若，则的长为 ． 【答案】5 【详解】解：∵，点D，E，F分别的中点， ∴为三角形的中位线，，∴，∴；故答案为：5． 例5．（2023·福建漳州·统考一模）如图，在中，，，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，最小的值是 ．    【答案】3 【详解】解：∵在中，，． ∵四边形是平行四边形，，． ∴当取最小值时，线段最短，此时．， 点O是的中点，是的中位线，，．故答案为：3． 例6．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ，．是的中点，． ，．，． 点是的中点，又点是的中点，是的中位线， ，．． ，，．，． ∵，，∴。 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2023·江苏·统考一模）如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件 ． 【答案】 【详解】解：应满足的条件为：． 证明：∵E，F，G，H分别是边、、、的中点， ∴在中，为的中位线，所以且； 同理且，同理可得，则且， ∴四边形为平行四边形，又，所以， ∴四边形为菱形．故答案为：． 例2．（2023·江苏南通·统考二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（    ） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC 【答案】D 【详解】解：∵E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点， ∴GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，∴四边形EGFH为平行四边形，∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC， 若四边形EGFH为矩形，则有∠GFH=90°， ∴∠GFB+∠HFC=90°，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴AB⊥DC；故选D． 例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当，，，不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形 【答案】D 【详解】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点时，连接AC、BD，如图，则由三角形的中位线定理可得：EH=BD，EH∥BD；FG=BD，FG∥BD，所以EH=FG，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形； 当AC＝BD时，∵EH=BD，EF=AC，∴EF=EH，故四边形EFGH为菱形，故A正确； B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，如上图，由三角形的中位线定理可得：EH∥BD，EF∥AC，所以EH⊥EF，故平行四边形EFGH为矩形，故B正确； C．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故C正确； D．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故D错误；故选：D． 例5．（2023·广东·统考一模）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点， ∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线， 根据三角形的中位线的性质知：EF∥AC，GH∥AC且EF=GH=AC，EH=FG=BD， ∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH的周长是3，即EF+GH+EH+FG=3，∴AC+BD=3，故选：A． 例6．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明； (2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______． 【答案】(1)四边形MNPQ为平行四边形，理由见解析(2)四边形MNPQ为菱形，理由见解析(3)≤m≤ 【详解】（1）解：四边形MNPQ为平行四边形，连结BD ∵点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点. ∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD ∴MQPN，MQ＝PN∴四边形MNPQ为平行四边形． （2）四边形MNPQ为菱形，连结BD、AC ∵点M、N分别是边AB、BC的中点. ∴MN＝AC 在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC＝BD ∵点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点. ∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD ∴MQMN ，MQ＝PN ∵四边形MNPQ为平行四边形   ∴平行四边形MNPQ是菱形． （3）解：如图，连结BD，取BD的中点P，连接QP、CP， 在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，∴BD＝10， ∵点P是BD的中点，∴CP＝BP＝CP＝BD＝5， ∵点Q是AD的中点，点P是BD的中点，∴PQ是△ABD的中位线， ∴PQ＝AB＝， 在△CPQ中，CP﹣PQ＜CQ＜CP+PQ， ∴＜m＜， ∵点C、点Q是定点，点P是动点， ∴当点C、P、Q三点共线，且点Q在线段CP上时，m取得最小值， 当点C、P、Q三点共线，且点Q在射线CP上时，m取得最大值，综上，m的取值范围为：≤m≤． 1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，为的中位线，连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵为的中位线，∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：C． 2．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ，,又，是等边三角形，， 是边的中点，是边上一点，平分的周长， ，，， ，，即，是的中位线，．故选C． 3．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，，点F为AC中点，是的中位线，若，则BF=（    ） A．6 B．4 C．3 D．5 【答案】A 【详解】解：∵DE是的中位线，∴AC=2DE=2×6=12， ∵在中，，点F为AC中点，∴BF=，故选择A． 4．（2023·海南儋州·校联考模拟预测）如图，在平行四边形中，，，平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，．∴，． ∵平分，平分，∴，， ∴，，∴，， ∴，∴， ∵，∴，即， ∴，∴， ∵点P是的中点，∴．故选D． 5．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形面积的 【答案】C 【详解】解：连接，设交于点， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，， A. 四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意； B. 四边形的内角和等于于四边形的内角和，都为360°，故该选项不正确，不符合题意； C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意； D. 四边形的面积等于四边形面积的，故该选项不正确，不符合题意；故选C 6．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．对角线相等的四边形 【答案】A 【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理可得HG=AC，EF=AC，EH=BD，GF=BD，根据矩形的性质可得AC=BD，进而可证四边形EFGH一定是菱形． 【详解】解：连接AC、BD， 在△DAC中，G、H为CD、DA的中点，∴HG=AC， 同理可证EF=AC，EH=BD，GF=BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD， ∴HG=EH=GF=EF，∴四边形ABCD是菱形，故选：A． 7．（2023·河北·统考中考真题）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（    ）    A． B． C．12 D．16 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵中，点M是斜边的中点，∴， ∴，∴，故选：B． 8．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，，则的长为（    ）    A．9 B．10 C．10.5 D．12 【答案】B 【详解】解：∵D是的中点，，∴． ∵，∴．∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线．∴．∴．故选B． 9．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（    ）    A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【详解】解：四边形是菱形，，，， ，，，，，故选：C． 10．（2023·陕西榆林·统考三模）如图，在中，于点，且，、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、分别为、的中点， 是的中位线，, ,，于点，, 在与中，,,,故选：． 11．（2023下·河北保定·八年级统考期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．下列说法正确的个数为（    ） ①任意四边形的中点四边形是平行四边形;②平行四边形的中点四边形是菱形 ③矩形的中点四边形是菱形;④菱形的中点四边形是正方形;⑤正方形的中点四边形是正方形 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】任意四边形的中点四边形是平行四边形，①正确； 平行四边形的中点四边形仍然是平行四边形，②错误； 矩形的中点四边形是菱形，③正确；菱形的中点四边形是矩形，④错误； 正方形的中点四边形仍然是正方形，⑤正确．正确的个数是3个．故选：B． 12．（2023·贵州铜仁·统考中考真题）如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接AC、BD，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，， ∵ ，∴BE=CF，∴△BCE≌△CDF，∴， ∵，∴，∴， 当A、G、C三点共线时，AG最短，连接MF、MO， ∵，∴， ∴当A、G、C三点共线时，此时点G与点O重合， ∵AD=2，OA=OD，,∴,故答案为：． 13．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在矩形中，点M，N分别为的中点，若，则的长为 ．    【答案】10 【详解】解：如图所示，连接，∵点M，N分别为的中点，∴是的中位线， ∵，∴，∵四边形是矩形，∴，故答案为：10．    14．（2023下·山东德州·八年级统考期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，下列说法；①若，则四边形为矩形：②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数有 个    【答案】1 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：1． 15．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则 ． 【答案】40° 【详解】解：如图：连接，∵，O为的中点， ∴，∴， ∴， 即：，∵，∴．故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，，、分别是、的中点．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)4 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是的中点，∴， ∵是的中点，∴． （2）解：由（1）可知，， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴． 17．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结，． (1)【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：补全后的证明过程如下： 证明：延长至点，使，连接，， 是斜边上的中线，，又，四边形是平行四边形， 又，四边形是矩形，，． （2）解：如图，连接， ，，，，， 是的中点，， ， ，， ． 18．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由；参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）且 【详解】解：（1）结论：四边形还是平行四边形． 理由：如图2，连接．、分别是、中点，， 同理：，，，，四边形是平行四边形． （2）结论：当且时，四边形是正方形． 理由：如图3中，由（1）四边形是平行四边形 、是、中点同理： 平行四边形是菱形． ，，， ，，，四边形是正方形． 19．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到E，使得．连接．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到． (1)请你按材料中的分析写出证明过程；(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是　　　； A．转化思想    B．类比思想    C．数形结合思想    D．从一般到特殊思想 (3)如图3，点C是线段上一点，，点E是线段上一点，分别连接，，点F，G分别是和的中点，连接．若，则　　　． 【答案】(1)见解析(2)A(3) 【详解】（1）证明：如解图①，延长到点，使得 连接，， 图① 是斜边上的中线，，又，四边形是平行四边形， 又 平行四边形是矩形， ， ，； （2）由上述证明方法中主要体现的数学思想是转化思想，故答案为：A （3）解：如解图②，连接并延长到点，使，连接，，连接并延长到点，使，连接，，延长交于点，连接， 则四边形，四边形，四边形都为矩形， 四边形，四边形均为矩形， 在 中，由勾股定理得： 点，分别是，的中点，四边形，四边形都是矩形， 点，分别是，的中点， 是的中位线， 的长为。 20．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．    【答案】[三角形中位线定理]见解析；[应用]；[拓展]见解析 【详解】解：[三角形中位线定理]，； 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线，，； [应用]连接，如图所示，    、分别是边、的中点，，，， ，，，，， ，； [拓展]证明：取的中点，连接、．  、分别是、的中点，是的中位线， 且，同理可得且． ，，，， ，，，，． 21．（2023下·福建福州·八年级福州华伦中学校考期中）已知：在矩形ABCD中，，． （1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形； （2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，． ①连接BG，若，求AF的长； ②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②存在m=，菱形EFGH面积最大为 【详解】解：（1）连接，， 、、、分别是，，，的中点，，， 四边形是矩形，，，四边形是菱形； （2）①如图2，过点作延长线于，，，， 又，，， ，， 设，则，，， 即，解得，故； ②如图2，延长交延长线于， 由已知可得，四边形是矩形，由①知，同理可证， 菱形的面积矩形的面积的面积的面积的面积的面积， ，即，， ，，，，， ， 当取最大值时菱形面积最大， 当与重合时有最大值，即取到最大值， 此时， ，当时，菱形面积最大为． 22．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直，故答案为：④； （2）解：；理由如下：如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴，故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形，∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，∴平行四边形是菱形，∵，∴． 又∵∴，∴， 又∵，∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． 4 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形模型 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.直角三角形斜边中线模型 1 模型2.中位线模型 6 模型3.中点四边形模型 11 17 模型1.直角三角形斜边中线模型 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则 ． 例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，点E为的中点，点D在上，且，相交于点F，若，则等于（　　）    A． B． C． D． 例3．（2023·江苏盐城·统考中考模拟）如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，．则线段的长为：（  ） A． B． C． D． 例4．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在四边形中，，、相交于点，点、分别是、的中点，若，那么等于（    ） A． B． C． D． 例5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，N是边的中点．D，E分别是边，上的动点，始终保持，M是上的中点，则的最小值为 ．    例6．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，于点，于点，为的中点，连接，．(1)求证：；(2)若，．求的周长． 模型2.中位线模型 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。 梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 图1 图2 1）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 2）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。 例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）在中，，分别为边，的中点，，则的长为 cm. 例2．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，平分交边于点E，点F是的中点，连接，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023下·四川南充·八年级校考期中）如图，已知矩形的面积为1．分别为的中点，若四边形的面积为，分别为的中点，四边形的面积记为，…，依此类推，第n个四边形的面积记为，则 ．    例4．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，点D，E，F分别的中点，若，则的长为 ． 例5．（2023·福建漳州·统考一模）如图，在中，，，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，最小的值是 ．    例6．（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 模型3.中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。 中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。 推广与应用 1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的。 结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 例1．（2023·江苏·统考一模）如图，四边形中，E，F，G，H分别是边、、、的中点．若四边形为菱形，则对角线、应满足条件 ． 例2．（2023·江苏南通·统考二模）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（    ） A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC 例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在任意四边形中，，，，分别是，，，上的点，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（    ） A．当，，，是各边中点，且时，四边形为菱形 B．当，，，是各边中点，且时，四边形为矩形 C．当，，，不是各边中点时，四边形可以为平行四边形 D．当，，，不是各边中点时，四边形不可能为菱形 例5．（2023·广东·统考一模）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 例6．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明； (2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______． 1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，为的中位线，连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，，点F为AC中点，是的中位线，若，则BF=（    ） A．6 B．4 C．3 D．5 4．（2023·海南儋州·校联考模拟预测）如图，在平行四边形中，，，平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（    ）    A． B．2 C． D．1 5．（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（    ） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形面积的 6．（2023·湖北襄阳·统考一模）如图，四边形ABCD是矩形，E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH一定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．对角线相等的四边形 7．（2023·河北·统考中考真题）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（    ）    A． B． C．12 D．16 8．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且．若，，则的长为（    ）    A．9 B．10 C．10.5 D．12 9．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（    ）    A． B．4 C．2 D． 10．（2023·陕西榆林·统考三模）如图，在中，于点，且，、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 11．（2023下·河北保定·八年级统考期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．下列说法正确的个数为（    ） ①任意四边形的中点四边形是平行四边形;②平行四边形的中点四边形是菱形 ③矩形的中点四边形是菱形;④菱形的中点四边形是正方形;⑤正方形的中点四边形是正方形 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（2023·贵州铜仁·统考中考真题）如图，、分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点，连接，若正方形的边长为2．则线段的最小值为 ． 13．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在矩形中，点M，N分别为的中点，若，则的长为 ．    14．（2023下·山东德州·八年级统考期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，下列说法；①若，则四边形为矩形：②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数有 个    15．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，O为的中点，连接，若，则 ． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，，、分别是、的中点．(1)求证：；(2)若，，求的长． 17．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结，． (1)【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 18．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？ 小敏在思考问题时，有如下思路：连接． 结合小敏的思路作答：（1）若只改变图1中四边形的形状（如图2），则四边形还是平行四边形吗？请说明理由；参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接，．当与满足什么关系时，四边形是正方形．直接写出结论． 19．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到E，使得．连接．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到． (1)请你按材料中的分析写出证明过程；(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是　　　； A．转化思想    B．类比思想    C．数形结合思想    D．从一般到特殊思想 (3)如图3，点C是线段上一点，，点E是线段上一点，分别连接，，点F，G分别是和的中点，连接．若，则　　　． 20．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．    21．（2023下·福建福州·八年级福州华伦中学校考期中）已知：在矩形ABCD中，，． （1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形； （2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，． ①连接BG，若，求AF的长；②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由． 22．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论．【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$