专题08 几何旋转之瓜豆模型全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题08 几何旋转之瓜豆模型全攻略 【模型精讲】 问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？ 解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1 理由：易知△CPP1≌△CQQ1，则∠CPP1=∠CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线. 模型总结： 条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量． 结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长； 【例题精讲】 例1．（旋转60°）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，得出点的运动轨迹是解题关键．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 例2．（旋转90°）如图，点E是等边边的中点，点D是直线上一动点，连接，并绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质等知识点，确定取最小值的条件是解题的关键． 如图：连接，延长到，使得，连接，证明，得到，即点F在与成的直线上运动，证明当时，有最小值为：，求出，即可得． 【详解】解：如图：连接，延长到，使得，连接， ∵点E是等边边的中点， ∴， ∴， 根据旋转可得， ，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点F在与成的直线上运动， ∴时，有最小值为：， ∴，解得：， ∴． 故答案为：4． 例3．（旋转120°）如图，在中，，为边上的中线，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，得到点Q的运动路线是解答的关键．先求得，证明，推出，得到点在射线上，当时，长度取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：取的中点，连接、，    ∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在射线上，且， 当时，长度取得最小值， ∵，， ∴，又， ∴，， ∴长度的最小值为， 故答案为：． 例4．（与函数综合）如图，已知，点在上，且，点为直线上任意一点，现将线段绕点逆时针旋转至线段，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹．设，过点作，垂足为点，证明≌，推出，，可得到点的坐标，进而得到点的运动轨迹，最后根据垂线段最短即可求解． 【详解】设，过点作，垂足为点， ， ， 线段绕点逆时针旋转至线段， ，， ， ， ， ≌， ，， ，， 点， 点的运动轨迹是直线， 直线交直线于，交直线于， ，， 过点作于，则， 根据垂线段最短可知，点与点重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 例5．（培优）在等腰中，，点是线段上一动点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． [问题初探] （1）如图1，连接，若，求证． [探究迁移] （2）如图2，连接，若，求的度数（用含的代数式表示），并说明理由． [拓展应用] （3）如图3，若，，当在线段上运动时，点也随之运动，连结，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由旋转可知，，进而证明，得，由，得，即可证明； （2）由旋转可知，，进而证明，类比（1）得，即可求解； （3）连接，由（2）可知，，可知点在上方且与其夹角为的射线上，由垂线段最短可知，当时有最小值，此时，结合含的直角三角形的性质与勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：由旋转可知：， ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴； （2）由旋转可知：， ∵ ∴ 在和中∵ ∴ ∴， ∵， ∴∴； （3）连接，由（2）可知，，即：点在上方且与其夹角为的射线上， 由垂线段最短可知，当时有最小值， 此时，则，，∴的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 变式1．如图，在中，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、垂线段最短，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，发现点P的运动轨迹．延长至点F，使，证明，得到点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时线段的最小，再根据三角形的性质求解即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，延长至点F，使， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在直线绕点F逆时针旋转的直线上， 当时线段的最小， ∵，，， ∴ ∴, ∵， ∴, 故答案为：2． 变式2．如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，将绕点旋转，通过垂线段最短构造直角三角形即可求出的最小值． 【详解】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，将绕点旋转，使与重合，得到， ∴为等边三角形，点在垂直于的直线上， ∴，， 作，则即为的最小值，即当与重合时，作， ∵四边形是正方形，， ∴，， 由旋转性质可知，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转，矩形判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 变式3．如图，边长为4的等边中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接A．则在点M运动过程中，的度数是 ，线段长度的最小值是 ． 【答案】 /度 【分析】根据等边三角形的性质得，，，由旋转的性质得，，进而可证明，据此可依据“”判定和全等，则，取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后利用“”证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：是等边三角形，且边长为， ，， 是边上的高， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， 在和中， ， ， 取的中点，连接，如图所示： 旋转角为， ， 又， ， 是等边的高线， ， ， 又旋转到， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，此时即最短， ，， 在中，，，， ， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【课后练习】 1．如图，在中，，，点D是边上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长过点C作于点G，先证明点A、C、E在同一直线上，根据，得出，根据垂线段最短，得出点F在点G处时，最小，根据直角三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：延长过点C作于点G，如图所示： ∵，， ∴， 根据旋转可知：，，， ∴， ∴点A、C、E在同一直线上， ∵， ∴， ∴点F在直线上， ∵垂线段最短， ∴点F在点G处时，最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的性质和垂线段最短，旋转的性质，解题的关键是恰当作辅助线，确定点E的运动轨迹． 2．在平面直角坐标系，点A 的坐标为， P 是x轴上一动点， 把线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质及旋转的性质．连接，以为边作等边，连接，则，可得是等边三角形，可证明，从而得到，进而得到点P在x轴上运动时，点F在直线上运动，作，交直线于点，于点E，则，即当F在直线上运动到点的位置时，线段取得最小值，即可求解． 【详解】解：连接，以为边作等边，连接，则， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴点P在x轴上运动时，点F在直线上运动， 作，交直线于点，于点E，则， 即当F在直线上运动到点的位置时，线段取得最小值， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 即线段的最小值为2． 故选：D 3．如图，中，，，点D为边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，由旋转的性质可得，由“”可证，可得，可得点E在过点C且垂直的直线上运动，则当时，的值最小，即的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， ∵将绕A点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E在过点C且垂直的直线上运动， ∴当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的值最小为， 故选：B． 4．如图， 是内一点，，，，是由绕点顺时针旋转得到，则线段的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转可得，，，，进而得到都为等边三角形，即得，，得到，又可得，可知当四点共线时，取最小值，最小值即为的长，最后利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 由旋转可得，，，，， ∴都为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴当四点共线时，取最小值，最小值即为的长，如图， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 5．如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 依题意，，则， ，则， 设， ∵ ∴ ∴ 即到和的距离的和 如图所示，作关于轴的对称点 ∴ 的长为的最小值，最小值为． 故选：D ． 【点睛】本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形，转化线段的长为的长是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点顺时针旋转至线段，连接，则线段长度的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．设，过点作轴，垂足为点，证明，推出，可得点的坐标为，推出点的运动轨迹是直线，根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】解：设，过点作轴，垂足为点，    ∵线段绕着点按顺时针方向旋转至线段， ∵点，点， ∴点的坐标为， ∴点的运动轨迹是直线， 设直线交轴于，交轴于， 将代入，则，令，则， ∴，， 过点作于．则， 根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 7．中，，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，作于H，交延长线于J．证明，推出，推出点N的运动轨迹是线段，该线段所在的直线与直线平行，在的下方，与的距离是1，作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G，在中，，则，求出， 得到，则，在中，，则的周长的最小值为． 【详解】解：如图，作于H，交延长线于J, ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是线段，该线段所在的直线与直线平行，在的下方，与的距离是1， 作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 8．如图，已知，点A是直线上方的一个动点，的面积为4，是边的中点，将点A绕点顺时针旋转得到点，连接、，则线段长度的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】作交于，以为边在直线下方构造等边，连接，利用全等三角形判定证出，得出；由，，的面积为4，得出点A形成的轨迹为平行于直线，在上方，且距离为1的直线，再作交直线于，交直线于，求出的长，再由垂线段最短性质得到，求出线段长度的最小值，即可得出线段长度的最小值． 【详解】解：如图，作交于，以为边在直线下方构造等边，连接， 点A绕点顺时针旋转得到点， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ； ，的面积为4， ， 又， ， 点A是直线上方的一个动点， 点A形成的轨迹为平行于直线，在上方，且距离为1的直线，记为， 作交直线于，交直线于， 是边的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 由垂线段最短性质得，，即， 长度的最小值为， 长度的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线轨迹问题、旋转的性质、等边三角形的性质与判定、含角的直角三角形性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，学会利用等边三角形构造“手拉手模型”的全等三角形是解题的关键，本题属于三角形综合题，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决几何难题的学生． 9．如图，在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，则线段与线段的数量关系是 ，的最小值 ． 【答案】 【分析】当点在线段上时，点在延线长上两种情况，过点作直线于，过点作，交于点G，证明，得到，再证明，推出，求出，即可得出线段与线段的数量关系；作点关于的对称点，过点作直线，连接，当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，证明，推出，，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，当点在线段上时，过点作直线于，过点作，交于点G， 由旋转的性质得：， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 作点关于的对称点，过点作直线，连接， ，， ， 点在与直线成的直线上移动， 点与点关于直线对称，，， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值为的长， ，，， ， ，， ，， 的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，最短路径问题，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 10．如图，是边长6的等边三角形，点E为高上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】先证出，得出点在射线上运动，再作点关于的对称点，连接，，设与射线交于点，则，证出，根据全等三角形的性质可得，利用勾股定理可得，然后根据三角形的周长公式可得的周长为，根据两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，最小值为，由此即可得． 【详解】解：∵是边长6的等边三角形， ∴，， ∵点为高上的动点， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， 如图，作点关于的对称点，连接，，设与射线交于点，则， ∵在中，，， ∴，点是一个定点， 由轴对称的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在中，， ∵的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 11．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点． (1)请直接写出点B、C的坐标：B______，C______； (2)如图2，点P为线段上一点，若，请求出点P的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，点M是所在直线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分别令进而求得直线与坐标轴的交点坐标； （2）过点作于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点，证明，可得，根据图形与坐标的关系，即可求得，设直线的直线解析式为，待定系数法求解析式即可，令，进而求得点的坐标； （3）如图，作直线，在直线上截取，过作轴于，连接，证明，，可得，可得在垂直于的直线上运动，当时，最短；证明，可得，，，再利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 令，则，令，则， ． （2）解：如图，过点作交于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点， ， 是等腰直角三角形， ， ， 轴，平行于轴， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的直线解析式为，将，代入，则 ，解得， 直线的直线解析式为， 令，则， 即． （3）解：如图，作直线，在直线上截取，过作轴于，连接， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴在垂直于的直线上运动， 当时，最短； ∵轴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ， 而， ∴， ∴， ， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，旋转的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，二次根式的运算，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 几何旋转之瓜豆模型全攻略 【模型精讲】 问题1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 问题2：如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ，且∠PCQ为定值，当点P在直线AB上运动，Q的运动轨迹是？ 解析：当CP与CQ夹角固定，且AP=AQ时，P、Q轨迹是同一种图形，且PP1=QQ1 理由：易知△CPP1≌△CQQ1，则∠CPP1=∠CQQ1，故可知Q点轨迹为一条直线. 模型总结： 条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量． 结论：① 主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ② 主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 ③ 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长； 【例题精讲】 例1．（旋转60°）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 例2．（旋转90°）如图，点E是等边边的中点，点D是直线上一动点，连接，并绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则的值为 ． 例3．（旋转120°）如图，在中，，为边上的中线，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则长度的最小值为 ． 例4．（与函数综合）如图，已知，点在上，且，点为直线上任意一点，现将线段绕点逆时针旋转至线段，连接，则的最小值为 ． 例5．（培优）在等腰中，，点是线段上一动点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． [问题初探] （1）如图1，连接，若，求证． [探究迁移] （2）如图2，连接，若，求的度数（用含的代数式表示），并说明理由． [拓展应用] （3）如图3，若，，当在线段上运动时，点也随之运动，连结，请直接写出线段的最小值． 变式1．如图，在中，，，点D是边上的动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值 ． 变式2．如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 变式3．如图，边长为4的等边中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接A．则在点M运动过程中，的度数是 ，线段长度的最小值是 ． 【课后练习】 1．如图，在中，，，点D是边上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系，点A 的坐标为， P 是x轴上一动点， 把线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 3．如图，中，，，点D为边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 4．如图， 是内一点，，，，是由绕点顺时针旋转得到，则线段的最小值为（      ） A． B． C． D． 5．如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点顺时针旋转至线段，连接，则线段长度的最小值是 ．    7．中，，，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则周长的最小值为 ． 8．如图，已知，点A是直线上方的一个动点，的面积为4，是边的中点，将点A绕点顺时针旋转得到点，连接、，则线段长度的最小值为 ． 9．如图，在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，则线段与线段的数量关系是 ，的最小值 ． 10．如图，是边长6的等边三角形，点E为高上的动点．连接，将绕点C顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ． 11．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点． (1)请直接写出点B、C的坐标：B______，C______； (2)如图2，点P为线段上一点，若，请求出点P的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，点M是所在直线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$