期末考试数学B卷填空之几何最值压轴题专项训练（一）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

期末考试数学B卷填空之几何最值压轴题专项训练（一） 【本地期末精选】 1．（青羊区）如图，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，则的最小值为 ． 2．（锦江区）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 3．（成华区）如图，在中，，，为的中点，将沿边翻折得到，是边上的两个动点，且，则四边形周长的最小值为 ． 4．（武侯区）如图，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，则的最小值为 ． 5．（西川中学）如图，在中，，，为的中点，将沿边翻折得到，是边上的两个动点，且，则四边形周长的最小值为 ． 【全国各地期末精练】 1．如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ． 2．如图，在中，，，，P为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ．    3．如图，在平行四边形中，，，．为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 4．如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为 ． 5．如图，在四边形中，，，连接，，分别是线段，线段上的点，且始终满足，连接，，当最小时，恰好，此时 ． 6．如图，在面积为5的锐角中，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接，若的面积为1，则周长的最小值为 ． 7．如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为 ． 8．如图，在等边中，，是平面内一点，线段绕点逆时针旋转至，直线与交于点，若，则的最大值是 ，最小值是 ． 9．如图，在等边三角形中，是边的中点，是平面内一点，连接，将线段以点为旋转中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点，之间的距离为2，则的最小值是 ． 10．如图，中，，，，点为内一动点，连接、，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 11．如图，中．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E，F，线段长的最大值是 ． 12．如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 13．已知，如图，长方形，，．N为上一点，，M为上一动点，将绕点N顺时针旋转得线段，连接，则当周长最小时，的度数为 ． 14．如图，在中，，，点，是边，上的点，，线段在边上左右滑动，若，，，则的最小值为 ． 15．如图，是边长为4的等边三角形，点是的中点，点是边所在直线上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，是线段绕点逆时针旋转．得到线段连接，则线段的最小值为 ． 17．如图，中，将绕点旋转一周，旋转过程中点与点对应，点与点对应，取中点，连接，取中点，则在旋转过程中的最大值为 ． 18．如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试数学B卷填空之几何最值压轴题专项训练（一） 【本地期末精选】 1．（青羊区）如图，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点坐标、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、两点距离公式等内容，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题的关键． 要求的最小值，我们可以联想到“将军饮马”问题，但是因为系数不为1，所以可以转化，要么转化，要么转化，我们发现提取，可以构造等腰直角三角形，从而将最值转化为求线段的长度，再利用构造全等三角形，得到是等腰直角三角形，进而求出的坐标，再求长度即可． 【详解】解：如图，以为斜边，在下方构造等腰直角三角形，连接， 则， ， 当、、三点共线时最小，此时即有最小值， 作关于轴对称点，则， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 由题可得，， 是中点， ， ， ， ， ， 此时． 2．（锦江区）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，．在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，过点作于点，证明得出，设，根据平移的性质可得，，勾股定理表示出，即到点和的距离和的最值，进而根据轴对称的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 过点作于点， ∵在中，，，．将绕着点逆时针旋转得到线段， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，则，， ∴ 即到点和的距离和的最值， 如图所示，，取，则的最小值为的长， 即 ∴的周长的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，平移的性质，将问题转化为的最小值为的长是解题的关键． 3．（成华区）如图，在中，，，为的中点，将沿边翻折得到，是边上的两个动点，且，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由含直角三角形的性质结合勾股定理得出，推出四边形周长，则要使四边形周长最小，则要最小，取的中点，的中点，连接，在上截取，连接，，证明四边形为平行四边形得出，则当在的连线上时，所得周长最小，连接，交于，交于，连接，证明，得出，，证明出是直角三角形，求出、的长，再由勾股定理计算出，即可得解． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴四边形周长， ∴要使四边形周长最小，则要最小， 取的中点，的中点，连接，在上截取，连接，， 则是的中位线， ∴，， 由折叠的性质可得：点、关于直线对称， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当在的连线上时，所得周长最小，连接，交于，交于，连接， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 在中，，点为的中点，则为的中点， ∵， ∴， ∴，， ∴，，∴， ∵为的中位线， ∴，∴， ∴， ∴四边形周长, 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．（武侯区）如图，直线交坐标轴于A、B两点，C为中点，点D为上一动点，点E在x轴正半轴上，且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴交点坐标、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、两点距离公式等内容，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题的关键． 要求的最小值，我们可以联想到“将军饮马”问题，但是因为系数不为1，所以可以转化，要么转化，要么转化，我们发现提取，可以构造等腰直角三角形，从而将最值转化为求线段的长度，再利用构造全等三角形，得到是等腰直角三角形，进而求出的坐标，再求长度即可． 【详解】解：如图，以为斜边，在下方构造等腰直角三角形，连接， 则， ， 当、、三点共线时最小，此时即有最小值， 作关于轴对称点，则， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 由题可得，， 是中点， ， ， ， ， ， 此时． 5．（西川中学）如图，在中，，，为的中点，将沿边翻折得到，是边上的两个动点，且，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由含直角三角形的性质结合勾股定理得出，推出四边形周长，则要使四边形周长最小，则要最小，取的中点，的中点，连接，在上截取，连接，，证明四边形为平行四边形得出，则当在的连线上时，所得周长最小，连接，交于，交于，连接，证明，得出，，证明出是直角三角形，求出、的长，再由勾股定理计算出，即可得解． 【详解】解：在中，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴四边形周长， ∴要使四边形周长最小，则要最小， 取的中点，的中点，连接，在上截取，连接，， 则是的中位线， ∴，， 由折叠的性质可得：点、关于直线对称， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当在的连线上时，所得周长最小，连接，交于，交于，连接， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 在中，，点为的中点，则为的中点， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形周长, 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【全国各地期末精练】 1．如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】过点作于．过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，求出线段长即可得到答案． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴过点作直线，作点关于直线的对称点在上，则， 连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及轴对称性质、含直角三角形性质、三角形的面积公式、勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称性质构造图形解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题． 2．如图，在中，，，，P为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ．    【答案】 【分析】过作于，依据是等腰直角三角形，即可得出，设，表示出，求出，依据，即可得到当时，的最小值等于的长，进而得到答案． 【详解】解：如图所示，过作于，    ， 是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：，即； 四边形是平行四边形， ， 当时，最小，且等于的长， 对角线的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质、含30度的直角三角形，以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形． 3．如图，在平行四边形中，，，．为边的中点，为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和最短路径，解题关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点到的距离最短时三角形的面积最小，利用勾股定理求出最小值即可． 【详解】由题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，而的长不变， 所以面积的最小，就是点到的距离最短． 因为，所以过点作，垂足为． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵． ∴， ∴点E到的距离为， ∵，为边的中点， ∴， ∴点到的最短距离为 所以面积． 故答案为：． 4．如图，在中，，，．平分交于点，点为上一点，连接，将沿方向平移到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，由题意可得点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动，过点的线段，且，由直角三角形的性质和勾股定理得，，作，垂足为，，垂足为，，垂足为，则此时的长为的最小值，由角平分线的性质得，，设，则，可得，得到，进而由得，利用三角形面积得，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵点是在线段上移动的， ∴点的轨迹是在过点且平行于的线段上移动， 如图，过点的线段，且， 在中，，，， ∴，， ∴， 作，垂足为，，垂足为，，垂足为，则此时的长为的最小值， ∵平分交于点，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 5．如图，在四边形中，，，连接，，分别是线段，线段上的点，且始终满足，连接，，当最小时，恰好，此时 ． 【答案】1 【分析】延长，在右侧作，取，连接，证明，得出，，根据两点之间线段最短，得出当、E、G三点共线时，最小，即最小，根据三角形外角的性质求出，根据平行线的性质求出，求出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长，在右侧作，取，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、E、G三点共线时，最小，即最小， 如图，此时最小， ∵此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 6．如图，在面积为5的锐角中，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接，若的面积为1，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称一最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，能够得到的最小值，以及证明出是等边三角形，且边长等于是解题的关键，过点作直线，过点作于点，交直线于点，求出，推出的最小值为，再作点关于的对称点，连接，证明出是等边三角形，且边长等于，由此可解决问题． 【详解】解：过点作直线，过点作于点，交直线于点，如图， 由题意，知为的边上的高，等于的边上的高， 锐角的面积为， ， ， 的面积为1，， ，点是直线上的动点， ， ， ， 的最小值为， 作点关于的对称点，连接， 则，， 周长， 由两点之间线段最短知，周长的最小值为的长， ， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值为， 故答案为：． 7．如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，先证明，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，证明直线是线段的垂直平分线，利用勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线性质，三角形面积性质，解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线性质熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， 且， ∴， 直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．如图，在等边中，，是平面内一点，线段绕点逆时针旋转至，直线与交于点，若，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】结合等边三角形的性质及旋转的性质，由可判定，由全等三角形的性质得，由三角形内角和得，可得、、、四点共圆，圆心为等边三角形的外心，当点在线段的延长线上时，时，最小，当点在线段的上时，时，最小，点的运动轨迹为以为圆心，的长为半径的，①当是的直径时，取得最大值，②当与重合时，，此时取得最小值，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， 线段绕点逆时针旋转至， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 、、、四点共圆，圆心为等边三角形的外心， 当点在线段的延长线上时，时，最小， 当点在线段的上时，时，最小， 如图， 点的运动轨迹为以为圆心，的长为半径的， ①如图，当是的直径时，取得最大值， 连接，过点作交于， ， ， ， ， 取得最大值为； ②如图，当与不重合时， ， 当与重合时，， 此时取得最小值， ， ， 同理可证， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 取得最小值； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，圆的基本性质，勾股定理等；掌握等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，圆的基本性质，能找出动点的运动轨迹，并能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 9．如图，在等边三角形中，是边的中点，是平面内一点，连接，将线段以点为旋转中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点，之间的距离为2，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，由等边三角形的性质和勾股定理求出，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，最后在中，，当、、共线时取等号，即可得到，求出的最小值． 【详解】解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∵在等边三角形中，若， ∴， ∵是边的中点， ∴，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到，将线段以点为旋转中心逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵中，，当、、共线时取等号， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 10．如图，中，，，，点为内一动点，连接、，，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，关键是判定，推出，由三角形三边关系定理得到．取中点K，连接，过D作交的延长线于N，证明，推出，得到，根据勾股定理得出，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：取中点K，连接，过D作交的延长线于N， ∵， ∴， ∵H是中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ，中，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 11．如图，中．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E，F，线段长的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键，属于压轴题． 先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， 中，，，， ， 垂直平分， ，过点F作于H， 若要使最大，则需要最小， 设，则， ， ， （垂线段最短）， ， 解得． 最小值为，的最大值为， 故答案为：． 12．如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等，也考查了等腰三角形的性质，勾股定理．过A点作于H点，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着根据折叠的性质得到，所以，从而可判断最短时，最大，根据垂线段最短，此时，然后利用 面积法求出此时的长，从而得到的最大值． 【详解】解：过A点作于H点，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 此时， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：6． 13．已知，如图，长方形，，．N为上一点，，M为上一动点，将绕点N顺时针旋转得线段，连接，则当周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，旋转的性质，过点P作于Q，可证明得到，则点P在平行于的直线上，且该直线到的距离为1，过点P作交于H，交于T，作点A关于的对称点G，连接，连接交于，可证明当P、D、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，此时点P与点重合，证明，得到，再证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点P作于Q， 由长方形的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点P在平行于的直线上，且该直线到的距离为1， 如图所示，过点P作交于H，交于T，作点A关于的对称点G，连接，连接交于， ∴， ∴的周长， ∴当P、D、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，此时点P与点重合， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，，点，是边，上的点，，线段在边上左右滑动，若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作，使得，作关于对称点，交于点，连接，交于点，过作于点，过作于点，则四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，故有，，，，由等腰三角形的性质和勾股定理得，，则，，当三点共线时最小，即最小值为，再以为原点，所在直线为轴，最后由平面直角坐标系两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，作关于对称点，交于点，连接，，交于点，过作于点，过作于点， ∴四边形是平行四边形，，四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴，， ∵， ∴当三点共线时最小，即最小值为， 如图，以为原点，所在直线为轴， ∴，， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称性质，平行四边形与矩形的判定与性质，平面直角坐标系中两点间的距离，两点之间线段最短，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 15．如图，是边长为4的等边三角形，点是的中点，点是边所在直线上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，推断出“点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行”是解题的关键． 过点作于点，点作于点，分①点在点下方，②点在点上方，③点与点重合三种情况讨论，都可以得到，重合得到点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行，再根据垂线段最短可知：当点与点重合时，最小，重合得解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 为等边三角形， ， ，为中点， ， 为等边三角形， ，， ①当点在点下方时，有两种情况，作图如下： ，， ， ， ， ，，， ； ， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； ， 据上述原理，上图情况，可得， ， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； ②当点在点上方时，作图如下： ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； ③当点与点重合时，作图如下： 由图可知：， 此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行； 综上所述：点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行．根据垂线段最短可知：当点与点重合时，最小，即． 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，是线段绕点逆时针旋转．得到线段连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质；一次函数点的特征，将及分别代入得，，由已知可得，，推出是等腰直角三角形，得出，，在上取点，使，又根据P是线段上的动点，将线段绕点B逆时针旋转，推出，，因为，则，从而得出，所以，则，即，所以点在与x轴平行的直线上运动，当线段与垂直时，线段的值最小，在中，因为，求出，则可求，所以，则． 【详解】解：当时，则， 当时，则，解得， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴C是的中点，是的平分线， ∴，， 如图，在上取点，使，连接 又∵P是线段上的动点，将线段绕点B逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴点在与x轴平行的直线上运动， ∴当线段与垂直时，线段的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，中，将绕点旋转一周，旋转过程中点与点对应，点与点对应，取中点，连接，取中点，则在旋转过程中的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，取中点，连接，根据点是中点，点是中点，得出是中位线，即可得，在中，根据，点是中点，结合等腰三角形三线合一的性质得出，，勾股定理求出，根据题意可得，是定值，，即可得出当共线时，最大，最大值．如图，过点C作，根据旋转可得，则，根据勾股定理可得，求出，即可求得，再根据勾股定理求出，即可得出，再根据的最大值为即可解答， 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴是中位线， ∴， 在中，，点是中点， ∴，， ∴， ∵，是定值，， ∴当共线时，最大，最大值． 如图，过点C作， 根据旋转可得， ∴， 根据题意， ∴ 即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】该题考查了勾股定理，二次根式的混合运算，三角形中位线定理，旋转的性质等知识点，正确做出辅助线，确定当共线时，最大，最大值是解题的关键． 18．如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定及性质、全等三角形的性质，先作辅助线，延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，根据勾股定理和平行四边形的性质得到线段的长度，证明出四边形为平行四边形，再根据三角形全等得到对应边相等，再根据垂线段最短得到最小值，即可求解． 【详解】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小，此时， ∴最小值为， 故答案为： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$