专题07 几何旋转之费马点模型全攻略-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题07 几何旋转之费马点模型全攻略 【模型精讲】 费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小. 当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点. 特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A （这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 证明过程： 将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。 即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE 【例题精讲】 例1．（旋转60°）如图，P为内任意一点，分别连接PA，PB，PC．其中，，，则的最小值为 ． 例2．（旋转90°）如图，在中，，，在内有一点，连接，，，若的最小值为，则的值为 ．    例3．（旋转120°）【问题发现】如图①，在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形，连接， _______， ______（用含的代数式表示）； 【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，点为内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，求证：； 【结论应用】如图③，在【问题探究】的条件下，连接，，的最小值为____． 例4．（费马点综合）等腰中，，，点P为平面内一点． (1)如图1，当点P在边上时，且满足，求的值； (2)如图2，内点P满足，连接BP．若，，求BP的长； (3)如图3，点P为内一点，，直接写出的最小值为______． 变式1．如图，中，，，，点O为内一点，连结． ①边的长为 ． ②的最小值为 ． 变式2．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 变式3．如图，中，，，为内一点，，则的最小值为 ．    【课后练习】 1．如图所示，中，，，，点为内一动点，若，则的最小值为 ． 2．已知，在中，，点P是内一动点，则的最小值为 3．如图，在中，，，，点D在内连接、、，求的最小值． 4．在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 5．在等边三角形中，边长为，为三角形内部一点，求的最小值． 6．（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 7．如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积； (2)求证：； (3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 8．【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 9．在等腰中，，点是线段上一动点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． [问题初探] （1）如图1，连接，若，求证． [探究迁移] （2）如图2，连接，若，求的度数（用含的代数式表示），并说明理由． [拓展应用] （3）如图3，若，，当在线段上运动时，点也随之运动，连结，请直接写出线段的最小值． 10．【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 几何旋转之费马点模型全攻略 【模型精讲】 费马点模型：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小. 当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点. 特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A （这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 证明过程： 将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。 即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE 【例题精讲】 例1．（旋转60°）如图，P为内任意一点，分别连接PA，PB，PC．其中，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是根据题意旋转三角形作出辅助线构造等边三角形． 将绕点B逆时针旋转60度得到，连接，根据旋转的性质得出是等边三角形，则，当在同一直线上时，取最小值，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转60度得到，连接， ∵，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵绕点B逆时针旋转60度得到， ∴， ∴，是等边三角形， ∴， ∴， 当在同一直线上时，，取最小值， 此时， 故答案为：． 例2．（旋转90°）如图，在中，，，在内有一点，连接，，，若的最小值为，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变换，勾股定理，最短路径的计算方法，掌握图象旋转的性质，勾股定理，最短路径的计算方法是解题的关键． 根据题意，将绕点逆时针旋转并放大倍，得，连接，根据边的关系可得，，由此可得，作直角，根据可得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转并放大倍，得，连接，    ∴，，， ∴在中，， ∴， 根据两点之间线段最短， ∴在中，， ∵的最小值为，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 延长，作点作，交于点， ∴，且， 在中，， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 例3．（旋转120°）【问题发现】如图①，在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形，连接， _______， ______（用含的代数式表示）； 【问题探究】如图②，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，点为内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点的对应点为点，连接，，求证：； 【结论应用】如图③，在【问题探究】的条件下，连接，，的最小值为____． 【答案】问题发现：，；问题探究：见解析；结论应用：12 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 问题发现：作于，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，，再由含角的直角三角形的性质及勾股定理计算即可得出； 问题探究：由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，证明，从而即可证明； 结论应用：连接，由全等三角形的性质可得，证明是等边三角形，得到，从而得到，当点、、、共线时，最小，连接，作于，由含角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算即可得出答案． 【详解】问题发现： 解：如图，作于， 在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； 问题探究： 证明：、为等边三角形， ，， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， ，， ， 在和中， ， ； 结论应用： 解：如图，连接， ， ， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， 是等边三角形， ， ， 当点、、、共线时，最小， 连接，作于， ，边长为， ，， ， ， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 例4．（费马点综合）等腰中，，，点P为平面内一点． (1)如图1，当点P在边上时，且满足，求的值； (2)如图2，内点P满足，连接BP．若，，求BP的长； (3)如图3，点P为内一点，，直接写出的最小值为______． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和含的直角三角形的特征求解即可； （2）将线段绕点A逆时针旋转 得到，连接，过H作于M，过A作于N，则，，，，先证，则，根据含的直角三角形的特征和勾股定理分别求出，即可； （3）将绕点C顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质可证是等边三角形，进而可证三点共线，根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）将线段绕点A逆时针旋转 得到，连接，过H作于M，过A作于N，则，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：将绕点C顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知：， 是等边三角形， ，，， ， ， 三点共线， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形综合，涉及旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 变式1．如图，中，，，，点O为内一点，连结． ①边的长为 ． ②的最小值为 ． 【答案】 【分析】①由含30度角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出；②将绕B点顺时针旋转60度，得到，证明是等边三角形，推出，当O，C，E，D四点共线时，等号成立，由此可解． 【详解】解：①中，，，， ， ， 故答案为：； ②如图，将绕B点顺时针旋转60度，得到， 由旋转知，，，，， ，， 是等边三角形， ， ，当O，C，E，D四点共线时，等号成立， ，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是通过旋转构造等边． 变式2．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E； ∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD， ∴△PCF、△ACD是等边三角形， ∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC= ∴， ∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长； ∵，∠CAD=， ∴∠EAD=， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上． 变式3．如图，中，，，为内一点，，则的最小值为 ．    【答案】5 【分析】将绕点逆时针旋转得到，连接，得为等边三角形，证明点，，，共线，过点作于点，根据等腰三角形的性质证明，延长交于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，的值，根据最小，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到△，连接，      由旋转的性质，得，，，， ，， 为等边三角形， ，， ， 点，，共线， ， 点，，共线， 点，，，共线， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， 延长交于点， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 最小， 的最小值为5．    故答案为：5． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质． 【课后练习】 1．如图所示，中，，，，点为内一动点，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，连接，，利用旋转的性质证明是等边三角形，可得，当四点、、、共线时，其和最小，由此可解． 【详解】解：如图，绕点顺时针旋转至，连接，， 则， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当四点、、、共线时，其和最小， 过点作交延长线于，连接， 又∵中，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴在中，，， ∴， ∴最小取值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是通过旋转构造全等三角形． 2．已知，在中，，点P是内一动点，则的最小值为 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则．用，推出当共线时，的值最小最小值的长； 【详解】解：如图，将绕点C逆时针旋转得到，连接． 则是等边三角形， ∴ 由旋转得，， ∴， ∴当共线时，的值最小，最小值的长， ∵ ∴， 过点作，则 ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．如图，在中，，，，点D在内连接、、，求的最小值． 【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，，首先证明出是等边三角形，得到，，得到当点B，D，F，E四点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，． ∴，，， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴当点B，D，F，E四点共线时，有最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，能够想到利用旋转的性质作出复杂的辅助线是解答本题的关键． 4．在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【分析】如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，当点共线时，取得最小，最小为的值，如图所示，过点作延长线于点，在中，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握等边三角形，旋转的性质，费马点求最短线段的方法是解题的关键． 5．在等边三角形中，边长为，为三角形内部一点，求的最小值． 【答案】 【分析】如图，将绕点顺时针旋转，并缩小到倍，得到，连接，，可得，，，， 即得，得到，当可知点共线时，的值最小，最小值为的长，过点作的延长线于点，由等边三角形的性质可得，得，即得，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，并缩小到倍，得到，连接，， 则，，，， 在中，， ∴， ∴当点共线时，的值最小，最小值为的长， 过点作的延长线于点，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，两点之间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；② 【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出； （2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到； ②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，，根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【详解】解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴， ∴； （2）①． 证明： ∵,， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，， ∴ ∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 7．如图，在中，，以为边向上作正方形，以为边作正方形，点恰好在线段上． (1)若的长度比少4，，求的面积； (2)求证：； (3)已知点是内一动点，且不与的顶点和边重合，在（1）的条件下，请直接写出的最小值． 【答案】(1)24 (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）过点E作交于H，证明，得出，根据，即可求出结论； （3）过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，根据旋转得出，，，，根据勾股定理得出，说明，根据两点之间线段最短，得出当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵中，， ∴， 即 解得（负值舍去） ∴， ∴； （2）证明：过点E作交于H，如图所示： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（1）的条件下，，， 过点A作于点G，将绕点C顺时针旋转到，连接，延长，过点E作于点F，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 根据旋转可知：，，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当B、P、D、E四点共线时，最小，则最小， ∴最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，旋转的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 8．【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 【答案】（1）等边；两点之间，线段最短；；A；（2）5 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，将三角形进行旋转是解题的关键： （1）根据等边三角形的判定和性质，以及两点之间线段最短，以及旋转的性质和全等三角形的性质，进行作答即可； （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，进而得到当在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． 分析如下：， 为等边三角形； ， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ， ， 由旋转可知， ， ， ； ， ， ， 三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又已知当有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点． 该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又，， 由旋转性质可知：， ， 最小值为5． 9．在等腰中，，点是线段上一动点，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接． [问题初探] （1）如图1，连接，若，求证． [探究迁移] （2）如图2，连接，若，求的度数（用含的代数式表示），并说明理由． [拓展应用] （3）如图3，若，，当在线段上运动时，点也随之运动，连结，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由旋转可知，，进而证明，得，由，得，即可证明； （2）由旋转可知，，进而证明，类比（1）得，即可求解； （3）连接，由（2）可知，，可知点在上方且与其夹角为的射线上，由垂线段最短可知，当时有最小值，此时，结合含的直角三角形的性质与勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）证明：由旋转可知：， ∴ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴； （2）由旋转可知：， ∵ ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴； （3）连接，由（2）可知，， 即：点在上方且与其夹角为的射线上， 由垂线段最短可知，当时有最小值， 此时，则，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 10．【问题提出】 （1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________． （2）如图2，在中，，，求的最小值． 【问题解决】 （3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积． 【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）． 【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可； （2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论； （3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下; 由旋转知，BN=BM，∠MBN=60° ∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形； （2）解：设AB=a， ∵AB+AC=10， ∴AC=10-AB=， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得， ， ∵， ∴，即， ∴， 即BC的最小值为； （3）解：如图3， 将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'， ∴△ABE≌△A'BE'， ∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°， ∴△EBE'为等边三角形， ∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE， ∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE， 要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C， 过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F， 在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°， 设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=， ∵AB=A'B， ∴AB=2x， ∵AB+BC=6， ∴BC=6-AB=6-2x， ∴CF=BF+BC=6-x， 在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，， ∴当x=，即AB=2x=3时，最小， 此时，BC=6-3=3，A'F=， ∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$