精品解析：辽宁省抚顺市2025届高三下学期3月高考模拟考试数学试卷

2025年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间内有零点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是 的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 7. 如图，在四边形中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到 、 、 三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去 公司，则不同的安排方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数 满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 的虚部为 C. D. 和是方程的两个根 10. 已知点P是抛物线 上的一个动点，点F为抛物线的焦点，点Q是圆上的一个动点，直线l与抛物线交于M、N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 过P作圆C的切线，切点为A，B，则的最小值是 C. 设线段的中点坐标为，则直线l的斜率与无关 D. 若直线l过点F，且，则直线l的斜率为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图是年至 年辽宁省普通高中应届毕业生人数的统计图，则这些年中应届毕业生人数的中位数是______万人． 13. 已知函数的定义域为，若有且仅有两个解，则的取值范围为______． 14. 已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知函数的图象与 轴相交于点 ，的图象在点 处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求函数的单调区间和极值． 16. 已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前 项和，，． （1）求的通项公式； （2）求的前 项和． 17. 在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，， ，，，， 、分别为 、的中点，与相交于点． （1）求证：平面； （2）若 平面，求二面角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，点在椭圆上，椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，其中点A在x轴的上方． （1）当时，求的值： （2）将平面沿x轴折叠成直二面角，点A，B在折叠后分别到达点，位置． （i）若，求k的值； （ii）是否存在k，使得的周长为？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 19. “分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的 ，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计 台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． （1）若 ， ，记 为一次计算中正常运行的计算机数量，求 的分布列和数学期望； （2）若 ， ，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ （3）该科技公司决定再购入 台与（2）中完全相同的计算机组成新的分布式计算系统，请与（2）的分布式计算系统比较，判断新的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率是否有提升？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年抚顺市普通高中应届毕业生高考模拟考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解二次不等式得出集合 ，然后由交集的定义计算. 【详解】根据可得，，即，解得， 即，故. 故选：B 2. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质和定义可求得的值. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 则，解得. 故选：C. 3. 已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出 ，根据双曲线定义及双曲线上一点求出，再根据求出，最后根据双曲线渐近线方程为即可求解. 【详解】双曲线一个焦点的坐标为，可知双曲线交点在轴上， 所以，另一个焦点坐标为， 因为点在该双曲线上，根据双曲线定义可知：， ，， 所以，解得 ，又因为， 即，解得， 所以双曲线渐近线方程为. 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式化简得出 的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，即， 整理可得，即，故， 则. 故选：A. 5. 函数在区间内有零点，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数 的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数 的取值范围是. 故选：D. 6. 如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是 的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】设截面与圆柱底面的距离为，分别求出和，即可得出结论. 【详解】设截面与圆柱底面的距离为， 该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为， 由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为， 所以，圆环的面积为，故， 故选：B. 7. 如图，在四边形 中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则 ，，在中，利用正弦定理可得出，然后在 中应用余弦定理可求出的值，由此可求得的长. 【详解】因为，，则， 设，则 ，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在 中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 8. 某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到 、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去 公司，则不同的安排方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】对 公司去的学生人数进行分类讨论，结合分类和分步计数原理可得结果. 【详解】因为甲和乙都不能去 公司，对 公司去的学生人数进行分类讨论： 若去 公司只有 个人，有 种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司， 此时有种不同的安排方式； 若去 公司有 人，有种情况，然后将剩余 人分为两组，再将这两组分配给、两个公司， 此时有种不同的安排方式； 若去 公司有 人，只需将甲、乙两人分配给、公司即可，每个公司 个人， 此时有种不同的安排方式. 由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为种. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数 满足，则（ ） A. 为纯虚数 B. 的虚部为 C. D. 和是方程的两个根 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件结合复数的运算法则求得 ，，再逐个选项判断即可. 【详解】因为，所以， 所以，， 所以，所以A错误，B正确； ，所以C正确； 因为，，所以，， 所以D错误. 故选：BC 10. 已知点P是抛物线 上的一个动点，点F为抛物线的焦点，点Q是圆上的一个动点，直线l与抛物线交于M、N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 过P作圆C的切线，切点为A，B，则的最小值是 C. 设线段的中点坐标为，则直线l的斜率与无关 D. 若直线l过点F，且，则直线l的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可判断选项A；对于B，先设，利用坐标运算求出，再将转化为即可得出判断；设，利用点差法即可判断选项C；将转化为坐标的关系，结合求出坐标即可判断选项D. 【详解】由题意知抛物线 的焦点为，准线为，圆的圆心为，半径， 对于A，， 过点P作垂直于直线，垂直为Q，由抛物线定义可知： ，三点共线时等号成立， 所以的最小值为4，故选项A正确； 对于B，设，则， 因为是圆的两条切线，切点为A，B，所以， 所以，故选项B正确； 对于C，设，则，两式作差，得， 又线段的中点坐标为，所以， 因此直线l的斜率为，故选项C错误； 对于D，设，由得，， 又，解得，所以或， 所以直线l的斜率为，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且 ，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.将平移即可求出图象的对称中心；B.举反例说明；C.将的两条关系式结合，即可得，再分组求和；D.对的两条关系式分别求导即可得的周期性. 【详解】为奇函数，即其函数图象关于点中心对称， 将其向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到函数的图象， 则的图象关于点中心对称，即 ①，故选项A正确； 选项B错误，理由如下：由②可得，，则，若B选项正确，则，矛盾，故选项B错误； ①②两式相加可得，，则 ，， 则 ，故选项C正确； 对①②两式分别求导得，③，④， ③④两式联立可得，⑤，再将替换为， 得⑥，⑤⑥两式联立可得，， 则的周期为4，故， 在④式中令得，，在③式中令得，，故，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：C选项的关键在于利用①②两式得，而后采用分组求和而非逐个运算；D选项的关键在于复合函数求导，能否正确得出③④两式. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图是年至 年辽宁省普通高中应届毕业生人数的统计图，则这些年中应届毕业生人数的中位数是______万人． 【答案】 【解析】 【分析】将数据由小到大进行排序，结合中位数的定义可得出结果. 【详解】将数据由小到大依次排列为：、、、、、、、、， 因此，这组数据的中位数为. 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，若有且仅有两个解，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角化简得出，由已知条件分析可知方程在时有两个解，当时，求出的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为， 由可得，可得， 即，则， 即方程在时有两个解， 因为，当时，， 由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，即为，结合函数的单调性可求得的取值范围，然后验证恒成立，即可得解. 【详解】构造函数，其中 ， 则， 故函数在上为减函数， 由可得，即， 因为，则，所以，，解得 . 对于、，当时都有， 不妨设，则，所以，函数在上为增函数， 则对任意的 ， ，则，可得恒成立， 因此，所求不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：四种常用的导数构造法： （1）对于不等式（或），构造函数； （2）对于不等式（或），构造函数； （3）对于不等式（或）（其中 为常数且），构造函数； （4）对于不等式（或）（其中 为常数），构造函数. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知函数的图象与 轴相交于点 ，的图象在点 处的切线方程为． （1）求，的值； （2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1） ，； （2）单调递增区间为和 ，单调递减区间为；极大值，极小值； 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义确定 点坐标求出，代入函数解析式确定值； （2）对函数求导，根据导数的正负，确定函数的单调区间，进而确定函数的极值点求得极值. 【小问1详解】 由已知可得， 因为直线的斜率为，所以，所以 ． 令中得，故， 又，所以，所以． 【小问2详解】 函数的定义域为． 由（1）知，， 令，解得或， 由 得函数的单调递增区间为和 ； 由 得函数的单调递减区间为 所以当时，函数取得极大值； 当时，函数取得极小值. 16. 已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前 项和，，． （1）求的通项公式； （2）求的前 项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意可得出关于、 的方程组，解出这两个量的值，由此可得出数列的通项公式； （2）分 为偶数、奇数两种情况讨论，当 为偶数时，可得出，利用等差数列的求和公式可求出的表达式；当 为奇数时，可得出，可得出的表达式.综合可得出的表达式. 【小问1详解】 设数列的公差为，由，则， 即，解得， 所以． 【小问2详解】 由可知， 当 为偶数时， ． 当 为奇数时，． 综上所述，． 17. 在如图所示的五面体中，四边形 与均为等腰梯形，， ，，，， 、分别为 、的中点，与相交于点． （1）求证：平面； （2）若 平面 ，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形，所以为中点， 因为为的中点，为中点，则，且， 因为 为 的中点，则，且， 则，且，故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出，然后以点为坐标原点，、、 所在直线分别为、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，为的中点，则， 又因为，所以四边形 为平行四边形，所以， 因为，则，故， 因为 平面 ，以点为坐标原点，、、 所在直线分别为、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面 的一个法向量为， ，， 由，令，则，， 可得平面 的一个法向量为． 设平面的一个法向量为，， 由，令，则 ，， 可得平面的一个法向量为， 所以，， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以，二面角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系 中，点在椭圆上，椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，其中点A在x轴的上方． （1）当时，求的值： （2）将平面 沿x轴折叠成直二面角，点A，B在折叠后分别到达点，位置． （i）若，求k的值； （ii）是否存在k，使得的周长为？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，此时． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过的点，和离心率公式，再由，求得 ， ，得到椭圆的标准方程．设直线的方程为，直曲联立， 结合韦达定理和弦长公式计算，再用椭圆定义得到． （2）（i）以原x轴正半轴，y轴正半轴，y轴负半轴分别为折叠后的x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，得到，，因为，得，结合韦达定理得到． （ii）假设存在满足条件的k，运用，得，运用两点间距离公式，结合韦达定理得到关于k的方程，解得，求得 即可． 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c，由已知可得且， 再由，可得 ， ，所以椭圆的标准方程为， 由于直线过点且斜率为k，所以直线的方程为， 由消去y并整理得， 设，，则，， 当时，， 所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 （i）以原x轴正半轴，y轴正半轴，y轴负半轴分别为折叠后的x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，则，， 若，则，所以， 所以，又因为，所以． （ii）假设存在满足条件的k，因为，所以， 即① 所以， 所以② 由①，②可得， 所以， 所以， 解得，又因为，所以存在k使得的周长为，此时． 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何综合问题.解题关键是找到等式：折叠前折叠后的周长差，对等式进行整理变形后用k表示，再应用韦达定理求出k. 19. “分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的 ，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计 台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为． （1）若 ， ，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望； （2）若 ， ，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？ （3）该科技公司决定再购入 台与（2）中完全相同的计算机组成新的分布式计算系统，请与（2）的分布式计算系统比较，判断新的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率是否有提升？ 【答案】（1）的分布列如下表所示： 数学期望为 （2） 台或台 （3）能得到提升 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，由二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可得出的值； （2）设由 台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为 ，则，解不等式组，其中 ， ，求出 的取值范围，即可得出结论； （3）分析可知，当分布式计算系统中计算机数量为 时，至少 台计算机同时正常运行；当分布式计算系统中计算机数量为时，至少台计算机同时正常运行.计算出由 台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率，由台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 由题意可知，，所以，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的数学期望为. 【小问2详解】 设由 台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为 ，则． 且， 由得，其中 ， ， 即，解得 ． 所以同时正常运行的计算机数最有可能是 台或台． 【小问3详解】 当分布式计算系统中计算机数量为 时， 若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于 ， 即至少 台计算机同时正常运行． 当分布式计算系统中计算机数量为时， 若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于 ， 即至少台计算机同时正常运行． 记 台计算机正常运行的个数为，设，，，，且有 ． 则由 台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率， 由台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率为，则： ， 于是， 而， 故 ，即由台计算机组成的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率能得到提升． 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下： （1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率； （3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $