精品解析：吉林省长春吉大附中实验学校2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷

“兴酣落笔摇五岳，意气风发凌九霄” 2024—2025学年下学期高三年级 第一次模拟考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写；字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{高，考，必，胜}，{吉，大，必，胜}，则（ ） A. {吉，大，高，考} B. {必，胜} C. {金，榜，题，名} D. {吉，大，高，考，必，胜} 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的含义即可得到答案. 【详解】根据并集的含义得{吉，大，高，考，必，胜}. 故选：D. 2. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的坐标表示即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 3. 展开式中第3项的系数是（ ） A. 90 B. -90 C. -270 D. 270 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理求出通项公式，进而求出第3项. 【详解】展开式的第3项为，故第3项系数为90， 故选：A 4. 已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理得，平方关系求出，再利用面积公式可得答案. 【详解】由余弦定理得， 因为，所以， 可得. 故选：D. 5. 某人通过手机记录锻炼情况，得到11月份每天的锻炼时间（单位：如下表： 锻炼时间 小于0.5 不小于2 天数 2 6 10 8 4 据表中数据，下列结论一定正确的是（ ） A. 30天锻炼时间的中位数不超过 B. 30天锻炼时间的平均数不低于 C. 30天锻炼时间的极差不超过 D. 30天锻炼时间的众数不低于 【答案】B 【解析】 【分析】由题意给的数据，结合中位数、平均数、极差和众数的概念依次判断即可. 【详解】A：将锻炼时间从小到大排序，中位数为第15个和第16个数据的平均值，又第15个和第16个数据都落在内， 所以中位数位于内，不一定不超过1.2，故A错误； B：总时间为个小时， 所以平均数为小时，不低于1.1个小时，故B正确； C：最小值小于0.5，最大值不小于2，所以极差可能超过2.5，故C错误； D：众数位于内，低于1.5，故D错误. 故选：B. 6. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于对称 D. 关于原点中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称变换的方法逐项分析判断即可. 【详解】对于A，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，A错误； 对于B，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，B错误； 对于C，用换，换，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，C错误； 对于D，将点代入原方程仍为，因此曲线关于原点中心对称D正确. 故选：D 7. 已知函数的极大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助导数，判定函数单调性，再结合极大值为，对分类讨论求出，验证即可. 【详解】由题意，， 则， 令，解得或， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，解得， 当时，在，上满足，单调递增， 在上满足，单调递减， 所以在处取得极大值，，不符合题意， 当时，，在R上单调递增，无极值，不符合题意， 综上所述，. 故选：D. 8. 记函数的图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数的对称性得到到的距离为到的距离的二倍，再结合题意列方程，然后结合二倍角的余弦公式求解即可； 【详解】关于对称， 因为，所以到的距离为到的距离的二倍， 所以，即， 所以，即， 即，解得， 又， 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据韦达定理和复数范围内一元二次方程两根的特点一一分析即可. 【详解】对A，根据韦达定理知，故A错误； 对B，根据韦达定理知，故B正确； 对C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则，故C正确； 对D，因为，则，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（ ） A. 三棱锥 B. 三棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的性质，将动点到面的距离转换成定点到面的距离，利用等体积法依次求解即可. 【详解】记平行六面体的体积为， 对于A，由平行六面体的性质，平面故点到平面的距离等于点到平面的距离，故,故A正确； 对于B,因为，底面面积固定，点在线段上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误； 对于C，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故C正确； 对于D，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线l的斜率为 B. C. （O为坐标原点） D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线：，根据题意求出，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D. 【详解】对于A，依题意得，设直线， 联立，消去x得，则， 则，解得或， 则或， 则直线l的斜率，故A正确； 对于B，， 当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C，因为，所以，故C项错误； 对于D，依题意有，抛物线的准线方程为，所以， 则，由抛物线的定义可得， 可得， 因为，所以 ， 当且仅当时取等号，此时，故D项正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为. 故答案为： 13. 已知，是函数，的两个零点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用和差化积公式得，再结合正弦函数性质即可得到答案. 【详解】根据和差化积公式得， 则令， 当时，因为，则，此时无解， 当 ，因为，则， 则或，解得或， 则. 故答案为：. 14. 为激励高三学子的学习热情， 数学老师开发了一款小游戏程序， 同学们表现优秀时可参与一次. 游戏规则如下: 第一步， 在图①所示的棋盘内， 学生点击摇奖， 程序会随机放上 7 枚黑棋; 第二步， 学生自行选择空格放上 2 枚白棋; 最终， 每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时， 称为连成一条线. 若未连成线， 则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏. 小明点击摇奖后， 出现了图③的情况， 若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是_____；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的条件下，她获一等奖的概率是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出在图③中再放2枚棋子形成两条线的情况种数即可得小明获奖概率；构建模型，结合排除法求出保证奖励最大化的结果数，再利用古典概率求解. 【详解】对于小明，在图③的情况下，再放2枚白棋形成两条线的不同情况有4种， 而样本空间共有种不同情况，所以小明获二等奖的概率是； 对于小红，9枚棋子形成三条线的形状（简称“三线”）必然由一行、一列、一对角线构成， 由于第一列已经确定，则当第一或第四行连上时，对角线还有1种情况；当第二行或三行连上时， 对角线还有2种情况，因此“三线”共有种，由于小红总能保证奖励最大化， 则只需随机出来的形状恰好是“三线”去掉2枚棋子（简称“准三线”）即可， 于是从第一列外的5枚棋子中去掉2枚棋子形成的“准三线”共种， 但是，有一些“准三线”可以由多个“三线”得到： 第一列和某一对角线形成的“准三线”，可以由3个不同的“三线”得到，重复计算的“准三线”有次； 第一列和第二行或三行形成的“准三线”，可以由2个不同的“三线”得到，重复计算的“准三线”有次， 因此，“准三线”实际上只有种，第一列之外随机放上3枚棋子的所有情况为种， 所以小红获得一等奖的概率. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：在保证奖励最大化的前提下，构造模型并结合排除法将重复计算的情况去掉是求解的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式联立两个方程即可求得结果. （2）根据题干中的条件先求出，再用分组求和即可求得结果. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由， 得，∵是由正数组成的等比数列，则，， 则，解得或（舍），又，所以， 解得，所以 【小问2详解】 ， 所以 16. 已知函数（是自然对数的底数） （1）求函数在上的单调增区间； （2）若为的导函数，函数，求在上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求导再令导函数大于等于0，解出即可； （2）求出，再分析其单调性即可得到最值. 【小问1详解】 由已知， 令，结合，解得，所以的单调递增区间， 【小问2详解】 由题可知， 因为，所以，令，解得， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，，. （1）证明：； （2）若，，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：设BC中点为E，连接BD，DE，PE， 底面ABCD为菱形，且， 为等边三角形，故， ，， 又，，平面PDE， 平面PDE， 又平面PDE ，又， ； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判断定理可证平面PDE，继而得到，又即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间面面角的向量表达式进行计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过P作于点F， 由（1）得平面PDE，， 又，DE，平面BCD， 平面BCD， 由，，得，， 又，， ， ，以DA，DE分别为x轴，y轴，过D作z轴， 建立如图空间直角坐标系， 故，， ，，，… 设平面APD的一个法向量， 则，即，令， 则， 设平面CPD的一个法向量为 则，即， 令,则 则， 所以二面角的正弦值为. 18. 有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． （1），，，如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出入员数目的分布列和数学期望； （2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由． 【答案】（1）①； ② X 1 2 3 P 数学期望为； （2）先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小，理由： 若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为，，， 其中，，是，，的一个排列， 结合（1）②知， 由，得要使最小，前两人应从A和B中选，C最后派出， 若先派A，再派B，最后派C，则； 若先派B，再派A，最后派C，则， 而，所以先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 【解析】 【分析】（1）①根据独立性事件乘法公式即可得到答案； ②可取1，2，3，再分别计算出其对应概率，再利用数学期望公式即可得到答案； （2）首先分析出前两人应从A和B中选，C最后派出，再分类讨论作差比较两种方案即可. 【小问1详解】 ①设按照A、B、C的顺序先后进入，任务被完成为事件， 则 . ②可取1，2，3， ，， ， 所以其分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出期望表达式，再分析C最后派出，最后分类讨论并比较大小即可. 19. 已知双曲线的离心率为，且经过点． （1）求的方程； （2）过曲线上任意一点作曲线的切线，设与的两条渐近线分别交于点，，试讨论的面积是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由； （3）将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记上的所有格点为，，，…，且，证明：为定值． 【答案】（1） （2）是定值，定值为； （3） 在方程中，令，得，令，得，则． 因为， 所以，得是C上的一个格点， ，得是C上的一个格点． 按这种构造方式，由可以得到一系列格点． 下面证明C上的任意一个格点都满足该式： 任取两个由上述方式得到的相邻格点和， 假设在点和之间存在另外的格点，即存在，，满足． 因为是C上的格点，所以， 所以， 得， 设，，则． 由点，在C上，可得，，且， 所以，，再由，，，，得，， 故也是C上的格点． 另一方面，因为，，所以， 即，所以． 而，即． 显然，C上不存在格点满足该式，矛盾，假设不成立， 故C上的所有格点都满足． 由，，得． 所以 所以，为定值． 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式并代入得到方程组，解出即可； （2）首先讨论直线斜率不存在的情况，再采用设线法并联立双曲线得到判别式等于0，计算出坐标，最后利用三角形面积公式即可得到答案； （3）利用赋值法得和是C上的一个格点，从而总结出规律最后证明一般性即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以C的方程为． 【小问2详解】 ①当直线经过双曲线的顶点时直线的斜率不存在，此时直线方程为， 渐进性方程为，当时，，两渐近线夹角为， 则此时，点到直线的距离为1，所以此时； ②当直线的斜率存在时，设直线为， 由得， 因为直线与双曲线相切，所以且， 整理得且， 由得，则， 同理得到， 所以 ，， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法并联立双曲线方程得到判别式等于0，再计算出坐标，最后计算面积即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “兴酣落笔摇五岳，意气风发凌九霄” 2024—2025学年下学期高三年级 第一次模拟考试数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写；字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{高，考，必，胜}，{吉，大，必，胜}，则（ ） A. {吉，大，高，考} B. {必，胜} C. {金，榜，题，名} D. {吉，大，高，考，必，胜} 2. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 3. 展开式中第3项的系数是（ ） A. 90 B. -90 C. -270 D. 270 4. 已知，则的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 某人通过手机记录锻炼情况，得到11月份每天的锻炼时间（单位：如下表： 锻炼时间 小于0.5 不小于2 天数 2 6 10 8 4 据表中数据，下列结论一定正确的是（ ） A. 30天锻炼时间的中位数不超过 B. 30天锻炼时间的平均数不低于 C. 30天锻炼时间的极差不超过 D. 30天锻炼时间的众数不低于 6. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于对称 D. 关于原点中心对称 7. 已知函数的极大值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 记函数的图象为曲线段，直线与交于两点，直线与交于两点．若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（ ） A. 三棱锥 B. 三棱锥 C. 三棱锥 D. 三棱锥 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线l的斜率为 B. C. （O为坐标原点） D. 当取最小值时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，则的最大值为______． 13. 已知，是函数，的两个零点，则________． 14. 为激励高三学子的学习热情， 数学老师开发了一款小游戏程序， 同学们表现优秀时可参与一次. 游戏规则如下: 第一步， 在图①所示的棋盘内， 学生点击摇奖， 程序会随机放上 7 枚黑棋; 第二步， 学生自行选择空格放上 2 枚白棋; 最终， 每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时， 称为连成一条线. 若未连成线， 则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏. 小明点击摇奖后， 出现了图③的情况， 若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是_____；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的条件下，她获一等奖的概率是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是由正数组成的等比数列，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 16. 已知函数（是自然对数的底数） （1）求函数在上的单调增区间； （2）若为的导函数，函数，求在上的最大值． 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，，. （1）证明：； （2）若，，求二面角的正弦值. 18. 有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． （1），，，如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出入员数目的分布列和数学期望； （2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由． 19. 已知双曲线的离心率为，且经过点． （1）求的方程； （2）过曲线上任意一点作曲线的切线，设与的两条渐近线分别交于点，，试讨论的面积是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由； （3）将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记上的所有格点为，，，…，且，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $