热点02 方程与不等式（组）（15大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

热点02 方程与不等式（组） 中考数学中方程与不等式（组）部分主要考向分为五类： 一、一元一次方程和二元一次方程组（每年2~4道，8~14分） 二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分） 三、分式方程（每年1~3题，3~12分） 四、一元一次不等式（组）（每年2~4题，8~18分） 五、方程（组）的实际应用（每年1~2题，3~6分） 方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察．其中，一元一次方程与二元一次方程（组）是比较接近的两个考点，出题一般都只有1题，一元一次方程多考察其在实际问题中的应用，多为选择题；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多．一元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题．分式方程的考察内容不多，但基本属于必考考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题．不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到．虽然该热点难度中等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意． 考向一：一元一次方程和二元一次方程组 【题型1 解方程（组）】 1 解方程组时，常使用加减消元法，求解完后，可以带回检验一下； 2 二元一次方程组的解指的是各个方程的公共解，对于已知某方程组的解也同样适用于其他方程的题型，有时可以将方程进行重组成新的方程组。 1．（2024·山东德州·中考真题）解方程组： 【分析】利用加减消元法求出解即可； 此题考查了分式的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （） 得：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴二元一次方程组的解为：． 2．（2024·山东枣庄·一模）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此题的关键．把②代入①，得：，整理后即可得出答案． 【详解】解：， 把②代入①，得：， 即， 故选：C． 3．（2023·山东枣庄·模拟预测）若二元一次方程组的解为，则的值为 ． 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出的值． 把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出的值． 【详解】将代入方程组，得：， ，得：， 则， 故答案为：1． 4．（2023·山东枣庄·模拟预测）先化简，再求值：，其中满足方程组 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解二元一次方程组．先计算括号内的，再计算除法，然后解出方程组，得到x，y的值，再代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解：原式 解方程组得：， 当时，原式． 【题型2 实际应用】 二元一次方程组的实际应用问题，常常与函数相结合求最值，对于这类问题，题干往往比较长，涉及到的信息也比较多，可以采取画图或者列表的方式，重新梳理已知信息，找好等量关系，即可列出方程。 1．（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． (1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． （2）解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 2．（2023·山东日照·中考真题）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．    (1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； (2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为10cm、宽为的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为的木板8个；列关系式求解即可； （3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个， 故制作B种木盒个； ∵有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张， 故使用乙种方式切割的木板材张； 故答案为：，． （2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板， 使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板； 设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个， 制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个； 故 解得：， 故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个， 使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， （3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 故总成本为（元）； ∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元， 即， 解得：， 故的取值范围为； 设利润为，则， 整理得：， ∵，故随的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值为， 则此时B种木盒的销售单价定为（元）， 即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元． 3．（2023·山东聊城·中考真题）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表： 票的种类 A B C 购票人数/人 1~50 51~100 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元． (1)求两个旅游团各有多少人？ (2)一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？ 【分析】（1）设甲团人数有x人，乙团人数有y人，根据“甲、乙两个旅游团共102人，把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”列方程组求解即可； （2）设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，根据“人数不足50人，购买B种门票比购买A种门票节省”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲团人数有x人，乙团人数有y人， 由题意得：， 解得：， 答：甲团人数有58人，乙团人数有44人； （2）解：设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省， 由题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省． 4．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 考向二：一元二次方程 【题型3 解一元二次方程】 解一元二次方程时，常用的方法：①配方法：通过将常数项移项到等号的右边以及二次项系数化1，将方程整理成的形式，从而两边同时加，将方程整理成的形式，结合平方根的定义，即可求解；②公式法：；③配方法. 1．（2023·山东潍坊·中考真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键  ，显示结果为  ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为 ．（精确到） 【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得． 【详解】解：一元二次方程中的， 则， 所以这个方程的正数解近似表示为， 故答案为：． 2．（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定，的符号确定点所在象限解题即可． 【详解】解： 或 ，； ， 解得：； ∴当，时，，，点在第一象限； 当，时，，，点在第二象限； 3．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 4．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【题型4 一元二次方程根的判别式】 1 当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根。 2 若已知一元二次方程有实数根，则。 3 若已知方程有两个实数根，则可以确定且； 注意：只有确定了所给方程是一元二次方程时，才能使用根的判别式来判断方程根的个数；若无法确定，则需要讨论方程的类型。 1．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 2．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键． 根据一元二次方程有实数根的条件是，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得． 故选B． 3．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 5．（2023·山东滨州·中考真题）一元二次方程根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6．（2023·山东·中考真题）关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【题型5 一元二次方程根与系数的关系】 1 对于型，需要通分成进行求解；②；③ 1．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 2．（2023·山东·中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， ∴ ． 故选C． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 4．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 【题型6 一元二次方程的实际应用】 1 面积问题：注意未知数的取值范围，结合范围对方程的解进行取舍； 2 增长率问题：若基数为a，增长率为x，则增长n次，可得。在做增长率问题时，一定要注意区分所给数据是增长了n次后的数值，还是增长了n次后所有数值的和。 3 利润问题：利润=总收入-总支出=数量×（售价-成本）。 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，则长方形花坛的长为，宽为， 由题意得，， 同理得， 解得或（舍去）， ∴小路的宽为， 故答案为：． 2．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 3．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 考向三：分式方程 【题型7 含参问题——有解、无解】 1 若已知分式方程有增根，则表示化成的整式方程有解，但是该解会使得原分式方程的分母为零； ②分式方程的无解问题包括两种情况，一是化成整式方程后，整式方程无解，也就是整理成了非零（若0则方程有无数个解）；二是整式方程有解，但是该解是增根。 1．（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 2．（2023·山东烟台·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C．8 D．或8 【分析】本题考查了增根的概念， 先去分母，再利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故选：． 3．（2023·山东枣庄·三模）已知关于的分式方程有增根，则 ． 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解产生增根的原因是解题的关键．解出方程的解，根据方程有增根，得到关于的方程，求出即可． 【详解】解：方程两边乘得：， ， 方程有增根， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（2024·山东菏泽·三模）若关于的分式方程无解，则 ． 【分析】此题主要考查分式方程无解的情况求解，解题的关键是熟知解分式方程的方法．先把分式方程化为整式方程，再根据方程无解分情况讨论即可求解． 【详解】解： 当时，即时，原分式方程无解； 当时， ∵原分式方程无解 ∴ 解得 综上，或 故答案为：1或2． 5．（2024·山东东营·二模）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【分析】此题考查了分式方程的无解问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值． 【详解】解：∵， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴， 解得：， 把代入，则 ， 解得：； 故答案为：． 【题型8 含参问题——特殊解】 当给出分式方程的解的范围时，首先应该用字母将分式方程的解表示出来，然后结合题意，列出关于字母的不等式，此时应该注意，还应该限制该解不是增根。 1．（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围． 【详解】解： ∵方程的解为正数，且分母不等于0 ∴， ∴，且 故选：D． 2．（2023·山东聊城·中考真题）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围． 【详解】解：方程两边都乘以，得：， 解得：， ∵，即：， ∴， 又∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴， ∴的取值范围是且， 故选：A． 【题型9 分式方程的实际应用】 1．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少，列出方程即可． 【详解】解：设该市去年居民用水价格为，则今年居民用水价格为，根据题意得： ． 故答案为：． 2．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可． 【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时， 则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时 整理得 解得 经检验：是原分式方程的解． 答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时. 3．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人． 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 345．（2023·山东东营·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（        ） A．B．C． D． 【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程． 【详解】设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为千克，根据题意，得 故选：A 5．（2023·山东烟台·中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． (1)求两种图书的单价分别为多少元？ (2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解； （2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可． 【详解】（1）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； （2）解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本， 依题意得，， 解得， 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元）， 依题意得，， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，有最小值，此时（元）， （本） 答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元． 考向四：一元一次不等式（组） 【题型10 解不等式（组）】 1 解不等式时，在去分母和系数化1这两步，需要特别注意，如果不等号两边同时乘或除的数是负数，不等号的方向需要改变； 2 在解不等式组时，结合数轴进行求解，注意取不到的数在数轴上用空心圆表示，可以取得到的数在数轴上用实心圆表示。 1．（2023·山东·中考真题）解不等式组：． 【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可． 【详解】解：解得：， 解得：， ∴不等式组的解集为． 2．（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3 3．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 4．（2023·山东·中考真题）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（　　） A．   B．   C．   D．   【分析】分别求出两个不等式的解集，然后根据在数轴上表示解集的方法判断即可． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式①②的解集在同一条数轴上表示为：    故选：B． 【题型11 不等式（组）中的含参问题——有解、无解】 1．（2024·山东烟台·中考真题）关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）． 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 2．（2024·山东·模拟预测）若关于x的不等式组的解集为空集，写一个符合该约束条件的m的值： ． 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，分别解出不等式的解集，再根据不等式组的解集为空集，建立关于m的不等式求解，即可解题． 【详解】解：， 解①得：， 解得， 解②得：， 解得， 关于x的不等式组的解集为空集， ， 解得， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024·山东日照·二模）关于的不等式组有解，同时关于的方程有正数解，则所有满足条件的整数的和是 ． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、分式方程的解等知识，理解分式方程有整数解的条件与解一元一次不等式组的方法是解题的关键．先分别求出不等式组的解和分式方程有正数解的的范围，再确定所有满足条件的整数，即可获得答案． 【详解】解：解不等式组， 可得， ∵该不等式组有解， ∴ ∴， 解分式方程， 可得， ∵该方程有正数解， ∴且， 解得且， ∴且， ∴所有满足条件的整数包括，0，2， ∴所有满足条件的整数的和为． 故答案为：1． 【题型12 不等式（组）中的含参问题——已知解集】 1．（2023·山东聊城·中考真题）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴． 故答案为：． 2．（2023·山东济宁·一模）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】先通过分式方程求出的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到的有限个整数解． 【详解】由分式方程的解为正数可得： 解得：， 由题意得：且， ∴且， 由得：， 由得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， 综上可知的整数解有：，，，， 故选：C． 3．（2024·山东德州·二模）若关于x的一元一次不等式组  的解集为 且关于y的分式方程   有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 . 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，先解不等式组，根据不等式组的解集确定a的范围，再解分式方程求出y的值，然后根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ， 去分母得，， 解得：， ∵分式方程有非负整数解， ∴，且， ∴且， 综上所述：且， ∴符合条件的所有整数a的值为：， ∴符合条件的所有整数a的值的和为：， 故答案为：3． 【题型13 不等式（组）中的含参问题——整数解】 1．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2 C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答． 【详解】解： 由①得， 由②得， 因不等式组有3个整数解 故选：D． 2．（2025·山东·一模）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是 ． 【分析】本题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可． 【详解】解：分式方程去分母得：，即， 分解因式得：， 解得：或， 经检验是增根， ∴分式方程的解为， 当时，由只有4个整数解，得到． 故答案为：． 3．（2024·山东威海·一模）已知实数k满足以下条件： ①关于x的一元二次方程有实数根； ②的解集为． 则满足以上所有条件的整数k的和为 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，解一元一次不等式组；根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义可得且，根据一元一次不等式组的解集得出，进而求得的范围，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根； ∴，且 解得：且 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组的解集为： ∴ 解得： ∴且 ∴足以上所有条件的整数k的和为 故答案为：． 4．（2024·山东济南·模拟预测）关于x的不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围． 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，熟练掌握：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，即可解答． 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∵恰有3个整数解， ∴， ∴． 【题型14 不等式（组）的实际应用】 1．（2023·山东淄博·中考真题）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表： 购票人数（人） 每人门票价（元） 60 50 40 *题中的团队人数均不少于10人 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人． (1)如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？ (2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？ 【分析】（1）设甲团队有人，则乙团队有人，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设甲团队有人，则乙团队有人，依题意得，，计算求解即可． 【详解】（1）解：设甲团队有人，则乙团队有人， 依题意得，， 解得，， ∴（人）， ∴甲团队有48人，乙团队有54人； （2）解：设甲团队有人，则乙团队有人， 依题意得，， 解得，， ∴甲团队最少18人． 2．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解 【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得： , 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元； （2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得： ，解得， ∵须为非负整数， ∴可取，，， ∴共有三种方案： 方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）， ∵ ∴方案三总费用最少． 考向五：方程（组）的实际应用 【题型15 实际应用——传统文化】 1．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了由实际问题列方程组、勾股定理，设门的高和宽分别是尺和尺，根据“已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈”结合勾股定理列出方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设门的高和宽分别是尺和尺， 由题意得：， 故选：D． 2．（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺，不变的是井深，据此即可得方程组．正确理解题意，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：设绳长x尺，井深y尺， 依题意，得：． 故选：C． 3．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【详解】解：根据，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D 4．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 【详解】解：由题意得 故选A． 5．（2023·山东·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ． 【分析】设有人，物品价值为元，根据等量关系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设有人，物品价值为元， 由题意得：． 故答案为：． 6．（2018·广东广州·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两 由题意得： 故选D． 7．（2023·山东日照·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】设人数为x，根据每人出9钱，会多出11钱，可得鸡的价格为钱，根据每人出6钱，又差16钱，可得鸡的价格为钱，由此列出方程即可． 【详解】解：设人数为x， 由题意得，， 故选D． （建议用时：15分钟） 1．（2024·山东·二模）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为人， 依题意得： 故选：B． 2．（2024·山东·二模）若关于x的分式方程无解，则（　　） A． B．0 C．1 D． 【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程无解问题，通过分析确定该分式方程的增根为是解题关键． 解分式方程，可得，根据题意可知分式方程的增根为，即有，求解即可获得答案． 【详解】解：， 去分母，得， 合并同类项、系数化为1，得， 由题意可知，分式方程的增根为， 即有，解得． 故选：A． 3．（2024·山东·二模）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得 ， 故选：D． 4．（2024·山东·二模）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． 且 B． 且 C． D． 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程根的判别式．熟练掌握解一元一次方程，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 分是一元一次方程，一元二次方程两种情况求解作答即可． 【详解】解：当时，， 解得，； 当时，关于x的方程有实数根， ∴， 解得，， ∴且； 综上所述，关于x的方程有实数根，则k的取值范围是， 故选：D． 5．（2023·山东枣庄·二模）已知关于x的方程解是正数，那么m的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 【分析】先求得分式方程的解（含m的式子），然后根据解是正数可知，从而可求得，然后根据分式的分母不为0，可知，即，由此即可求解． 【详解】解：将分式方程转化为整式方程得：， 解得：． ∵方程的解为正数，所以，解得：． ∵分式的分母不能为0， ∴， ∴，即． ∴． 故且． 故选：C． 6．（2024·山东济宁·二模）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 解分式方程得，由分式方程有增根，可得，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵分式方程有增根， ∴， 解得，， 故选：C． 7．（2024·山东·二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【分析】由一元二次方程没有实数根得到判别式列不等式即可求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，且， ∴，即， 故答案为：． 8．（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 9．（2024·山东·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【分析】由一元二次方程的定义，，有实数根，则，建立不等式求解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且 10．（2023·山东·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ． 【分析】设有人，物品价值为元，根据等量关系“每人出8元，多3元”和“每人出7元，少4元”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设有人，物品价值为元， 由题意得：． 故答案为：． 11．（2024·山东·二模）设m，n是一元二次方程的两个根，则 ． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，再由，进行求解即可．对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵设m，n是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2024·山东济宁·二模）定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：不等式组的解集为，不等式的解为， ∵在的范围内， ∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，则k的取值范围是 ． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的知识，先解出不等式组的解集，再根据题干“子集”的定义，得出关于k的不等式，问题随之得解． 【详解】解：解不等式组得，． 又关于x的不等式的解集为：， ∵关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”， ∴． ∴． 故答案为：． 13．（2024·山东·二模）分式方程的解为 ． 【分析】去分母，化分式方程为一元二次方程，求解方程并验根即可. 【详解】解：去分母，得， 整理，得， ， 当时，， 所以是原方程的解； 当时，， 所以不是原方程的解． 故答案为：． 14．（2024·山东临沂·三模）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 【分析】本题考查配方法、代数式求值，根据题意得，即，进而可得，即，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程经过配方，变形为的形式， ∴， ∴， ∴，配方得，， ∴， ∴， 故答案为：48． 15．（2024·山东·二模）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出它的所有整数解． 【详解】 由①得：得 由②得：得， 所以不等式组的解集是：， 则不等式组的整数解是：． 16．（2024·山东济南·二模）为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个． (1)求足球和篮球的单价分别是多少元？ (2)为满足学生需求，学校准备再次购买足球和篮球共20个，但要求总费用不超过1350元，最多能购买篮球多少个？ 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用； （1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据“篮球的单价是足球的单价的倍，购买足球共花费元，购买篮球共花费元，购买足球的数量比购买篮球的数量多个”，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买蓝球个，则购买足球个，根据总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元， 由题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则（元）； 答：足球的单价是元，篮球的单价是元； （2）角：设可以购买个篮球，则可以购买个足球， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大整数解为． 答：最多能购买篮球个． 17．（2024·山东青岛·二模）为参加“六一”学生节义卖，某班计划购进可题字的扇面和动漫人偶进行销售，他们用700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，一个扇面的进价比一个人偶的进价多1元．两种货物的售价均为15元/个． (1)求一个扇面和一个人偶的进价分别是多少元？ (2)该班计划购进这两种货物共200个，其中购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．进货时，若一次性购进扇面超过80个，则扇面超过的部分可按进价打7折．该班应购进扇面和人偶玩具各多少个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式． （1）设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元，根据700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设应购买扇面个，则购进人偶个，根据购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．列出一元一次不等式组，解得，再设两种货品全部售出后所获利润为元，由题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个扇面的进价为元个，则一个人偶的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一个扇面进价是10元，一个人偶进价是9元； （2）解：设应购买扇面个，则购进人偶个， 由题意得：， 解得：， 设两种货品全部售出后所获利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值， 此时，， 答：应购买扇面150个，人偶50个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大，最大利润是1260元． 18．（2024·山东潍坊·二模）已知，是关于x的一元二次方程的两根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，，再根据已知条件解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得 （2）由根与系数的关系，得， ∵ 即 ，得 解得 将代入①，得 ∴原方程组得解为 ∵ ∴． 19．（2023·山东日照·模拟预测）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变） 销售数量（辆） 销售额（万元） A款 一月份  30 二月份  10 B款 10 30 350 330 (1)求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？ (2)若A款汽车每辆进价为万元，B款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于129万元且不少于123万元的资金购进这两款汽车共20辆，有哪几种进货方案？ (3)为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，请确定a的取值，并说明理由． 【分析】（1）设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，利用销售金额销售单价销售数量，结合一、二月份的销售数量及销售金额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不多于129万元且不少于123万元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各进货方案； （3）根据各种方案利润相同，列出关于a的方程，然后解方程，得出a的值，再进行验证即可． 【详解】（1）解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元， 依题意得：， 解得：， 答：每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元． （2）解：设购进辆款汽车，则购进辆款汽车， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为7，8，9， 该公司共有3种进货方案， 方案1：购进7辆款汽车，13辆款汽车； 方案2：购进8辆款汽车，12辆款汽车； 方案3：购进9辆款汽车，11辆款汽车． （3）解：；理由如下： 根据题意得：， 解得：， ∵当时，每辆B款汽车获利为：（万元）， 又∵每辆A款汽车获利为：（万元）， ∴当时，两款汽车每辆获利相同， ∴每种方案获利多少与汽车总辆数有关，而与两种汽车各自的辆数无关， ∴三种方案获利相同． 2 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点02 方程与不等式（组） 中考数学中方程与不等式（组）部分主要考向分为五类： 一、一元一次方程和二元一次方程组（每年2~4道，8~14分） 二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分） 三、分式方程（每年1~3题，3~12分） 四、一元一次不等式（组）（每年2~4题，8~18分） 五、方程（组）的实际应用（每年1~2题，3~6分） 方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察．其中，一元一次方程与二元一次方程（组）是比较接近的两个考点，出题一般都只有1题，一元一次方程多考察其在实际问题中的应用，多为选择题；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多．一元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题．分式方程的考察内容不多，但基本属于必考考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题．不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到．虽然该热点难度中等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意． 考向一：一元一次方程和二元一次方程组 【题型1 解方程（组）】 1 解方程组时，常使用加减消元法，求解完后，可以带回检验一下； 2 二元一次方程组的解指的是各个方程的公共解，对于已知某方程组的解也同样适用于其他方程的题型，有时可以将方程进行重组成新的方程组。 1．（2024·山东德州·中考真题）解方程组： 2．（2024·山东枣庄·一模）已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·山东枣庄·模拟预测）若二元一次方程组的解为，则的值为 ． 4．（2023·山东枣庄·模拟预测）先化简，再求值：，其中满足方程组 【题型2 实际应用】 二元一次方程组的实际应用问题，常常与函数相结合求最值，对于这类问题，题干往往比较长，涉及到的信息也比较多，可以采取画图或者列表的方式，重新梳理已知信息，找好等量关系，即可列出方程。 1．（2024·山东济南·中考真题）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． (1)求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ (2)若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 2．（2023·山东日照·中考真题）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．    (1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； (2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 3．（2023·山东聊城·中考真题）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表： 票的种类 A B C 购票人数/人 1~50 51~100 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元． (1)求两个旅游团各有多少人？ (2)一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？ 4．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 考向二：一元二次方程 【题型3 解一元二次方程】 解一元二次方程时，常用的方法：①配方法：通过将常数项移项到等号的右边以及二次项系数化1，将方程整理成的形式，从而两边同时加，将方程整理成的形式，结合平方根的定义，即可求解；②公式法：；③配方法. 1．（2023·山东潍坊·中考真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键  ，显示结果为  ．借助显示结果，可以将一元二次方程的正数解近似表示为 ．（精确到） 2．（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件： （1）； （2）． 试判断点所在的象限． 3．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 4．（2022·山东东营·中考真题）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【题型4 一元二次方程根的判别式】 1 当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根。 2 若已知一元二次方程有实数根，则。 3 若已知方程有两个实数根，则可以确定且； 注意：只有确定了所给方程是一元二次方程时，才能使用根的判别式来判断方程根的个数；若无法确定，则需要讨论方程的类型。 1．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·中考真题）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 4．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（2023·山东滨州·中考真题）一元二次方程根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 6．（2023·山东·中考真题）关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【题型5 一元二次方程根与系数的关系】 1 对于型，需要通分成进行求解；②；③ 1．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（2023·山东·中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 4．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【题型6 一元二次方程的实际应用】 1 面积问题：注意未知数的取值范围，结合范围对方程的解进行取舍； 2 增长率问题：若基数为a，增长率为x，则增长n次，可得。在做增长率问题时，一定要注意区分所给数据是增长了n次后的数值，还是增长了n次后所有数值的和。 3 利润问题：利润=总收入-总支出=数量×（售价-成本）。 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 ．    2．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 3．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 考向三：分式方程 【题型7 含参问题——有解、无解】 1 若已知分式方程有增根，则表示化成的整式方程有解，但是该解会使得原分式方程的分母为零； ②分式方程的无解问题包括两种情况，一是化成整式方程后，整式方程无解，也就是整理成了非零（若0则方程有无数个解）；二是整式方程有解，但是该解是增根。 1．（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（2023·山东烟台·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C．8 D．或8 3．（2023·山东枣庄·三模）已知关于的分式方程有增根，则 ． 4．（2024·山东菏泽·三模）若关于的分式方程无解，则 ． 5．（2024·山东东营·二模）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【题型8 含参问题——特殊解】 当给出分式方程的解的范围时，首先应该用字母将分式方程的解表示出来，然后结合题意，列出关于字母的不等式，此时应该注意，还应该限制该解不是增根。 1．（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2023·山东聊城·中考真题）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型9 分式方程的实际应用】 1．（2024·山东东营·中考真题）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ． 2．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量． 3．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 345．（2023·山东东营·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（        ） A．B．C． D． 5．（2023·山东烟台·中考真题）中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． (1)求两种图书的单价分别为多少元？ (2)为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 考向四：一元一次不等式（组） 【题型10 解不等式（组）】 1 解不等式时，在去分母和系数化1这两步，需要特别注意，如果不等号两边同时乘或除的数是负数，不等号的方向需要改变； 2 在解不等式组时，结合数轴进行求解，注意取不到的数在数轴上用空心圆表示，可以取得到的数在数轴上用实心圆表示。 1．（2023·山东·中考真题）解不等式组：． 2．（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 3．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 4．（2023·山东·中考真题）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（　　） A．   B．   C．   D．   【题型11 不等式（组）中的含参问题——有解、无解】 1．（2024·山东烟台·中考真题）关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）． 2．（2024·山东·模拟预测）若关于x的不等式组的解集为空集，写一个符合该约束条件的m的值： ． 3．（2024·山东日照·二模）关于的不等式组有解，同时关于的方程有正数解，则所有满足条件的整数的和是 ． 【题型12 不等式（组）中的含参问题——已知解集】 1．（2023·山东聊城·中考真题）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 2．（2023·山东济宁·一模）关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2024·山东德州·二模）若关于x的一元一次不等式组  的解集为 且关于y的分式方程   有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 . 【题型13 不等式（组）中的含参问题——整数解】 1．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A．－4≤a＜－2 B．－3＜a≤－2 C．－3≤a≤－2 D．－3≤a＜－2 2．（2025·山东·一模）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是 ． 3．（2024·山东威海·一模）已知实数k满足以下条件： ①关于x的一元二次方程有实数根； ②的解集为． 则满足以上所有条件的整数k的和为 ． 4．（2024·山东济南·模拟预测）关于x的不等式组恰有3个整数解，求a的取值范围． 【题型14 不等式（组）的实际应用】 1．（2023·山东淄博·中考真题）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表： 购票人数（人） 每人门票价（元） 60 50 40 *题中的团队人数均不少于10人 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人． (1)如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？ (2)如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？ 2．（2023·山东·中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 考向五：方程（组）的实际应用 【题型15 实际应用——传统文化】 1．（2024·山东淄博·中考真题）《九章算术》中提到：今有户高多于广六尺八寸．两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈尺，1尺寸）若设门的高和宽分别是尺和尺．则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东威海·中考真题）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 4．（2024·山东日照·中考真题）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 5．（2023·山东·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ． 6．（2018·广东广州·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A． B． C． D． 7．（2023·山东日照·中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． （建议用时：15分钟） 1．（2024·山东·二模）数学家裴波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东·二模）若关于x的分式方程无解，则（　　） A． B．0 C．1 D． 3．（2024·山东·二模）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东·二模）若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． 且 B． 且 C． D． 5．（2023·山东枣庄·二模）已知关于x的方程解是正数，那么m的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 6．（2024·山东济宁·二模）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·山东·二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 8．（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 9．（2024·山东·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 10．（2023·山东·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ． 11．（2024·山东·二模）设m，n是一元二次方程的两个根，则 ． 12．（2024·山东济宁·二模）定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：不等式组的解集为，不等式的解为， ∵在的范围内， ∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，则k的取值范围是 ． 13．（2024·山东·二模）分式方程的解为 ． 14．（2024·山东临沂·三模）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则的值为 15．（2024·山东·二模）解不等式组，并写出它的所有整数解． 16．（2024·山东济南·二模）为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个． (1)求足球和篮球的单价分别是多少元？ (2)为满足学生需求，学校准备再次购买足球和篮球共20个，但要求总费用不超过1350元，最多能购买篮球多少个？ 17．（2024·山东青岛·二模）为参加“六一”学生节义卖，某班计划购进可题字的扇面和动漫人偶进行销售，他们用700元购买扇面的个数是315元购买人偶个数的2倍，一个扇面的进价比一个人偶的进价多1元．两种货物的售价均为15元/个． (1)求一个扇面和一个人偶的进价分别是多少元？ (2)该班计划购进这两种货物共200个，其中购进扇面的数量不少于人偶数量的，且不超过150个．进货时，若一次性购进扇面超过80个，则扇面超过的部分可按进价打7折．该班应购进扇面和人偶玩具各多少个，才能在两种货品全部售出后所获利润最大？最大利润是多少元？ 18．（2024·山东潍坊·二模）已知，是关于x的一元二次方程的两根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 19．（2023·山东日照·模拟预测）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变） 销售数量（辆） 销售额（万元） A款 一月份  30 二月份  10 B款 10 30 350 330 (1)求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？ (2)若A款汽车每辆进价为万元，B款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于129万元且不少于123万元的资金购进这两款汽车共20辆，有哪几种进货方案？ (3)为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，请确定a的取值，并说明理由． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$