热点03 一次函数与反比例函数（12大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

热点03 一次函数与反比例函数 中考数学中《一次函数与反比例函数》在广东地区主要考向分为五类： 一、一次函数图象与性质（每年1~2道，3~6分） 二、一次函数的应用（每年1~2道，3~6分） 三、反比例函数的性质（每年1~2题，3~76分） 四、反比例函数的应用（每年1~2题，3~6分） 五、一次函数与反比例函数的结合（每年1~2题，3~12分） 一次函数、反比例函数的综合题是广东中考命题热点。选择、填空题和解答题皆可出现。常见两种题型的考察方式：一是根据函数值的大小，求自变量的取值范围，一般先找交点，再分区域，根据函数图象上方的值总比下方的值大，在各区域内找相应的x的取值范围；二是求几何图形面积，要充分利用“数形结合”的思想，使“坐标”与“线段”互相转化，从而解决问题。但是在最近几年这部分考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。 考向一：函数的图象 【题型01 动点与函数图象问题】 函数图象与动点问题，从函数图象中看出增减性，找到关键点和关键的数据； 1．（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（    ）   A．  B．  C．D．   【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，可知y随的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴选项C图象适合表示y与x的对应关系． 故选：C． 2．（2025·广东深圳·一模）如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（   ） A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【知识点】解直角三角形的相关计算、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形的相关计算，正确读取图中的信息是解题的关键．先得出当时，则，，再解读当时，且与的差为，且此时停止运动了，说明点P与点C重合，则，运用，得，设故，分别算出在点M时，以及在点N时的时间，再计算它们的差值，即可作答． 【详解】解：∵过点作，垂足为， ∴， 当时，则， ∴此时， 由图2得时，， ∵与的差为， ∴， ∴， 当时，且与的差为，此时停止运动了，说明点P与点C重合， ∵， ∴说明点P与点Q重合， 则， 即， 则， 由图2得，在点M时，则， 即， 在中，， 设 则， 故， ∴， 解得， ∴， ∵一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动， ∴（秒）， 由图2得，在点N时，则， 即， 此时点P是的中点， ∴， 则（秒）， ∴（秒）， 故选：C． 3．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∵点是中点， ∴，， 当时，点在上，点在上，， ∴； 如图，当时，点在上，点在上， ∵， ∴，，， ∴ ； 如图，当时，点都在上， ∴， 综上判断选项的图象符合题意， 故选：． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理． 根据图象可得，当点P在上，点Q在上运动时，过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离．通过“”证明，得到，从而当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时，根据勾股定理求出的长，即可得到，从而解答． 【详解】解：由图可知，当点P从点O向点A，点Q从点O向点C运动时，间距离y逐渐增大， 当点P运动到点A，点Q运动到点C时，由图象可知， ∴， ∵四边形四边形是平行四边形， ∴， 此时它们运动了， 当点P在上，点Q在上运动时， 过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离 ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P，Q的运动速度相同， ∴当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时， 根据图象可知点P从点A运动至点E，需要， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：B 5．（2024·广东深圳·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了求二次函数解析式．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故选：B． 6．（2024·广东珠海·三模）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（    ） A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点的函数图象，从图象中有效的获取信息，是解题的关键；由函数图象得，当时，点到达点，点到达点，进而得到当时，点在上运动，，判断B，求出的长，勾股定理求出的长，判断A，过点作于点，证明，求出，判断C，求出时，的长，判断D即可． 【详解】解：由函数图象得，当时，点到达点，点到达点， 当时，点在上运动，， 当时，点到达点，故选项B正确； ∵，时，， 解得， ∴，故选项正确； 当时，点在线段上，则， 过点作于点，则：， ∴， ∴， ， ∴， ，故选项错误； ， 当时，点在线段上，此时，， ，故选项D正确． 故选：C． 7．（2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（    ） 点的运动速度为； 点的坐标为； 线段段的函数解析式为； 曲线段的函数解析式为； 若的面积是四边形的面积的，则时间． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、图形运动问题(实际问题与二次函数)、动点问题的函数图象、公式法解一元二次方程 【分析】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式，结合函数图象得出当秒时，，此时的面积为，进而求出为即可得出点的速度，进而求出的长即可，进而判断，当点在上时，如图，于点，根据三角形的面积公式可表达此时的，进而判断；过点作于点，画出图形可得出，，，则，求出即可面积可判断；首先得出的面积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由题意可得出：当时间为秒时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒， 当时间为秒时，，此时的面积为， ∴为， ∴点的运动速度为：，故正确； 当运动到秒时，函数关系式改变，则， 过作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， 由，则， ∴， ∴，故错误； 当点在上时，如图，于点， ∴，故正确； 如图，，，过点作于点， 由得， 则， ∴， 即曲线段的函数解析式为：，故正确； ∵， ∴， 当 时，，时，或（舍去）， 当 时，，解得或 （舍去）， ∴或，的面积是四边形的面积的，故错误， 综上可知， 故选：． 【题型02 画函数图象及根据函数图象得出结论】 函数图象、用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值、求自变量的取值范围 1．（2024·广东惠州·三模）综合探究 请根据学习函数的经验，将下列探究函数的图象与性质的过程补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是__________． (2)下表列出了与的几组对应值，请写出其中的值__________，__________； 0 2 3 4 2 1 (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)根据图象直接写出时的取值范围：__________． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 (4)或 【知识点】判断（画）反比例函数图象、用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，函数自变量的取值范围．数形结合是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）将，分别代入，计算求解即可； （3）先描点，然后连线作图象即可； （4）数形结合求的解集即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， 故答案为：； （2）解：将代入得，， 将代入得，， 解得，， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：，； （3）解：作图象如下； （4）解：由图象可知，的解集为或， 故答案为：或． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．下表是函数的部分信息：    请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： (1)求 ______， ______， ______，并补全函数图象； (2)在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______； (3)已知关于的方程无实数解，根据函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，，，图象见解析 (2)图象关于轴对称 (3)或 【知识点】用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查函数的图象和性质，函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质、解一元一次不等式是解题的关键． （1）将，2，，别分别代入解析式即可得a、b、c的值然后补全图象即可； （2）观察图象即可得到； （3）根据图象求得即可． 【详解】（1）分别将，2，，别代入， 求得，，， 补全该函数图象如图，    故答案为：，，． （2）由图象可得，图象关于轴对称． （3）观察图象可知，或， 的取值范围为或． 3．（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … b … （2）描点并连线． （3）观察图象并填空： ① ， ②写出该函数的一条性质： ③图象与x轴围成的三角形面积为 ④当时，直接写出x的取值范围 【答案】（2）见解析；（3）①，；②当时，y随x增大而增大（或）当时，y随x增大而减小（或）当时，y取最小；③16；④或 【知识点】用描点法画函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查画函数图象，利用函数图象分析解决问题，掌握描点画图是解题的关键． （2）根据表格描出各点，然后连接即可得到图象； （3）①把给的任一点的坐标代入求出，然后把代入解题即可； ②观察图象得到性质即可； ④先根据求出自变量x的值，然后借助图象回答即可． 【详解】（2）如图 （3）①把，代入得，解得， ∴当时，， 故答案为：，； ②当时，y随x增大而增大  （或）当时，y随x增大而减小  （或）当时，y取最小 ③令，则，解得，， ∴图象与x轴围成的三角形面积为， 故答案为：16 ； ④令，则，解得，， ∴由图像可知，当时，直接写出x的取值范围或． 考向二：一次函数的图象和性质 【题型03 一次函数的图象】 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 1．（2024·广东广州·一模）关于函数，下列结论成立的是（    ）． A．函数图象经过点 B．随的增大而增大 C．当时， D．函数图象不经过第一象限 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．将代入解析式求出函数值，即可判断A选项；根据一次函数的增减性，即可判断B选项；根据一次函数与坐标轴的交点坐标，即可判断C选项；根据一次函数的系数，即可判断D选项． 【详解】解：A．当时，，即函数图象经过点，原结论错误，不符合题意； B．，即随的增大而减小，原结论错误，不符合题意； C．函数过点，即当时，，原结论正确，符合题意 D．函数图象经过一、二、四象限，原结论错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【知识点】一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换，一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象上点的坐标特征，平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】A、当时，， 一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意； B、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项B错误，不合题意 C、， 随的增大而减小，选项C错误，不符合题意； D、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025·广东广州·一模）若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，首先确定，然后再确定，，进而可得直线的图象经过的象限，从而得答案． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ， ， ∴直线的图象经过第一、二、三象限， 故选：B． 4．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的图象．根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：当，时，直线经过一、二、三象限；则直线经过一、二、三象限；无正确选项； 当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、二、四象限；A选项正确； 当，时，直线经过一、二、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项； 当，时，直线经过一、三、四象限；则直线经过一、三、四象限；无正确选项； 故选：A． 5．（2024·广东清远·二模）如图，一次函数的图像与轴交于点，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，令，即可求解． 【详解】解：，当时，， 即点的坐标是， 故答案为：． 6．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线． (1)直接画出直线； (2)的解析式为______； (3)直线与之间的距离为______个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】画一次函数图象、一次函数图象平移问题、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据平移的性质画出直线； （2）利用平移的规律求得直线的解析式； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】（1）如图， （2）将直线向右平移5个单位长度得到直线为； 故答案为：； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， ∵与x轴交于，与y轴交于， 与x轴交于，与y轴交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与之间的距离为个单位长度， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，正确把握变换规律是解题关键． 【题型04 一次函数的性质】 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 2．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 1．（2024·广东河源·模拟预测）下列各函数中，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性．根据一次函数的时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；二次函数的，在对称轴的左侧，随的增大而减小、在对称轴的右侧，随的增大而增大，，在对称轴的左侧，随的增大而增大、在对称轴的右侧，随的增大而减小；反比例函数的时，随的增大而减小，时，随的增大而增大进行判断即可求解． 【详解】解：A、中，在每一象限内，随的增大而减小，A不符合题意； B、中，随的增大而减小，B不符合题意； C、中，在对称轴的左侧，随的增大而增大、在对称轴的右侧，随的增大而减小，C不符合题意； D、中，随的增大而增大，D符合题意． 故选：D． 2．（2024·广东广州·三模）下列函数中：①；②；③；④，当时，随的增大而增大的有（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数的增减性、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性（单调性），充分运用一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【详解】解：①，y随x的增大而减小，不符合题意； ②，当时，y随x的增大而增大，符合题意； ③，当时，随的增大而增大，符合题意； ④，当时，随的增大而增大，不符合题意，当时，随的增大先减小后增大，不符合题意， 综上所述符合题意的有：②③， 故选：B． 3．（2023·广东广州·模拟预测）若是一次函数图象上的两点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】易求出，即可判断该一次函数y值随x值的增大而增大．再根据，即得出． 【详解】解：∵， ∴一次函数，y值随x值的增大而增大． 又∵， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查比较一次函数值．熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 4．（2024·广东广州·二模）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论： ①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ②无论x取何值，总是负数； ③当时，随着x的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】判断一次函数的增减性、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、证明四边形是正方形 【分析】①先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】①抛物线与抛物线交于点， ， 即， 解得， 抛物线， 抛物线的顶点，抛物线的顶点为， 将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， 即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到， 故①正确； ②， ， ， 无论取何值，总是负数， 故②正确； ③， 将代入抛物线， 解得， ， 将代入抛物线， 解得， ， ，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方， 当，随着的增大，的值减小， 故③不正确； ④设与轴交于点， ， ， 由③可知 ，， ，， 当时，， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识． 5．（2024·广东东莞·三模）已知点，点在直线上，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题考查一次函数的图象上点的坐标特征、比较函数值的大小，熟知一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：， 中，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 6．（2024·广东惠州·一模）已知一次函数，当时，一次函数的最大值是 ． 【答案】5 【知识点】求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当取得最大值，求出此时y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时， 故答案为：5． 7．（2024·广东惠州·模拟预测）如图在函数图象上，的横坐标为1，垂直轴于，垂直函数图象，交轴与，过作轴的垂线与函数图象于点，垂直于函数图象交轴与．以此类推的坐标为 ． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，一次函数的性质，点的坐标规律的探究．利用特殊角的三角函数值求得，再利用直角三角形的性质结合一次函数的性质，求得，，，找到规律求得，据此求解即可． 【详解】解：∵的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴与的横坐标都为4， ∴， ∴， 同理，，， ∴与的横坐标都为16， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型05 一次函数解析式的求法】 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 1．（2024·广东·模拟预测）已知y是关于x的一次函数，点在该一次函数的图象上，且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求一次函数解析式 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，开放性试题，答案不唯一，满足条件即可．设一次函数的表达式为，由随的增大而减小，则，图像经过点，可得的值，综合两者取值即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵图像经过点， ∴， ∵随的增大而减小， ∴， 即取负数，当时，函数解析式为． 故答案为：． 2．（2023·广东河源·三模）函数的图象关于x轴对称的图象的解析式为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式；直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴、y轴轴对称的特点得出答案； 【详解】解：根据题意， 所以． 故所求图象的解析式为． 3．（2024·广东云浮·一模）已知直线l经过点和点，求直线l的解析式． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，把点，代入，再进一步求解可得答案． 【详解】解：设直线的解析式为． 把点，代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 4．（2024·广东韶关·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点．求这个一次函数的解析式； 【答案】 【知识点】求一次函数解析式 【分析】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式，将两个点代入求解即可，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【详解】解：一次函数的图象过点， 把，代入得：， 解得：， 一次函数的解析式． 5．（2024·广东广州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)求点B、点C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)存在，点M的坐标为或 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分别将和代入直线，即可求出点B、点C的坐标； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出，再设点的坐标为，进而表示出，再根据的面积是的面积的，列方程求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于点B、C， 令，则，解得：， 令，则， ，； （2）解：设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 即直线的解析式为； （3）解：存在，理由如下： ，， ， 点M在射线上， 设点的坐标为， ， 的面积是的面积的， ， 解得：， 当时，， 当时，， 点M的坐标为或． 6．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线过点，． (1)求直线的函数解析式； (2)设点在上，抛物线G：与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点． ①当时，试用含的代数式表示四边形的面积； ②当，，中有两点与点，围成的四边形是平行四边形时，求的函数解析式． 【答案】(1) (2)①或或②或或 【知识点】求一次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①分，，三种情况进行讨论求解即可； ②分与两点组成的四边形为平行四边形，且点在原点右侧，与两点组成的四边形为平行四边形，且点在原点左侧，以及当与两点组成的四边形为平行四边形，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）①∵点在上， ∴， ∵， ∴当时，， 令，则，解得：， 设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， 当，即时，， 则：四边形的面积； 当时， 则：四边形的面积； 当，即：时， 则：四边形的面积； 综上：四边形的面积为或或； ②当与两点组成的四边形为平行四边形，且点在原点右侧时，如图，则：， ∴的中点坐标为， ∴，两点中点的纵坐标为， ∴点坐标为， ∴两点的中点坐标为：， ∴， ∴， ∴， ∴，把代入，得： ∴，即：； 当与两点组成的四边形为平行四边形且点在原点左侧时，如图，则：， 同理可得：，， ∴， ∴，把，代入，得：， ∴，即：； 当与两点组成的四边形为平行四边形时，如图，则：， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴，把，代入，得：， ∴，即：； 综上：或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求解析式，二次函数与抛物线的交点问题，平行四边形的性质，等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【题型06 一次函数和方程组 不等式的关系】 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可． 【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，， 直线一定经过点， 故选：C． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图象的位置关系和交点坐标写出直线在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由，得到：． 根据图象可知：两函数的交点为， ∴关于的一元一次不等式的解集是， 即关于的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 3．（21-22八年级上·四川巴中·期末）如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点的横纵坐标就是两函数组成的二元一次去方程组的解．先把代入直线即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数解析式组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】∵直线经过点， ， ， 又直线和直线交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故答案为： 【题型07 一次函数的实际应用】 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 3、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 4、利用函数的增减性得到最大利润 1．（2024·广东·模拟预测）漏刻是我国古代的一种计时工具．小轩依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现其水位与时间之间成一次函数关系．小轩通过多次计时并测量水位的高度，得到如下表数据： … 1 2 3 5 … … … (1)求关于的函数关系式； (2)若小轩开始测量的时间为早上，当水位读数为时，求此时的时间． 【答案】(1) (2)当水位读数为时，此时的时间为 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用； （1）设出函数解析式，再根据表格中的数据利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时，t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将代入中，得， 解得， 关于的函数关系式为； （2）解：将代入得，解得， 开始测量的时间为早上， 当水位读数为时，此时的时间为． 2．（2024·广东佛山·一模）某校口琴社团准备购买A，B两种型号的口琴，通过市场调研发现：买2支A型口琴和1支B型口琴共需元；买1支A型口琴和2支B型口琴共需元． (1)每支A型口琴和B型口琴各多少元？ (2)若该校口琴社团需购买A，B两种型号的口琴共支，其中A型口琴不超过支，购买口琴的总费用是否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)每支A型口琴的价格是元，每支B型口琴的价格是元； (2)购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为元； 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及一次函数的利润问题： （1）设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元，根据费用列方程组求解即可得到答案； （2）设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，根据费用等于单价乘以数量列函数，结合函数的性质求解即可得到答案． 【详解】（1） 解：设每支A型口琴的价格是x元，每支B型口琴的价格是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每支A型口琴的价格是元，每支B型口琴的价格是元； （2）解：设购买m支A型口琴，购买口琴的总费用为w元，则购买支B型口琴， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买口琴的总费用有最小值，这个最小值为元． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元 (2)购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式以及一次函数的解析式成为解题的关键． （1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元．根据题意列不等式可求得，再列出函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A，B两种香料的单价分别为x元，y元， 根据题意得：，解得：． 答：A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元． （2）解：设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元． 由题意可得:， , 由题意可得, , ，． 答：购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元． 4．（2024·广东汕头·二模）2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，其中大运会吉祥物蓉宝广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套40元的价格购进一批蓉宝．当该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套．设蓉宝每套的售价定为x 元，该商品销售景y 套 (1)求y 与 x 之间的函数关系式； (2)若每天销售所获的利润为4800元，求x的值． 【答案】(1) (2)80或100 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据“该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出解析式，即可求解； （2）利用总利润每套的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 即：． （2）由题知， 整理得到， 解得：，． 答：的值为80或100． 5．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【答案】(1)图见解析；； (2) (3)此时双层部分的长度为 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数自变量或函数值、画一次函数图象、求一次函数解析式 【分析】（1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值； （2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； （3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】（1）解：描点并作图如图所示： 根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得， 解得， ． 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即， 解得， 的取值范围是； （2）解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ∴； （3）解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，， 背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为， 手到地面的距离为， 设小明爸爸的身高为． 臂展和身高一样，且肩宽为， 小明爸爸一条胳膊的长度为， ， 解得， 根据任务2，得， 解得， 此时双层部分的长度为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及求一次函数解析式，画一次函数图象，求一次函数值，理解题意，利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键． 6．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 考向三：反比例函数的图象和性质 【题型08 反比例函数图象和性质】 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 1．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图像及增减性，当时，反比例函数的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵当时，反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点在反比例函数（）的图像上， 又， ∴． 故选：C 2．（2024·广东·模拟预测）已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小，根据反比例函数的性质得到函数（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则，． 【详解】解：∵， ∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 3．（2023·广东清远·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、判断（画）反比例函数图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号再根据一次函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故B错误； C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故C错误； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故D正确． 故选：D． 4．（2024·广东惠州·三模）对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为 ； 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】由题意得：， 解得： 故答案为：． 5．（2024·广东汕头·一模）若点，都在反比例函数的图象上，且，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，再由可得． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（2025·广东深圳·一模）已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小． (1)求的最小整数值． (2)判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由． 【答案】(1)的最小整数值为0 (2)有交点，理由见解析 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及正比例函数的图象与性质． （1）根据反比例函数的增减性质可知，解不等式即可； （2）根据反比例函数图象和正比例函数图象经过的象限进行判定即可． 【详解】（1）解：∵由题意，得 ∴ ∴的最小整数值为0 （2）解：有交点，理由如下： 由题意得，反比例函数的图象在第一、三象限； ∵， ∴直线经过第一、三象限， ∴直线与该反比例函数图象有交点 【题型09 反比例函数系数k的几何意义】 这类问题通常是由几何图形的面积求k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关键，如： 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第二象限内，，反比例函数的图象经过，两点．若的面积是6，则的值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】过点作于点，过点作于点，设点坐标为，点坐标为，根据比例关系求出点的坐标，最后根据的几何意义和三角形的面积公式联立即可求出结果． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，设点坐标为，点坐标为， ，， ， 又， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 由题意得，， 解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中比例系数的几何意义、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，解题的关键是表示出点的坐标． 2．（2023·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，连接，将绕B点顺时针旋转得到，且，交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为 ． 【答案】18 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题以反比例函数为背景考查了反比例函数系数k的几何意义，过点B作轴于点M，作垂直y轴，交延长线于点N，根据，的面积为，求出的面积，进而求得和的面积之和．通过证得，得出两三角形面积之比，求出的面积值，根据反比例函数中k的几何意义求出k的值． 【详解】解：过点B作轴于点M，作垂直y轴，交延长线于点N，则四边形是矩形， ∵，的面积为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，， ， ∵点B在反比例函数上， ∴． 故答案为：18． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的面积为，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的性质、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义、菱形的性质、等边三角形的性质，连接，根据等边三角形及菱形得到是菱形，结合反比例函数k的几何意义列式求解即可得到答案； 【详解】解：连接， ， ∵等边和菱形的边、都在x轴上， ∴，，轴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（2024·广东惠州·三模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【答案】// 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 5．（2024·广东深圳·三模）如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，相似三角形点的判定和性质，过点B作轴于点E，设，则点，进而得，由得，证得，则，，可得点，进而得，则，，再根据的面积为1，得，即，由此解出k即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 设， 点在反比例函数的图象上，且轴于点， 点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 点在反比例函数的图象上，且轴于点， 点的坐标为， ， ， ， 的面积为1， ， 即， 解得：． 故答案为：． 6．（2024·广东深圳·二模）如图，在直角坐标系中，为第二象限内一点，连接，在线段上取点，使得，过点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点．若反比例函数的图象经过点，已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查求反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点D，设点A的坐标为，得到，，然后根据得到，，然后利用得到关于m的方程解题即可． 【详解】解：过点作轴于点D，设点A的坐标为， ∴，， ∵轴，点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点 ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．作轴，垂足为，轴，垂足为，连接，由条件可知，根据反比例函数值几何意义可得，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，连接， ，， ， 由反比例函数值的几何意义可知： ， 设，则， ， ， 解得：． 故答案为：． 【题型10 反比例函数实际应用】 1．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 1．（2023·广东阳江·一模）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 【答案】(1)动力F与动力臂l的函数关系式为 (2)小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论． 【详解】（1）依题意，得． ∴． 答：动力F与动力臂l的函数关系式为． （2）当时， 解得． ∵小华最多能使出的力， ∴． 答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为． 2．（2024·广东广州·二模）一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 【答案】(1) (2)平均每天至少要卸载48吨． 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）直接利用待定系数法确定函数关系式，进而得出答案； （2）直接利用（1）中函数解析式，将代入，进而得出答案． 【详解】（1）解： 与是反比例函数关系， 设， 图象过点， ， 与之间的函数解析式为：； （2）解：当时，， 当时，随的增大而减小， 当时，， 答：平均每天至少要卸载48吨． 3．（2024·广东广州·一模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 【答案】(1) (2)李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析 (3)千克 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为； （2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由： 从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度一般不超过30千米/小时， 李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫； （3）∵， ∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米， ∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为（千克）． 4．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成　　　函数，并求出它的函数解析式； (2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数， (2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键． （1）根据图像上点的坐标可判断函数类型，从而得到解析式； （2）将代入函数解析式求得，比较即可得出结论即可； 【详解】（1）解：由图2可知，图象上的点有， ∴，即， ∴与之间成反比例函数，解析式为：． 故答案为：反比例函数，． （2）将代入函数解析式得：，解得， ∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是， ∵， ∴该小较车尾气中一氧，化碳的含量没有达到标准． 5．（2024·广东江门·三模）综合与实践 如图，某校数学兴趣小组取一根长为的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点处并将其吊起．在中点左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）有什么变化，得到下表： 5 10 15 20 25 30 35 40 16 指导老师发现其中有一组数据明显是错误的． (1)当 时，所对应的的值明显是错误的； (2)写出与之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数是时，弹簧秤与中点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解题目中数量的关系，掌握反比例函数的计算是解题的关键． （1）根据表格信息，结合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”即可求解； （2）根据杠杆原理，把代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，对应的的值错误； 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∴， 当时，（）， ∴弹簧秤的示数 是时，弹簧秤与中点 之间的距离  ． 考向四：一次函数与反比例函数的综合问题 【题型11 反比例函数与一次函数综合】 1．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点和点B． (1)写出点B的坐标，并求k，a的值； (2)根据图象，比较和的大小． 【答案】(1)，， (2)见解析 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）根据点的坐标满足函数解析式，把点的坐标代入函数解析式，可得k、a的值，根据反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点关于原点对称，可得B点的坐标； （2）根据观察函数图象，可得答案； 【详解】（1）解：把分别代入，，得，， 解得，； ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点关于原点对称， ∴B点坐标是； （2）解：观察函数图象得，当或时，； 当时，； 当或时，； 2．（2024·广东·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)存在，或或或或 【知识点】公式法解一元二次方程、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程； （1）先求出，再根据求出点坐标，最后代入计算即可； （2）先求出，，再设，根据为等腰三角形列方程求解即可． 【详解】（1）对于，当时，． ∴， ∴， 设点B的横坐标为t，则 ∵， ∴， 解得． ∴， 把代入中，得 ∴． （2）由（1）得，则反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，． 设，则 ，，． ①若，即， ∴， 解得． 此时点E的坐标为．· ②若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， ③若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， 综上所述，x轴上存在一点或或或或，使为等腰三角形． 3．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点是线段的中点，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、求角的正切值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，直角三角形斜边上的中线定理及正切的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）先根据反比例函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数的解析式求出点、的 坐 标 ，进 而 得 到 ，，然后根据直角三角形的斜边中线定理可得，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图像经过点， ，即．     一次函数的图像经过点，， ， 解得，    一次函数的解析式为； （2）如图，连接， ，分别是直线与轴，轴的交点， 令，则，令，则，解得：， ，， ，， ，点是线段的中点， ， ，   ． 4．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①， ；② (2)或或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解； （2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：①将代入 得： ， 解得：； ∴反比例函数的表达式为： ； ∴，即：； 将、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为： ②设一次函数与轴交于点，如图所示： 由得； ∴ ∴ （2）解：设点， ，则， 解得：； ，则， 解得：或（舍）； ，则， 解得：； 综上所述：点P的坐标为或或 5．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，直线与双曲线 在第二象限内交于A，B两点，已知 (1)求的值及直线的解析式； (2)点C是线段上的一个动点，过点C作轴于点D，交双曲线于点F，E是x轴上一点，当的面积最大时，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、面积问题(二次函数综合)、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象性质与几何问题，反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求一次函数解析式，得出，再将代入， 得，即可作答． （2）先求出双曲线的解析式为；设，，则，根据求的面积列式得，结合二次函数的图象性质，，即可作答． 【详解】（1）解：将代入， 得 整理得， 解得(不合题意，舍去) ∴ ∴ ∴直线的解析式为 将代入， 得； （2）解：由（1）可知， ∴双曲线的解析式为 依题意，设，， ∵过点C作轴于点D 则 . ∴ ∴ ∵，， ∴当时，有最大值． ∴点F的坐标为． 6．（2024·广东广州·模拟预测）已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答： ①连接DE，若，求的值； ②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数． 【答案】(1)， (2)①；②见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，一元二次方程根的判别式等知识． （1）把代入得，知反比例函数的解析式为；把代入得一次函数的解析式为； （2）①求出，，可知，，，，故，解出，的值，可得，，的坐标，从而求出，得到答案； ②观察图象可知，点在点上方时，或；①当时，方程为一元一次方程，只有一个实数根；②当时，方程为一元二次方程；△，再分类讨论即可． 【详解】（1）把代入得：， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得， ； 把，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）①与轴、轴相交于点、点，求得，， ， ， ， ， 连接， ． ， ，． ，点在线段EF外，如图， ． ②由图象可知，点在点上方时， 或， 当时，方程为一元一次方程， 方程有一个实数根． 当时，方程为一元二次方程， ． 当时，，方程有2个实数解， 当，且时，，即，方程有2个实数解， 当时，，即，方程无实数解， 当时，，方程有两个相等实数解， 当时，方程有一个实数解． 【题型12 反比例函数与一次函数综合解决问题】 1．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 1．（2023·广东佛山·三模）为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量是时间的正比例函数，喷雾完成后是的反比例函数（如图）．    (1)当时，求关于的函数解析式； (2)已知每立方米空气中含药量不低于时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于的时长． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】（1）解：设反比例函数解析式为，根据题意当时，代入即可确定函数解析式； （2）设正比例函数解析式为，然后利用待定系数法确定正比例函数解析式，分别求出两个函数解析式含药量不低于时，的自变量的范围即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为 由图可知，当时 代入反比例函数得 当时，； （2）设正比例函数解析式为 将代入得 当时，，解得 当时，，解得 min 综上所述，时长为． 【点睛】题目主要考查一次函数及反比例函数的综合应用，理解题意，确定两个函数解析式是解题关键． 2．（2024·广东广州·三模）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为； (2)从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把分别代入（）中所得的函数解析式，求出的值，再结合函数图象解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设正比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：由可得，当时，， 由可得，当时，， 由函数图象可得，当时，， ∵， ∴从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查的是一次函数解析式的求解，根据题干信息得出，再利用待定系数法求解． 【详解】解：点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点， 设直线的表达式为，则 ， 解得：， ， 故选：B． 2．（2024·广东广州·二模）下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象必过原点 B．函数的图象不经过第二象限 C．函数的图象位于第一、三象限 D．函数的图象中，当时，随增大而增大 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、y=a（x-h）²+k的图象和性质、判断反比例函数图象所在象限 【分析】A、将代入即可；B、函数的图象经过第一，三，四象限；C、根据值的大小即可判断图象经过的象限；D、先判断函数的对称轴和开口方向，再判断增减性．本题考查了一次函数的性质，反比例函数图象和性质，二次函数的图象与性质，属于常考题． 【详解】解：A、将代入，得，左右两边相等，不符合题意； B、函数的图象经过第一，三，四象限，即图象不经过第二象限，不符合题意； C、函数的图象位于第一、三象限，不符合题意； D、由函数可知函数图象的开口方向向上，对称轴为，当时，随增大而增小，符合题意． 故选：D． 3．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B．随x的增大而增大 C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 【答案】C 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系．根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【详解】解：A、由图象得：，，所以，故本选项不符合题意； B、由图象得随的增大而减小，故本选项不符合题意； C、由图象得：当时，，故本选项符合题意； D、由图象得：的解为，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（2025·广东·模拟预测）一次函数与反比例函数（，）在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质．根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】解：当时，，或，． 当，，则一次函数经过一、二、三象限，反比例函数（，）经过一、三象限，故选A符合； 当，时，则一次函数经过二、三、四象限，反比例函数（，）经过一、三象限，故排除B； 当时，，或，． 当，时，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数（，）经过二、四象限，故排除C； 当，时，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数（，）经过二、四象限，故排除D． 故选：A． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，，设点运动的路程为，则的面积随变化的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，动点的函数图象问题，分点P在上运动和点P在上运动两种情况，分别用含x的式子表示出的面积，即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，作于点E，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 即当时，，排除C，D选项； 当点P在上运动时，如图： ∵， ∴， 即当时，，排除B选项； 故选：A． 二、填空题 6．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ． 【答案】12 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意． 联立一次函数与反比例函数解析式，根据题意得出，即可求解； 【详解】解：将代入得， 整理得， ∵反比例函数与一次函数的图象有且只有一个交点， ， 或0（舍去）， 故答案是：12． 7．（2025·广东梅州·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．设函数解析式为I（），把代入函数解析式求得值即可． 【详解】解：设函数解析式为I（）， 把代入函数解析式得， ， ． 故答案为：． 8．（2024·广东深圳·二模）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了一次函数图像及性质，待定系数法求函数解析式，坐标与轴对称，解题关键是求解反射后的直线方程．首先求出点关于y轴的对称点为，由对称可知反射光线所在直线过点，再由待定系数法求解反射光线所在直线即可求解． 【详解】解：点关于y轴的对称点为， 反射光线所在直线过点和， 设的解析式为：，过点， ， ， 的解析式为：， 反射后经过点， ， ． 故答案为：． 9．（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x 轴正半轴上和 y轴正半轴上，反比例函数上 的图像经过的中点D，若矩形的面积为12，则k 的值为 ． 【答案】6 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，正确表示点B的坐标是解题的关键． 设点，则，根据矩形的面积为12，得出，即可得出答案． 【详解】解：点D是的中点，四边形是矩形， 设点，则， 矩形的面积为12， 解得：， 故答案为：． 10．（2024·广东佛山·二模）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】分析出当点到点处时，，即，当点到点处时最短，，即，当点到点处时，，即，再根据勾股定理分别求出和，即可求出三角形的面积．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 【详解】解：作，如图， 当点到点处时，，即， 当点到点处时最短，，即， 当点到点处时，，即， 在中，， 在中，， ． 故答案为： 三、解答题 11．（2024·广东云浮·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式． 【答案】，反比例函数解析式为． 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了一次函数及反比例函数图像上点的坐标特点，把点代入一次函数求出的值即可得出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数求出的值即可，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：． 12．（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)加热一次，水温不低于的时间为 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出的值，即可； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将点代入，得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，， ， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，设一次函数的表达式为， 将点代入一次函数的表达式，得， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 令，则； 在降温过程中，当水温为时，有，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 13．（2024·广东深圳·二模）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如表所示： 品名 A B 进价（元/枚） 45 60 售价（元/枚） 66 90 (1)第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？ (2)第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？ 【答案】(1)2880元 (2)按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为元． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据题意分别计算两种纪念币的利润，即可求解； （2）设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元，根据题意分别列出关于y与x的一次函数，关于x的一元一次不等式，从而求得，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，（元）， 答：全部售完后获利2880元； （2）解：设购进x枚A种纪念币，则购进枚B种纪念币，获利y元． 由题意得：， ∵A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍， ， ∴， ∵，， ∴y随x的增大而减小， 当时，（元）， ∴B种纪念币的数量为（枚）， 答：按照A种纪念币购进100枚，B种纪念币购进50枚的进货方案，才能使利润最大，最大利润为元． 14．（2024·广东佛山·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点B，与x轴相交于点 ． (1)求直线与双曲线的表达式； (2)点P为双曲线上的任一点，若，求P点坐标． 【答案】(1)直线的表达式为，双曲线的表达式为； (2)或 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合中的三角形面积问题，待定系数法； （1）将分别代入直线和双曲线的表达式，即可求解； （2）由直线的表达式可求，由三角形的面积得，①当在第一象限时 由三角形面积得，即可求解；②当在第三象限时，同理可求； 掌握解法，能根据点在不同象限进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：直线与双曲线相交于点， ， ， 解得：， ， 直线的表达式为， 双曲线的表达式为； （2）解：由得， 当时，， 解得：， ， ， ， ①当在第一象限时 ， ， ， ， 解得：， ； ②当在第三象限时 ， ， ， 解得： ， 解得：， ； 综上所述：的坐标为或． 15．（2024·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)请分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)把一次函数的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值． 【答案】(1)； (2)1 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知可得只有一个解，化为一元二次方程，用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴点， 把A、B的坐标代入得， 解得， 故一次函数表达式为：； （2）把一次函数的图象向下平移t个单位得直线， 根据题意可得只有一组解， 即只有一个解， ∴有两个相等实数根， ∴，即， 解得或（因反比例函数在第一象限，舍去）， ∴t的值为1． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握待定系数法，函数图象交点坐标与方程组的解的关系等知识． 16．（2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，； (3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)在第一象限内当时， (3)点P的坐标是或 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点的坐标，然后把、点的坐标代入即可求得直线的解析式； （2）根据图象求得即可； （3）设，分两种情况讨论，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得点的坐标． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，数形结合、分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解： 双曲线过点， ， 双曲线的解析式为， 点，线段，都垂直于轴，， 点的横坐标为6， 把代入解得， ， 把、点的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：观察图象可知，在第一象限内当时，； （3）解：设， ，， ，，，， 当点在的左侧时， ， ， ， ，解得， 此时， 当点在的右侧时， ，， ， ，解得， 此时， 综上，点的坐标是或． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点03 一次函数与反比例函数 中考数学中《一次函数与反比例函数》在广东地区主要考向分为五类： 一、一次函数图象与性质（每年1~2道，3~6分） 二、一次函数的应用（每年1~2道，3~6分） 三、反比例函数的性质（每年1~2题，3~76分） 四、反比例函数的应用（每年1~2题，3~6分） 五、一次函数与反比例函数的结合（每年1~2题，3~12分） 一次函数、反比例函数的综合题是广东中考命题热点。选择、填空题和解答题皆可出现。常见两种题型的考察方式：一是根据函数值的大小，求自变量的取值范围，一般先找交点，再分区域，根据函数图象上方的值总比下方的值大，在各区域内找相应的x的取值范围；二是求几何图形面积，要充分利用“数形结合”的思想，使“坐标”与“线段”互相转化，从而解决问题。但是在最近几年这部分考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。 考向一：函数的图象 【题型01 动点与函数图象问题】 函数图象与动点问题，从函数图象中看出增减性，找到关键点和关键的数据； 1．（2024·广东江门·模拟预测）“漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下列哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响）（    ）   A．  B．  C．D．   2．（2025·广东深圳·一模）如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（   ） A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒 3．（2024·广东深圳·三模）如图，在中，，，，和分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图像大致为（    ） A．B．C．D． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 5．（2024·广东深圳·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 6．（2024·广东珠海·三模）如图1，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是，设P，Q同时出发时，的面积为．已知y与t的函数关系如图2所示（曲线为抛物线的一部分），则下列结论错误的是（    ） A． B．当时，的面积是 C．当时， D．当时， 7．（2024·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，．点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（    ） 点的运动速度为； 点的坐标为； 线段段的函数解析式为； 曲线段的函数解析式为； 若的面积是四边形的面积的，则时间． A． B． C． D． 【题型02 画函数图象及根据函数图象得出结论】 函数图象、用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值、求自变量的取值范围 1．（2024·广东惠州·三模）综合探究 请根据学习函数的经验，将下列探究函数的图象与性质的过程补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是__________． (2)下表列出了与的几组对应值，请写出其中的值__________，__________； 0 2 3 4 2 1 (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描出以（2）表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (4)根据图象直接写出时的取值范围：__________． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）初中阶段研究新函数的性质往往需要先确定函数的解析式，再经历列表、描点、连线画出函数图象、观察分析函数图象特征等过程．下表是函数的部分信息：    请结合已有的学习经验，探究上述函数的图象与性质，并解决问题： (1)求 ______， ______， ______，并补全函数图象； (2)在平面直角坐标系中，结合已有学习经验，用你喜欢的方法补全函数图象，观察函数图象，并请写出该函数的一条性质：______； (3)已知关于的方程无实数解，根据函数图象，直接写出的取值范围． 3．（2024·广东深圳·三模）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式→利用函数图象研究其性质→运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数的图象与性质，探究过程如下，请补充完整． （1）列表： x … 0 1 2 3 4 … y … b … （2）描点并连线． （3）观察图象并填空： ① ， ②写出该函数的一条性质： ③图象与x轴围成的三角形面积为 ④当时，直接写出x的取值范围 考向二：一次函数的图象和性质 【题型03 一次函数的图象】 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 1．（2024·广东广州·一模）关于函数，下列结论成立的是（    ）． A．函数图象经过点 B．随的增大而增大 C．当时， D．函数图象不经过第一象限 2．（2024·广东广州·模拟预测）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 3．（2025·广东广州·一模）若直线经过一，二，四象限，则直线的图象只能是图中的（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，两直线和且在同一平面直角坐标系内的图象位置可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·广东清远·二模）如图，一次函数的图像与轴交于点，则点的坐标是 ． 6．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线． (1)直接画出直线； (2)的解析式为______； (3)直线与之间的距离为______个单位长度． 【题型04 一次函数的性质】 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 2．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 1．（2024·广东河源·模拟预测）下列各函数中，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·三模）下列函数中：①；②；③；④，当时，随的增大而增大的有（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．（2023·广东广州·模拟预测）若是一次函数图象上的两点，则（　　） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·二模）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论： ①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ②无论x取何值，总是负数； ③当时，随着x的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·广东东莞·三模）已知点，点在直线上，则 ．（填“”“”或“”） 6．（2024·广东惠州·一模）已知一次函数，当时，一次函数的最大值是 ． 7．（2024·广东惠州·模拟预测）如图在函数图象上，的横坐标为1，垂直轴于，垂直函数图象，交轴与，过作轴的垂线与函数图象于点，垂直于函数图象交轴与．以此类推的坐标为 ． 【题型05 一次函数解析式的求法】 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 1．（2024·广东·模拟预测）已知y是关于x的一次函数，点在该一次函数的图象上，且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数表达式： ． 2．（2023·广东河源·三模）函数的图象关于x轴对称的图象的解析式为 ． 3．（2024·广东云浮·一模）已知直线l经过点和点，求直线l的解析式． 4．（2024·广东韶关·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点．求这个一次函数的解析式； 5．（2024·广东广州·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C． (1)求点B、点C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标． 6．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线过点，． (1)求直线的函数解析式； (2)设点在上，抛物线G：与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点． ①当时，试用含的代数式表示四边形的面积； ②当，，中有两点与点，围成的四边形是平行四边形时，求的函数解析式． 【题型06 一次函数和方程组 不等式的关系】 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 1．（2024·广东·模拟预测）若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是 ． 3．（21-22八年级上·四川巴中·期末）如图，已知直线和直线交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【题型07 一次函数的实际应用】 1、行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度 2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义 3、常用等量关系：总利润=单件利润×数量 4、利用函数的增减性得到最大利润 1．（2024·广东·模拟预测）漏刻是我国古代的一种计时工具．小轩依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现其水位与时间之间成一次函数关系．小轩通过多次计时并测量水位的高度，得到如下表数据： … 1 2 3 5 … … … (1)求关于的函数关系式； (2)若小轩开始测量的时间为早上，当水位读数为时，求此时的时间． 2．（2024·广东佛山·一模）某校口琴社团准备购买A，B两种型号的口琴，通过市场调研发现：买2支A型口琴和1支B型口琴共需元；买1支A型口琴和2支B型口琴共需元． (1)每支A型口琴和B型口琴各多少元？ (2)若该校口琴社团需购买A，B两种型号的口琴共支，其中A型口琴不超过支，购买口琴的总费用是否有最小值？如果有，请求出这个最小值；如果没有，请说明理由． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 4．（2024·广东汕头·二模）2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，其中大运会吉祥物蓉宝广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套40元的价格购进一批蓉宝．当该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套．设蓉宝每套的售价定为x 元，该商品销售景y 套 (1)求y 与 x 之间的函数关系式； (2)若每天销售所获的利润为4800元，求x的值． 5．（2024·广东·模拟预测）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ． 请根据以上素材，解答下列问题： (1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； (2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式； (3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 6．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 考向三：反比例函数的图象和性质 【题型08 反比例函数图象和性质】 反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 1．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·广东清远·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 4．（2024·广东惠州·三模）对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为 ； 5．（2024·广东汕头·一模）若点，都在反比例函数的图象上，且，则 ．（填“”“”或“”） 6．（2025·广东深圳·一模）已知反比例函数在其图象所在的各象限内，随的增大而减小． (1)求的最小整数值． (2)判断直线与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由． 【题型09 反比例函数系数k的几何意义】 这类问题通常是由几何图形的面积求k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这类题的关键，如： 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点在第二象限内，，反比例函数的图象经过，两点．若的面积是6，则的值为 ． 2．（2023·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，连接，将绕B点顺时针旋转得到，且，交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为 ． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的面积为，则k的值为 ． 4．（2024·广东惠州·三模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 5．（2024·广东深圳·三模）如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为 ． 6．（2024·广东深圳·二模）如图，在直角坐标系中，为第二象限内一点，连接，在线段上取点，使得，过点所作轴的平行线与过点所作轴的平行线交于点．若反比例函数的图象经过点，已知，则的值为 ． 7．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为 ． 【题型10 反比例函数实际应用】 1．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 1．（2023·广东阳江·一模）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 2．（2024·广东广州·二模）一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 3．（2024·广东广州·一模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 4．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成　　　函数，并求出它的函数解析式； (2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由． 5．（2024·广东江门·三模）综合与实践 如图，某校数学兴趣小组取一根长为的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点处并将其吊起．在中点左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）有什么变化，得到下表： 5 10 15 20 25 30 35 40 16 指导老师发现其中有一组数据明显是错误的． (1)当 时，所对应的的值明显是错误的； (2)写出与之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数是时，弹簧秤与中点之间的距离． 考向四：一次函数与反比例函数的综合问题 【题型11 反比例函数与一次函数综合】 1．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 1．（2024·广东·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点和点B． (1)写出点B的坐标，并求k，a的值； (2)根据图象，比较和的大小． 2．（2024·广东·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点是线段的中点，连接，求的正切值． 4．（2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，直线与双曲线 在第二象限内交于A，B两点，已知 (1)求的值及直线的解析式； (2)点C是线段上的一个动点，过点C作轴于点D，交双曲线于点F，E是x轴上一点，当的面积最大时，求点F的坐标． 6．（2024·广东广州·模拟预测）已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与轴、轴相交于点、点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点为直线AB上的动点，过作轴垂线，交双曲线于点，交轴于点，请选择下面其中一题完成解答： ①连接DE，若，求的值； ②点在点上方时，判断关于的方程的解的个数． 【题型12 反比例函数与一次函数综合解决问题】 1．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 1．（2023·广东佛山·三模）为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量是时间的正比例函数，喷雾完成后是的反比例函数（如图）．    (1)当时，求关于的函数解析式； (2)已知每立方米空气中含药量不低于时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于的时长． 2．（2024·广东广州·三模）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 一、单选题 1．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，把点A先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点B，则直线的表达式为（      ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·二模）下列说法不正确的是（    ） A．函数的图象必过原点 B．函数的图象不经过第二象限 C．函数的图象位于第一、三象限 D．函数的图象中，当时，随增大而增大 3．（2024·广东河源·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B．随x的增大而增大 C．当时， D．关于x，y的方程组的解为 4．（2025·广东·模拟预测）一次函数与反比例函数（，）在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的直径为，，点为的中点，点沿路线运动，连接，，设点运动的路程为，则的面积随变化的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ． 7．（2025·广东梅州·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为 ． 8．（2024·广东深圳·二模）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 9．（2025·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在x 轴正半轴上和 y轴正半轴上，反比例函数上 的图像经过的中点D，若矩形的面积为12，则k 的值为 ． 10．（2024·广东佛山·二模）如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是 ． 三、解答题 11．（2024·广东云浮·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．求点的坐标和反比例函数解析式． 12．（2024·辽宁大连·一模）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温（）与通电时间（）之间的关系如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式（写出的取值范围）； (2)加热一次，求水温不低于的时间． 13．（2024·广东深圳·二模）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某平台店计划购进A，B两种纪念币，进价和售价如表所示： 品名 A B 进价（元/枚） 45 60 售价（元/枚） 66 90 (1)第一次购进A种纪念币80枚，B种纪念币40枚，求全部售完后获利多少元？ (2)第二次计划购进两种纪念币共150枚，且A种纪念币的进货数量不低于B种纪念币的进货数量的2倍，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润为多少？ 14．（2024·广东佛山·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点B，与x轴相交于点 ． (1)求直线与双曲线的表达式； (2)点P为双曲线上的任一点，若，求P点坐标． 15．（2024·广东广州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)请分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)把一次函数的图象向下平移t个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个交点时，求t的值． 16．（2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，； (3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$