热点01 根的判别式（5大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点01 根的判别式 根的判别式是中考数学的常考考点，一般出现在北京中考的第4题，第5题。第6题，第10题等。选择题和填空题均有出现。以简单题为主，针对性的计算训练可提高解题速度和正确率，选择题用排除法也可提高解题速度。 【题型1 判断根的情况】 主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 1．（2022年北京市朝阳区中考数学模拟）一元二次方程x2+5x+3=0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（2023年北京市十一学校中考模拟）关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．无实根 B．有实根 C．有两个不相等实根 D．有两个相等实根 3．（2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 4．（2022年北京市东城区中考数学二模）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．（北京市大兴区2024-2025学年九年级上学期期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【题型2 有两个相等的实根】 考查一元二次方程的判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握判别式等于0，方程有两个相等的实数根，是解题的关键． 6．（2023年北京市丰台区中考一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（    ） A． B．4 C． D． 7．（2024年北京市首都师范大学附属中学大兴北校区中考模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 8．（北京市海淀区人大附中2024~2025学年下学期九年级开学）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（   ） A． B．36 C． D．9 9．（北京市密云区2024-2025学年九年级上学期期末）若方程有两个相等的实数根，则m的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 10．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【题型3 有两个不相等的实根】 考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式的关系是解的关键．根据时，方程有两个不相等的实数根，建立不等式求解即可． 11．（北京市第十九中学2024—2025学年上学期九年级期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（北京市大兴区2024~2025学年上学期九年级数学期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 13．（北京市西城区北京师范大学附属实验中学2021-2022学年九年级上学期数学九月）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 14．（北京市顺义牛栏山第一中学实验学校2024-2025学年九年级下学期开学）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 15．（北京市第四十三中学2022-2023学年九年级上学期期中）若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【题型4 有实根】 考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程 （），则有−⇔方程有两实根，−⇔方程有两不等实根，−⇔方程有两相等实根，−⇔方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．解题关键是掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式可得且，解之得出的范围． 16．（北京市清华大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 17．（北京市第十二中学2024-2025学年九年级上学期11月）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 18．（西城区北京师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考）关于的方程有实数根，则满足（    ）． A．且 B． C．且 D． 19．（2024年北京市燕山区中考数学模拟）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（北京市十一晋元中学2024-2025学年下学期开学）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型5 无实根】 考查了根的判别式，熟练掌握判别式大于零，方程有两个不相等的实数根；判别式等于零，方程有两个相等的实数根；判别式小于零，方程没有实数根是解题的关键． 21．（海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学）下列所给方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 22．（清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月）下列所给方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 23．（北京市第八十中学2023-2024学年九年级上学期月考）在下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 24．（朝阳区人大附中朝阳分校2022-2023学年九年级上学期月考）若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实根，则k的取值范围是（      ） A．k＜1 B．k＜－1 C．k≥1 D．k＞1 25．（2024年北京市广渠门中学中考二模）若关于的方程没有实数根，则的值可以为（  ）． A． B． C．0 D．1 （建议用时：10分钟） 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 2．下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 4．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 6．关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是 ． 8．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 9．已知一元二次方程的有两个相等实数根，则的值为 ． 10．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点01 根的判别式 根的判别式是中考数学的常考考点，一般出现在北京中考的第4题，第5题。第6题，第10题等。选择题和填空题均有出现。以简单题为主，针对性的计算训练可提高解题速度和正确率，选择题用排除法也可提高解题速度。 【题型1 判断根的情况】 主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 1．（2022年北京市朝阳区中考数学模拟）一元二次方程x2+5x+3=0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等实数根． 故选：B． 2．（2023年北京市十一学校中考模拟）关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．无实根 B．有实根 C．有两个不相等实根 D．有两个相等实根 【答案】C 【分析】先求出，再根据结果判断即可． 【详解】根据题意，得， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 3．（2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ 故选：A 4．（2022年北京市东城区中考数学二模）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D． 5．（北京市大兴区2024-2025学年九年级上学期期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【题型2 有两个相等的实根】 考查一元二次方程的判别式与根的个数之间的关系．熟练掌握判别式等于0，方程有两个相等的实数根，是解题的关键． 6．（2023年北京市丰台区中考一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根 故选：D． 7．（2024年北京市首都师范大学附属中学大兴北校区中考模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】根据方程有两个相等的实数根，判别式等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 故选B． 8．（北京市海淀区人大附中2024~2025学年下学期九年级开学）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（   ） A． B．36 C． D．9 【答案】D 根据根的判别式“，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等额实数根；，方程无实数根”，由此求参数即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故选：D ． 9．（北京市密云区2024-2025学年九年级上学期期末）若方程有两个相等的实数根，则m的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 根据一元二次方程根与判别式的关系可得，，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故选：C． 10．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 【题型3 有两个不相等的实根】 考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式的关系是解的关键．根据时，方程有两个不相等的实数根，建立不等式求解即可． 11．（北京市第十九中学2024—2025学年上学期九年级期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 故选：A． 12．（北京市大兴区2024~2025学年上学期九年级数学期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ， ， ∵， ∴且， 故选：D． 13．（北京市西城区北京师范大学附属实验中学2021-2022学年九年级上学期数学九月）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且． 故选：B． 14．（北京市顺义牛栏山第一中学实验学校2024-2025学年九年级下学期开学）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：由条件可知：， ∴且， 故选：B 15．（北京市第四十三中学2022-2023学年九年级上学期期中）若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 【题型4 有实根】 考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程 （），则有−⇔方程有两实根，−⇔方程有两不等实根，−⇔方程有两相等实根，−⇔方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．解题关键是掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式可得且，解之得出的范围． 16．（北京市清华大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 是二次项系数不能为，， 即且． 故选：D． 17．（北京市第十二中学2024-2025学年九年级上学期11月）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且； 故选：B． 18．（西城区北京师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考）关于的方程有实数根，则满足（    ）． A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】解：①当时，原方程为， 解得：，符合题意； ②当时， ， 解得：且． 综上，a的取值范围为． 故选：B． 19．（2024年北京市燕山区中考数学模拟）如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． 故选：D． 20．（北京市十一晋元中学2024-2025学年下学期开学）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， ， 整理得：， 合并同类项得：， 解得：． 故选：D． 【题型5 无实根】 考查了根的判别式，熟练掌握判别式大于零，方程有两个不相等的实数根；判别式等于零，方程有两个相等的实数根；判别式小于零，方程没有实数根是解题的关键． 21．（海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学）下列所给方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故A有两个不相等的实数根． B、，故B有两个不相等的实数根． C、，故C有两个不相等的实数根． D、，故D没有实数根． 故选：D 22．（清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月）下列所给方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； B、∵， ∴一元二次方程没有实数根； C、∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； D、∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 23．（北京市第八十中学2023-2024学年九年级上学期月考）在下列方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵方程，， ∴， 有两个不相等的实数根； ∵方程，， ∴， 有两个不相等的实数根； ∵方程，， ∴， 没有实数根； ∵方程，， ∴， 有两个相等的实数根； 故选C． 24．（朝阳区人大附中朝阳分校2022-2023学年九年级上学期月考）若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实根，则k的取值范围是（      ） A．k＜1 B．k＜－1 C．k≥1 D．k＞1 【答案】D 【详解】解：∵（x+1）2=1-k没有实根， ∴1-k＜0， ∴k＞1． 故选D． 25．（2024年北京市广渠门中学中考二模）若关于的方程没有实数根，则的值可以为（  ）． A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴△=＜0， 解得：， 故选项中只有A选项满足， 故选A. （建议用时：10分钟） 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 即该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 2．下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选项不符合题意； B. ， ， 方程有两个相等的实数根， 故选项符合题意； C. ， ， 方程没有实数根， 故选项不符合题意； D. ， 方程有两个不相等的实数根， 故选项不符合题意； 故选：． 3．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解得情况，解题的关键是熟知根的判别式的运用． 根据一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 由于关于的方程有实数根， ，即， ， 的取值范围且， 当时为一元一次方程，方程有一根． 综上所知的取值范围为：． 故选：C． 4．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式列方程求解是解题的关键．因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，解方程即得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得或． 故选：C． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：依题意可得，，解得 关于的一元二次方程， 且． 故选：C． 二、填空题 6．关于x的方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出的取值范围． 【详解】解：要使有两个不相等的实数根， 则， ， 故答案为：． 7．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k 的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得， 解得， 根据一元二次方程的定义， 且， 则整数k 的最小值为， 故答案为：． 8．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 9．已知一元二次方程的有两个相等实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的有两个相等实数根， ， 整理得：， 解得：． 故答案为： ． 10．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 且． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 由，可得， 由， 可得：， 的取值范围是且． 故答案为： 且． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$