专题09 整式的运算（培优讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题09 整式的运算 真题重现 1．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）【阅读】 ；；； 将这三个等式的两边相加，则得到． 【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果：______； 【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：； 【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意得出规律即可； （2）根据（1）中的规律计算即可得解； （3）首先得出， 再进行计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，，…， ∴； （2） ； （3） ． 考点突破 一、整式的加减 【学霸笔记】 1. 几个整式相加减，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2. 整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 3. 整式加减注意事项： （1）整式的加减可以先合并同类项再去括号，也可以先去括号再合并同类项； （2）整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 【典例】已知代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简与二元一次方程的解．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．将原式化简提出，则含的项为0，由此可得与的值，再将原代数式化简，代入与的关系式即可． 【详解】解： 此代数式的值与字母的取值无关， ， 得， 当时， 原式． 故答案为：． 【巩固】如图，长方形中，若图中阴影部分的面积分别为，，，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查了图形面积，整体代入的思想；设长方形面积为S，则， 观察图形可得，，得出，从而得出，即可求出结果． 【详解】解：如图所示， 设长方形面积为S，则， 由图形可知： ， ， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 二、整式的乘法 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 【巩固】（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式的运用，代数式求值，积的乘方的逆用，二次根式的混合运算，根据题意得到当时，，当时，，再结合平方差公式进行因式分解并运算，即可解题． 【详解】解： ， 当时，， 当时，， ． 故答案为：1． 三、整体代入求值 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式法则计算，再将作为整体代入求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：， 将代入,得 ． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知得到，根据分式基本性质得到，得到，得到，根据，结合分式基本性质得到． 本题主要考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的基本性质，完全平方公式，立方和公式推导，是解决本题的关键． 【详解】由知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 模拟演练 1．已知正整数、满足等式，那么的最小值为（    ）． A．4027 B．4028 C．4029 D．4030 【答案】C 【分析】本题主要考查比例的运算，整式的混合运算，掌握整式的混合运算是解题的关键． 根据比例的性质，整式的混合运算可将变形得，当时，的值最小，由此即可求解． 【详解】解：由得， ∵、为正整数， ∴当时，的值最小，最小值为． 故选：． 2．已知，，其中、为正整数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．先将已知化为，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．若与的和是单项式，则m、n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，根据题意得，，进而可求解，根据题意得与为同类项是解题的关键． 【详解】解：依题意得：与为同类项， 则：，即， ，即， 故选C． 4．若，其中都是整数，则的值为（    ）． A． B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，代数式求值，化最简二次根式．先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而求出a、b、c的值，最后代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得： ， ∴． 故选：A． 5．如图1，长为，宽为的七张相同小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式加减的实际应用，根据图形可知：左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为，根据，得到，进而得到，根据始终不变，得到与的值无关，得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ∵，即，， ∴，即， ∴阴影部分面积之差， ∵始终保持不变， ∴，即． 故选：C． 6．定义一种新的运算“”：，其中、为常数，且使得等式恒成立，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的意义，幂的运算，求代数式的值，正确理解二次根式的意义是解答本题的关键．先根据二次根式的意义列出不等式组并求解，得到，再代入方程求出b的值，从而得到，依此即可求得答案． 【详解】根据题意得， ， ， 将代入得， 解得， ， ． 故答案为：1． 7．如果与是同类项，那么代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，整式的化简求值．先根据同类项的定义求出x，y的值，然后把所给代数式去括号合并同类项，再把求得的x，y的值代入计算即可． 【详解】解：由与为同类项得 ， 解得， ∴ ． 故答案为：． 8．已知多项式，，若为五次六项式，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是多项式的概念，整式的加减运算的应用．多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 根据整式的加减混合运算法则求出，根据题意求出m； 【详解】解：∵，， ∴ = = 由题意，得，或， 解得或． 当时，，为五次六项式，符合题意舍去； 当时，，为五次五项式，不符合题意； 综上，． 故答案为：1． 9．已知，则 ． 【答案】1016568 【分析】本题考查数字规律问题，对于一些有规律的问题立即，可先从最简单的几种情况中找出他们的规律．根据题意找出规律再进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：1016568 10．图中黑色圆点的个数依次为：，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第10个数为 ，第99个数为 ． 【答案】 120 11175 【分析】此题考查了图形类的规律变化，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键． 先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第10和99个能被3整除的数所在组为原数列中的个数，代入计算即可． 【详解】第①个图形中的黑色圆点的个数为：1， 第②个图形中的黑色圆点的个数为：， 第③个图形中的黑色圆点的个数为：， 第④个图形中的黑色圆点的个数为：， …… 第n个图形中的黑色圆点的个数为， ∴这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，．．．， ∴其中每3个数中，都有2个能被3整除， （组）， ∴第10个能被3整除的数为原数列中的个数为（个）， ∴=120． ∵（组）……1， ∴第99个能被3整除的数为原数列中的个数为（个） ∴， 故答案为：120，11175． 11．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴原式 ． 12．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：； ． 根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算， （1）根据多项式乘以多项式的运算法则计算，再将代入求解即可； （2）先根据新定义进行计算，可以发现规律为四个一循环，进而求解即可； 准确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）原式 ； （2）∵， ∴，每4个一循环； ∴， ∵， ∴原式 ． 13．有一个三位数，它的个位数字是，十位数字比个位数字的3倍少1，百位数字比个位数字大5． (1)用含的代数式表示这个三位数； (2)若交换这个三位数的个位数字与百位数字，则得到一个新的三位数，求这个新的三位数与原来的三位数之差的绝对值是多少？ (3)满足条件的原三位数是多少？ 【答案】(1) (2)495 (3)或或 【分析】本题主要考查了代数式的表示、整式的加减计算及一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键． （1）分别表示出十位上的数和百位上的数，再根据数的表示相加即可； （2）先表示出新的三位数，再求差并计算绝对值即可； （3）根据是不大于9的正整数，与都是不大于9的自然数得出的值，再计算出十位数字和百位数字即可得答案． 【详解】（1）解：∵个位数字是，十位数字比个位数字的3倍少1，百位数字比个位数字大5， ∴十位数字是，百位数字是， ∴这个三位数是． （2）∵交换这个三位数的个位数字与百位数字， ∴新三位数为， ∴新的三位数与原来的三位数之差的绝对值为． （3）∵、与都是不大于9的正整数， ∴，， 解得：， ∴或或， 当时，，， ∴这个三位数是； 当时，，， ∴这个三位数是； 当时，，， ∴这个三位数是． 综上所述：满足条件的原三位数是或或 14．【阅读理解】，，， 【实践应用】（1）①计算_____； ②计算_____； 【拓展应用】（2）计算的值 【答案】（1）①；②； （2） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为 及巧妙利用裂项相消法是解题的关键 （1）①根据题中所给示例即可解决问题； ②根据题中所给示例即可解决问题； （2）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可 【详解】解：（1）① 故答案为：． ② =     = 故答案为：． （2） …… 原式 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题09 整式的运算 真题重现 1．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）【阅读】 ；；； 将这三个等式的两边相加，则得到． 【归纳】（1）根据上述规律，猜想下列等式的结果：______； 【应用】（2）利用（1）中得到的结论计算：； 【迁移】（3）请你类比材料中的方法计算：． 考点突破 一、整式的加减 【学霸笔记】 1. 几个整式相加减，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2. 整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）： （1）利用整式的加减运算将整式化简； （2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子； （3）依据有理数的运算法则进行计算. 3. 整式加减注意事项： （1）整式的加减可以先合并同类项再去括号，也可以先去括号再合并同类项； （2）整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 【典例】已知代数式的值与字母的取值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简与二元一次方程的解．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．将原式化简提出，则含的项为0，由此可得与的值，再将原代数式化简，代入与的关系式即可． 【详解】解： 此代数式的值与字母的取值无关， ， 得， 当时， 原式． 故答案为：． 【巩固】如图，长方形中，若图中阴影部分的面积分别为，，，则 ． 二、整式的乘法 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 【巩固】（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则 ． 三、整体代入求值 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式法则计算，再将作为整体代入求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：， 将代入,得 ． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值为 ． 模拟演练 1．已知正整数、满足等式，那么的最小值为（    ）． A．4027 B．4028 C．4029 D．4030 2．已知，，其中、为正整数，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．若与的和是单项式，则m、n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．若，其中都是整数，则的值为（    ）． A． B．4 C．6 D．8 5．如图1，长为，宽为的七张相同小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足（    ） A． B． C． D． 6．定义一种新的运算“”：，其中、为常数，且使得等式恒成立，那么 ． 7．如果与是同类项，那么代数式的值等于 ． 8．已知多项式，，若为五次六项式，则的值是 ． 9．已知，则 ． 10．图中黑色圆点的个数依次为：，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第10个数为 ，第99个数为 ． 11．已知，求的值． 12．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如：； ． 根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 13．有一个三位数，它的个位数字是，十位数字比个位数字的3倍少1，百位数字比个位数字大5． (1)用含的代数式表示这个三位数； (2)若交换这个三位数的个位数字与百位数字，则得到一个新的三位数，求这个新的三位数与原来的三位数之差的绝对值是多少？ (3)满足条件的原三位数是多少？ 14．【阅读理解】，，， 【实践应用】（1）①计算_____； ②计算_____； 【拓展应用】（2）计算的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$