第3章 图形的平移与旋转-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷 第3章 图形的平移与旋转 试题满分：100分 难度系数：0.39（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（19-20七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，将三角形沿一特定方向平移，得到三角形，点B的对应点的坐标是，则和的坐标分别是（　　） A． B． C． D． 3．（本题2分）（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（24-25九年级上·重庆丰都·期末）如图，中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A、C的对应点分别为D、E，延长交于点F，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D．3 7．（本题2分）（24-25九年级上·河南新乡·期中）剪纸是中国古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图，这是一张蕴含着轴对称图形的蝴蝶剪纸，点A和点B对称，点C与点D对称，将其放置在平面直角坐标系中，连接，得到四边形．若点，现将四边形沿着y轴向下平移3个单位长度，再沿着x轴向右平移4个单位长度，得到四边形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（本题2分）（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（   ）． A． B．4 C． D．8 9．（本题2分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 10．（本题2分）（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，，分别与交于，两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论：；DA平分；若，，则；若，则．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，点落在边上，若，则 °． 12．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，为边上的中线，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则长度的最小值为 ． 13．（本题2分）（24-25九年级上·广西玉林·期中）在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若．则下列四个结论：①；②是等边三角形；③；④的周长是9．其中正确的结论是 （填序号）． 14．（本题2分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标是 ． 15．（本题2分）（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，，，点为线段的中点，点是线段上的定点，且，将 绕点按逆时针方向旋转，得到 ．在绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最小值为 16．（本题2分）（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，……按此规律旋转至点，则 ． 17．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，点是等边三角形边的中点，点是直线上一动点，连接，并绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则的值为 ． 18．（本题2分）（24-25七年级上·四川成都·期末）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动： 如图，取边的中点P，剪下，将沿着射线的方向依次进行平移变换，每次均移动的长度，得到了、和．若，，则以为三边构成的新三角形面积，则a的值为 ． 19．（本题2分）（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为 ． 20．（本题2分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，且点，，在同一条直线上，连接． (1)求的值； (2)求的长． 22．（本题6分）（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； (2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； (3)若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 23．（本题8分）（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； (3)当，，时，请求出的长． 24．（本题8分）（24-25七年级下·全国·期末）如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 25．（本题8分）（24-25八年级上·四川巴中·期末）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 26．（本题8分）（20-21八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，，以为边作，，，与交于点． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，若，延长至点，连接交于点，若点为的中点，证明：； (3)如图3，若，，将绕点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接．在旋转过程中，当最大时，直接写出的面积． 27．（本题8分）（24-25八年级上·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点与点关于轴对称，为线段上一点，直线与交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)为直线上一动点，当，求点坐标； (3)如图2，将绕点逆时针旋转，得到，直线与射线分别交于，则当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长度． 28．（本题8分）（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，等边中，，点在上，且，动点从点出发沿射线以速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为． (1)用含t的代数式表示的长． (2)如图②，当点落在边上时，求证：． (3)当平行于的一边时，直接写出的值． (4)作点D关于点O的对称点E，当______秒时，点E恰好落在射线上． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷 第3章 图形的平移与旋转 试题满分：100分 难度系数：0.39（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（19-20七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路指引】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 【完整解答】解：沿着直线的方向平移后得到， ，故①正确； ，故②正确； 故③正确； ， 又， ， ，故④正确； 故选：D． 2．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，将三角形沿一特定方向平移，得到三角形，点B的对应点的坐标是，则和的坐标分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路指引】本题主要考查坐标的平移变化，根据对应点的坐标得出平移的方向和距离及平移的定义和性质是解题的关键． 根据点的对应点的坐标是得到平移分式，据此根据平移的定义和性质解答即可． 【完整解答】解：∵点的对应点的坐标是， ∴平移方式为向右移5个单位、上移1个单位， ∵点， ∴和的坐标分别是． 故选：A． 3．（本题2分）（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路指引】本题考查了平移与坐标，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点、的坐标确定出平移方式，再根据平移方式结合图形解答即可． 【完整解答】解：点的对应点， 平移规律为向右平移个单位，再向上平移个单位， 向右平移个单位，再向上平移个单位，得到对应点C的坐标为即． 故选：D． 4．（本题2分）（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路指引】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【完整解答】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 5．（本题2分）（24-25九年级上·重庆丰都·期末）如图，中，，将绕点B逆时针旋转得到，点A、C的对应点分别为D、E，延长交于点F，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路指引】本题考查了旋转．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后图形全等． 根据旋转的性质逐一判断即得． 【完整解答】A. 由旋转知，，∴，∴选项不正确； B. 由旋转知，，∴选项正确； C. ∵旋转角为，∴，∴选项正确； D. ∵旋转角为，∴，∴选项正确． 故选：A． 6．（本题2分）（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】D 【思路指引】由旋转的性质可知，又因为，可得为等边三角形，又因为中有，所以，故由已知，算出，相减即可． 【完整解答】解：，， 为等边三角形， ， 在中，， 则， ， ， ，， ， 故选：D． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解答本题的关键是对特殊直角三角形（含锐角）的边与边的关系要熟练计算． 7．（本题2分）（24-25九年级上·河南新乡·期中）剪纸是中国古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图，这是一张蕴含着轴对称图形的蝴蝶剪纸，点A和点B对称，点C与点D对称，将其放置在平面直角坐标系中，连接，得到四边形．若点，现将四边形沿着y轴向下平移3个单位长度，再沿着x轴向右平移4个单位长度，得到四边形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路指引】本题考查了轴对称的性质，点的平移，解题的关键是求出点坐标． 由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，求出点坐标，即可求解． 【完整解答】解：∵对称， ∴对称轴为直线， ∵与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 点沿着y轴向下平移3个单位长度，再沿着x轴向右平移4个单位长度，得到． 故选：B． 8．（本题2分）（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（   ）． A． B．4 C． D．8 【答案】A 【思路指引】把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作，点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长．当、、、四点在同一直线上时，最小．即可求解； 【完整解答】解：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当、、、四点在同一直线上时，最小． ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 中，， ， ， ， 故选：A 【考点评析】本题属于三角形综合题，考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 9．（本题2分）（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【思路指引】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，，可证，得到，又可得，即得到是以为边长的钝角三角形，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【完整解答】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴是以为边长的钝角三角形， 故选：． 10．（本题2分）（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，，分别与交于，两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论：；DA平分；若，，则；若，则．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路指引】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得，，判断出正确；利用勾股定理得到，过作于点，再利用勾股定理求出，故正确；根据角的度数得到，然后利用“角角边”证明 和全等，根据三角形面积公式即可求得，判断出错误，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】∵，， ∴，， 由旋转性质可知， ∴，，，， ， ∴，故正确； ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故正确； 在中，， ∵，， ∴， 当，时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于点， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， 设到边距离为， ∴，， ∴， ∴，故错误； 综上正确， 故选：． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，把绕点按顺时针方向旋转，得到，点落在边上，若，则 °． 【答案】24 【思路指引】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和；先根据旋转得到，然后得到的度数，然后根据平行线的性质得到，再根据角的和差解题即可． 【完整解答】解：由旋转可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：24． 12．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，为边上的中线，且，点P是上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】 【思路指引】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，得到点Q的运动路线是解答的关键．先求得，证明，推出，得到点在射线上，当时，长度取得最小值，据此求解即可． 【完整解答】解：取的中点，连接、，    ∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在射线上，且， 当时，长度取得最小值， ∵，， ∴，又， ∴，， ∴长度的最小值为， 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25九年级上·广西玉林·期中）在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若．则下列四个结论：①；②是等边三角形；③；④的周长是9．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【思路指引】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．先根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得到，，所以，则根据平行线的判定方法即可得到；由绕点B逆时针旋转，得到得到，则可判断是等边三角形；根据等边三角形的性质得，而，则可判断；由是等边三角形得到，再利用绕点B逆时针旋转，得到，则，所以的周长． 【完整解答】解：∵为等边三角形， ∴， ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴，所以①正确； ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴是等边三角形，所以②正确； ∴， ∵， 又, ∴ ∴，所以③错误； ∵是等边三角形， ∴， 而绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴的周长，所以④错误． 所以，正确的结论是①②， 故答案为：①②． 14．（本题2分）（24-25八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘，将得到的点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到正方形及其内部的点，其中点，的对应点分别为，．已知正方形内部的一点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【思路指引】本题综合考查了数形结合及方程思想，结合图象，利用已知点得出平移规律，再根据题意，利用方程达到解决问题的目的． 首先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组，，即可求出、 、的值， 设点的坐标为， 点点重合可列出方程组，再解可得点坐标． 【完整解答】解：由点A到可得方程组， 由B到可得方程组， 解得， 设点的坐标为， 点点重合得到方程组， 解得 ， 即． 故答案为：. 15．（本题2分）（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，，，点为线段的中点，点是线段上的定点，且，将 绕点按逆时针方向旋转，得到 ．在绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最小值为 【答案】 【思路指引】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．过点作，交的延长线于点，由，可推出，得到，进而求出，，，结合，利用等面积法求出，根据当旋转到点的对应点恰好在上时，有最小值，即可求解． 【完整解答】解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即， 解得：， 点为线段的中点， ， 当旋转到点的对应点恰好在上时，有最小值， 线段长度的最小值为， 故答案为：． 16．（本题2分）（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，……按此规律旋转至点，则 ． 【答案】8097 【思路指引】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加5，4，3，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【完整解答】解：∵中，， ∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加12． 又∵， ∴． 故答案为：． 17．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，点是等边三角形边的中点，点是直线上一动点，连接，并绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则的值为 ． 【答案】4 【思路指引】连接，延长到，使得，连接，证明，得到，即点在与成的直线上运动，证明当时，有最小值为：，求出，即可得． 【完整解答】解：连接，延长到，使得，连接， ∵是等边三角形，点是的中点， ， ， 根据旋转可得， ，即， 在和中， ， ， ， ∴点在与成的直线上运动， ∴当时，有最小值为：， 即：， ， ， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等知识点，解题的关键是证明当时，有最小值为：，即． 18．（本题2分）（24-25七年级上·四川成都·期末）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动： 如图，取边的中点P，剪下，将沿着射线的方向依次进行平移变换，每次均移动的长度，得到了、和．若，，则以为三边构成的新三角形面积，则a的值为 ． 【答案】 【思路指引】本题主要考查了平移变换综合题．熟练掌握平移性质，勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，是解题是关键． 分别取的中点M、Q、N，连接，由，根据平移变换的性质，就有、和都是等腰三角形，就有．，由勾股定理就可以求出，从而得出新三角形三边的值，根据勾股定理的逆定理得新三角形是直角三角形，根据三角形面积公式，从而得出结论． 【完整解答】如图，分别取的中点M、Q、N，连接， ∵中，， 根据平移变换的性质，、和都是等腰三角形， ∴． ， 在中，， ∴， 则， ∴， ∴， ∴新三角形为直角三角形，长为斜边长． ∵，，新三角形面积为， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（本题2分）（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，点P是在正内一点．，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，四边形的面积为 ． 【答案】 【思路指引】由旋转的性质可证是等边三角形，过点作于点，证明，得到，利用勾股定理逆定理，得出，再根据四边形求解． 【完整解答】解：由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， 如图，过点作于点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ， 四边形的面积为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转和等边三角形的性质是解题关键． 20．（本题2分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，P为三角形内一点，则的最小值为 ．    【答案】 【思路指引】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造等边三角形是本题的关键． 将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． 【完整解答】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，     ，，，， ∴是等边三角形，， ∴ ∴， ∵， ． 在中，，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，且点，，在同一条直线上，连接． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【思路指引】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据旋转的性质得出，，根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理得出旋转角，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据得出，根据，即可求解． 【完整解答】（1）， 由旋转得， 点在同一条直线上， ， ， 旋转角的度数是，即， 的值为120． （2）， ， 由（1）知， ， ， 的长为6． 22．（本题6分）（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； (2)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； (3)若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3) 【思路指引】本题考查了作图-旋转变换、平移． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可； （3）作和的垂直平分线，它们的交点P满足条件． 【完整解答】（1）解：如图所示： 的坐标为； （2）解：如图所示， 的坐标为； （3）解：如图， 若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得． 23．（本题8分）（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； (3)当，，时，请求出的长． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)的长度为或 【思路指引】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定性质． （1）由将线段绕点逆时针旋转得到线段，得，，从而，故，得； （2）根据，得，由，即知，从而，有，故； （3）根据，得，分两种情况：①当在线段上时，,得到； ②当在延长线上时，，得． 【完整解答】（1）解：，理由如下： 如图： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 在与中，， ， ； （2）解：线段、、之间的数量关系为，证明如下： 如图： ， ， 同（1）可证， ， ， ， ； （3）解， ∴， ①当在线段上时，如图： ∵， ， 由（2）知 ； ②当在延长线上时，如图： ∵， ， ； 综上所述，的长度为或． 24．（本题8分）（24-25七年级下·全国·期末）如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【思路指引】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据平移规律即可解答； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可； （3）点在线段上、的延长线、的延长线上三种情况，分别做辅助线、构造平行线并运用平行线的性质即可解答． 【完整解答】（1）解：根据题意可得，点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为；点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 故答案为：，． （2）解：存在．由（1）可知，点到轴的距离为4， ． 点到轴的距离为4， ， ， ． 点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或 点的坐标为或． （3）解：①如图①，当点在线段上时，过点作轴，则， ，． 又， ． ②如图②，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ； ③如图③，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ． 综上，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 25．（本题8分）（24-25八年级上·四川巴中·期末）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3） 【思路指引】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，； （2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则． 【完整解答】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴，； 故答案为：，； （2），证明如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 26．（本题8分）（20-21八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，，以为边作，，，与交于点． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，若，延长至点，连接交于点，若点为的中点，证明：； (3)如图3，若，，将绕点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接．在旋转过程中，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【思路指引】（1）过点作垂足为，根据含角的直角三角形性质求出的长，进一步求出，再证明是等边三角形，即可求解； （2）过点作，交于点，根据证明利用等式的性质证明即可； （3）如图3，取中点，连接，，，，由可证可得，由三角形的三边关系可得则当点在线段上时，有最大值，由勾股定理可求的长，即可求解． 【完整解答】（1）解：如图1，过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 即 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）证明：如图2，过点作，交于点， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ； （3）解：∵，， ∴，则， ∵， ∴点在线段上， ∵，， ， ∵将绕点逆时针旋转得到， ，，， 如图3，取中点，连接，，，， ∵，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴当点在线段上时，有最大值， 此时，如图4， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 27．（本题8分）（24-25八年级上·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点与点关于轴对称，为线段上一点，直线与交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)为直线上一动点，当，求点坐标； (3)如图2，将绕点逆时针旋转，得到，直线与射线分别交于，则当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【思路指引】（1）先求出两点的坐标，根据，求出点坐标，再根据点与点关于轴对称可得点坐标，利用待定系数法即可解答； （2）由（1）知直线的解析式，联立直线和直线的解析式求出点坐标，利用两坐标间距离公式求出，证明是直角三角形，且，易得是直角三角形，且，求出，由，求出的长，设，建立方程解答即可； （3）设，分，，两种情况讨论即可． 【完整解答】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于两点， 令，则；令，则，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）知直线的解析式为， 联立， 解得： ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， 则，即， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴点坐标为或； （3）解：如图，连接， 由（1）（2）知，，，，，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴是等腰三角形， ∴，， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， 设， 如图，当时， 则与x轴重合，即两点重合， ∴，即轴， ∴，则，即， ∴； 如图，当时， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴轴， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴； 综上，的长度为或． 【考点评析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形旋转变换、全等三角形的判定和性质及等腰三角形的存在性，解题的关键是将代数问题转化为几何的距离和分类讨论思想的应用． 28．（本题8分）（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图①，等边中，，点在上，且，动点从点出发沿射线以速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为． (1)用含t的代数式表示的长． (2)如图②，当点落在边上时，求证：． (3)当平行于的一边时，直接写出的值． (4)作点D关于点O的对称点E，当______秒时，点E恰好落在射线上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为或 (4)10 【思路指引】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质及动点问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1），当时，，当时，； （2）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，可得，而是等边三角形，有，故，即得，由可证； （3）当时，是等边三角形，可得，；当时，可得，重合，，故； （4）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，又关于点的对称点，有，故，再证，，即可得，，可得，，从而． 【完整解答】（1）解：由已知得，， 当时，， 当时，； ； （2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：当时，如图： ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 当时，如图： ， ， ，重合， ， ， 综上所述，的值为或； （4）解：如图： 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 关于点的对称点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：10． 学科网（北京）股份有限公司 $$