第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷 第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组 试题满分：100分 难度系数：0.39（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路指引】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组恰有2个整数解，即可确定整数解，然后得到关于a的不等式求解即可． 【完整解答】解：解不等式组得：， ∵恰好有2个整数解， ∴整数解是2，1， ∴． 故选：D． 2．（本题2分）（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（    ） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 【答案】A 【思路指引】本题考查不等式的知识，解题的关键是掌握不等式的性质，根据题意，可得，求出的取值范围，推出的取值范围，再根据，得到，即可． 【完整解答】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴有最大值，且最大值为． 故选：A． 3．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路指引】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案． 【完整解答】解：由题意得：且， 解得：， 故选：C． 4．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【思路指引】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及一元一次方程的解，熟知解一元一次不等式组及解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先根据所给方程的解为非负整数，得出的取值范围，再结合所给不等式组的整数解只有3个即可解决问题． 【完整解答】解：由方程得：， ∵关于的方程的解是非负整数， ∴， 解得， 解不等式组得：， ∵此不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∴， ∵关于的方程的解是非负整数，， ∴符合条件的所有整数的和是：， 故选：A． 5．（本题2分）（24-25八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，直线经过点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路指引】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程之间的关系是解题的关键．所求方程的解，即为函数图像与x轴交点横坐标，据此即可求解． 【完整解答】解：方程的解，即为函数图象与x轴交点的横坐标， ∵直线过， ∴方程的解是． 故选：D． 6．（本题2分）（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路指引】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【完整解答】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：B． 【考点评析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 7．（本题2分）（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面说法中正确的有（   ） ①是方程的一组解；②若，则；③是的解集；④若，那么的取值范围是；⑤二元一次方程只有两组正整数解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路指引】根据二元一次方程的解，不等式的性质，一元一次不等式的解集，绝对值的意义逐个分析即可． 【完整解答】解：①当时，，∴不是方程的一组解，故不正确； ②若，则当时，，故不正确； ③是的一个解，而不是解集，故不正确； ④若，那么的取值范围是，即，正确； ⑤∵，∴，∴，，∴二元一次方程只有两组正整数解，正确． 故选B． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的解，不等式的性质，一元一次不等式的解集，绝对值的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 8．（本题2分）（23-24八年级下·全国·单元测试）对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． 下列说法正确的有（    ） ①点B是点A到点C的倍分点；②点C是点B到点A的倍分点； ③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路指引】本题是新定义型题目，主要考查了有理数与数轴，数轴上的点与表示这个的点的数字的特征，解不等式组，理解新定义并熟练应用以及用数轴上的点对应的数字表示线段的长度，然后逐个分析即可． 【完整解答】点，，分别表示，，2， ，， ， 点是点到点的倍分点，故①正确； ， 点是点到点的倍分点．故②错误； 设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，， ∴ ∴ ∴或， 解得或， ∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误； 设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，， ∴ ∴ ∴或， 解得或， ∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误； 设点是点A到点D的4倍分点，对应的数字为，则， ∵点在线段上， ∴， ∴，， ∴ ∴ 当时，， 解得， ∴，解得， 当时，， 解得， ∴，解得， 综上所述，或， ∴，故④正确； 正确的有2个， 故选：B． 9．（本题2分）（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【思路指引】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【完整解答】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 10．（本题2分）（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【思路指引】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【完整解答】解：分别作出函数，，的图象，根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，；②，解得，；③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最大值为， 故选：C． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）若整数k使得关于x的一元一次方程的解为正整数，且使得关于y的不等式组有且仅有两个偶数解，则所有满足条件的整数k的和为 ． 【答案】10 【思路指引】本题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的整数解，正确掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．解元一次方程得到或6或12，由不等式组有且仅有两个偶数解求出k的取值范围，即可得到所有满足条件的的和． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， 整数k使得关于x的一元一次方程的解为正整数， ∴， 或6或12， ， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式的解集为， 关于y的不等式组有且仅有两个偶数解， ， ， 所有符合条件的整数k的值有4，6， 所有满足条件的整数k的和为． 故答案为：． 12．（本题2分）（24-25七年级下·全国·随堂练习）为了发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，共有道题．评分标准为：答对题得分，答错题扣分，不答扣分．某同学有道题未答，并且得分超过了分，则他至少答对了 道题． 【答案】 【思路指引】本题考查了一元一次不等式的应用，设他答对了道题，则答错了道题，根据题意列出不等式即可求解，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 【完整解答】解：设他答对了道题，则答错了道题， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴他至少答对了道题， 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（为正整数），甲，乙的面积分别为．若满足条件的整数有且只有2个，则的值为 ． 【答案】 【思路指引】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，求不等式组的解集，根据长方形和正方形面积计算公式求出，进而得到，再根据满足条件的整数有且只有2个得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【完整解答】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵满足条件的整数有且只有2个， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25八年级上·重庆·阶段练习）购物车是我们在超市购物经常用到的工具．如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输 辆购物车． 【答案】 【思路指引】本题考查了求函数表达式，一元一次不等式的应用．根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，设采购了n辆购物车，车身总长为L，结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答． 【完整解答】解：设采购了n辆购物车，车身总长为L， ∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加 ∴ ∵已知该商场的直立电梯长为， 令， 解得： ∵一次可以运输两列购物车， ∴一次性最多可以运输18辆购物车； 故答案为：． 15．（本题2分）（24-25八年级上·重庆渝北·期末）若四位数满足且各个数位上的数互不相等，那么称这个数为“合作数”，例如：四位数，∵，∴是合作数，又如四位数，∵，∴不是合作数．若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是 ；若一个“合作数”的前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和满足被整除，则满足条件的最大“合作数”是 ． 【答案】 【思路指引】本题考查二元一次方程，不等式的性质，列代数式，整式的加减，熟练根据题意列出代数式，并熟练掌握分离整数法，解不定方程是解题的关键．利用千位为，得出，要使“合作数”最大确定百位数为，得出，再取十位最大即可；根据题意列出前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和为，利用它们的和被整除，得出是整数，结合及、、、的性质得出，则此时，结合、、、的性质即可得出满足条件的最大“合作数”． 【完整解答】解：∵“合作数”千位为，， ∴， 要使“合作数”最大，则百位数为， ∴，即， ∵各个数位上的数互不相等， ∴十位数为且个位数为时，“合作数”最大， ∴若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是； 由题意得、、、是整数，且，，，， 前三位数可表示为，后三位数可表示为， ∴它们的和为， ∵它们的和被整除， ∴是整数， ∵、、、是整数， ∴是整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，且各个数位上的数互不相等， ∴， 又∵是整数， ∴， ∴，即， 又∵、是整数，且，， ∴要使满足条件的“合作数”最大，最大取（大于时，）， 此时， ∵，、是整数，且，， ∴要使满足条件的“合作数”最大，最大值为，此时，， ∴满足条件的“合作数”最大是， 故答案为：①；②． 16．（本题2分）（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买101（包括101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售加低2元，某人原预购商品若干件，需按原零售价结算付a元，但若多买21件，则可按批发价结算恰好也是a元（a为整数），则 ． 【答案】 【思路指引】本题考查了不等式的应用，读懂题意找准等量关系，根据题意求出的取值范围是解本题的关键． 设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元，根据题意列出方程，根据，得出，即可得出答案． 【完整解答】解：设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元， 根据题意得：， 即：， ∵为正整数， ∴为2的倍数， 根据题意知：， ∴， 则， 解得：，且为2的倍数 ∴时，， ∴． 故答案为：． 17．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 【答案】 【思路指引】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解二元一次方程组，先解方程组可得，再由为负数，为非正数，求得，再由不等式的解集为得到，最后取整数即可． 【完整解答】解：解方程组， 得， 因为为负数，为非正数， 所以， 解得， 因为， 所以． 要使不等式的解集为， 必须， 解得． 又因为3，且为整数， 所以． 故答案为：． 18．（本题2分）（21-22八年级上·重庆·期末）年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 元． 【答案】 【思路指引】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，设徽章和抱枕的价格均为元，风铃的价格为元，公仔的销售数量为件，则公仔的价格为元，徽章的销售数量为件，风铃和抱枕的销售数量均为件，根据题意列方程即可求解． 【完整解答】设徽章和抱枕的价格均为元，风铃的价格为元，公仔的销售数量为件，则公仔的价格为元，徽章的销售数量为件，风铃和抱枕的销售数量均为件，由题意得： 整理得： 徽章和风铃的销售总额为： 把代入得： 当时 徽章和风铃销售总额最大，最大值为：（元） 故答案为：． 19．（本题2分）（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，当时，，则满足条件的k的取值范围是 ． 【答案】且 【思路指引】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，联立与，求出两条直线交点的横坐标，根据当时，，结合图象列不等式，即可求解． 【完整解答】解：联立与， 得， 解得， 即一次函数()与的图像的交点的横坐标为， 当时，， ， ∴， 解得； 当时，与两条直线平行，且的图象在直线的下方，所以，当时，，满足题意； 又， 满足条件的的取值范围是且， 故答案为：且． 20．（本题2分）（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立了本班的图书角．建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于．第一周结束后，三个图书角共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为；第二周结束后，三个图书角又共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为．若每个班的图书角的书籍总本书为正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍 本． 【答案】 【思路指引】设第二周结束后丙班图书角拥有书籍本，第二周结束后甲班图书角拥有书籍本，第二周结束后乙班图书角拥有书籍本，则第二周结束后三个班的图书角的书籍总数为本，再根据建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于列出不等式组求出；再由第一周结束后，三个图书角的书本数量之比为，得到是26的倍数，进一步推出是13的倍数，由此求出x的值即可得到答案． 【完整解答】解：设第二周结束后丙班图书角拥有书籍本，第二周结束后甲班图书角拥有书籍本，第二周结束后乙班图书角拥有书籍本， ∴第二周结束后三个班的图书角的书籍总数为本， 由题意得，， 解得； ∵x为整数， ∴x的值可以为43，44，45，46，47，48； ∵第一周结束后，三个图书角的书本数量之比为， ∴第一周结束后三个班的图书角的书籍总数一定是的倍数， ∴是26的倍数， ∴是整数， ∴是整数，即是13的倍数， ∴满足题意的x的值只能是45， ∴， ∴第二周结束后丙班图书角拥有书籍本， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系求出是解题的关键． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）解不等式或不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路指引】本题考查了解不等式和不等式组，掌握解法步骤是关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤即可解出答案； （2）分别求出两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可． 【完整解答】（1）解：， 去分母，得：， 去括号，得： 移项，得：， 合并同类项，得：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解得： 所以不等式组的解集为 22．（本题6分）（24-25八年级下·全国·期末）甲、乙两家水果批发店销售同一种香梨，甲店每千克香梨的价格为5元，乙店为了吸引顾客制定如下方案：当一次性购买不超过10千克时，每千克价格为6元，超过10千克时，超过部分每千克价格为3元．设小王在同一家店一次性购买香梨x千克（）． (1)若在甲店购买需花费元，在乙店购买需花费元，分别求关于x的函数解析式； (2)请结合x的范围，计算并说明在哪家店购买更省钱． 【答案】(1) (2)当时，在乙店购买更省钱；当时，在两家店购买一样省钱；当时，在甲店购买更省钱 【思路指引】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据两家批发店的方案列出函数关系式即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可． 【完整解答】（1）解：由题意，得关于x的函数解析式为． 当时，； 当时，． ∴关于x的函数解析式为； （2）①当时，，此时在甲店购买更省钱． ②当时，令，解得． 令，解得． 令，解得． 综上所述，当时，在乙店购买更省钱；当时，在两家店购买一样省钱；当时，在甲店购买更省钱． 23．（本题8分）（24-25八年级下·全国·期末）某服装店招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成25元； 方案二：底薪3000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成20元． 设销售人员每月售出x件商品，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为（单位：元）． (1)分别写出关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (2)若销售人员小王某月售出了150件商品，则他应该选择哪种方案，才能得到更高的月工资？请说明理由． (3)根据每月售出商品的件数，销售人员小王应如何选择方案，才能得到更高的月工资？ 【答案】(1)， (2)方案二，见解析 (3)见解析 【思路指引】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键： （1）根据两种方案，写出函数解析式即可； （2）将分别代入，求出值进行比较即可； （3）分，，再根据，，，进行求解即可． 【完整解答】（1）解：根据题意，得． 当时，； 当时，， ∴； （2）他应该选择方案二，才能得到更高的月工资．理由如下： 对于方案一：当时，元； 对于方案二：当时，元； ， ∴他应该选择方案二，才能得到更高的月工资． （3）当时，． ∵， ∴随x的增大而增大． ∴当时，． 当时，令，得． 解得． 令，得．解得． 令，得．解得． ∴当时，选择方案二能得到更高的月工资； 当时，选择方案一和方案二得到的月工资相同； 当时，选择方案一能得到更高的月工资． 24．（本题8分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图）等信息如下： 货运收费项目及收费标准表 运输工具 运输费单价：元/（吨•千米） 冷藏费单价：元/（吨时） 固定费用：元/次 汽车 2 5 200 火车 1.6 5 2280 (1)汽车的速度为多少？火车的速度为多少？ (2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为（元）和（元），分别求、与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (3)当x为何值时，．（总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用） 【答案】(1)汽车的速度为60千米/时，火车的速度100千米/时 (2)， (3) 【思路指引】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出函数关系式． （1）根据函数图象可得汽车的速度为60千米时，火车的速度100千米时； （2）根据总费用=运输费+冷藏费+固定费用可得，； （3）由，可解得答案． 【完整解答】（1）解：根据函数图象可知：汽车的速度为（千米/时）， 火车的速度为（千米/时）， 答：汽车的速度为60千米/时，火车的速度100千米/时， （2）解：根据表格可得：， ， 答：每天用汽车运输的总费用为，每天用火车运输的总费用； （3）解：当时，， 解得， 答：当时，． 25．（本题8分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售、两种配件．已知购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元． (1)求、两种配件的进货单价； (2)若该配件销售部门计划购进、两种配件共400件，配件进货件数不低于配件件数的3倍．据市场销售分析，配件提价16%销售，配件的售价是进价的．怎样安排、两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元 (2)购进A配件100件，B配件300件获得利润最大，最大利润为10000元 【思路指引】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，得出，根据配件进货件数不低于配件件数的3倍，求出，根据一次函数增减性求出结果即可． 【完整解答】（1）解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元； （2）解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵配件进货件数不低于配件件数的3倍， ∴， 解得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元）， 此时需要购进A配件100件，B配件300件． 26．（本题8分）（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【思路指引】（1）将点代入，确定定B的坐标，分别把A，B的坐标代入，解答即可； （2）根据交点坐标的意义，结合不等式解答即可； （3）分为：及三种情形讨论得出结果． 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【完整解答】（1）解：将点代入， 得， 故 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为，∵， ∴． （3）解：根据题意，得， 故，， 同理可得，； 故； 当时，得到,此时， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 综上所述：或或或． 27．（本题8分）（24-25八年级上·重庆·阶段练习）一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)型每台元、型每台元 (2)该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值 【思路指引】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设型每台元、型每台元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为4． 【完整解答】（1）解：设型每台元、型每台元，根据题意得， 解得： 答：型每台元、型每台元 （2）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于元， ， 即， 解得：， ． 答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值． 28．（本题8分）（24-25八年级下·全国·期末）【概念提出】 已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）． （1）若，则 ； （2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明） 【拓展延伸】 （3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化． ①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ； ②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，． 【答案】（1）1或；（2）见解析；（3）① 2 ；② 75 【思路指引】本题主要考查了角的和差倍分问题、尺规作图、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，理解题意，学会结合图形分类讨论计算是解题的关键，本题属于综合题，需要较强的推理论证和数形结合能力，适合有能力解决难题的学生． （1）根据题意，分射线在的内部或外部2种情况计算即可； （2）由，分射线在下方、在内部、在上方3种情况讨论，得出符合题意，再利用尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作出的2倍即可得到射线； （3）①根据题意，讨论和，分别计算出的取值范围，即可得出最小值；②设旋转时间为秒，结合图形可得，再分3种情况讨论：；；；再结合，运用不等式的性质即可得出结论． 【完整解答】（1）解：若射线在的内部，则， ； 若射线在的外部，则， ； 综上所述，或． 故答案为：1或． （2）解：， ， ， 若射线在下方，此时， ，即（不符合题意，舍去）； 若射线在内部，此时， ， ，即射线为的三等分线， 由于尺规作图不能三等分任意角，故不符合题意，舍去； 若射线在上方，此时， ， ， 如下图，则射线即为所求： （3）解：①当旋转时间为45秒时，， ， 射线位于内部或边上， 下面分2种情况讨论： 当，此时， ， 由图可知，， ； 当，此时， ； 综上所述，的最小值为2． 故答案为：2． ②当射线在内部或边上时，则有， 此时，不符合题意， 射线不能在内部或边上，即的两边都在的外部， 设旋转时间为秒， 当射线从图2的位置旋转至，则， 当射线从图2的位置旋转至，则， ； 当时，如图， 则，此时， 当，此时， ， 此时的最小值为3，不符合题意， 在范围内不存在符合题意的旋转时间； 当时，如图， 则，此时， 当，此时， ， 此时的最小值为3，不符合题意， 在范围内不存在符合题意的旋转时间； 当时，如图， 当，由①中的结论有：，符合题意； 当，此时有或， 令，则或， 解得：或， 射线位于内部或边上， 或， 当时，， 当时，， 当时，． 故答案为：75． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷 第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组 试题满分：100分 难度系数：0.39（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（    ） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 3．（本题2分）（2025八年级下·全国·专题练习）若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）关于的方程的解是非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．8 B．12 C．15 D．18 5．（本题2分）（24-25八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，直线经过点，则方程的解为（     ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（本题2分）（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面说法中正确的有（   ） ①是方程的一组解；②若，则；③是的解集；④若，那么的取值范围是；⑤二元一次方程只有两组正整数解． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（本题2分）（23-24八年级下·全国·单元测试）对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． 下列说法正确的有（    ） ①点B是点A到点C的倍分点；②点C是点B到点A的倍分点； ③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（本题2分）（2024·贵州遵义·三模）已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 10．（本题2分）（2024·浙江·模拟预测）我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）若整数k使得关于x的一元一次方程的解为正整数，且使得关于y的不等式组有且仅有两个偶数解，则所有满足条件的整数k的和为 ． 12．（本题2分）（24-25七年级下·全国·随堂练习）为了发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，共有道题．评分标准为：答对题得分，答错题扣分，不答扣分．某同学有道题未答，并且得分超过了分，则他至少答对了 道题． 13．（本题2分）（24-25八年级上·河南新乡·期末）已知甲，乙两个长方形，它们的边长如图（为正整数），甲，乙的面积分别为．若满足条件的整数有且只有2个，则的值为 ． 14．（本题2分）（24-25八年级上·重庆·阶段练习）购物车是我们在超市购物经常用到的工具．如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输 辆购物车． 15．（本题2分）（24-25八年级上·重庆渝北·期末）若四位数满足且各个数位上的数互不相等，那么称这个数为“合作数”，例如：四位数，∵，∴是合作数，又如四位数，∵，∴不是合作数．若一个“合作数”千位为，则满足条件的最大“合作数”是 ；若一个“合作数”的前三个数字组成的三位数和后三个数字组成的三位数的和满足被整除，则满足条件的最大“合作数”是 ． 16．（本题2分）（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买101（包括101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售加低2元，某人原预购商品若干件，需按原零售价结算付a元，但若多买21件，则可按批发价结算恰好也是a元（a为整数），则 ． 17．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 18．（本题2分）（21-22八年级上·重庆·期末）年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 元． 19．（本题2分）（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）一次函数与的图象如图所示，当时，，则满足条件的k的取值范围是 ． 20．（本题2分）（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）“书香文化节”是我校的四大节日之一，某年级甲、乙、丙三个班在“书香文化节”期间各自建立了本班的图书角．建立之初这三个班的图书角的书籍总本数大于且小于．第一周结束后，三个图书角共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为；第二周结束后，三个图书角又共补充了本图书，此时三个图书角的书本数量之比为．若每个班的图书角的书籍总本书为正整数，则第二周结束后丙班图书角拥有书籍 本． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）解不等式或不等式组： (1)； (2)． 22．（本题6分）（24-25八年级下·全国·期末）甲、乙两家水果批发店销售同一种香梨，甲店每千克香梨的价格为5元，乙店为了吸引顾客制定如下方案：当一次性购买不超过10千克时，每千克价格为6元，超过10千克时，超过部分每千克价格为3元．设小王在同一家店一次性购买香梨x千克（）． (1)若在甲店购买需花费元，在乙店购买需花费元，分别求关于x的函数解析式； (2)请结合x的范围，计算并说明在哪家店购买更省钱． 23．（本题8分）（24-25八年级下·全国·期末）某服装店招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成25元； 方案二：底薪3000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成20元． 设销售人员每月售出x件商品，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为（单位：元）． (1)分别写出关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． (2)若销售人员小王某月售出了150件商品，则他应该选择哪种方案，才能得到更高的月工资？请说明理由． (3)根据每月售出商品的件数，销售人员小王应如何选择方案，才能得到更高的月工资？ 24．（本题8分）（2025八年级下·全国·专题练习）已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图）等信息如下： 货运收费项目及收费标准表 运输工具 运输费单价：元/（吨•千米） 冷藏费单价：元/（吨时） 固定费用：元/次 汽车 2 5 200 火车 1.6 5 2280 (1)汽车的速度为多少？火车的速度为多少？ (2)设每天用汽车和火车运输的总费用分别为（元）和（元），分别求、与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (3)当x为何值时，．（总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用） 25．（本题8分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售、两种配件．已知购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元． (1)求、两种配件的进货单价； (2)若该配件销售部门计划购进、两种配件共400件，配件进货件数不低于配件件数的3倍．据市场销售分析，配件提价16%销售，配件的售价是进价的．怎样安排、两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 26．（本题8分）（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点． (1)求直线的表达式； (2)若，直接写出x的取值范围． (3)直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（本题8分）（24-25八年级上·重庆·阶段练习）一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． (2)这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 28．（本题8分）（24-25八年级下·全国·期末）【概念提出】 已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中都在到之间（含和）． （1）若，则 ； （2）尺规作图：如图1，已知，作一条射线，使得．（要求：保留作图痕迹，写出必要的说明） 【拓展延伸】 （3）如图2，已知，射线与射线重合，射线位于内部或边上，将图2中的绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化． ①如图3，当旋转时间为45秒时，的最小值为 ； ②在旋转一周的过程中，当旋转时间为 秒时，． 学科网（北京）股份有限公司 $$