第1章 三角形的证明-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷 第1章 三角形的证明 试题满分：100分 难度系数：0.45（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【思路指引】本题考查了尺规作角平分线、角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据勾股定理得到，由尺规作图得是的角平分线，过点作于点，如图所示，则，可证，得到，则，设，则，在中由勾股定理得到，由此列式求解即可． 【完整解答】解：在中，，， ∴， 根据作图可得是的角平分线，过点作于点，如图所示， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 2．（本题2分）（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，下列结论：①和是等腰三角形；②；③的周长是；④，其中正确结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】C 【思路指引】根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，，从而证得和是等腰三角形，得到①正确；根据题意，无法得到，得到②错误，根据等腰三角形的性质，可得，，故从而得到的周长，得到③正确；再根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，可判断④正确，即可求解． 【完整解答】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， 和是等腰三角形；故①符合题意； ，，故②不符合题意； 又，， 的周长为；故③符合题意； ， ， ， ；故④符合题意； 故选项①③④正确，符合题意，②错误，不符合题意， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．（本题2分）（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，已知，与交于点F，连接．下列结论： ①；②；③直线垂直平分；④图中有5对三角形全等．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路指引】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平直平分线的判定等知识，根据全等三角形的判定以及性质以及平直平分线的判定一一判定以及可得出答案． 【完整解答】解：在和中， ， ∴， ∴，， 即，故①正确． 又，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即F在的垂直平分线上， 又，A在的垂直平分线上， 故是的垂直平分线，故③正确， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 又，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 一共有5对全等三角形，故④正确． ∵和是同高不同底的三角形， ∴若，只需证明， 而已知条件无法证明，故②错误， 综上，①③④正确． 故选：B 4．（本题2分）（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，中，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路指引】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得、，根据等边对等角可证、，所以可证，根据三角形内角和定理可以求出． 【完整解答】解：如下图所示， 是的垂直平分线， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ,， ． 故选： C． 5．（本题2分）（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】A 【思路指引】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的特征，垂线段最短等；作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，由垂线段最短得的值最小，由等边三角形的性质及直角三角形的特征即可求解；掌握等边三角形的性质，直角三角形的特征，能由垂线段最短找出取得最小值的条件是解题的关键． 【完整解答】解：作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于， 此时的值最小， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ； 故选：A． 6．（本题2分）（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边若F是的中点，连接，当取最小值时，的周长为（    ） A．22 B．21 C．18 D．17 【答案】C 【思路指引】本题考查垂线段最短，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，解题的关键是确定点的运动轨迹． 连接，过点C作，交的延长线于点H，交于点，利用三角形的内角和、等边三角形的性质以及角度关系，求出当最小时点D的位置，从而计算出的周长即可． 【完整解答】解：如图，连接，过点C作，交的延长线于点H，交于点 是等边三角形，F是的中点， ，平分， ， 点F在射线上运动， ∴当，即：点F与点H重合时，的长最小． ，， ， ， ， ， ， 当点F运动到点H处时，点D运动到点处． ， ， ， ∴是等边三角形． ， 当的长取最小值时，， ∴的周长为 故选：C． 7．（本题2分）（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（ ） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【思路指引】根据可得，可判断正确；由，可得，可判断②错误；延长交x轴于E点，由，可得，由可得，进而可得，可判断③正确；由的长为定值，且可得的长也为定值，可判断④错误． 【完整解答】解： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 故①正确； ，， ， 故②错误； 如图，延长交x轴于E点， ，， ， ， ， ， ∴所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变为． 故③正确； ∵点A是轴正半轴上一个定点， ∴的长为定值， ， ∴， ∴的长为定值， ∴随点的向上移动，线段的值不变， 故④错误． 综上，说法正确的为①③． 故选：B 【考点评析】本题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 8．（本题2分）（17-18八年级上·北京东城·期末）如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路指引】分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于，此时的周长为为最小值，然后在等腰中，，即可得出． 【完整解答】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接交于、交于， ∴，，， ∴， 此时取得最小值， ∵点与点关于对称，点与点关于对称，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴， ，， ∴，， 在等腰中，， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【考点评析】本题是轴对称—最短路线问题，考查了轴对称的性质，等边对等角，等腰三角形三线合一性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短．正确作出辅助线，在等腰中确定是解题的关键． 9．（本题2分）（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤为定值，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路指引】过作于，作，交于，过作于，根据角平分线性质求出，，根据勾股定理求出，，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可求出①；根据三角形外角性质求出，证，推出，即可求出②④；由得到，然后根据即可得到，进而可判断③；证得，得到，，即可求出⑤，即可求解． 【完整解答】解：如图，过作于，作，交于，过作于， ，平分， ， ，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确，④正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，故③错误， ， ， ， 平分，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即，故⑤正确． 正确的结论有4个． 故选：D． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的特，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 10．（本题2分）（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【思路指引】本题主要考查了最短距离问题、三线合一、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据点A与点C关于对称可得，当点P与点E重合时，，此时的周长最小，据此即可求得周长的最小值． 【完整解答】解：∵是以为底边的等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴点A与点C关于对称， ∴， 如图所示，当点P与点E重合时，， 此时的周长最小， ∵，，， ∴周长的最小值为：， 故选：B． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作，垂足为点．若的面积为9，，，则的长为 ． 【答案】4 【思路指引】本题考查基本作图-尺规作角平分线、角平分线的性质、三角形的面积，得到是的平分线是解答的关键．根据作图过程得到是的平分线，过F作于H，根据角平分线的性质得到，进而利用三角形的面积公式求解即可． 【完整解答】解：过F作于H，如图， 由作图过程得到是的平分线，又，， ∴， ∵，的面积为9， ∴， 解得， 故答案为：4． 12．（本题2分）（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等． 【答案】2或6/6或2 【思路指引】本题考查的是全等三角形的判定与性质，分两种情况讨论：当时，可得，当时，可得，再进一步求解即可． 【完整解答】解：∵ ，， ∴， ∵， 当时， ∴， 设运动时间为， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得： 故答案为：2或6． 13．（本题2分）（24-25八年级上·北京怀柔·期末）如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有 ．（写序号） 【答案】①②④ 【思路指引】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的判定定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．①先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；②设与交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据对顶角相等、三角形的内角和定理即可判断②正确；③假设，从而可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据角的和差可得，由此即可判断③错误；④过点作于点，于点，先根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得，然后根据角平分线的判定定理即可判断④正确． 【完整解答】解：①∵， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，结论①正确； ②如图1，设与交于点， ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ， ，结论②正确； ③假设， ， ∴， ∴， ∵， ∴，根据已知条件无法得出这个结论， 即假设不成立，结论③错误； ④如图2，过点作于点，于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，，且点在的内部， ∴平分，结论④正确； 综上，结论正确有①②④， 故答案为：①②④． 14．（本题2分）（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，中，延长、，、分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点，，，垂足分别为、，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【思路指引】本题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定，掌握定理是解题的关键．过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【完整解答】过点作于， ①平分，平分，，，， ，， ， 又，， 平分，故①正确； ②，， ，， 又， ， ． 在和中， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， 又， ，②正确； ③在中， ， 在中， ， 平分，平分， ，， ， ， ，③正确； ④由②可知，， ， ，故④正确． 故答案为：①②③④． 15．（本题2分）（24-25八年级下·四川广元·开学考试）如图在中，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与所在直线相交于点F．若，求的度数为 ． 【答案】/36度 【思路指引】本题考查线段垂直平分线的性质，等角对等边，三角形内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质得，，根据三角形内角和，则，再根据对顶角相等，则，根据三角形内角和，则，，最后根据，即可求解． 【完整解答】解：∵，分别垂直平分边和边， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，，，，点D、E分别是、边上的点，连接，将沿折叠，点B的对应点恰好是的中点，连接交于点F，则的长度为 ． 【答案】 【思路指引】本题考查了勾股定理与折叠，含30度角的直角三角形，一元一次方程的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．作于点H，则，根据30度角所对的直角边等于斜边一般，得到，进而得出，，由折叠得，再根据勾股定理列方程求解即可． 【完整解答】解：如图，作于点H，则， ，，，恰好是的中点， ，， ， ，， 由折叠得， ，且， ， 解得， 故答案为：． 17．（本题2分）（24-25八年级上·重庆·期末）如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为 ． 【答案】 【思路指引】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、翻折性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用等角对等边证明是解答的关键．先利用同角的余角相等得到，再证明得到，，然后证明，得到，进而利用等角对等边得到，设，，结合翻折性质得到，，，然后利用勾股定理求得，最后由求解即可． 【完整解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分交的延长线于点， ∴，又，， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∵将点沿翻折，点刚好落在点处， ∴，则,， 在中，，，， 由勾股定理得，则， 解得， ∴ ， 即的面积为． 故答案为：． 18．（本题2分）（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①；②若垂直平分，则；③若垂直平分，则；④若，则； 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 【答案】②③④ 【思路指引】对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误；对于② ，过点作于点，由，知，显然，由得到，故，显然，故，故②正确；对于③，先证明，则，故，即，故③正确；对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接，先证明，则，再证明，则，继而，故④正确． 【完整解答】解：对于①，由于点的位置不确定，无法说明，故①错误； 对于② ，过点作于点， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵等腰，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵等腰， ∴， ∵ ∴， ∴，故②正确； 对于③，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 对于④，过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：②③④． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，垂直平分线的性质，解题的关键在于添加辅助线构造全等三角形，难度较大． 19．（本题2分）（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，点E，F分别是的边、的中点，边分别与、相交于点H，G，且，，连接、、，下列四个结论；①，②平分，③，④．则其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】 【思路指引】由，可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，进而可得，由此即可判断结论①；连接、，由线段垂直平分线的性质可得，，，，进而可得，由等边对等角可得，，，，，进而可得，，即，，于是可得，由此即可判断结论②；以现有条件无法推出，由此即可判断结论③；由三角形的内角和定理可得，由平分可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确的结论． 【完整解答】解：，， ， ，， ， 故结论①正确； 如图，连接、， 垂直平分，垂直平分， ，，，， ，，，，， ，，， ，， ， 平分， 故结论②正确； 以现有条件无法推出，故结论③错误； ， ， ， ， 故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 20．（本题2分）（24-25八年级下·湖南湘西·开学考试）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】15 【思路指引】本题考查的是轴对称最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【完整解答】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：15． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，与交于E． (1)当时，_______°，_______°；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，与全等？请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2) (3)可以；的度数为或 【思路指引】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得到，由三角形内角和定理得到，由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）结合题目中的信息给出的度数，分三种情况：①；②；③进行求解，进而证明的形状是等腰三角形． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小． （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：可以，理由如下： 分三种情况：①；②；③． 情况①：要使， 则． ． 又， 则． 故； 情况②：要使，则． 从而有． 由可知， 故． 当时，是等腰三角形； 情况③：要使，则， 从而有， 故． 要使，则． 当时，是等腰三角形． 综上所述，可以是等腰三角形，或． 22．（本题6分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，） (1)求、之间的距离（结果保留根号）； (2)小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位） 【答案】(1)、之间的距离为米； (2)路线②更近． 【思路指引】本题考查了解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识． （1）连接，在中，，米，求得米，再根据，列式计算即可求解； （2）求得，利用勾股定理解直角三角形求得的长，在中，利用勾股定理求得，据此计算即可判断． 【完整解答】（1）解：连接， 由题意得，，米， 在中，， 由勾股定理得，即， 解得，， ∵， ∴， ∴米； （2）解：∵在的东北方向， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， ∵， ∴路线②更近． 23．（本题8分）（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，点是射线上任一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上，且． (1)如图，当点与点重合时，猜想此时与有什么数量关系，并说明理由； (2)如图，当点与点不重合时，（）中的猜想还成立吗？为什么？ (3)如图，当时，若，直接写出此时四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)． 【思路指引】（）先由，则有，又，所以，故有，然后根据角平分线的性质即可求解； （）过点作，交于点，同（）证明，再证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （）过点作，交于点，证明，则，故，所以，然后由勾股定理求出，∴，则，再通过即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：成立，理由如下： 过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 24．（本题8分）（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）【问题情境】在学完等边三角形后，老师拿了两个大小不一样的等边三角形，让同学们开展了摆放活动，如图1，和都是等边三角形， (1)【问题初探】证明：； (2)【深入探究】若点不共线，，求的长度； (3)【拓广探究】若点共线（如图2）且和边长分别为2和4，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路指引】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）依据等式的性质可证明，然后依据可证明； （2）由（1）知：，利用勾股定理计算的长，可得的长； （3）取的中点M，连接，证明为等边三角形，求出，再求出，得到，利用勾股定理即可求出． 【完整解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴； （3）解：如图，取的中点M，连接， ∵和都是等边三角形，且和的边长分别为2和4， ∴，， ∴， ∵点共线， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 25．（本题8分）（24-25八年级下·全国·期末）如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，且 (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米． 【答案】(1) (2) 【思路指引】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据轴对称的性质和勾股定理解答即可． 【完整解答】（1）解：连接， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， 是直角三角形，， ； （2）解：过点作于，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质，得：，， 由（1）知，， ， 是等腰直角三角形，， ∴， ， ， 被监控到的道路长度为． 【考点评析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 26．（本题8分）（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，是的平分线，且，过点C作，交的延长线于点E，过点C作，垂足为 (1)若，求的度数； (2)求证： 【答案】(1) (2)见解析 【思路指引】此题主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，根据等边对等角得，根据对顶角相等得，然后根据得，进而可得的度数； （2）先根据角平分线定义得，再根据得，，则，由此得，则，再证明得，继而得，据此即可得出线段之间的数量关系． 【完整解答】（1）解：是的平分线，， ， ， ， ， ， ， ； （2）是的平分线， ， ， ，， ， ∴， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ， 27．（本题8分）（24-25八年级上·广西防城港·期末）【综合与探究】 【问题情境】如图，在中，，，点D在直线上运动，连接，作射线，点E在射线上，并且在点D动动的过程中始终保持，过点E作，垂足为点F． 【探究发现】 （1）如图1，当点D在线段上（不含点C）时． ①直接写出与的数量关系； ②求证：； 【拓展思考】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时．求证：； （3）当点D在直线上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． 【答案】（1）①；②详见解析 （2）详见解析 （3）不变，理由见解析 【思路指引】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，灵活掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）①根据直角三角形的性质进行证明即可； ②根据证明即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质可得，再根据证明得； （3）分点在上，的延长线上，的延长线上三种情况讨论，进行求解即可． 【完整解答】解：（1）①， ， 又， ， ， ， ②证明：在和中， ， ； （2）证明：， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）线段的长度不变，理由如下： 当点D在线段上时， 由（1）得， ； 当点D在线段的延长线上时， 由（2）得； 当点D在线段的延长线上时，如图， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； 综上所述，线段的长度不变，总等于的长． 28．（本题8分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的长为 【思路指引】（1）由，可得，，由F是的中点，可得，进而可证，由全等的性质即可得证； （2）由和E为边的中点，可证，再由等腰三角形性质和判定，即可得证； （3）由，，得，再由点E是的中点，可证，由全等三角形的性质可得，由平分，结合等腰三角形的判定，可证，由等腰三角形三线合一可得，由，，可得，进而可证，最后可得． 【完整解答】（1）证明：∵，， ∴，， ， ∵点F是的中点， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：分别延长与的延长线交于点G． ∵， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过C作交的延长线于点M，延长交于点N，连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∵，， ∴，，， ，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ，，， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定，理清角度关系和线段的关系，作出正确的辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节优选题培优检测卷 第1章 三角形的证明 试题满分：100分 难度系数：0.45（较难） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（本题2分）（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）如图，在中，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（   ） A．3 B． C． D． 2．（本题2分）（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，下列结论：①和是等腰三角形；②；③的周长是；④，其中正确结论有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 3．（本题2分）（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，已知，与交于点F，连接．下列结论： ①；②；③直线垂直平分；④图中有5对三角形全等．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（本题2分）（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，中，边、的垂直平分线分别交于点、，若，则的度数（  ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（24-25八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A． B．7 C．8 D．9 6．（本题2分）（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边若F是的中点，连接，当取最小值时，的周长为（    ） A．22 B．21 C．18 D．17 7．（本题2分）（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（ ） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 8．（本题2分）（17-18八年级上·北京东城·期末）如图，点是内任意一点，且，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（本题2分）（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）如图，在中，，，平分交于，于，交的延长线于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤为定值，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（本题2分）（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，以为底边在外作等腰三角形，过点作的平分线，分别交于点．若，，，是直线上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分.） 11．（本题2分）（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，与边分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点；④过点作，垂足为点．若的面积为9，，，则的长为 ． 12．（本题2分）（24-25八年级上·重庆开州·期末）如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，当点运动 秒时，与点、、为顶点的三角形全等． 13．（本题2分）（24-25八年级上·北京怀柔·期末）如图，在和中，，，．连接，交于点．以下四个结论：①；②；③；④平分，其中结论正确有 ．（写序号） 14．（本题2分）（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，中，延长、，、分别在、的延长线上，、的角平分线、交于点，，，垂足分别为、，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 15．（本题2分）（24-25八年级下·四川广元·开学考试）如图在中，分别垂直平分边和边，交边于，两点，与所在直线相交于点F．若，求的度数为 ． 16．（本题2分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在中，，，，点D、E分别是、边上的点，连接，将沿折叠，点B的对应点恰好是的中点，连接交于点F，则的长度为 ． 17．（本题2分）（24-25八年级上·重庆·期末）如图，，射线交线段于点于点于点平分交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．若将点沿翻折，点刚好落在点处，此时，连接，则的面积为 ． 18．（本题2分）（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在等腰中，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、，交于，为上一点，连接；在下列结论中： ①；②若垂直平分，则；③若垂直平分，则；④若，则； 其中正确的结论有 ．（填写正确结论的序号） 19．（本题2分）（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，点E，F分别是的边、的中点，边分别与、相交于点H，G，且，，连接、、，下列四个结论；①，②平分，③，④．则其中正确的结论有 （填序号）． 20．（本题2分）（24-25八年级下·湖南湘西·开学考试）如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 三、解答题（共8小题，计60分.解答应写出过程） 21．（本题6分）（24-25八年级下·四川泸州·开学考试）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，与交于E． (1)当时，_______°，_______°；当点D从B向C运动时，逐渐变_______（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，与全等？请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由． 22．（本题6分）（24-25八年级下·重庆·开学考试）在学习了勾股定理后，小品对他家附近的一个公园里的音乐喷泉池产生了测量兴趣，如图，音乐喷泉池为四边形，在连线上有一地方性标志物，据了解，修建该喷泉池时要求，四边形为人行观赏步道，小品通过仪器测量得到，在的正西方，在的东北方向，且，在的正南方150米处，恰好又在的南偏东方向，由此他脑海里产生了以下数学问题，请你帮他解决一下．（参考数据：，，，） (1)求、之间的距离（结果保留根号）； (2)小品和姐姐同时从点出发，沿着不同的方向到点汇合，其中小品沿着①：的方向步行，姐姐沿着②的方向步行，通过计算说明哪一条路更近？（结果精确到个位） 23．（本题8分）（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，平分，点是射线上任一点，过点作于点，点在线段上，点在射线上，且． (1)如图，当点与点重合时，猜想此时与有什么数量关系，并说明理由； (2)如图，当点与点不重合时，（）中的猜想还成立吗？为什么？ (3)如图，当时，若，直接写出此时四边形的面积． 24．（本题8分）（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）【问题情境】在学完等边三角形后，老师拿了两个大小不一样的等边三角形，让同学们开展了摆放活动，如图1，和都是等边三角形， (1)【问题初探】证明：； (2)【深入探究】若点不共线，，求的长度； (3)【拓广探究】若点共线（如图2）且和边长分别为2和4，请直接写出的长度． 25．（本题8分）（24-25八年级下·全国·期末）如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，且 (1)求的度数； (2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米． 26．（本题8分）（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，是的平分线，且，过点C作，交的延长线于点E，过点C作，垂足为 (1)若，求的度数； (2)求证： 27．（本题8分）（24-25八年级上·广西防城港·期末）【综合与探究】 【问题情境】如图，在中，，，点D在直线上运动，连接，作射线，点E在射线上，并且在点D动动的过程中始终保持，过点E作，垂足为点F． 【探究发现】 （1）如图1，当点D在线段上（不含点C）时． ①直接写出与的数量关系； ②求证：； 【拓展思考】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时．求证：； （3）当点D在直线上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． 28．（本题8分）（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$