第3章 图形的平移与旋转（思维导图+知识梳理+13大考点讲练+优选真题难度分层练 共59题）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册章节培优复习

2024-2025学年北师大版数学八年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第3章 图形的平移与旋转 （思维导图+知识梳理+13大考点讲练+优选真题难度分层练 共59题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 3 知识点01：平移变换 3 知识点02：旋转变换 4 知识点03：中心对称与图案设计 4 重点知识考点讲练 5 考向一：图形的平移 5 考点讲练01：生活中的平移现象 5 考点讲练02：平移的性质 6 考点讲练03：坐标与图形变化-平移 7 考点讲练04：作图-平移变换 7 考点讲练05：利用平移设计图案 9 考向二：图形的旋转 10 考点讲练06：旋转的性质 10 考点讲练07：旋转对称图形 11 考点讲练08：作图-旋转变换 12 考向三：中心对称 13 考点讲练09：中心对称 13 考点讲练10：中心对称图形 14 考点讲练11：关于原点对称的点的坐标 15 考向四：简单的图案设计 15 考点讲练12：利用旋转设计图案 15 考点讲练13：几何变换的类型 16 优选真题难度分层练 18 基础夯实真题练 18 培优拔尖真题练 18 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：平移变换 【高频考点精讲】 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点剖析】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点剖析】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【易错点剖析】上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移 平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点剖析】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点02：旋转变换 【高频考点精讲】 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点剖析】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点03：中心对称与图案设计 【高频考点精讲】 1．中心对称： 把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点剖析】中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形： 　　把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点剖析】中心对称作图步骤： 　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 考向一：图形的平移 考点讲练01：生活中的平移现象 【典例精讲01】（2024•海南二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF若四边形ECDF为菱形时，则a值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（2024春•兰山区校级月考）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 　 　元． 【变式训练2】（2024春•南昌期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB的长度是（　　） A．185cm B．195cm C．205cm D．215cm 考点讲练02：平移的性质 【典例精讲02】（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，∠AOB＝90°，OA＝OB，把△AOB沿x轴向右平移至△DFE，DF与AB相交于点G，连接EG，若点A（0，4），GE＝5，则点F的坐标为 　 　． 【变式训练1】（2024春•凉州区校级期末）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE＝3，则BF的长度为 　 　． 【变式训练2】（2024•牡丹区校级一模）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． 阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角． 例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（如图）．因为在平面AA′C′C′中，CC′∥AA′，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的△BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角． 解决问题 如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，则既不相交也不平行的两条直线BA′与AC所成角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 考点讲练03：坐标与图形变化-平移 【典例精讲03】（2024秋•靖西市期末）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3） 【变式训练1】（2023秋•新泰市期末）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至线段A'B'，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 【变式训练2】（2024春•雁塔区校级期中）在平面内，把线段AB通过平移得到线段A′B′，已知点A坐标为（2，﹣3），点B坐标为（3.1），点A的对应点A′坐标为（4，﹣2），则点B′的坐标为 　 　． 考点讲练04：作图-平移变换 【典例精讲04】（2023春•达川区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA＝2，OB＝1，点C是第一象限内一点且AC∥x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，S△ACD＝6，点P为y轴上一动点，当S△PABS△AOD时，点P的坐标为 　 　.（注：S△ADD表示△ACD的面积） 【变式训练1】（2024秋•栖霞市期末）如图，五边形各顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣5，3），C（﹣4，1），D（﹣2，2），E（﹣2，3），将五边形先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新五边形A′B′C′D′E′，点A、B、C、D、E分别对应点A′、B′、C′、D′、E′． （1）画出平移后的新五边形并标明字母； （2）如果将新五边形A'B'C'D'E'看成是由原五边形ABCDE经过一次平移得到的，请直接写出这次平移的平移方向和平移距离． 【变式训练2】（2024春•禅城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣5，﹣3），C（0，﹣1）．将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形A1B1C1． （1）画出平移后的三角形A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）求三角形ABC的面积． 考点讲练05：利用平移设计图案 【典例精讲05】（2023秋•临淄区期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为1cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（　　） A．1cm B．2cm C． D． 【变式训练1】（2024春•海州区期中）在下列四个图案中，不能通过其中一个小图形通过平移变化得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2023春•商水县期末）如图所示的是中国古代妇女的一种发饰—“方胜”图案，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥，将正方形ABCD沿对角线BD的方向平移2cm得到正方形A′B′C′D′形成一个“方胜”图案，若BD′＝8cm，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2． 考向二：图形的旋转 考点讲练06：旋转的性质 【典例精讲06】（2024秋•鹿寨县期末）如图，△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，若∠CAD＝10°，则∠DAE为（　　） A．70° B．50° C．40° D．20° 【变式训练1】（2024秋•文峰区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝4，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 　 ． 【变式训练2】（2025•雁塔区校级一模）如图，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，BC＝12，△BED是等边三角形，当CE最大时，△BDE的面积为　　 ． 考点讲练07：旋转对称图形 【典例精讲07】（2023春•青羊区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2022春•南海区校级期中）如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转　 　度，可与其自身重合． 【变式训练2】（2024•东海县一模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　 　 度． 考点讲练08：作图-旋转变换 【典例精讲08】（2025•香坊区校级开学）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）作出△ABC关于坐标原点成中心对称的△A1B1C1； （2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE（B、C的对应点分别为D、E），连接B1E直接写出B1E的长． 【变式训练1】（2025•沙坪坝区校级开学）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC各顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（2，2），C（0，﹣1）． （1）将△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB2C2，请在网格中画出△AB2C2； （3）求出△ABC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）． 【变式训练2】（2024秋•大足区期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1． （2）将△DEF绕点E顺时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1． （3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　 　． 考向三：中心对称 考点讲练09：中心对称 【典例精讲09】（2024秋•澄海区期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B' 【变式训练1】（2023秋•西城区校级期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 　 　． 【变式训练2】（2023秋•德城区期中）如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠BOC＝∠B'A'C' C．AB＝A'B' D．OA＝OA' 考点讲练10：中心对称图形 【典例精讲10】（2024秋•汉阳区校级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024春•姑苏区校级月考）下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024春•福田区校级期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　） A． B． C． D． 考点讲练11：关于原点对称的点的坐标 【典例精讲11】（2024春•陈仓区期末）在平面直角坐标系内，若点P（p，﹣2）和点Q（6，q）关于原点O对称，则p+q的值为 　 　． 【变式训练1】（2023•路桥区一模）已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则a+b＝　 　． 【变式训练2】（2023秋•文峰区校级期中）已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 考向四：简单的图案设计 考点讲练12：利用旋转设计图案 【典例精讲12】（2024•禹城市模拟）下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2023春•衡山县期末）在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 　 　． 【变式训练2】（2022春•平遥县期中）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图），这个图案绕点O旋转一定度数后能与原来的图案互相重合，至少应该旋转度数为 　 　． 考点讲练13：几何变换的类型 【典例精讲13】（2023春•舞钢市期中）（1）如图，你能绕着点O使线段AB和CD重合吗？为什么？ （2）小明认为利用学习过的旋转和平移的知识，进行两种变换可以使线段AB和CD重合你知道他是怎么做的吗？请结合图形描述他的变换过程． 【变式训练1】（2024春•中原区校级期中）小林想要通过一步全等图形变换从左边的等腰直角三角形得到右边的等腰直角三角形，下列说法正确的个数是（　　） ①△DEF可由△ABC沿AD方向平移一定的距离得到； ②△DEF可由△BAC绕点N顺时针旋转一定的角度得到； ③△DEF可由△BCA沿直线MN翻折得到； ④△DEF不可由△BCA通过一次图形变换得到． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2】（2023春•成武县校级期末）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称． （1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 　 　；（填写所有符合要求的序号） （2）如图3，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连接DE，求证：DE∥AC． 基础夯实真题练 1．（2024秋•淮南期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝68°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若CE∥AB，则∠CAD的大小（　　） A．23° B．24° C．25° D．26° 2．（2024秋•沙坪坝区校级期末）在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝m°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′．如图，在△ABC旋转过程中，连接CC′，交AB于点D，当CC'∥A′B时，∠BDC为（　　） A．m° B．60°+2m° C．60°﹣m° D．120°﹣2m° 3．（2024秋•淄川区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．35° B．40° C．50° D．65° 4．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，∠CAB＝25°，∠ABC＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，连接CD，若点D，C，B在同一条直线上，则∠BDE的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 5．（2024秋•西湖区校级期末）已知点A（a，﹣3）向左平移4个单位后到y轴的距离为2，则点A的坐标是 　 　． 6．（2025•宣恩县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A'B'C'，若点P为BC上一动点，旋转后点P的对应点P'，则线段PP'的最小值是 　 　． 7．（2024秋•黔南州期末）在平面直角坐标系中，与点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 　 　． 8．（2024秋•靖西市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为点A（1，3），B（0，1），C（3，2）． （1）请在图中画出将△ABC向左平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请在图中画出将△ABC绕着原点顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标； （3）在x轴上找一点P，使得PB+PC最小，并写出点P的坐标． 9．（2025•茄子河区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的位置均在小方格格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出点A1的坐标． （2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2并写出点A2的坐标． （3）求在（2）旋转的过程中边AC扫过的面积． 10．（2024秋•高安市期末）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 培优拔尖真题练 11．（2024秋•曲阳县期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝2，则图中阴影部分面积为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 12．（2024秋•新华区期末）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠BOC＝110°，则∠α的度数是（　　） A．50° B．60° C．80° D．30° 13．（2024秋•辛集市期末）如图，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转35°得到Rt△AB′C′、B′C′与AC相交于点D，∠B＝60°，则∠ADB′的度数为（　　） A．60° B．30° C．65° D．35° 14．（2024秋•裕华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C连接A′B，若点A′，B，A在同一条直线上，则AA′的长为（　　） A． B．2 C．3 D．3 15．（2024秋•腾冲市期末）点（﹣2025，1）关于原点对称的点的坐标为　 　． 16．（2024秋•莱州市期末）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，则AB′的长度为 　 　． 17．（2025•沙坪坝区校级开学）如图，点E是等边△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF，若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为　 　． 18．（2025•沈阳开学）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． （1）求证：EF＝BC； （2）若∠AGE＝79°，∠C＝25°，则∠FAC为 　 　度． 19．（2024秋•广饶县期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）． （1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标． 20．（2024秋•东城区期末）如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，E为线段CD上一点（CE＞DE），将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF． （1）求证：BE＝AF； （2）点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M．若M为AG的中点，用等式表示线段CE，MF，DE之间的数量关系，并证明． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第3章 图形的平移与旋转 （思维导图+知识梳理+13大考点讲练+优选真题难度分层练 共59题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：平移变换 2 知识点02：旋转变换 3 知识点03：中心对称与图案设计 4 重点知识考点讲练 5 考向一：图形的平移 5 考点讲练01：生活中的平移现象 5 考点讲练02：平移的性质 7 考点讲练03：坐标与图形变化-平移 9 考点讲练04：作图-平移变换 11 考点讲练05：利用平移设计图案 14 考向二：图形的旋转 16 考点讲练06：旋转的性质 16 考点讲练07：旋转对称图形 19 考点讲练08：作图-旋转变换 20 考向三：中心对称 24 考点讲练09：中心对称 24 考点讲练10：中心对称图形 25 考点讲练11：关于原点对称的点的坐标 27 考向四：简单的图案设计 28 考点讲练12：利用旋转设计图案 28 考点讲练13：几何变换的类型 30 优选真题难度分层练 34 基础夯实真题练 34 培优拔尖真题练 42 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：平移变换 【高频考点精讲】 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点剖析】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点剖析】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 【易错点剖析】上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移 平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点剖析】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点02：旋转变换 【高频考点精讲】 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点剖析】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点03：中心对称与图案设计 【高频考点精讲】 1．中心对称： 把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点剖析】中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形： 　　把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点剖析】中心对称作图步骤： 　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 考向一：图形的平移 考点讲练01：生活中的平移现象 【典例精讲01】（2024•海南二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF若四边形ECDF为菱形时，则a值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】证得四边形ECDF为平行四边形，当CD＝CD＝3时，▱ECDF为菱形，此时a＝BE＝BC﹣CE＝5﹣3＝2． 【规范解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝3， ∵将线段AB水平向右平得到线段EF， ∴AB∥EF∥CD， ∴四边形ECDF为平行四边形， 当CD＝CE＝4时，▱ECDF为菱形， 此时a＝BE＝BC﹣CE＝5﹣3＝2． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得证得四边形ECDF为平行四边形，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键． 【变式训练1】（2024春•兰山区校级月考）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费 　1400　元． 【思路点拨】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m即可得出地毯的长，进而可得出结论． 【规范解答】解：由勾股定理得：AB8（米）， ∴AB+BC＝8+6＝14（米）， ∴14×2.5×40＝1400（元）． 故铺设地毯至少需要花费1400元． 故答案为：1400． 【考点评析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系． 【变式训练2】（2024春•南昌期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB的长度是（　　） A．185cm B．195cm C．205cm D．215cm 【思路点拨】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长，再由勾股定理求得斜边AB的长即可． 【规范解答】解：如图，由题意得：AC＝15×5＝75（cm），BC＝30×6＝180（cm） 由勾股定理得：AB195（cm）， 故选：B． 【考点评析】本题考查了生活中的平移现象及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 考点讲练02：平移的性质 【典例精讲02】（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，∠AOB＝90°，OA＝OB，把△AOB沿x轴向右平移至△DFE，DF与AB相交于点G，连接EG，若点A（0，4），GE＝5，则点F的坐标为 　（1，0）　． 【思路点拨】由A（0，4）得到OB＝OA＝4，△AOB是等腰直角三角形，进而证得△BFG是等腰直角三角形，设OF＝x，则GF＝BF＝4﹣x，由平移有FE＝OB＝4，从而在Rt△GEF中，根据勾股定理构造方程即可解答． 【规范解答】解：∵A（0，4）， ∴OB＝OA＝4， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 根据平移可得∠DFE＝∠AOB＝90°， ∴∠BGF＝90°﹣∠OBA＝90°﹣45°＝45°， ∴∠FBG＝∠BGF， ∴BF＝GF， 设OF＝x， ∴GF＝BF＝OB﹣OF＝4﹣x， ∵由平移可得FE＝OB＝4， ∴在Rt△GEF中，GF2+EF2＝EG2，即（4﹣x）2+42＝52， 解得x＝1或x＝7（不合题意，舍去）， ∴OF＝1， ∴点F的坐标为（1，0）． 故答案为：（1，0）． 【考点评析】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，关键是平移性质的熟练掌握． 【变式训练1】（2024春•凉州区校级期末）如图，将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2，CE＝3，则BF的长度为 　7　． 【思路点拨】根据平移的性质得到BE＝CF＝2，即可求解． 【规范解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移到△DEF，若A，D之间的距离为2， ∴BE＝CF＝2， ∵CE＝3， ∴BF＝CF+BE+CE＝2+2+3＝7． 故答案为：7． 【考点评析】本题考查平移的性质，解答本题的关键是熟练掌握平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 【变式训练2】（2024•牡丹区校级一模）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． 阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角． 例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（如图）．因为在平面AA′C′C′中，CC′∥AA′，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的△BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角． 解决问题 如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，则既不相交也不平行的两条直线BA′与AC所成角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【思路点拨】连接BC′，则△A′BC′为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA′与AC所成角的大小． 【规范解答】解：连接BC′， ∵AC∥A′C′，BA′与A′C′相交于点A′， 根据正方体性质可得：A′B＝BC′＝A′C′， ∴△A′BC′为等边三角形， ∴∠BA′C′＝60°， 即既不相交也不平行的两条直线BA′与AC所成角为60°． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查正方形的性质、平行线的性质，读懂题意是解题的关键． 考点讲练03：坐标与图形变化-平移 【典例精讲03】（2024秋•靖西市期末）在平面直角坐标系内，将M（5，2）先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是（　　） A．（2，0） B．（3，5） C．（8，4） D．（2，3） 【思路点拨】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【规范解答】解：平移后的坐标为（5﹣3，2﹣2），即坐标为（2，0）， 故选：A． 【考点评析】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握平移规律． 【变式训练1】（2023秋•新泰市期末）如图，点A，B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至线段A'B'，则a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3 【思路点拨】先求出线段平移的方向和距离，再求出a，b的值即可求解． 【规范解答】解：由题意得A（﹣1，0），A'（2，a）， ∴A'是点A向右平移2﹣（﹣1）＝3个单位得到； ∵B（0，2），B'（b，1）， ∴点B'是点B向下平移2﹣1＝1个单位得到； ∴线段A'B'是线段AB先向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到， 故a＝0﹣1＝﹣1，b＝0+3＝3， ∴a+b＝﹣1+3＝2， 故选：A． 【考点评析】本题考查了线段的平移，点的平移，代数式求值，点的平移规律是横坐标左减，右加；纵坐标上加，下减，根据点的平移规律得出线段的平移规律是解题的关键． 【变式训练2】（2024春•雁塔区校级期中）在平面内，把线段AB通过平移得到线段A′B′，已知点A坐标为（2，﹣3），点B坐标为（3.1），点A的对应点A′坐标为（4，﹣2），则点B′的坐标为 　（5，2）　． 【思路点拨】根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标． 【规范解答】解：∵线段AB平移后，点A（2，﹣3）的对应点A'的坐标为（4，﹣2）， ∴将线段AB向右平移2个单位，向上平移1个单位得到线段A′B′， ∴点B（3，1）的对应点B'的坐标为（3+2，1+1），即（5，2）． 故答案为：（5，2）． 【考点评析】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键． 考点讲练04：作图-平移变换 【典例精讲04】（2023春•达川区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA＝2，OB＝1，点C是第一象限内一点且AC∥x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，S△ACD＝6，点P为y轴上一动点，当S△PABS△AOD时，点P的坐标为 　（0，）或（0，）　.（注：S△ADD表示△ACD的面积） 【思路点拨】根据三角形的面积求出AC＝6，然后利用平移的性质可求点D坐标，由三角形的面积公式可求解． 【规范解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，在y轴取点P，连接PB， ∵AC∥x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，OA＝2， ∴DE＝OA＝2， ∵S△ACD＝6， ∴AC•DE＝6， ∴AC＝6， ∴点C（6，2）， ∵将线段AB进行适当的平移得到线段CD，OB＝1， ∴CE＝OB＝1， ∴点D（5，4）， ∵△PAB的面积等于△AOD的面积， ∴AP×12×5， ∴AP， ∵点A（0，2）， ∴P（0，）或P（0，）． 故答案为：（0，）或（0，）． 【考点评析】本题考查了作图﹣平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平移的性质是解题的关键． 【变式训练1】（2024秋•栖霞市期末）如图，五边形各顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣5，3），C（﹣4，1），D（﹣2，2），E（﹣2，3），将五边形先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新五边形A′B′C′D′E′，点A、B、C、D、E分别对应点A′、B′、C′、D′、E′． （1）画出平移后的新五边形并标明字母； （2）如果将新五边形A'B'C'D'E'看成是由原五边形ABCDE经过一次平移得到的，请直接写出这次平移的平移方向和平移距离． 【思路点拨】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C，D，E的对应点A′，B′，C′，D′，E′即可； （2）沿AA′方向平移，利用勾股定理求出AA′即可． 【规范解答】解：（1）如图，五边形A′B′C′D′E′即为所求； （2）五边形A′B′C′D′E′看成是由五边形ABCDE沿AA′的方向平移3个单位． 【考点评析】本题考查作图﹣平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． 【变式训练2】（2024春•禅城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣5，﹣3），C（0，﹣1）．将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形A1B1C1． （1）画出平移后的三角形A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）求三角形ABC的面积． 【思路点拨】（1）利用点平移规律描出各点，然后连接各点，再写出B1的坐标即可； （2）用一个正方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形ABC的面积即可． 【规范解答】解：（1）如图，三角形A1B1C1即为所作， 由图知：B1（0，0）； （2）三角形ABC的面积． 【考点评析】本题主要考查了作图﹣平移变换和网格求三角形面积等知识点，熟练掌握其作图方法是解决此题的关键． 考点讲练05：利用平移设计图案 【典例精讲05】（2023秋•临淄区期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为1cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（　　） A．1cm B．2cm C． D． 【思路点拨】根据正方形的性质、勾股定理求出BD，根据平移的概念求出BB′，计算即可． 【规范解答】解：∵四边形ABCD是边长为1cm的正方形， ∴BD（cm）， 由平移的性质可知BB′＝1cm， ∴． 故选：C． 【考点评析】本题考查的是平移的性质、正方形的性质，勾股定理，根据平移的概念求出BB′是解题的关键． 【变式训练1】（2024春•海州区期中）在下列四个图案中，不能通过其中一个小图形通过平移变化得到的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据平移与旋转的性质即可得出结论． 【规范解答】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； B、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意； C、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； D、能通过其中一个四边形平移得到，不合题意． 故选：B． 【考点评析】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键． 【变式训练2】（2023春•商水县期末）如图所示的是中国古代妇女的一种发饰—“方胜”图案，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥，将正方形ABCD沿对角线BD的方向平移2cm得到正方形A′B′C′D′形成一个“方胜”图案，若BD′＝8cm，则图中阴影部分的面积为 　20　cm2． 【思路点拨】根据阴影部分的面积＝2个大正方形的面积﹣2小正方形的面积求解即可． 【规范解答】解：由平移变换的性质可知BB′＝DD′＝2cm， ∵BD′＝8cm， ∴B′D＝8﹣2﹣2＝4（cm）， ∴BD＝BB′+B′D＝2+4＝6（cm）， ∴阴影部分的面积＝2个大正方形的面积﹣2小正方形的面积＝262﹣242＝20（cm2）． 故答案为：20． 【考点评析】本题考查利用平移设计图案，全等图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考向二：图形的旋转 考点讲练06：旋转的性质 【典例精讲06】（2024秋•鹿寨县期末）如图，△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，若∠CAD＝10°，则∠DAE为（　　） A．70° B．50° C．40° D．20° 【思路点拨】根据旋转的性质得到旋转角∠CAE＝60°即可求解． 【规范解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， ∴∠CAE＝60°， ∵∠CAD＝10°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝60°﹣10°＝50°， 所以∠DAE的度数为50°， 故选：B． 【考点评析】本题考查旋转的性质，关键是旋转性质的熟练掌握． 【变式训练1】（2024秋•文峰区期末）如图，在△ABC中，已知AB＝4，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为 　　． 【思路点拨】由旋转的性质得S△ABC＝S△ADE，则S阴影＝S△ADE+S扇形BAD﹣S△ABC＝S扇形BAD，然后由扇形的面积公式求出扇形BAD的面积即可得出答案． 【规范解答】解：由旋转的性质得：△ABC≌△ADE， ∴S△ABC＝S△ADE， ∴S阴影＝S△ADE+S扇形BAD﹣S△ABC＝S扇形BAD， ∵旋转角∠BAD＝40°，AB＝4 ∴扇形BAD的圆心角∠BAD＝40°，半径AB＝4， ∴S扇形BAD． ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，扇形面积的计算，熟练掌握图形的旋转变换及其性质，扇形面积的计算公式是解决问题的关键． 【变式训练2】（2025•雁塔区校级一模）如图，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，BC＝12，△BED是等边三角形，当CE最大时，△BDE的面积为　　． 【思路点拨】先作等边△BCF，连接DF，OF，OD，再证明△BCE≌△BFD，可得CE＝DF，然后根据三角形三边关系可得FO+DO≤DF，当DF＝FO+DO时，CE最大，可作出图形，接下来求出等边三角形的边长，即可求出面积． 【规范解答】解：如图所示，根据题意可知点D在以BC为直径的半圆上运动， 在BC的另一侧作等边△BCF，连接DF，OF，OD， ∵△BDE，△BCF是等边三角形， ∴BC＝BF，BD＝BE，∠CBF＝∠DBE＝60°， ∴∠DBF＝∠EBC， ∴△BCE≌△BFD（SAS）， ∴CE＝DF． 在△DOF中，FO+DO≤DF， 当DF＝FO+DO时，即点F，O，D三点共线时，CE最大． 如图所示，作EG⊥BD，交BD于点G， ∵FO⊥BC， ∴BD＝CD． ∵BD2+CD2＝BC2，BC＝12， 即2BD2＝122， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． 当CE最大时，△BDE的面积为：． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，垂径定理，三角形的三边关系等，确定CE的最大值是解题的关键． 考点讲练07：旋转对称图形 【典例精讲07】（2023春•青羊区期末）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断． 【规范解答】解：A、正三角形的最小旋转角度为120°，故本选项不符合题意； B、正方形的最小旋转角度90°，故本选项不符合题意； C、正五边形的最小旋转角度为72°，故本选项符合题意； D、正六边形的最小旋转角度为60°，故本选项不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了旋转对称图形的知识，解答本题的关键是求出各图形的最小旋转角度． 【变式训练1】（2022春•南海区校级期中）如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转　120　度，可与其自身重合． 【思路点拨】正三角形可以被经过中心的射线平分成3个全等的部分，则旋转的角度即可确定． 【规范解答】解：∵360°÷3＝120°， ∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合． 故答案为：120． 【考点评析】本题考查旋转对称图形的知识，难度不大，注意正三角形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要准确掌握的内容． 【变式训练2】（2024•东海县一模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　72　度． 【思路点拨】观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【规范解答】解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成， 故最小旋转角为． 故答案为：72． 【考点评析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 考点讲练08：作图-旋转变换 【典例精讲08】（2025•香坊区校级开学）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）作出△ABC关于坐标原点成中心对称的△A1B1C1； （2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE（B、C的对应点分别为D、E），连接B1E直接写出B1E的长． 【思路点拨】（1）根据中心对称的性质找到对应点，再依次连接； （2）根据旋转的性质找到对应点，再依次连接；根据勾股定理即可求出B1E的长． 【规范解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作； （2）如图，根据旋转的性质得△ADE即为所求作；． 【考点评析】本题考查了关于坐标原点成中心对称的图形，旋转画图，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式训练1】（2025•沙坪坝区校级开学）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC各顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（2，2），C（0，﹣1）． （1）将△ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB2C2，请在网格中画出△AB2C2； （3）求出△ABC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）． 【思路点拨】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）求出扇形BAB2的面积和△AB2C2的面积，相加即可． 【规范解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△AB2C2即为所求． （3）由勾股定理得，AB， ∴△ABC旋转过程中所扫过的面积为． 【考点评析】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． 【变式训练2】（2024秋•大足区期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上． （1）画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1． （2）将△DEF绕点E顺时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1． （3）若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 　（0，1）　． 【思路点拨】（1）根据中心对称的性质即可画出△A1B1C1； （2）根据旋转的性质即可画出△D1EF1； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置． 【规范解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； ； （2）如图，△D1EF1即为所求； （3）根据旋转的性质可得，旋转中心为AD和CF垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心， ∴P（0，1）， 故答案为：（0，1）． 【考点评析】本题主要考查了作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 考向三：中心对称 考点讲练09：中心对称 【典例精讲09】（2024秋•澄海区期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点A'是对称点 B．BO＝B'O C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B' 【思路点拨】利用中心对称的性质一一判断即可． 【规范解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称， ∴点A与点A'是对称点，BO＝B'O，AB＝A'B'， ∴A，B，C正确， 故选：D． 【考点评析】本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型． 【变式训练1】（2023秋•西城区校级期末）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝2，∠CAB＝90°，则AE的长是 　5　． 【思路点拨】证明∠D＝90°，利用勾股定理求解． 【规范解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称， ∴△ACB≌△DCE， ∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE＝3， ∴AD＝4， ∴AE5， 故答案为：5． 【考点评析】本题考查中心对称，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式训练2】（2023秋•德城区期中）如图，已知△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（　　） A．∠ABC＝∠A'B'C' B．∠BOC＝∠B'A'C' C．AB＝A'B' D．OA＝OA' 【思路点拨】利用中心对称的性质解决问题即可． 【规范解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′， 故A，C，D正确， 故选：B． 【考点评析】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型． 考点讲练10：中心对称图形 【典例精讲10】（2024秋•汉阳区校级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．据此判定即可． 【规范解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，不符合题意， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了中心对称图形的识别．熟练掌握该知识点是关键． 【变式训练1】（2024春•姑苏区校级月考）下列标识中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的性质即可判断． 【规范解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不正确； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不正确； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不正确； 故选：B． 【考点评析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形以及轴对称图形的定义是解题的关键． 【变式训练2】（2024春•福田区校级期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【规范解答】解：A．是中心对称图形，符合题意； B．不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是中心对称图形，故不符合题意； D．不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 【考点评析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 考点讲练11：关于原点对称的点的坐标 【典例精讲11】（2024春•陈仓区期末）在平面直角坐标系内，若点P（p，﹣2）和点Q（6，q）关于原点O对称，则p+q的值为 　﹣4　． 【思路点拨】根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解． 【规范解答】解：∵点P（p，﹣2）和点Q（6，q）关于原点O对称， ∴p＝﹣6，q＝2， ∴p+q＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【考点评析】本题考查关于原点对称的点的特征．熟练掌握关于原点对称的两点，横纵坐标均互为相反数，是解题的关键． 【变式训练1】（2023•路桥区一模）已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则a+b＝　﹣6　． 【思路点拨】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【规范解答】解：由题意，得 a＝﹣5，b＝﹣1． a+b＝﹣5+（﹣1）＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【考点评析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 【变式训练2】（2023秋•文峰区校级期中）已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 【思路点拨】设点P（a，b），由点P与第二象限内的点Q关于原点对称可得点P在第四象限，进而得到a＞0，b＜0；再由点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3可得|a|＝3，|b|＝2，再求解即可． 【规范解答】解：设点P（a，b）， ∵点P与第二象限内的点Q关于原点对称， ∴点P在第四象限， ∴a＞0，b＜0， ∵点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴|a|＝3，|b|＝2， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴点P的坐标为（3，﹣2）， 故选：A． 【考点评析】本题主要是点关于原点对称的点的坐标问题，求解本题的关键是熟悉点关于原点对称的点的坐标特点． 考向四：简单的图案设计 考点讲练12：利用旋转设计图案 【典例精讲12】（2024•禹城市模拟）下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可． 【规范解答】解：选项C中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形． 故选：C． 【考点评析】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，利用平移设计图案，解题的关键是理解中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型． 【变式训练1】（2023春•衡山县期末）在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 　③　． 【思路点拨】根据中心对称图形的性质判断即可． 【规范解答】解：选择标有序号③的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为③． 【考点评析】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是利用中心对称图形的性质，属于中考常考题型． 【变式训练2】（2022春•平遥县期中）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图），这个图案绕点O旋转一定度数后能与原来的图案互相重合，至少应该旋转度数为 　72°　． 【思路点拨】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角． 【规范解答】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合， ∠AOE72°． 故答案为：72． 【考点评析】此题主要考查了旋转图形，正确掌握旋转图形的性质是解题关键． 考点讲练13：几何变换的类型 【典例精讲13】（2023春•舞钢市期中）（1）如图，你能绕着点O使线段AB和CD重合吗？为什么？ （2）小明认为利用学习过的旋转和平移的知识，进行两种变换可以使线段AB和CD重合你知道他是怎么做的吗？请结合图形描述他的变换过程． 【思路点拨】（1）根据旋转的性质即可判断求解； （2）根据旋转和平移的性质解答即可． 【规范解答】解：（1）不能，理由如下： ∵OA＝2，， ∴OA≠OC， ∵一个图形和它经过旋转后所得的图形中，对应点到旋转中心的距离应该相等， ∴不能绕着点O使线段AB和CD重合． （2）如图，以A为旋转中心把线段AB顺时针旋转到AB′的位置，再把线段AB′沿AC的方向平移使点A和点C重合即可．（或把AB′先向下平移1个单位，再向右平移2个单位） 【考点评析】本题主要考查了图形的旋转与平移，熟练掌握旋转与平移的性质是解题的关键． 【变式训练1】（2024春•中原区校级期中）小林想要通过一步全等图形变换从左边的等腰直角三角形得到右边的等腰直角三角形，下列说法正确的个数是（　　） ①△DEF可由△ABC沿AD方向平移一定的距离得到； ②△DEF可由△BAC绕点N顺时针旋转一定的角度得到； ③△DEF可由△BCA沿直线MN翻折得到； ④△DEF不可由△BCA通过一次图形变换得到． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据题中所给变换方式，依次进行判断即可解决问题． 【规范解答】解：将△DEF沿AD方向平移时， 当DE与BC重合时，其它的两边无法重合． 故①中的说法错误． 连接AN，EN，BN，DN，CN，FN， 因为∠ANE＝∠CNF＝∠BND＝90°，且AN＝EN，CN＝FN，BN＝DN， 所以△DEF可由△ABC绕点N顺时针旋转90°得到． 故②中的说法正确． 显然△ABC和△DEF关于直线MN对称， 所以△DEF可由△BCA沿直线MN翻折得到． 故③中的说法正确． 由②③中的说法正确可知， △DEF可由△ABC通过一次变换得到． 故④中的说法错误． 故选：B． 【考点评析】本题考查几何变换的类型及全等图形，熟知图形平移、旋转和翻折的性质是解题的关键． 【变式训练2】（2023春•成武县校级期末）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称． （1）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D．下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似轴对称的是 　①②　；（填写所有符合要求的序号） （2）如图3，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点，∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，连接DE，求证：DE∥AC． 【思路点拨】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似； （2）延长BE，交AC于F，得出△ABE∽△ACD，利用三角形的外角定理得出△EAF∽△ADB，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案． 【规范解答】解：（1）如图1，2中：可知△ABC和△ACD；△BAC和△BCD是成自位似轴对称． 故答案为：①②； （2）证明：如图， 延长BE，交AC于F， ∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE， ∴∠BAD＝∠FAE， ∵∠AEF＝∠ABE+∠BAE，∠ADB＝∠CAD+∠C， ∴∠AEF＝∠ADB， ∴△EAF∽△DAB， ∴， ∴， ∵点D是BC的中点， ∴CD＝BD， ∴BE＝EF， ∴DE∥AC． 【考点评析】本题属于相似形综合题，考查了位似、轴对称的性质、相似三角形、三角形中位线定理等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点． 基础夯实真题练 1．（2024秋•淮南期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝68°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE位置（其中点B和点D，点C和点E分别对应）．若CE∥AB，则∠CAD的大小（　　） A．23° B．24° C．25° D．26° 【思路点拨】由旋转的性质可得AE＝AC，∠CAB＝∠EAD＝68°，由等腰三角形的性质可求∠ECA＝∠AEC＝68°，即可求解． 【规范解答】解：∵AB∥CE， ∴∠CAB＝∠ACE＝68°， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE位置， ∴AE＝AC，∠CAB＝∠EAD＝68°， ∴∠ECA＝∠AEC＝68°， ∴∠EAC＝44°， ∴∠CAD＝68°﹣44°＝24°， 故选：B． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 2．（2024秋•沙坪坝区校级期末）在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝m°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′．如图，在△ABC旋转过程中，连接CC′，交AB于点D，当CC'∥A′B时，∠BDC为（　　） A．m° B．60°+2m° C．60°﹣m° D．120°﹣2m° 【思路点拨】由旋转的性质可得∠ABC＝∠A'BC'＝60°﹣m°，BC＝BC'，由平行线的性质可得∠A'BC'＝∠BC'C＝60°﹣m°，即可求解． 【规范解答】解：∵∠ACB＝120°，∠A＝m°， ∴∠ABC＝60°﹣m°， ∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′， ∴∠ABC＝∠A'BC'＝60°﹣m°，BC＝BC'， ∴∠BCC'＝∠BC'C， ∵CC'∥A′B， ∴∠A'BC'＝∠BC'C＝60°﹣m°， ∴∠BC'C＝60°﹣m°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ABC﹣∠BC'C＝60°+2m°， 故选：B． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 3．（2024秋•淄川区期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，则旋转角的度数为（　　） A．35° B．40° C．50° D．65° 【思路点拨】根据旋转角的概念，可知∠C′AC就是旋转角，据此只要求出∠C′AC即可；根据CC′∥AB，可以得到∠C′CA＝∠CAB＝70°，由旋转的性质可得AC＝AC′，从而推理得到∠AC′C＝∠C′CA＝70°；由三角形内角和定理即可求得∠C′AC的度数，据此就可完成题目的解答． 【规范解答】解：由旋转的性质得AC＝AC′． ∵CC′∥AB，∠CAB＝65°， ∴∠C′CA＝∠CAB＝65°． ∵AC＝AC′， ∴∠CC′A＝65°， ∴∠C′AC＝180°﹣2∠CC′A＝180°﹣2×65°＝50°． 故选：C． 【考点评析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 4．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图，∠CAB＝25°，∠ABC＝40°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，连接CD，若点D，C，B在同一条直线上，则∠BDE的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【思路点拨】由题意得∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝115°，∠ACD＝∠CAB+∠ABC＝65°．由旋转得，∠ADE＝∠ACB＝115°，AD＝AC，则∠ADC＝∠ACD＝65°，再根据∠BDE＝∠ADE﹣∠ADC可得答案． 【规范解答】解：∵∠CAB＝25°，∠ABC＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝115°， ∵点D，C，B在同一条直线上， ∴∠ACD＝∠CAB+∠ABC＝65°． 由旋转得，∠ADE＝∠ACB＝115°，AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD＝65°， ∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADC＝50°． 故选：D． 【考点评析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 5．（2024秋•西湖区校级期末）已知点A（a，﹣3）向左平移4个单位后到y轴的距离为2，则点A的坐标是 　（6，﹣3）或（2，﹣3）　． 【思路点拨】根据平移的法则得点A（a，﹣3）向左平移4个单位后的对应点坐标为（a﹣4，﹣3），再根据点（a﹣4，﹣3）到y轴的距离为2即可求出答案． 【规范解答】解：点A（a，﹣3）向左平移4个单位后的对应点坐标为（a﹣4，﹣3）， ∵点（a﹣4，﹣3）到y轴的距离为2， ∴|a﹣4|＝2， 解得：a＝6或2， ∴点A的坐标是（6，﹣3）或（2，﹣3）． 故答案为：（6，﹣3）或（2，﹣3）． 【考点评析】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 6．（2025•宣恩县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A'B'C'，若点P为BC上一动点，旋转后点P的对应点P'，则线段PP'的最小值是 　2，　． 【思路点拨】由等腰三角形的性质可得PD＝AP•cos30°，即当AP⊥BC时，AP最短，由直角三角形的性质可求解． 【规范解答】解：如图所示，连接AP/过点A作AD⊥PP'于D，由旋转可得，AP＝AP'，∠PAP'＝120°， ∴PP'＝2PD，∠APD＝30°， 当PD最短时，PP'最短，且PD＝AP•cos30°， ∵P为BC边上一动点， ∴当AP⊥BC时，AP最短， ∵AB＝AC＝4，∠BAC＝120°， ∴∠C＝30°， ∴当AP⊥BC时，AP＝AC×sin30°＝42， 此时，PP'＝2PD＝2×AP×cos30°＝2×22， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 7．（2024秋•黔南州期末）在平面直角坐标系中，与点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是 　（﹣2，3）　． 【思路点拨】根据关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，填空即可． 【规范解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）． 【考点评析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握好对称点的坐标规律是关键． 8．（2024秋•靖西市期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为点A（1，3），B（0，1），C（3，2）． （1）请在图中画出将△ABC向左平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点A1的坐标； （2）请在图中画出将△ABC绕着原点顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标； （3）在x轴上找一点P，使得PB+PC最小，并写出点P的坐标． 【思路点拨】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）取点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点A1的坐标为（﹣3，3）． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 由图可得，点C2的坐标为（2，﹣3）． （3）如图，取点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于点P，连接BP， 此时PB+PC＝PB'+PC＝B'C，为最小值， 则点P即为所求． ∴点P的坐标为（1，0）． 【考点评析】本题考查作图﹣旋转变换、轴对称﹣最短路线问题、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． 9．（2025•茄子河区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的位置均在小方格格点上． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出点A1的坐标． （2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2并写出点A2的坐标． （3）求在（2）旋转的过程中边AC扫过的面积． 【思路点拨】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （3）利用勾股定理求出OA，OB的长，再利用扇形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点A1的坐标为（3，4）． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 由图可得，点A2的坐标为（﹣4，﹣3）． （3）由勾股定理得，OA5，OC， ∴旋转的过程中边AC扫过的面积为． 【考点评析】本题考查作图﹣旋转变换、扇形面积的计算、作图﹣轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、扇形的面积公式是解答本题的关键． 10．（2024秋•高安市期末）如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P． （1）求∠BDE的度数； （2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．判断DF和PF的数量关系，并证明． 【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ADE＝∠B＝45°，从而得出答案； （2）利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和即可说明∠FPD＝∠FDP，从而DF＝PF． 【规范解答】解：（1）由旋转的性质可知，AB＝AD，∠BAD＝90°， 在Rt△ABD中，∠B＝∠ADB＝45°， ∴∠ADE＝∠B＝45°， ∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°． （2）DF＝PF．理由如下： 由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝90°， 在Rt△ACE中，∠ACE＝∠AEC＝45°， ∵∠CDF＝∠CAD，∠ACE＝∠ADB＝45°， ∴∠ADB+∠CDF＝∠ACE+∠CAD， 即∠FPD＝∠FDP， ∴DF＝PF． 【考点评析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 培优拔尖真题练 11．（2024秋•曲阳县期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝2，则图中阴影部分面积为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【思路点拨】将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DBT．证明图中阴影部分的面积＝S△ADT，可得结论． 【规范解答】解：将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DBT． ∵∠DEC＝∠DBT＝135°，∠ABD＝45°， ∴∠ABD+∠DBT＝180°， ∴A，B，T共线， ∴图中阴影部分的面积＝S△ADTAD×DT2×4＝4． 故选：B． 【考点评析】本题考查三角形面积的计算，全等三角形的性质，旋转变换，解题的关键是学会利用旋转变换解决问题． 12．（2024秋•新华区期末）如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠BOC＝110°，则∠α的度数是（　　） A．50° B．60° C．80° D．30° 【思路点拨】根据旋转的性质，∠AOC＝∠BOD＝80°，已知∠BOC＝110°，可求∠AOD的度数． 【规范解答】解：将△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD， ∴∠AOC＝∠BOD＝80°，∠AOD＝∠BOC． ∵∠BOC＝110°， ∴∠AOB＝∠BOC﹣∠AOB＝110°﹣80°＝30°． ∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝80°﹣30°＝50°． ∴α＝50°． 故选：A． 【考点评析】本题考查了图形旋转的性质，角的和差．关键是熟练运用旋转的性质． 13．（2024秋•辛集市期末）如图，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转35°得到Rt△AB′C′、B′C′与AC相交于点D，∠B＝60°，则∠ADB′的度数为（　　） A．60° B．30° C．65° D．35° 【思路点拨】由直角三角形的性质得∠C＝30°，再由旋转的性质得∠DAC′＝35°，∠C'＝∠C＝30°，然后由三角形的外角性质即可得出答案． 【规范解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∵Rt△ABC绕点A顺时针旋转35°得到△AB′C′， ∴∠DAC′＝35°，∠C'＝∠C＝30°， ∴∠ADB′＝∠DAC'+∠C'＝35°+30°＝65°， 故选：C． 【考点评析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握旋转的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 14．（2024秋•裕华区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C连接A′B，若点A′，B，A在同一条直线上，则AA′的长为（　　） A． B．2 C．3 D．3 【思路点拨】先根据含30°角的直角三角形的性质求出AB＝2，再由旋转的性质得出∠CA'A＝30°，进而判断出∠CA'A＝∠A'CB，得出A'B＝BC＝1，求和即可得出答案． 【规范解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1， ∴AB＝2BC＝2， 由旋转知，A'C＝AC， ∵点A′，B，A在同一条直线上， ∴∠AA'C＝∠A＝30°， ∵∠ABC＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠A'CB＝∠ABC﹣∠CA'A＝30°， ∴∠A'CB＝∠CA'A， ∴A'B＝BC＝1， ∴AA'＝A'B+AB＝3， 故选：D． 【考点评析】此题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，等角对等边，判断出A'B＝BC是解本题的关键． 15．（2024秋•腾冲市期末）点（﹣2025，1）关于原点对称的点的坐标为　（2025，﹣1）．　． 【思路点拨】根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到答案． 【规范解答】解：关于原点对称的点的坐标为（2025，﹣1）， 故答案为：（2025，﹣1）． 【考点评析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 16．（2024秋•莱州市期末）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若AB＝4，∠AA′B′＝15°，则AB′的长度为 　22　． 【思路点拨】由旋转的性质可得AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'，由等腰直角三角形的性质可求∠CA'B'＝30°，然后得到AB＝A'B'＝4，BC＝2，利用勾股定理求得AC＝A'C＝2，最后利用AB′＝AC﹣B'C解答即可． 【规范解答】解：∵将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C连接AA′， ∴AC＝CA'，∠BAC＝∠CA'B'， ∴∠CAA'＝∠CA'A＝45°，且∠AA′B′＝15°， ∴∠CA'B'＝30°， ∵AB＝A'B'＝4，∠A'CB'＝∠ACB＝90°， ∴BC＝2， ∴AC＝A'C2， ∴AB′＝AC﹣B'C＝22， 故答案为：22． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是解答本题的关键． 17．（2025•沙坪坝区校级开学）如图，点E是等边△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF，若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为　4　． 【思路点拨】由“SAS”可证△BDE≌△NFE，可得∠N＝∠CBE＝30°，则点N在与AN成30°的直线上运动，当AF'⊥F'N时，AF'有最小值，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接BE，延长AC至N，使EN＝BE，连接FN， ∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点， ∴AE＝EC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE⊥AC， ∴∠BEN＝∠DEF＝90°，BEAE， ∴∠BED＝∠CEF， 在△BDE和△NFE中， ， ∴△BDE≌△NFE（SAS）， ∴∠N＝∠CBE＝30°， ∴点F在与AN成30°的直线上运动， ∴当AF'⊥F'N时，AF'有最小值， ∴AF'AN， ∴1（AEAE）， ∴AE＝2， ∴AB＝AC＝4， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，确定点F的运动轨迹是解题的关键． 18．（2025•沈阳开学）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． （1）求证：EF＝BC； （2）若∠AGE＝79°，∠C＝25°，则∠FAC为 　54　度． 【思路点拨】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC； （2）由△ABC≌△AEF，得出∠F＝∠C＝25°，再根据三角形外角的性质即可求出． 【规范解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE， ∴∠BAC＝∠EAF， 由题意可得：AC＝AF， 在△ABC与△AEF中， ， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴EF＝BC； （2）由（1）知，△ABC≌△AEF． 得∠F＝∠C＝25°． 在△AGF中，∠AGE是外角， ∠AGE＝∠F+∠FAC， ∠AGE＝∠F+∠FAC， ∴∠FAC＝∠AGE﹣∠F＝79{°}﹣25{°}＝54{°}$． ∴∠FAC为54°． 故答案为：54． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，证明△ABC≅△AEF是解题的关键． 19．（2024秋•广饶县期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）． （1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标． 【思路点拨】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可； （3）作点A2关于x轴的对应点A′，连接A′A1交x轴于点P，点P即为所求． 【规范解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2O即为所求； （3）如图，点P即为所求，P点的坐标（，0）． 【考点评析】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 20．（2024秋•东城区期末）如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，E为线段CD上一点（CE＞DE），将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF． （1）求证：BE＝AF； （2）点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M．若M为AG的中点，用等式表示线段CE，MF，DE之间的数量关系，并证明． 【思路点拨】（1）由等边三角形的性质得BC＝AC，∠ACB＝60°，由旋转得CE＝CF，∠FCE＝60°，则∠BCE＝∠ACF＝60°﹣∠ACE，即可根据“SAS”证明△BCE≌△ACF，则BE＝AF； （2）作AH∥BC交CF的延长线于点H，则∠H＝∠GCM，∠CAH＝∠ACB＝60°，而AM＝GM，∠AMH＝∠GMC，即可根据“AAS”证明△AMH≌△GMC，得HM＝CM，再根据“ASA”证明△BCD≌△ACH，得CD＝CH，所以DE＝HF，因为CF＝2MF+DE，所以CE＝2MF+DE． 【规范解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°， ∵将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF， ∴CE＝CF，∠FCE＝60°， ∴∠BCE＝∠ACF＝60°﹣∠ACE， ∴△BCE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝AF． （2）解：CE＝2MF+DE， 证明方法一：作AH∥BC交CF的延长线于点H，则∠H＝∠GCM，∠CAH＝∠ACB＝60°， ∵M为AG的中点，∴AM＝GM， ∵∠AMH＝∠GMC， ∴△AMH≌△GMC（AAS）， ∴HM＝CM， ∵∠CBD＝60°， ∴∠CBD＝∠CAH， 由旋转得∠BCD＝∠ACH， ∵BC＝AC， ∴△BCD≌△ACH（ASA）， ∴CD＝CH， ∵CE＝CF， ∴CD﹣CE＝CH﹣CF， ∴DE＝HF， ∵CF＝MF+CM＝MF+HM＝MF+MF+HF＝2MF+DE， ∴CE＝2MF+DE． 证明方法二：在MC上取一点N，使MN＝MF，连接CN， ∵M为AG的中点， ∴AM＝MG， ∵∠AMF＝∠GMN，MF＝MN， ∴△AMF≌△GMN（SAS）， ∴AF＝GN，∠AFM＝∠GNM， 由（1）得△BCE≌△ACF， ∴∠BEC＝∠AFC， ∵∠BED+∠BEC＝180°，∠GNC+∠MNG＝180°， ∴∠BED＝∠GNC， ∵∠BDE＝120°﹣∠BCD，∠NCG＝120°﹣∠BCD， ∴∠BDE＝∠NCG， ∵BE＝GN， ∴△BDE≌△GNN（AAS）， ∴DE＝CN， ∴CE＝CF＝FN+CN＝2MF+DE． 【考点评析】此题重点考查等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 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