第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组（思维导图+知识梳理+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册章节培优复习

2024-2025学年北师大版数学八年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组 （思维导图+知识梳理+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题） 目 录 思维导图指引 3 知识梳理精讲 3 知识点01：不等式 3 知识点02：一元一次不等式 4 知识点03：一元一次不等式组 5 知识点04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 5 重点知识考点讲练 6 考向一：不等关系 6 考点讲练01：不等式的定义 6 考向二：不等式的基本性质 6 考点讲练02：不等式的性质 6 考向三：不等式的解集 6 考点讲练03：不等式的解集 6 考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 7 考向四：一元一次不等式 7 考点讲练05：一元一次不等式的定义 7 考点讲练06：解一元一次不等式 8 考点讲练07：一元一次不等式的整数解 8 考点讲练08：由实际问题抽象出一元一次不等式 8 考点讲练09：一元一次不等式的应用 8 考向五：一元一次不等式与一次函数 9 考点讲练10：一次函数与一元一次不等式 9 考向六：一元一次不等式组 10 考点讲练11：解一元一次不等式组 10 考点讲练12：一元一次不等式组的整数解 10 考点讲练13：由实际问题抽象出一元一次不等式组 11 考点讲练14：一元一次不等式组的应用 11 优选真题难度分层练 12 基础夯实真题练 12 培优拔尖真题练 12 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：不等式 【高频考点精讲】 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点02：一元一次不等式 【高频考点精讲】 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 【易错点剖析】 ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点03：一元一次不等式组 【高频考点精讲】 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 【高频考点精讲】 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 考向一：不等关系 考点讲练01：不等式的定义 【典例精讲01】（2024秋•西湖区校级期中）根据下列数量关系列不等式：x的4倍不大于3的不等式是 　 　． 【变式训练1】（2024春•秦都区校级月考）若x+2y□8是不等式，则符号“□”不能是（　　） A．﹣ B．≥ C．＞ D．≤ 【变式训练2】（2023春•龙川县校级期中）下列式子中，是不等式的有（　　） ①2x＝7；②2x+3；③﹣2＜2；④5a﹣3≥0；⑤x≠1；⑥m﹣n＞8． A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 考向二：不等式的基本性质 考点讲练02：不等式的性质 【典例精讲02】（2025•泉州模拟）已知三个实数a，b，c，满足a+b+c＞0，b+c＝a，a+b＝c，则（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＝0，c＞0 C．a＜0，b＝0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0 【变式训练1】（2024春•西安校级期中）已知a＜b，则下列不等式成立的是（　　） A．a+m＞b+m B．ac＜bc C．﹣2a＞﹣2b D． 【变式训练2】（2024春•霞浦县期中）若x＜y，则﹣x﹣2　 　﹣y﹣2．（填“＜、＞或＝”号） 考向三：不等式的解集 考点讲练03：不等式的解集 【典例精讲03】（2024春•定陶区期末）某数学兴趣小组对关于x的不等式组讨论得到以下结论，其中正确的是（　　） A．若m＝5，则不等式组的解集为3＜x≤5 B．若不等式组无解，则m的取值范围为m＜3 C．若m＝2，则不等式组的解集为3＜x≤2 D．若不等式组有解，则m的取值范围为m≥3 【变式训练1】（2023春•夏县期末）如果不等式组的解集为x＞﹣2，那么m的取值范围为 （　　） A．m＞﹣4 B．m＞2 C．m≤﹣2 D．m≤﹣4 【变式训练2】（2024•济南二模）如果不等式组无解，那么m的取值范围是　 　． 考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲04】（2024•松原模拟）如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是 　 　． 【变式训练1】（2023春•昭平县期末）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是 　 　． 【变式训练2】（2024春•东港区校级期中）如图所示，在数轴上表示了某不等式的解集，则这个不等式可能是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≤1 考向四：一元一次不等式 考点讲练05：一元一次不等式的定义 【典例精讲05】（2024春•滕州市校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的有（　　） ①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练1】（2024春•西安期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣3＞0 B．5＞﹣2 C．3x﹣2＞y+1 D．3y+5＝y 【变式训练2】（2023春•衡阳期末）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　 　． 考点讲练06：解一元一次不等式 【典例精讲06】（2025春•浦东新区月考）若关于x的方程2x﹣6＝﹣a的解为负数，则实数a的取值范围是 　 　． 【变式训练1】（2024春•金水区校级期中）若关于x的不等式（m﹣2024）x＞m﹣2024解集是x＜1，则m取值范围是 　 　． 【变式训练2】（2024春•章丘区校级月考）定义一种新运算：当a＞b时，a*b＝ab+b；当a＜b时，a*b＝ab﹣b．若3*（x+2）＞0，则x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2 B．x＜﹣2或1＜x＜2 C．﹣2＜x＜1或x＞1 D．x＜﹣2或x＞2 考点讲练07：一元一次不等式的整数解 【典例精讲07】（2024春•西安校级期中）不等式4（x+1）≤24的正整数解的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练1】（2024春•岚山区期末）若关于x的不等式x＜m只有3个正整数解，则m的取值范围是（　　） A．3＜m≤4 B．3＜m＜4 C．3≤m≤4 D．3≤m＜4 【变式训练2】（2024春•雁塔区校级期中）不等式﹣6x﹣4＜3x+5的最小整数解是 　 　． 考点讲练08：由实际问题抽象出一元一次不等式 【典例精讲08】（2024春•从江县校级月考）为了推进五育并举，在校学习期间，每天体育运动时间不得少于1小时．设每天的体育运动时间为x小时，则所列不等式为 　 　． 【变式训练1】（2024春•西城区校级期中）用不等式表示“m的3倍与n的差不大于6”：　 　． 【变式训练2】（2023秋•南浔区期末）某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式为（　　） A．300x﹣200≥200×5% B． C． D．300x≥200×（1+5%） 考点讲练09：一元一次不等式的应用 【典例精讲09】（2024春•雁塔区校级期中）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至少可打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【变式训练1】（2024春•商河县期中）某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打（　　）折． A．六 B．七 C．八 D．九 【变式训练2】（2024春•顺德区校级期中）某种商品进价为200元，标价为300元出售，要使利润率不低于5%，则这种商品最多能按 　 　折销售． 考向五：一元一次不等式与一次函数 考点讲练10：一次函数与一元一次不等式 【典例精讲10】（2024春•宁德期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，1），则不等式kx+b＞0的解集为 　 　． 【变式训练1】（2023秋•海曙区期末）如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+4的图象相交于点A（m，3），则关于x的不等式kx+4+2x≥0的解集为 　． 【变式训练2】（2024春•东港市期末）如图，直线y＝kx+b经过点（﹣1，2），则关于x的不等式kx+b＞2的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．x＞2 考向六：一元一次不等式组 考点讲练11：解一元一次不等式组 【典例精讲11】（2025•灞桥区校级开学）若点P（a﹣4，2﹣a）在第四象限，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜4 B．a＜2 C．a＞4 D．无解 【变式训练1】（2024春•龙华区校级期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024春•武侯区期末）定义：若关于x的不等式组的解集是a＜x＜b，且a，b满足a+b＝0，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为 　 　． 考点讲练12：一元一次不等式组的整数解 【典例精讲12】（2024春•沈北新区期中）如图，若x是整数，且满足，则x落在 　 　段．（填序号） 【变式训练1】（2024春•章丘区校级月考）若关于x的不等式组的解集有且仅有三个整数解，则a的取值范围是 　 　． 【变式训练2】（2025•灞桥区校级开学）如果不等式组有且仅有3个整数解．那么m的取值范围是（　　） A．4≤m≤5 B．4≤m＜5 C．4＜m＜5 D．4＜m≤5 考点讲练13：由实际问题抽象出一元一次不等式组 【典例精讲13】（2024秋•杭州期中）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为x，则列式正确的是（　　） A．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8 B．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 C．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8 D．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 【变式训练1】（2023秋•西湖区校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜x+12＜8 B．8＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜x+12＜8 【变式训练2】（2023秋•邵阳县期末）疫情期间，有一批患者要入住邵阳市中心医院的某栋大楼，若每间住4人，则有38人无法入住；若每间住5人，则最后一间没住满．若设房间数为x间，则可列不等式组为：　 　 ． 考点讲练14：一元一次不等式组的应用 【典例精讲14】（2024春•纳溪区期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作恰好进行两次停止，则x的取值范围是 　 　． 【变式训练1】（2024春•鹿邑县校级期末）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是 　． 【变式训练2】（2023秋•隆回县期末）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生（　　） A．11人 B．12人 C．11或12人 D．13人 基础夯实真题练 1．（2025•雁塔区校级二模）下列数中，能使不等式3x﹣1＜4成立的x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025•茄子河区一模）为丰富复学复课后学生的课间生活，某校筹集资金6000元，投资建设1500元一个的乒乓球场地、1200元一个的羽毛球场地和1000元一个的跳绳场地，已知建乒乓球场地不超过2个，则学校的建设方案有（　　）种． A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2025•莲湖区一模）一元一次不等式2（2x+3）＞3x+3的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞﹣3 C． D．x＞9 4．（2025•雁塔区校级开学）若关于x的不等式5x+m≥7x的解集为x≤2，则m的值为 　 　． 5．（2025•市北区校级开学）关于x、y的方程组的解中x与y的和不小于﹣5，则k的取值范围为 　 　． 6．（2024秋•雁塔区校级期末）若点B（7a+14，2）在第二象限，则a的取值范围是 　 　． 7．（2024秋•鄞州区期末）a的2倍与3的差不小于5，用不等式表示为　 　． 8．（2024秋•银川校级期末）解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上． 9．（2025•城阳区校级开学）解下列不等式，并把解集表示在数轴上 （1）3﹣x＜2x+6； （2）． 10．（2024秋•岳阳楼区期末）随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要180元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要310元． （1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，若每件甲种纪念品的售价为160元，每件乙种纪念品的售价为110元，销售完这100件纪念品所获得的利润不低于7200元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 培优拔尖真题练 11．（2025•城阳区校级开学）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示如图，则该不等式的解集是（　　） A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2 12．（2024秋•银川校级期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①ab＜0；②M（x1，y1），N（x2，y2）是直线y1＝ax+b上不重合的两点．则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；③a+b＞c+d；④3a+b＝3c+d；⑤当m＞3时，am+b＞cm+d．其中正确的个数有（　　） A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 13．（2024秋•沙坪坝区校级期末）推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村．某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙1000kg，收购单价为10元/kg．已知运输和仓储中脐橙质量损失4%，为保证至少获得20%的利润，设销售单价为x元/kg，则可列不等式为（　　） A． B． C． D． 14．（2024秋•沙坪坝区校级期末）若整数a使得关于x的方程2（x﹣1）+a＝1的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（2025•鄞州区校级开学）若不等式对任意正整数n都成立，且a是正整数，求a的最小值为 　 　． 16．（2025•茄子河区一模）不等式组无解，则m的取值范围是 　 　． 17．（2025•沙坪坝区校级开学）若整数k使得关于x的一元一次方程kx﹣3x＝9的解为正整数，且使得关于y的不等式组有且仅有两个偶数解，则所有满足条件的整数k的和为 　 　． 18．（2025•黔南州模拟）定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb＝a+2b；当a＜b时，aΔb＝a﹣2b．例如：3Δ（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1Δ2＝1﹣2×2＝﹣3． （1）填空：（﹣4）Δ3＝　 　；（直接写出结果） （2）已知（2x﹣4）Δ2＞1，求x的取值范围． 19．（2024秋•东方期末）（1）计算：； （2）解不等式组：． 20．（2025•牡丹区校级开学）解不等式3﹣x≥2x+6，并把它的解集表示在数轴上． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组 （思维导图+知识梳理+14大考点讲练+优选真题难度分层练 共62题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 3 知识点01：不等式 3 知识点02：一元一次不等式 3 知识点03：一元一次不等式组 4 知识点04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组） 4 重点知识考点讲练 5 考向一：不等关系 5 考点讲练01：不等式的定义 5 考向二：不等式的基本性质 6 考点讲练02：不等式的性质 6 考向三：不等式的解集 7 考点讲练03：不等式的解集 7 考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 8 考向四：一元一次不等式 10 考点讲练05：一元一次不等式的定义 10 考点讲练06：解一元一次不等式 11 考点讲练07：一元一次不等式的整数解 12 考点讲练08：由实际问题抽象出一元一次不等式 13 考点讲练09：一元一次不等式的应用 14 考向五：一元一次不等式与一次函数 15 考点讲练10：一次函数与一元一次不等式 15 考向六：一元一次不等式组 17 考点讲练11：解一元一次不等式组 17 考点讲练12：一元一次不等式组的整数解 18 考点讲练13：由实际问题抽象出一元一次不等式组 20 考点讲练14：一元一次不等式组的应用 21 优选真题难度分层练 23 基础夯实真题练 23 培优拔尖真题练 27 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：不等式 【高频考点精讲】 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 【易错点剖析】 （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点02：一元一次不等式 【高频考点精讲】 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式． 【易错点剖析】 ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 【易错点剖析】 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 知识点03：一元一次不等式组 【高频考点精讲】 　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组． 【易错点剖析】 （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.  （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.  （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案． 知识点04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）　 【高频考点精讲】 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标. 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标. 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 考向一：不等关系 考点讲练01：不等式的定义 【典例精讲01】（2024秋•西湖区校级期中）根据下列数量关系列不等式：x的4倍不大于3的不等式是 　 　． 【思路点拨】根据题意即可作答． 【规范解答】解：根据题意可得，4x≤3． 故答案为：4x≤3． 【考点评析】本题主要考查不等式的定义，根据题意找到不等关系是解题的关键． 【变式训练1】（2024春•秦都区校级月考）若x+2y□8是不等式，则符号“□”不能是（　　） A．﹣ B．≥ C．＞ D．≤ 【思路点拨】根据不等式的定义判断即可． 【规范解答】解：x+2y≥8，x+2y＞8，x+2y≤8都是不等式， x+2y﹣8不是不等式， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 【考点评析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键． 【变式训练2】（2023春•龙川县校级期中）下列式子中，是不等式的有（　　） ①2x＝7；②2x+3；③﹣2＜2；④5a﹣3≥0；⑤x≠1；⑥m﹣n＞8． A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 【思路点拨】依据不等式的定义判断即可． 【规范解答】解：①2x＝7是等式； ②2x+3不是等式，也不是不等式； ③﹣2＜2是不等式； ④5a﹣3≥0是不等式； ⑤x≠1是不等式； ⑥m﹣n＞8是不等式； ∴不等式有4个． 故选：B． 【考点评析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号． 考向二：不等式的基本性质 考点讲练02：不等式的性质 【典例精讲02】（2025•泉州模拟）已知三个实数a，b，c，满足a+b+c＞0，b+c＝a，a+b＝c，则（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＝0，c＞0 C．a＜0，b＝0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0 【思路点拨】根据b+c＝a，a+b＝c可整理得到b＝0，c＝a，再结合a+b+c＞0即可得到a＞0，c＞0． 【规范解答】解：由条件可知b+c+b＝c， ∴b＝0，c＝a， ∵a+b+c＞0， ∴2a＞0， ∴a＞0，c＞0， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了不等式的性质以及整式的性质．熟练掌握以上知识点是关键． 【变式训练1】（2024春•西安校级期中）已知a＜b，则下列不等式成立的是（　　） A．a+m＞b+m B．ac＜bc C．﹣2a＞﹣2b D． 【思路点拨】根据不等式的性质逐项一一排除即可得答案． 【规范解答】解：A、∵a＜b，∴a+m＜b+m，故此选项不合题意； B、∵a＜b，∴当c＞0时，ac＜bc，故此选项不合题意； C、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故此选项符合题意； D、∵a＜b，∴当c＜0时，，故此选项不合题意； 故选：C． 【考点评析】此题考查了不等式的性质．熟练掌握该知识点是关键． 【变式训练2】（2024春•霞浦县期中）若x＜y，则﹣x﹣2　＞　﹣y﹣2．（填“＜、＞或＝”号） 【思路点拨】首先利用不等式的性质在不等式的两边同时乘以﹣1改变不等号方向，然后再在不等式的两边同时减去2即可确定答案． 【规范解答】解：∵x＜y， ∴﹣x＞﹣y， ∴﹣x﹣2＞﹣y﹣2， 故答案为：＞． 【考点评析】本题考查了不等式的性质，当不等式的两边同时乘以一个负数时不等号的方向要改变． 考向三：不等式的解集 考点讲练03：不等式的解集 【典例精讲03】（2024春•定陶区期末）某数学兴趣小组对关于x的不等式组讨论得到以下结论，其中正确的是（　　） A．若m＝5，则不等式组的解集为3＜x≤5 B．若不等式组无解，则m的取值范围为m＜3 C．若m＝2，则不等式组的解集为3＜x≤2 D．若不等式组有解，则m的取值范围为m≥3 【思路点拨】根据不等式性质逐项分析判断即可． 【规范解答】解：A、若m＝5，则不等式组的解集为3＜x≤5，正确，符合题意； B、若不等式组无解，则m的取值范围为m≤3，原说法错误，不符合题意； C、若m＝2，则不等式组的解集为无解，原说法错误，不符合题意； D、若不等式组有解，则m的取值范围为m＞3，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【考点评析】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的确定是关键． 【变式训练1】（2023春•夏县期末）如果不等式组的解集为x＞﹣2，那么m的取值范围为 （　　） A．m＞﹣4 B．m＞2 C．m≤﹣2 D．m≤﹣4 【思路点拨】求出不等式组的解集，根据已知其解集为x＞2，即可比较出m的取值范围． 【规范解答】解：∵不等式组的解集为x＞﹣2， ∴只有当m+2≤﹣2时，不等式组的解集才能为x＞2， 解得：m≤﹣4， 故选：D． 【考点评析】本题考查了已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【变式训练2】（2024•济南二模）如果不等式组无解，那么m的取值范围是　m≥7　． 【思路点拨】根据大大小小无处找，可得答案． 【规范解答】解：由不等式组无解，得m≥7． 故答案为：m≥7． 【考点评析】本题考查了不等式的解集，确定不等式组解集的方法：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小无处找． 考点讲练04：在数轴上表示不等式的解集 【典例精讲04】（2024•松原模拟）如图，小雨把不等式3x+1＞2（x﹣1）的解集表示在数轴上，则阴影部分盖住的数字是 　﹣3　． 【思路点拨】根据去括号、移项、合并同类项，可得不等式的解集，根据不等式解集的表示方法，可得答案． 【规范解答】解：去括号，得 3x+1＞2x﹣2， 移项、合并同类项，得 x＞﹣3， 故答案为：﹣3． 【考点评析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来＞或≥，向右画；＜或≤，向左画，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【变式训练1】（2023春•昭平县期末）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是 　x≥1　． 【思路点拨】直接根据数轴写出答案即可． 【规范解答】解：这个不等式的解集是：x≥1． 故答案为：x≥1． 【考点评析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【变式训练2】（2024春•东港区校级期中）如图所示，在数轴上表示了某不等式的解集，则这个不等式可能是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≤1 【思路点拨】根据数轴可得这个不等式的解集为x≥1，由此即可得． 【规范解答】解：由数轴可知，这个不等式的解集为x≥1， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的解集在数轴上的表示，根据数轴正确写出不等式的解集是解题关键． 考向四：一元一次不等式 考点讲练05：一元一次不等式的定义 【典例精讲05】（2024春•滕州市校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的有（　　） ①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断选项即可．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，未知数的系数不为0，不等号左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式． 【规范解答】解：①x＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意； ②x（x﹣5）＜5不是一元一次不等式，故B选项不符合题意； ③不满足“不等号左右两边为整式”的条件，所以不是一元一次不等式，故C选项不符合题意； ④2x+y＜5+y化简后2x＜5满足“只含有一个未知数”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意． ⑤a﹣2＜5满足“未知数的次数是1”的条件，所以是一元一次不等式，故选项符合题意； ⑥x不满足“只含有一个未知数”的条件，所以不是一元一次不等式，故选项不符合题意． 故选：B． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 【变式训练1】（2024春•西安期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（　　） A．2x﹣3＞0 B．5＞﹣2 C．3x﹣2＞y+1 D．3y+5＝y 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义解答即可 【规范解答】解：∵一元一次不等式是含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式， ∴只有A符合题意． 故选：A． 【考点评析】本题考查不等式的定义，关键是不等式定义的熟练掌握． 【变式训练2】（2023春•衡阳期末）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　1　． 【思路点拨】根据一元一次不等式的定义可知m+1≠0，|m|＝1，从而可求得m的值． 【规范解答】解：∵（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式， ∴m+1≠0，|m|＝1． 解得：m＝1． 故答案为：1． 【考点评析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键． 考点讲练06：解一元一次不等式 【典例精讲06】（2025春•浦东新区月考）若关于x的方程2x﹣6＝﹣a的解为负数，则实数a的取值范围是 　a＞6　． 【思路点拨】先求出方程的解，根据解的情况，列出不等式进行求解即可． 【规范解答】解：∵2x﹣6＝﹣a， ∴， ∵关于x的方程2x﹣6＝﹣a的解为负数， ∴， 解得：a＞6； 故答案为：a＞6． 【考点评析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的综合应用，熟练掌握解不等式是关键． 【变式训练1】（2024春•金水区校级期中）若关于x的不等式（m﹣2024）x＞m﹣2024解集是x＜1，则m取值范围是 　m＜2024　． 【思路点拨】根据题意，得出m﹣2024＜0，据此可解决问题． 【规范解答】解：由题知， 因为关于x的不等式（m﹣2024）x＞m﹣2024解集是x＜1， 所以m﹣2024＜0， 则m＜2024． 故答案为：m＜2024． 【考点评析】本题主要考查了解一元一次不等式，能根据题意得出m﹣2024＜0是解题的关键． 【变式训练2】（2024春•章丘区校级月考）定义一种新运算：当a＞b时，a*b＝ab+b；当a＜b时，a*b＝ab﹣b．若3*（x+2）＞0，则x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2 B．x＜﹣2或1＜x＜2 C．﹣2＜x＜1或x＞1 D．x＜﹣2或x＞2 【思路点拨】分当3＞x+2，即x＜1时，当3＜x+2，即x＞1时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【规范解答】解：当3＞x+2，即x＜1时， ∵3*（x+2）＞0， ∴3（x+2）+（x+2）＞0， ∴3x+6+x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∴﹣2＜x＜1； 当3＜x+2，即x＞1时， ∵3*（x+2）＞0， ∴3（x+2）﹣（x+2）＞0， ∴2x+4＞0， ∴x＞﹣2， ∴x＞1； 综上所述，﹣2＜x＜1或x＞1， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 考点讲练07：一元一次不等式的整数解 【典例精讲07】（2024春•西安校级期中）不等式4（x+1）≤24的正整数解的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】根据题意，求出不等式的解集，再求出其正整数解的个数即可． 【规范解答】解：由题知， 4（x+1）≤24， 解得x≤5， 所以不等式的正整数解为：5，4，3，2，1， 故不等式的正整数解的个数为5． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解及解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【变式训练1】（2024春•岚山区期末）若关于x的不等式x＜m只有3个正整数解，则m的取值范围是（　　） A．3＜m≤4 B．3＜m＜4 C．3≤m≤4 D．3≤m＜4 【思路点拨】根据不等式的解即可求解． 【规范解答】解：∵关于x的不等式x＜m只有3个正整数解，为1，2，3， ∴3＜m≤4， 故选：A． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解不等式是关键． 【变式训练2】（2024春•雁塔区校级期中）不等式﹣6x﹣4＜3x+5的最小整数解是 　0　． 【思路点拨】根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，再按要求求出最小整数解即可． 【规范解答】解：﹣6x﹣4＜3x+5， ﹣6x﹣3x＜5+4， ﹣9x＜9， x＞﹣1， 所以不等式的最小整数解是0． 故答案为：0． 【考点评析】本题主要考查了解一元一次不等式及一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 考点讲练08：由实际问题抽象出一元一次不等式 【典例精讲08】（2024春•从江县校级月考）为了推进五育并举，在校学习期间，每天体育运动时间不得少于1小时．设每天的体育运动时间为x小时，则所列不等式为 　x≥1　． 【思路点拨】根据超过用“≥”列不等式即可． 【规范解答】解：由题意得x≥1， 故答案为：x≥1． 【考点评析】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别． 【变式训练1】（2024春•西城区校级期中）用不等式表示“m的3倍与n的差不大于6”：　3m﹣n≤6　． 【思路点拨】“m的3倍与n的差”表示为“3m﹣n”，“不大于6”即“≤6”，据此可得答案． 【规范解答】解：由题意知：“m的3倍与n的差”表示为“3m﹣n”，“不大于6”即“≤6”， ∴不等式为3m﹣n≤6． 故答案为：3m﹣n≤6． 【考点评析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【变式训练2】（2023秋•南浔区期末）某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式为（　　） A．300x﹣200≥200×5% B． C． D．300x≥200×（1+5%） 【思路点拨】设售价可以按标价打x折，根据“每件衣服的利润不低于5%”即可列出不等式． 【规范解答】解：按标价打x折出售，根据题意得： ：． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确列出不等式是解题关键． 考点讲练09：一元一次不等式的应用 【典例精讲09】（2024春•雁塔区校级期中）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至少可打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 【思路点拨】求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．设可打x折，根据售价＝标价×打折率和利润＝售价﹣进价＝进价×利润率列出不等式求解即可． 【规范解答】解：设可打x折，则有1200x÷10﹣800≥800×5%， 解得：x≥7， 即至少可打7折． 故选：B． 【考点评析】本题考查的是一元一次不等式的应用，关键是注意利润和折数，计算折数时注意要除以10． 【变式训练1】（2024春•商河县期中）某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于5%，则最多可打（　　）折． A．六 B．七 C．八 D．九 【思路点拨】设该自行车能打x折，则根据利润率不低于5%，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案． 【规范解答】解：设该自行车能打x折， 由题意得， 解得：x≥7，即最多可打7折． 故选：B． 【考点评析】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出一元一次不等式是解题的关键． 【变式训练2】（2024春•顺德区校级期中）某种商品进价为200元，标价为300元出售，要使利润率不低于5%，则这种商品最多能按 　七　折销售． 【思路点拨】设这种商品按x折销售，根据利润率不低于5%建立不等式，解不等式即可得． 【规范解答】解：设这种商品按x折销售， 由题意得：， 解得x≥7， 则这种商品最多能按七折销售． 故答案为：七． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键． 考向五：一元一次不等式与一次函数 考点讲练10：一次函数与一元一次不等式 【典例精讲10】（2024春•宁德期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，1），则不等式kx+b＞0的解集为 　x＞﹣2　． 【思路点拨】从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标．根据直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣2，0），结合函数图象，即可求出不等式kx+b＞0的解集． 【规范解答】解：∵直线y＝kx+b与x轴交于点（﹣2，0），与y轴交于点（0，1）， ∴根据函数图象可知，不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣2． 故答案为：x＞﹣2． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数与一次不等式的关系是重点． 【变式训练1】（2023秋•海曙区期末）如图，函数y＝﹣2x和y＝kx+4的图象相交于点A（m，3），则关于x的不等式kx+4+2x≥0的解集为　x≥﹣1.5　． 【思路点拨】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式kx+4+2x≥0的解集即可． 【规范解答】解：将点A（m，3）代入y＝﹣2x得，﹣2m＝3， 解得，m， 所以点A的坐标为（﹣1.5，3）， 由图可知，不等式kx+4+2x≥0的解集为x≥﹣1.5． 故答案为x≥﹣1.5． 【考点评析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想． 【变式训练2】（2024春•东港市期末）如图，直线y＝kx+b经过点（﹣1，2），则关于x的不等式kx+b＞2的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．x＞2 【思路点拨】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于2的自变量x的取值范围． 【规范解答】解：由图中可以看出，当x＜﹣1时，kx+b＞2， 故选：A． 【考点评析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 考向六：一元一次不等式组 考点讲练11：解一元一次不等式组 【典例精讲11】（2025•灞桥区校级开学）若点P（a﹣4，2﹣a）在第四象限，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜4 B．a＜2 C．a＞4 D．无解 【思路点拨】根据第四项限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 【规范解答】解：∵点P（a﹣4，2﹣a）在第四象限， ∴， 解得a＞4． 故选：C． 【考点评析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 【变式训练1】（2024春•龙华区校级期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】首先解每个不等式，然后把每个不等式用数轴表示即可． 【规范解答】解：， 解①得x＞1， 解②得x≤2， 利用数轴表示为： ． 故选：A． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式训练2】（2024春•武侯区期末）定义：若关于x的不等式组的解集是a＜x＜b，且a，b满足a+b＝0，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为 　4　． 【思路点拨】解每个不等式得出﹣2＜x＜c﹣2，根据“对称集”的定义得出c﹣2+（﹣2）＝0，解得c＝4． 【规范解答】解：解不等式x+2＜c，得：x＜c﹣2， 解不等式，得：x＞﹣2， ∵关于x的不等式组的解集是一个对称集， ∴c﹣2+（﹣2）＝0， 解得c＝4， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握“对称集”的定义是解答此题的关键． 考点讲练12：一元一次不等式组的整数解 【典例精讲12】（2024春•沈北新区期中）如图，若x是整数，且满足，则x落在 　③　段．（填序号） 【思路点拨】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后确定整数解即可． 【规范解答】解：， 解①得：x， 解②得：x＜2． 则不等式组的解集是：x＜2． 则整数解是1． 故答案为：③． 【考点评析】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【变式训练1】（2024春•章丘区校级月考）若关于x的不等式组的解集有且仅有三个整数解，则a的取值范围是 　2＜a≤3　． 【思路点拨】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案． 【规范解答】解：解不等式5﹣2x＜x﹣1得：x＞2， 解不等式x﹣a＜3得：x＜3+a， ∵关于x的不等式组有且仅有三个整数解， ∴3个整数解是3，4，5， ∴5＜3+a≤6， ∴2＜a≤3． 故答案为：2＜a≤3． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键． 【变式训练2】（2025•灞桥区校级开学）如果不等式组有且仅有3个整数解．那么m的取值范围是（　　） A．4≤m≤5 B．4≤m＜5 C．4＜m＜5 D．4＜m≤5 【思路点拨】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集和整数解得出答案即可． 【规范解答】解：， 解不等式，得x＜8， 解不等式﹣x＜﹣m，得x＞m， 不等式组的解集是m＜x＜8， ∵不等式组有且仅有3个整数解，这3个整数解是5，6，7， ∴4≤m＜5， 故选：B． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．熟练掌握该知识点是关键． 考点讲练13：由实际问题抽象出一元一次不等式组 【典例精讲13】（2024秋•杭州期中）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为x，则列式正确的是（　　） A．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8 B．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 C．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8 D．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 【思路点拨】根据题意，可以得到不等式1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8，从而可以判断哪个选项昂符合题意． 【规范解答】解：由题意可得， 1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8， 故选：D． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式，注意不足8个暗含着小于8个，同时题干中有每个学生都分到苹果，则最少1个． 【变式训练1】（2023秋•西湖区校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜x+12＜8 B．8＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜x+12＜8 【思路点拨】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有（5x+12）个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数5x+12﹣8（x﹣1）大于0，并且小于8，然后即可列出相应的不等式组． 【规范解答】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个， 由题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8， 故选：C． 【考点评析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 【变式训练2】（2023秋•邵阳县期末）疫情期间，有一批患者要入住邵阳市中心医院的某栋大楼，若每间住4人，则有38人无法入住；若每间住5人，则最后一间没住满．若设房间数为x间，则可列不等式组为：　或或（答案不唯一）　． 【思路点拨】根据不等关系“每间住4人，则有38人无法入住”和“若每间住5人，则最后一间没住满”据此列不等式组即可． 【规范解答】解：若设房间数为x间， 由题意可得：或或． 故答案为：或或（答案不唯一）． 【考点评析】本题主要考查了列不等式组，审清题意、找到不等关系是解题的关键． 考点讲练14：一元一次不等式组的应用 【典例精讲14】（2024春•纳溪区期末）对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作恰好进行两次停止，则x的取值范围是 　22＜x≤64　． 【思路点拨】根据第一次操作没有停止可得不等式3x﹣2≤190，根据第二次操作后停止可得不等式3（3x﹣2）﹣2＞190，由此建立不等式组求解即可． 【规范解答】解：由题意得，， 解得22＜x≤64． 故答案为：22＜x≤64． 【考点评析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意列出不等式组是解题的关键． 【变式训练1】（2024春•鹿邑县校级期末）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是　x≤8　． 【思路点拨】根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可． 【规范解答】解：由题意得， 解不等式①得x≤8， 解不等式②得，x， 则x的取值范围是x≤8． 故答案为：x≤8． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 【变式训练2】（2023秋•隆回县期末）把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生（　　） A．11人 B．12人 C．11或12人 D．13人 【思路点拨】根据每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，得出5x+7≥6（x﹣1），且6（x﹣1）+3＞5x+7，分别求出即可． 【规范解答】解：假设共有学生x人，根据题意得出：， 解得：10＜x≤12． 因为x是正整数，所以符合条件的x的值是11或12． 观察选项，选项C符合题意． 故选：C． 【考点评析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键． 基础夯实真题练 1．（2025•雁塔区校级二模）下列数中，能使不等式3x﹣1＜4成立的x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】先求出不等式3x﹣1＜4的解集，即可判断哪个选项符合题意． 【规范解答】解：由3x﹣1＜4可得x， ∴选项中，能使不等式3x﹣1＜4成立的x的值为1， 故选：A． 【考点评析】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 2．（2025•茄子河区一模）为丰富复学复课后学生的课间生活，某校筹集资金6000元，投资建设1500元一个的乒乓球场地、1200元一个的羽毛球场地和1000元一个的跳绳场地，已知建乒乓球场地不超过2个，则学校的建设方案有（　　）种． A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】当建设1个乒乓球场地时，设建设a个羽毛球场地，b个跳绳场地，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过6000元，可列出关于a，b的二元一次不等式，结合a，b均为正整数，可得出此时学校有5种建设方案；当建设2个乒乓球场地时，设建设c个羽毛球场地，d个跳绳场地，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过6000元，可列出关于c，d的二元一次不等式，结合c，d均为正整数，可得出此时学校有1种建设方案，再将两种情况下的建设方案相加，即可得出结论． 【规范解答】解：当建设1个乒乓球场地时，设建设a个羽毛球场地，b个跳绳场地， 根据题意得：1500×1+1200a+1000b≤6000， ∴b≤6﹣1.2a， 又∵a，b均为正整数， ∴或或或或， ∴此时学校有5种建设方案； 当建设2个乒乓球场地时，设建设c个羽毛球场地，d个跳绳场地， 根据题意得：1500×2+1200c+1000d≤6000， ∴d＝3﹣1.2c， 又∵c，d均为正整数， ∴， ∴此时学校有1种建设方案． 综上所述，学校共有5+1＝6（种）建设方案． 故选：C． 【考点评析】本题考查了二元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键． 3．（2025•莲湖区一模）一元一次不等式2（2x+3）＞3x+3的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞﹣3 C． D．x＞9 【思路点拨】根据解一元一次不等式的步骤即可得出答案． 【规范解答】解：2（2x+3）＞3x+3， 4x+6＞3x+3， 4x﹣3x＞3﹣6， x＞﹣3， 故选B． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的步骤是解题的关键． 4．（2025•雁塔区校级开学）若关于x的不等式5x+m≥7x的解集为x≤2，则m的值为 　4　． 【思路点拨】先解不等式得到，由不等式的解集为x≤2，则，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：∵5x+m≥7x， ∴5x﹣7x≥﹣m， ∴﹣2x≥﹣m， ∴， ∵不等式的解集为x≤2， ∴， ∴m＝4， 故答案为：4． 【考点评析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 5．（2025•市北区校级开学）关于x、y的方程组的解中x与y的和不小于﹣5，则k的取值范围为 　k≥﹣2　． 【思路点拨】把两个方程相减，可得x+y＝k﹣3，x与y的和不小于﹣5，即可求出答案． 【规范解答】解：， ①﹣②得x+y＝k﹣3， ∵x与y的和不小于﹣5， ∴k﹣3≥﹣5， 解得：k≥﹣2， ∴k的取值范围为k≥﹣2． 故答案为：k≥﹣2． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，根据题意得出关于k的不等式是解题的关键． 6．（2024秋•雁塔区校级期末）若点B（7a+14，2）在第二象限，则a的取值范围是 　a＜﹣2　． 【思路点拨】根据题意可得：7a+14＜0，然后进行计算即可解答． 【规范解答】解：∵点B（7a+14，2）在第二象限， ∴7a+14＜0， 7a＜﹣14， a＜﹣2， 故答案为：a＜﹣2． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．（2024秋•鄞州区期末）a的2倍与3的差不小于5，用不等式表示为　2a﹣3≥5　． 【思路点拨】a的2倍表示为：2a，不小于表示为：≥，由此可得不等式． 【规范解答】解：a的2倍与3的差不小于5，用不等式表示为：2a﹣3≥5． 故答案为：2a﹣3≥5． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象一元一次不等式的知识，关键是将文字描述转化为数学语言． 8．（2024秋•银川校级期末）解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上． 【思路点拨】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【规范解答】解：， 由①得，x＜﹣4， 由②得，x， 故此不等式的解集为x＜﹣4． 在数轴上表示为：． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 9．（2025•城阳区校级开学）解下列不等式，并把解集表示在数轴上 （1）3﹣x＜2x+6； （2）． 【思路点拨】（1）根据解一元一次不等式的一般步骤解答即可； （2）根据解一元一次不等式的一般步骤解答即可． 【规范解答】解：（1）移项得：﹣x﹣2x＜6﹣3， 合并同类项得：﹣3x＜3， 两边同时除以﹣3得：x＞﹣1； 把解集表示在数轴上如图： （2）去分母得：x﹣6≥2（x﹣2）， 去括号得：x﹣6≥2x﹣4， 移项得：x﹣2x≥﹣4+6， 合并同类项得：﹣x≥2， 两边同时除以﹣1得：x≤﹣2． 把解集表示在数轴上如图： 【考点评析】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤． 10．（2024秋•岳阳楼区期末）随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲、乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要180元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要310元． （1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲、乙两种纪念品共100件，若每件甲种纪念品的售价为160元，每件乙种纪念品的售价为110元，销售完这100件纪念品所获得的利润不低于7200元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 【思路点拨】（1）设购进甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，根据“购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要180元；购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要310元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，则购进（100﹣m）件乙种纪念品，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量（购进数量），结合总利润不低于7200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设购进甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进甲种纪念品每件需要80元，乙种纪念品每件需要50元； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，则购进（100﹣m）件乙种纪念品， 根据题意得：（160﹣80）m+（110﹣50）（100﹣m）≥7200， 解得：m≥60， ∴m的最小值为60． 答：该商场最少购进甲种纪念品60件． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 培优拔尖真题练 11．（2025•城阳区校级开学）关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示如图，则该不等式的解集是（　　） A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2 【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上的表示方法求出不等式的解集即可． 【规范解答】解：由题意得，不等式组的解集为：x＞﹣2． 故选：C． 【考点评析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握不等式解集的表示方法． 12．（2024秋•银川校级期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①ab＜0；②M（x1，y1），N（x2，y2）是直线y1＝ax+b上不重合的两点．则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；③a+b＞c+d；④3a+b＝3c+d；⑤当m＞3时，am+b＞cm+d．其中正确的个数有（　　） A．①② B．①③④ C．①④⑤ D．③④⑤ 【思路点拨】根据一次函数y＝kx+b中的k，b与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【规范解答】解：①观察图象可知，a＜0，b＞0． 所以ab＜0． 故①正确． ②因为M，N是直线y1上不重合的两点， 由y1＝ax+b的图象可知，当x1＞x2时，y1＜y2，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0． 当x1＜x2时，y1＞y2，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0． 故②不正确． ③将x＝1分别代入y1和y2得， y1＝a+b，y2＝c+d． 观察图象不难发现点（1，a+b）在点（1，c+d）的上方， 所以a+b＞c+d． 故③正确． ④观察图象发现，y1与y2交点的横坐标为3． 即表示：当x＝3时，两者的函数值相等． 所以3a+b＝3c+d． 故④正确． ⑤观察图象发现，在直线x＝3的右侧，y2的图象在y1图象的上方， 即当x＞3时，cx+d＞ax+b． 所以当m＞3时，cm+d＞ax+b． 故⑤不正确． 故选：B． 【考点评析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，以及用数形结合的思想解决问题． 13．（2024秋•沙坪坝区校级期末）推进中国式现代化需夯实农业基础，振兴乡村．某合作社发展乡村水果网络销售，购进脐橙1000kg，收购单价为10元/kg．已知运输和仓储中脐橙质量损失4%，为保证至少获得20%的利润，设销售单价为x元/kg，则可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据“运输和仓储中脐橙质量损失4%，为保证至少获得20%的利润”列出不等式即可． 【规范解答】解：根据题意，得． 故选：B． 【考点评析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 14．（2024秋•沙坪坝区校级期末）若整数a使得关于x的方程2（x﹣1）+a＝1的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】分别表示出一元一次方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数a的和即可． 【规范解答】解：由2（x﹣1）+a＝1可得，x， ∵方程2（x﹣1）+a＝1的解为非负数， ∴0， 解得a≤3， 由不等式组可得，﹣2＜y≤a， ∵一元一次不等式组至少有3个整数解． ∴a≥1， 由上可得，1≤a≤3， ∴a可以取得整数为1，2，3， ∴所有符合条件的整数a的和为1+2+3＝6． 故选：D． 【考点评析】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围． 15．（2025•鄞州区校级开学）若不等式对任意正整数n都成立，且a是正整数，求a的最小值为 　2023　． 【思路点拨】先利用错位相减法，得到第n个式子的最大值，求得前n项和，然后求不等式的解． 【规范解答】解：设 ，， ∴ ， ∴an 的值随 n 的增大而减少， ∴当 n＝1 时，an 有最大值，， ∴， ∴a的最小值是2023． 故答案为：2023． 【考点评析】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 16．（2025•茄子河区一模）不等式组无解，则m的取值范围是 　m≤5　． 【思路点拨】解不等式组，解得m≥x＞5，根据不等式组无解，即可求m的值． 【规范解答】解：∵不等式组无解， ∴无解， ∴m≤5． 故答案为：m≤5． 【考点评析】本题考查的是不等式组的整数解和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17．（2025•沙坪坝区校级开学）若整数k使得关于x的一元一次方程kx﹣3x＝9的解为正整数，且使得关于y的不等式组有且仅有两个偶数解，则所有满足条件的整数k的和为 　10　． 【思路点拨】根据题意可以求得k的取值范围，从而可以得到符合条件的k的整数值，从而可以解答本题． 【规范解答】解：∵整数k使得关于x的一元一次方程kx﹣3x＝9的解为正整数， ∴当k＝3时，x＝﹣3（不合题意）， 当k≠3时，x， ∴k＝4或6或12， ， 解不等式①得，y 解不等式②得，y＜6， ∴不等式的解集为y＜6， 关于y的不等式组有且仅有两个偶数解， ∴0， ∴0＜k≤6， ∴所有符合条件的整数k的值有4，6， ∴所有满足条件的整数k的和为10． 故答案为：10． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的解和二元一次不等式组的整数解，正确掌握解方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 18．（2025•黔南州模拟）定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb＝a+2b；当a＜b时，aΔb＝a﹣2b．例如：3Δ（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1Δ2＝1﹣2×2＝﹣3． （1）填空：（﹣4）Δ3＝　﹣10　；（直接写出结果） （2）已知（2x﹣4）Δ2＞1，求x的取值范围． 【思路点拨】（1）根据新定义进行计算即可； （2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【规范解答】解：（1）根据新定义进行计算可得： （﹣4）Δ3＝（﹣4）﹣2×3＝﹣10， 故答案为：﹣10； （2）由题意，知，①或，② 由①得x≥3； 由②得无解； ∴x的取值范围为：x≥3． 【考点评析】此题考查了有理数的混合运算和解一元一次不等式组．熟练掌握以上知识点是关键． 19．（2024秋•东方期末）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【思路点拨】（1）先化简算术平方根、负整数指数幂、化简绝对值，零次幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）分别解出每个不等式的解集，再取它们的公共部分的解集，即可作答． 【规范解答】解：（1）原式 ＝2； （2）， 由①得：x＜4， 由②得：x≥﹣5， ∴不等式组的解集为﹣5≤x＜4． 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式组，算术平方根，零次幂，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20．（2025•牡丹区校级开学）解不等式3﹣x≥2x+6，并把它的解集表示在数轴上． 【思路点拨】先求解不等式3﹣x≥2x+6，然后把它的解集表示在数轴上即可． 【规范解答】解：由题意得，﹣x﹣2x≥6﹣3， ﹣3x≥3， x≤﹣1， 不等式的解集在数轴上表示如图： 【考点评析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$