第1章 三角形的证明（思维导图+知识梳理+15大考点讲练+优选真题难度分层练 共65题）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册章节培优复习

2024-2025学年北师大版数学八年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第1章 三角形的证明 （思维导图+知识梳理+15大考点讲练+优选真题难度分层练 共65题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 3 知识点01：等腰三角形 3 知识点02：直角三角形 3 知识点03：线段的垂直平分线 4 知识点04：角平分线 4 重点知识考点讲练 5 考向一：等腰三角形 5 考点讲练01：等腰三角形的性质 5 考点讲练02：等腰三角形的判定 6 考点讲练03：等腰三角形的判定与性质 6 考点讲练04：等边三角形的性质 7 考点讲练05：等边三角形的判定 7 考点讲练06：等边三角形的判定与性质 8 考点讲练07：含30度角的直角三角形 9 考点讲练08：反证法 9 考向二：直角三角形 10 考点讲练09：直角三角形全等的判定 10 考点讲练10：直角三角形的性质 10 考点讲练11：勾股定理 11 考点讲练12：勾股定理的证明 12 考点讲练13：勾股定理的逆定理 13 考向三：线段的垂直平分线 13 考点讲练14：线段垂直平分线的性质 13 考向四：角平分线 14 考点讲练15：角平分线的性质 14 优选真题难度分层练 15 基础夯实真题练 15 培优拔尖真题练 15 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：等腰三角形 【高频考点精讲】 1.三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 2.等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3.等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【易错点剖析】 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 知识点02：直角三角形 【高频考点精讲】 1.勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题 命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理. 3.直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 【易错点剖析】 ①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”. ②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 知识点03：线段的垂直平分线 【高频考点精讲】 1.线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 【易错点剖析】 ①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 知识点04：角平分线 【高频考点精讲】 1.角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 【易错点剖析】 ①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 考向一：等腰三角形 考点讲练01：等腰三角形的性质 【典例精讲01】（2024秋•开福区期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【变式训练1】（2024秋•石狮市期末）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 【变式训练2】（2024秋•宽城县期末）已知等腰△ABC的一个角是80°，则△ABC的底角的度数是　 　． 考点讲练02：等腰三角形的判定 【典例精讲02】（2024秋•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，则△ADE的周长为 　 　． 【变式训练1】（2024秋•冠县期末）在下列各组几何图形中，一定全等的是（　　） A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．腰长相等的两个等腰直角三角形 C．两个等边三角形 D．各有一个角是40°，腰长都是5cm的两个等腰三角形 【变式训练2】（2024秋•睢县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练03：等腰三角形的判定与性质 【典例精讲03】（2024秋•舒城县期末）在平面直角坐标系中，已知点A（3，0）、B（0，4），△POA为等腰三角形，且其面积等于△AOB面积的一半，则符合条件的点P共有（　　） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【变式训练1】（2024秋•平原县期末）C、D是线段AB的垂直平分线上的两点，AB平分∠CAD．则下列说法不一定正确的是（　　） A．AD＝BD B．AD∥CB C．AB垂直平分CD D．AB＝CD 【变式训练2】（2024秋•海港区期末）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为10，△ABC的周长为16，则BC＝　 　． 考点讲练04：等边三角形的性质 【典例精讲04】（2024秋•八公山区期末）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝ 　 　． 【变式训练1】（2024秋•南昌期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　 　． 【变式训练2】（2024秋•苍梧县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 考点讲练05：等边三角形的判定 【典例精讲05】（2024春•城固县期末）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练1】（2023秋•成华区期末）△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（　　） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【变式训练2】（2023秋•昭通期末）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为　 　． 考点讲练06：等边三角形的判定与性质 【典例精讲06】（2024春•市中区期末）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝2∠BCD，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 　 　cm． 【变式训练1】（2024秋•桓台县期中）如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC于点E、F，则EF的长度为　 　． 【变式训练2】（2024春•宣州区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，AD＝CD，连接AC，过点D作DE∥AB分别交BC、AC于E、F，若AB＝4，DE＝3，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．3 考点讲练07：含30度角的直角三角形 【典例精讲07】（2024秋•滦南县期末）如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的平面示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线．若∠ABC＝150°，BC＝10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A． B． C．5m D． 【变式训练1】（2024秋•临高县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°，DE＝2，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．6 【变式训练2】（2025•北京开学）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，DE＝3，∠B＝30°，则BC＝ 　 　． 考点讲练08：反证法 【典例精讲08】（2024春•京口区期中）若用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B＞∠C，则AC＞AB”，则应假设 　 　． 【变式训练1】（2024春•城关区校级期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中（　　） A．至少有两个角是锐角 B．至多有一个角是锐角 C．只有一个角是锐角 D．没有一个角是锐角 【变式训练2】（2024秋•翠屏区校级期末）用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于或等于60° B．三角形中有两个内角小于或等于60° C．三角形中有三个内角小于或等于60° D．三角形中没有一个内角小于或等于60° 考向二：直角三角形 考点讲练09：直角三角形全等的判定 【典例精讲09】（2024秋•宁津县校级月考）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　） A．∠BAC＝∠BAD B．∠C＝∠D C．AC＝AD D．BC＝AD 【变式训练1】（2024•西安校级开学）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可用“HL”判定Rt△ABC和Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　） A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 【变式训练2】（2024春•衡南县校级期中）在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，再补充一个条件　 　，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF． 考点讲练10：直角三角形的性质 【典例精讲10】（2024秋•玉环市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　 　． 【变式训练1】（2024春•界首市期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是 　 　． 【变式训练2】（2025•黔南州模拟）将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 考点讲练11：勾股定理 【典例精讲11】（2024秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，过点D作DE∥AC交AB于点E．若AB＝8，BD＝4，则点D到AB边上的距离是（　　） A． B． C． D．3 【变式训练1】（2024秋•余江区期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【变式训练2】（2025•南岗区校级开学）如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线和高．下列结论：①AB+BF＝CF；②AB+BE＝AC；③AB＝2DF；④AE＝BD；⑤AC2﹣AB2＝AB•BC．其中结论正确的序号有　 　． 考点讲练12：勾股定理的证明 【典例精讲12】（2023秋•福田区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c＝100，b﹣a＝20，则每个直角三角形的面积为 　 　． 【变式训练1】（2025•竞秀区开学）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4，那么AH＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 【变式训练2】（2024秋•北京校级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 考点讲练13：勾股定理的逆定理 【典例精讲13】（2024秋•禅城区期末）在△ABC中，不能判断它是直角三角形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠A+∠B＝90° C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC：BC：AB＝1：2：3 【变式训练1】（2024秋•新安县期末）在△ABC中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①∠B＝∠C﹣∠A；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：3；⑤a2：b2：c2＝1：2：3．其中，能判断△ABC为直角三角形的条件有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练2】（2024秋•海港区期末）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝　 　时，△PBQ是直角三角形． 考向三：线段的垂直平分线 考点讲练14：线段垂直平分线的性质 【典例精讲14】（2025春•浦东新区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE为AB边的垂直平分线，且CD＝DE＝2，则AB＝（　　） A．4 B．8 C． D． 【变式训练1】（2024春•南海区校级期中）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式训练2】（2024秋•芝罘区期末）如图，Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝4，则△AMB的面积为 　 　． 考向四：角平分线 考点讲练15：角平分线的性质 【典例精讲15】（2024秋•东莞市期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是　 　． 【变式训练1】（2024秋•兴国县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为 　 　． 【变式训练2】（2024秋•柳州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 基础夯实真题练 1．（2025•五华区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝6，则点D到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（2024秋•崆峒区期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝5cm，则AB的长是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 3．（2024秋•安庆期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，斜边AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，AE＝10cm，则BC的长度为（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 4．（2024秋•三台县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，若∠B＝2∠C，BC＝4，则CD＝　 　． 5．（2024秋•南平期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，下列结论： ①DE＝BD+CE； ②∠BFC＝90°+∠A； ③点F一定在BC的垂直平分线上； ④点F到AB，AC，BC三边的距离相等； 其中所有正确的结论是　 　.（填序号） 6．（2025•九龙坡区校级开学）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，E是△ABC内一点且BE平分∠ABC，若△BCE的面积为1.5，则△ABE的面积为　 　． 7．（2024秋•鄞州区期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 　 　． 8．（2024秋•三台县期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN． （1）证明：AB＝BC； （2）若∠CAB＝30°，证明：△AMN是等边三角形． 9．（2024秋•信都区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE是边BC的垂直平分线，连接BD． （1）若CD＝4，求BD的长； （2）若BD平分∠ABC，求∠C的度数． 10．（2024秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 培优拔尖真题练 11．（2024秋•太湖县期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列五个结论：其中一定正确的结论有（　　）个． ①EF＝BE+CF； ②BG＝CG； ③∠BGC＝90°+∠A； ④点G到△ABC各边的距离相等； ⑤设GD＝m，AE+AF＝n，则． A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2024秋•嘉祥县期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于（　　） A．45° B．30° C．60° D．75° 13．（2024秋•怀化期末）如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　） A． B． C． D． 14．（2024秋•伊川县期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 15．（2025•江北区校级开学）如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B′是点B的对应点，延长EB′交DC于点G，B'Gcm，则△ECG的面积为 　 　cm2． 16．（2024秋•南昌期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．当点P运动到边AB时，t为　 　秒时，△BCP为等腰三角形． 17．（2024秋•大余县期末）已知△ABC是以AB为腰的等腰三角形，D为BC边上一点，且∠ADC＝90°，若AD的长恰好为△ABC一边长的，则的值为 　 　． 18．（2024秋•崆峒区期末）用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长分别是多少？ （2）能围成一个有一边的长为5cm的等腰三角形吗？为什么？ 19．（2024秋•琼海期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数； （3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长． 20．（2024秋•安新县期末）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下册章节培优复习知识讲练（新教材） 第1章 三角形的证明 （思维导图+知识梳理+15大考点讲练+优选真题难度分层练 共65题） 目 录 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点01：等腰三角形 2 知识点02：直角三角形 3 知识点03：线段的垂直平分线 4 知识点04：角平分线 4 重点知识考点讲练 5 考向一：等腰三角形 5 考点讲练01：等腰三角形的性质 5 考点讲练02：等腰三角形的判定 6 考点讲练03：等腰三角形的判定与性质 9 考点讲练04：等边三角形的性质 11 考点讲练05：等边三角形的判定 14 考点讲练06：等边三角形的判定与性质 15 考点讲练07：含30度角的直角三角形 19 考点讲练08：反证法 21 考向二：直角三角形 22 考点讲练09：直角三角形全等的判定 22 考点讲练10：直角三角形的性质 23 考点讲练11：勾股定理 25 考点讲练12：勾股定理的证明 30 考点讲练13：勾股定理的逆定理 32 考向三：线段的垂直平分线 34 考点讲练14：线段垂直平分线的性质 34 考向四：角平分线 36 考点讲练15：角平分线的性质 36 优选真题难度分层练 38 基础夯实真题练 38 培优拔尖真题练 46 同学你好，本套讲义针对2025年最新版本教材设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点01：等腰三角形 【高频考点精讲】 1.三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等. 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 2.等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3.等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形. 4.含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【易错点剖析】 等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a的等边三角形他的高是，面积是；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础. 知识点02：直角三角形 【高频考点精讲】 1.勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.命题与逆命题 命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理. 3.直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 【易错点剖析】 ①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”. ②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 知识点03：线段的垂直平分线 【高频考点精讲】 1.线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 【易错点剖析】 ①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题. 知识点04：角平分线 【高频考点精讲】 1.角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2.三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 3.如何用尺规作图法作出角平分线 【易错点剖析】 ①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围； ②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形. 考向一：等腰三角形 考点讲练01：等腰三角形的性质 【典例精讲01】（2024秋•开福区期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【思路点拨】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】解：工程人员这种操作方法的依据是：等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式训练1】（2024秋•石狮市期末）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　） A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90° 【思路点拨】根据看垂直平分线的性质可得∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，NM＝ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，进而得到∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，最后由三角形内角和求出∠C即可． 【规范解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α， ∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α， ∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC， ∴BN平分∠NDM， ∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α， ∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α， ∴∠C＝2α﹣90°， 故选：D． 【考点评析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练2】（2024秋•宽城县期末）已知等腰△ABC的一个角是80°，则△ABC的底角的度数是　50°或80°　． 【思路点拨】根据已知角为顶角和底角，分类讨论即可求解． 【规范解答】解：由题意知，分两种情况： （1）当这个80°的角为顶角时，则底角＝（180°﹣80°）÷2＝100°÷2＝50°； （2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°； 综上所述，△ABC的底角的度数为50°或80°． 故答案为：50°或80°． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 考点讲练02：等腰三角形的判定 【典例精讲02】（2024秋•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，则△ADE的周长为 　15　． 【思路点拨】由∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，可得∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO，结合平行线的性质可推出∠DBO＝∠DOB，∠ECO＝∠EOC，得到BD＝DO，CE＝EO，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案． 【规范解答】解：由条件可知∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO， ∵DE∥BC， ∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO， ∴∠DBO＝∠DOB，∠ECO＝∠EOC， ∴BD＝DO，CE＝EO， ∴△ADE的周长为AD+DO+OE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝9+6＝15， 故答案为：15． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．熟练掌握以上知识点是关键． 【变式训练1】（2024秋•冠县期末）在下列各组几何图形中，一定全等的是（　　） A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．腰长相等的两个等腰直角三角形 C．两个等边三角形 D．各有一个角是40°，腰长都是5cm的两个等腰三角形 【思路点拨】根据全等三角形的判定定理进行分析判断． 【规范解答】解：A、各有一个角是45°的两个等腰三角形，不一定全等，因为边不一定相等，不符合题意； B、腰长相等的两个等腰直角三角形全等，符合题意； C、两个等边三角形不一定全等，因为边不一定相等，不符合题意； D、各有一个角是40°，腰长都是5cm的两个等腰三角形不一定全等，因为40°不一定是顶角，不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式训练2】（2024秋•睢县期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据△OAB为等腰三角形，分三种情况讨论：①当OB＝AB时，②当OA＝AB时，③当OA＝OB时，分别求得符合的点B，即可得解． 【规范解答】解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论： ①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个； ②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个； ③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个， 1+1+2＝4， 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 考点讲练03：等腰三角形的判定与性质 【典例精讲03】（2024秋•舒城县期末）在平面直角坐标系中，已知点A（3，0）、B（0，4），△POA为等腰三角形，且其面积等于△AOB面积的一半，则符合条件的点P共有（　　） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【思路点拨】先求解，可得，可得P在直线y＝2与y＝﹣2上，再进一步解答即可． 【规范解答】解：由条件可知， ∴， ∴P在直线y＝2与y＝﹣2上， 如图，作OA的垂直平分线，与直线y＝2与y＝﹣2的交点符合条件； 分别以O，A为圆心，OA为半径画弧，与直线y＝2与y＝﹣2的交点符合条件； ∴符合条件的P一共有10个； 故选：C． 【考点评析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，坐标与图形，熟练掌握以上知识点是关键． 【变式训练1】（2024秋•平原县期末）C、D是线段AB的垂直平分线上的两点，AB平分∠CAD．则下列说法不一定正确的是（　　） A．AD＝BD B．AD∥CB C．AB垂直平分CD D．AB＝CD 【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，AC＝BC，根据角平分线的定义得到∠CAB＝∠DAB，根据平行线的判定定理得到AD∥CB，于是得到结论． 【规范解答】解：如图，∵CD垂直平分AB， ∴AD＝BD，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA， ∵AB平分∠CAD， ∴∠CAB＝∠DAB， ∴∠CBA＝∠DAB， ∴AD∥CB， ∵∠CAB＝∠DAB，AB⊥CD， ∴AB垂直平分CD， 但AB不一定等于CD，故A，B，C正确，D错误， 故选：D． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式训练2】（2024秋•海港区期末）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为10，△ABC的周长为16，则BC＝　6　． 【思路点拨】先根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，再根据平行线的性质可得∠BDE＝∠CBD，从而可得∠ABD＝∠BDE，然后根据等腰三角形的判定可得BE＝DE，同样的方法可得CF＝DF，最后根据三角形的周长公式即可得． 【规范解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC， ∵EF∥BC， ∴∠BDE＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴BE＝DE， 同理可得：CF＝DF， ∵△AEF的周长为10， ∴AE+DE+DF+AF＝10， ∴AE+BE+CF+AF＝10，即AB+AC＝10， ∵△ABC的周长为16， ∴AB+AC+BC＝16， ∴BC＝16﹣10＝6，即BC的长为6， 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，关键是等腰三角形性质的熟练掌握． 考点讲练04：等边三角形的性质 【典例精讲04】（2024秋•八公山区期末）如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝ 　30°或120°﹣α．　． 【思路点拨】分两种情况讨论P点的位置．点P位于MN左侧．点P位于MN右侧，分别画出相应的图形，根据全等三角形和等腰三角形的性质可求出∠OMP的度数， 【规范解答】解：（1）当P位于MN左侧时，如图1， ∵△OMN是等边三角形， ∴MN＝MO＝ON，∠MON＝∠MNO＝60°， ∵∠MNP＝∠AOB＝α， ∴∠PON＝∠PNO， ∴PO＝PN， △MPO≌△MPN，（SAS） ∴∠OMP＝∠NMP∠OMN60°＝30° （2）当P位于MN右侧时，如图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ， 此时△MPQ是等边三角形， ∴∠MPQ＝60°， ∴∠OMP＝180°﹣∠MPQ﹣∠MOP＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α， 故答案为：30°或120°﹣α． 【考点评析】考查等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，分类讨论是数学中常见的题型． 【变式训练1】（2024秋•南昌期末）如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝　15°　． 【思路点拨】由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD＝30°，又由AD＝AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案． 【规范解答】解：∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC60°＝30°， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED75°， ∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°． 故答案为：15°． 【考点评析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 【变式训练2】（2024秋•苍梧县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【思路点拨】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22•OA1，A4B4＝A4A5＝23•OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n，即可求解． 【规范解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠A1B1O＝∠MON， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1， 同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， … ∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n， ∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64， 故选：C． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌握等边三角形的性质，找出规律是解题的关键． 考点讲练05：等边三角形的判定 【典例精讲05】（2024春•城固县期末）在△ABC中，若AB＝AC＝5，∠B＝60°，则BC的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【思路点拨】先判断△ABC为等边三角形，然后等边三角形的性质得到BC＝AB． 【规范解答】解：∵AB＝AC＝5， ∴∠C＝∠B＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC＝AB＝5． 故选：C． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°． 【变式训练1】（2023秋•成华区期末）△ABC的三边长a，b，c满足，则△ABC是（　　） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【思路点拨】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的关系，可推导得到△ABC为直角三角形． 【规范解答】解：由题意得， 解得， ∵a2+b2＝c2，且a＝b， ∴△ABC为等腰直角三角形， 故选：A． 【考点评析】本题考查了非负性和勾股定理的逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0，和勾股定理逆定理． 【变式训练2】（2023秋•昭通期末）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为　等边三角形　． 【思路点拨】利用三角形三边关系判断三角形的形状，根据已知条件得出三角形三个边的关系式从而判断三角形的形状． 【规范解答】解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得， （a﹣b）2+（b﹣c）2＝0 ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0 即 a＝b，b＝c ∴a＝b＝c 故答案为等边三角形． 【考点评析】此题不仅要知道三边相等的三角形为等边三角形，且对于完全平方公式也应熟记． 考点讲练06：等边三角形的判定与性质 【典例精讲06】（2024春•市中区期末）如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝2∠BCD，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 　30　cm． 【思路点拨】连接BD，证明△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到结论． 【规范解答】解：如图，连接BD， ∵∠BCE＝2∠BCD，且∠BCD+BCE＝180°， ∴∠BCD＝60°， ∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD＝30cm， 此时B，D两点之间的距离为30cm， 故答案为：30． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是利用∠BCE＝2∠BCD求出∠BCD＝60°． 【变式训练1】（2024秋•桓台县期中）如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC于点E、F，则EF的长度为　4　． 【思路点拨】根据BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，和EF∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出BE＝DE，DF＝FC．然后即可得出答案． 【规范解答】解：如图，连接AD， ∵在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB， ∵EF∥BC， ∴∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，∠FCD＝∠DCB＝∠FDC， ∴BE＝DE，DF＝FC， ∵BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， 又∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∵EF∥BC， ∴AD⊥EF， ∴AE＝2ED，AF＝2DF， ∵AB＝AC＝6， ∴BE+AE＝6，AF+CF＝6， ∴BE＝CF＝2， ∴DE＝DF＝2， ∴EF＝DE+DF＝4 故答案为：4 【考点评析】此题主要考查学生对等边三角形的判定与性质，平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证BE＝DE，DF＝FC． 【变式训练2】（2024春•宣州区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC，AD＝CD，连接AC，过点D作DE∥AB分别交BC、AC于E、F，若AB＝4，DE＝3，则AD的长为（　　） A．2 B． C． D．3 【思路点拨】连接BD交AC于点O，证明△FCE为等边三角形，则设FE＝FC＝x，则DE＝3﹣x，由∠ODF＝30°，则在Rt△ODF中，DF＝2OF，得到3﹣x＝2（2﹣x），最后对Rt△ADO运用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：连接BD交AC于点O， ∵AB＝BC，AD＝CD， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴AO＝OC，∠AOD＝∠FOD＝90°， ∵∠B＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝4，∠C＝∠A＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠FEC＝∠ABC＝60°，∠EFC＝∠BAC＝60°， ∴∠FEC＝∠EFC＝∠FCE＝60°， ∴△FCE为等边三角形， ∴设FE＝FC＝x，则DF＝3﹣x， 而， ∴OF＝2﹣x， ∵∠OFD＝∠FEC＝60°， ∴∠ODF＝30° ∴在Rt△ODF中，DF＝2OF， ∴3﹣x＝2（2﹣x），解得：x＝1， ∴， 在Rt△ADO中，， 故选：C． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 考点讲练07：含30度角的直角三角形 【典例精讲07】（2024秋•滦南县期末）如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的平面示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线．若∠ABC＝150°，BC＝10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A． B． C．5m D． 【思路点拨】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM＝30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可． 【规范解答】解：过C作CM⊥AB于M， 则CM＝h，∠CMB＝90°， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBM＝180°﹣150°＝30°， ∴h＝CMBC10＝5（cm）， 故选：C． 【考点评析】本题考查了含30度角的直角三角形，关键是构造直角三角形． 【变式训练1】（2024秋•临高县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°，DE＝2，则BC的长为（　　） A． B． C．4 D．6 【思路点拨】利用线段的垂直平分线的性质求出EC的长，再由直角三角形的性质求出BE的长，进而可得出结论． 【规范解答】解：∵DE垂直平分AB，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC， ∴EC＝ED＝2， ∵DE垂直平分AB， ∴∠BDE＝90°． 在△BDE 中， ∵∠BDE＝90°．∠B＝30°． ∴BE＝2DE＝4． ∴BC＝BE+EC＝4+2＝6， 故选：D． 【考点评析】本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【变式训练2】（2025•北京开学）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，DE＝3，∠B＝30°，则BC＝ 　9　． 【思路点拨】由线段的垂直平分线的性质定理，得到BD＝AD，可求AD平分∠BAC，由角平分线的性质可得CD＝DE，由30度直角三角形的性质，得到BD＝6，即可求出BC的长度． 【规范解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴∠BED＝90°，BD＝AD， ∵DE＝3，∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝2×3＝6， ∴AD＝BD＝6， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝90°﹣∠B＝60°， ∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝90°﹣60°＝30°， ∵∠C＝90°， ∴DCAD6＝3， ∴BC＝BD+DC＝6+3＝9． 故答案为：9． 【考点评析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，解本题的关键是掌握线段的垂直平分线及直角三角形的性质定理． 考点讲练08：反证法 【典例精讲08】（2024春•京口区期中）若用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B＞∠C，则AC＞AB”，则应假设 　AC≤AB　． 【思路点拨】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【规范解答】解：用反证法证明命题“在△ABC中，若∠B＞∠C，则AC＞AB”， 应假设AC≤AB， 故答案为：AC≤AB． 【考点评析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【变式训练1】（2024春•城关区校级期中）用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角．应先假设三角形中（　　） A．至少有两个角是锐角 B．至多有一个角是锐角 C．只有一个角是锐角 D．没有一个角是锐角 【思路点拨】熟记反证法的步骤，直接填空即可． 【规范解答】解：用反证法证明：一个三角形中，至少有两个角是锐角， 第一步应先假设一个三角形中最多有一个锐角． 故选：B． 【考点评析】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【变式训练2】（2024秋•翠屏区校级期末）用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（　　） A．三角形中有一个内角小于或等于60° B．三角形中有两个内角小于或等于60° C．三角形中有三个内角小于或等于60° D．三角形中没有一个内角小于或等于60° 【思路点拨】根据反证法的第一步是假设结论不成立进行解答即可． 【规范解答】解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时， 第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于60°， 故选：D． 【考点评析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 考向二：直角三角形 考点讲练09：直角三角形全等的判定 【典例精讲09】（2024秋•宁津县校级月考）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　） A．∠BAC＝∠BAD B．∠C＝∠D C．AC＝AD D．BC＝AD 【思路点拨】根据直角三角形全等的判定方法即可解答． 【规范解答】解：∵∠C＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ABD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）． 故选：C． 【考点评析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键． 【变式训练1】（2024•西安校级开学）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可用“HL”判定Rt△ABC和Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（　　） A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD 【思路点拨】根据图形可得：AB是Rt△ABC与Rt△ABD的公共边，且为斜边，然后找出两个直角三角形的一对对应直角边即可． 【规范解答】解：在Rt△ABC和Rt△ABD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）． 故选：A． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的判定，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 【变式训练2】（2024春•衡南县校级期中）在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，再补充一个条件　答案不唯一，如BC＝EF等　，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF． 【思路点拨】由直角三角形全等的判定方法HL，即可得出结论． 【规范解答】解：补充一个条件BC＝EF，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF；理由如下： 在Rt△ABC和Rt△DEF中，， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 【考点评析】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 考点讲练10：直角三角形的性质 【典例精讲10】（2024秋•玉环市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　70°　． 【思路点拨】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED， ∵∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CED＝65°， ∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°， 故答案为：70°． 【考点评析】此题考查直角三角形的性质，关键是根据折叠的性质得出∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED． 【变式训练1】（2024春•界首市期末）在直角三角形ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：m：4，则m的值是 　2或6　． 【思路点拨】因为是直角三角形，没有说明哪两个角是直角，这里应分两种情况求解：①∠C是直角；②∠B是直角． 【规范解答】解：∵△ABC是直角三角形， ∴分两种情况： ①∠C是直角时，则∠A+∠B＝∠C＝90°， ∵∠A：∠B：∠C＝2：m：4， ∴此时， ∴∠B＝90°﹣∠A＝45°， ∴∠A＝∠B， 此时m＝2； ②∠B是直角时，则∠A+∠C＝∠B， ∵∠A：∠B：∠C＝2：m：4， ∴此时m＝2+4＝6； 故答案为：2或6． 【考点评析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余，并注意分类讨论． 【变式训练2】（2025•黔南州模拟）将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【思路点拨】根据题意，∠1＝∠BED＝40°，△BDE中，∠BDE＝90°﹣40°＝50°，根据对顶角相等即可求解． 【规范解答】解：如图所示，∠B＝90°， 根据题意，∠1＝∠BED＝40°（对顶角相等）， 在△BDE中，∠BDE＝90°﹣∠BED＝90°﹣40°＝50°， ∴∠2＝∠BDE＝50°， 所以∠2的度数是50°， 故选：C． 【考点评析】本题考查了直角三角形的性质，对顶角、邻补角，理解图示，掌握角的和差计算是解题的关键． 考点讲练11：勾股定理 【典例精讲11】（2024秋•漳州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，过点D作DE∥AC交AB于点E．若AB＝8，BD＝4，则点D到AB边上的距离是（　　） A． B． C． D．3 【思路点拨】作DF⊥AB于点F，由AD平分∠CAB得∠CAD＝∠BAD，由DE∥AC得到∠CAD＝∠ADE，∠BDE＝∠C＝90°，得到∠EAD＝∠ADE，AE＝DE，根据勾股定理求出AE＝3，根据三角形面积公式得到，计算即可得到答案． 【规范解答】解：如图，作DF⊥AB于点F， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝∠BAD∠CAB， ∵DE∥AC，∠C＝90°， ∴∠CAD＝∠ADE，∠BDE＝∠C＝90°， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∵BE2＝DE2+BD2，AB＝8，BD＝4， ∴（8﹣AE）2＝AE2+42， 整理得，16AE＝48， 解得，AE＝3， ∴BE＝AB﹣AE＝8﹣3＝5，DE＝AE＝3， ∵， ∴5DF＝12， 解得，， ∴点D到AB边上的距离是， 故选：C． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【变式训练1】（2024秋•余江区期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　） A．16 B．25 C．144 D．169 【思路点拨】根据勾股定理解答即可． 【规范解答】解： 根据勾股定理得出：AB， ∴EF＝AB＝5， ∴阴影部分面积是25， 故选：B． 【考点评析】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答． 【变式训练2】（2025•南岗区校级开学）如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线和高．下列结论：①AB+BF＝CF；②AB+BE＝AC；③AB＝2DF；④AE＝BD；⑤AC2﹣AB2＝AB•BC．其中结论正确的序号有　①②③⑤　． 【思路点拨】在FC上截取FM＝BF，连接AM，利用等腰三角形的判定得到∠ABC＝∠AMB，从而求得∠C＝∠MAC，即可证得AM＝MC＝AB，则可得AB+BF＝AM+FM＝CM+FM＝CF，可判断①；在AC上截取AM＝AB，连接EM，证明△ABE≌△AME（SAS），得BE＝EM，∠ABC＝∠AME，从而可得EM＝MC＝BE，继而可得到AC＝AM+MC＝AB+BE，即可判断②；根据中线定义得，CD＝BD，又由（1）知：AB+BF＝CF，则AB＝CF﹣BF＝CD+DF﹣BF＝BD+DF﹣BF＝2DF，可判断③；利用举反例得到BD＞AE，即可判断④；利用勾股定理与①的结论，可得AC2﹣AB2＝AB•BC，即可判断⑤． 【规范解答】解：①如图，在FC上截取FM＝BF，连接AM， ∵AF⊥BC，FM＝BF， ∴AB＝AM， ∴∠ABC＝∠AMB， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠AMB＝2∠C＝∠C+∠MAC， ∴∠C＝∠MAC， ∴AM＝MC＝AB， ∴AB+BF＝AM+FM＝CM+FM＝CF，即AB+BF＝CF， 所以结论①正确． ②如图，在AC上截取AM＝AB，连接EM， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE∠BAC，即∠BAE＝∠MAE， 在△ABE和△AME中， ， ∴△ABE≌△AME（SAS）， ∴BE＝EM，∠ABC＝∠AME， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠AME＝2∠C＝∠C+∠MEC， ∴∠C＝∠MEC， ∴EM＝MC＝BE， ∴AC＝AM+MC＝AB+BE， 所以结论②正确； ③∵AD分别是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 由（1）知：AB+BF＝CF， ∴AB＝CF﹣BF＝CD+DF﹣BF＝BD+DF﹣BF＝2DF，即AB＝2DF， 所以结论③正确； ④∵∠ABC＝2∠ACB，若设∠ABC＝60°，则∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝90°， ∵AD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝45°， ∴∠AED＝105°， ∴AD＞AE， ∴BD＞AE，即AE＝BD， 所以结论④错误； ⑤∵AF是△ABC的高， ∴∠AFB＝∠AFC＝90°， ∴AC2＝AF2+CF2，AB2＝AF2+BF2， AC2﹣AB2＝CF2﹣BF2， 由①知：CF＝CM+FM，CM＝AM＝AB，BF＝FM， ∴AC2﹣AB2＝CF2﹣BF2 ＝（CM+FM）2﹣BF2 ＝CM2+2CM•FM+FM2﹣FM2 ＝CM2+2CM•FM ＝CM（CM+2FM） ＝CM（CM+BM） ＝AB•BC，即AC2﹣AB2＝AB•BC， 所以结论⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【考点评析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 考点讲练12：勾股定理的证明 【典例精讲12】（2023秋•福田区校级期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c＝100，b﹣a＝20，则每个直角三角形的面积为 　2400　． 【思路点拨】由题意可知：a2+b2＝1002，再与已知条件b﹣a＝20联立，即可求出ab的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【规范解答】解：由勾股定理，得a2+b2＝1002＝10000， ∵b﹣a＝20， ∴b2﹣2ab+a2＝400， ∴10000﹣2ab＝400， ∴ab＝4800， 每个直角三角形的面积为ab＝2400， 故答案为：2400． 【考点评析】本题考查赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式训练1】（2025•竞秀区开学）如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4，那么AH＝（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 【思路点拨】根据勾股定理得出AH与AE的值，进而解答即可． 【规范解答】解：∵AB＝10，AH：AE＝3：4， 设AH为3x，AE为4x， 由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2， ∴5x＝10， ∴x＝2， ∴AH＝6， 故选：B． 【考点评析】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得x的值． 【变式训练2】（2024秋•北京校级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab＝7，大正方形的面积为30，则小正方形的边长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【思路点拨】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【规范解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：， ∴， ∴（a﹣b）2＝30﹣14＝16， ∴a﹣b＝4， 故选：C． 【考点评析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 考点讲练13：勾股定理的逆定理 【典例精讲13】（2024秋•禅城区期末）在△ABC中，不能判断它是直角三角形的是（　　） A．∠A＝90° B．∠A+∠B＝90° C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC：BC：AB＝1：2：3 【思路点拨】根据直角三角形的定义，即可判断A、B，根据勾股定理逆定理，即可判断C、D． 【规范解答】解：A、∵∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵AC2﹣BC2＝AB2， ∴BC2+AB2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、设AC＝k，BC＝2k，AB＝3k， ∵AC2+BC2＝5k2≠AB2， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形． 【变式训练1】（2024秋•新安县期末）在△ABC中，a、b、c分别是三边的长，下列说法：①∠B＝∠C﹣∠A；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：4：3；⑤a2：b2：c2＝1：2：3．其中，能判断△ABC为直角三角形的条件有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】根据直角三角形的判定进行解答即可． 【规范解答】解：①若∠B＝∠C﹣∠A，则∠B+∠A＝∠C，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，正确，符合题意； ②若a2＝（b+c）（b﹣c），所以a2+c2＝b2，所以△ABC是直角三角形，正确，符合题意； ③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，最大角为，错误，不符合题意； ④若a：b：c＝5：4：3，设a＝3k，b＝4k，c＝5k（k＞0），则（3k）2+（4k）2＝（5k）2，则△ABC是直角三角形，正确，符合题意； ⑤若a2：b2：c2＝1：2：3，a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形，正确，符合题意； 故能判断△ABC为直角三角形的条件有：①②④⑤． 故选：C． 【考点评析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 【变式训练2】（2024秋•海港区期末）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t＝　1或2　时，△PBQ是直角三角形． 【思路点拨】本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B＝60°，所以就可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可． 【规范解答】解：根据题意得AP＝tcm，BQ＝tcm， △ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°， ∴BP＝（3﹣t）cm， △PBQ中，BP＝3﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则 ∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°， 当∠BQP＝90°时，BQBP， 即t（3﹣t），t＝1（秒）， 当∠BPQ＝90°时，BPBQ， 3﹣tt，t＝2（秒）． 答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形． 故答案为：1或2． 【考点评析】本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法． 考向三：线段的垂直平分线 考点讲练14：线段垂直平分线的性质 【典例精讲14】（2025春•浦东新区月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE为AB边的垂直平分线，且CD＝DE＝2，则AB＝（　　） A．4 B．8 C． D． 【思路点拨】根据中垂线的性质，角平分线的判定结合三角形的内角和定理求出∠B＝30°，在利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【规范解答】解：∵DE为AB边的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠DAB＝∠B， ∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，且CD＝DE＝2， ∴AD是∠CAB的角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠B， ∴∠CAB+∠B＝3∠B＝90°， ∴∠CAD＝∠B＝30°， ∴AD＝2CD＝4， ∴， ∴； 故选：D． 【考点评析】本题考查中垂线的性质，角平分线的判定和性质，含30度角的直角三角形，关键是角平分线判定定理的应用． 【变式训练1】（2024春•南海区校级期中）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【思路点拨】根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，即可获得答案． 【规范解答】解：根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”， 作AB、AC的垂直平分线EF、GH并交于点P， 则有AP＝BP，AP＝CP， 则有AP＝BP，AP＝CP， ∴AP＝BP＝CP， ∴这个集贸市场应建的位置是三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【考点评析】本题主要考查了垂直平分线的应用，理解并掌握垂直平分线段的性质是解题关键． 【变式训练2】（2024秋•芝罘区期末）如图，Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝4，则△AMB的面积为 　4　． 【思路点拨】利用线段的垂直平分线的性质证明AM＝BM＝4，∠BMC＝30°，求出BC即可解决问题； 【规范解答】解：∵MN垂直平分线段AB， ∴MB＝MA＝4， ∴∠A＝∠MBA＝15°， ∴∠BMC＝∠A+∠MBA＝30°， ∵∠C＝90°，BM＝4， ∴BCBM＝2， ∴S△BMA4×2＝4． 故答案为4． 【考点评析】本题考查线段的垂直平分线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 考向四：角平分线 考点讲练15：角平分线的性质 【典例精讲15】（2024秋•东莞市期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝2，BC＝7，则△BDC的面积是　7　． 【思路点拨】作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质求出DE＝AD＝2，根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：作DE⊥BC于E， ∵BD是∠ABC的平分线，∠A＝90°，DE⊥BC， ∴DE＝AD＝2， ∴△BDC的面积BC×DE＝7， 故答案为：7． 【考点评析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【变式训练1】（2024秋•兴国县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为 　24　． 【思路点拨】过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据△ABD的面积为16求出DE，求出DF＝4，再根据三角形的面积公式求出答案即可． 【规范解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， 设DE＝DF＝a， ∵△ABD的面积为16，AB＝8， ∴16， ∵AB＝8， ∴DE＝4， ∴DF＝4， ∵BC＝12， ∴24， 故答案为：24． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DE＝DF是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【变式训练2】（2024秋•柳州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离＝CD． 【规范解答】解：∵BC＝7，BD＝4， ∴CD＝7﹣4＝3， 由角平分线的性质，得点D到AB的距离＝CD＝3， 故选：B． 【考点评析】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键． 基础夯实真题练 1．（2025•五华区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，CD＝6，则点D到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【思路点拨】根据“角平分线上的点到角两边距离相等”即可求解． 【规范解答】解：如图，作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， 又∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB， ∴ED＝CD＝6， ∴点D到AB边的距离是6， 故选：C． 【考点评析】本题考查角平分线的性质，关键是角平分线性质定理的应用． 2．（2024秋•崆峒区期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝5cm，则AB的长是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【思路点拨】要求AB的长度，需要先求得边BC的长度；根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论． 【规范解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°， ∴∠A＝∠BCD＝30°， ∴BC＝2BD＝10cm， ∴AB＝2BC＝20cm， 故选：C． 【考点评析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．由已知条件求得边BC的长度是解题的关键． 3．（2024秋•安庆期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，斜边AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D，AE＝10cm，则BC的长度为（　　） A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm 【思路点拨】连接BE，先利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB＝10cm，从而可得∠A＝∠EBA＝15°，再利用三角形的外角性质可得∠CEB＝30°，然后在Rt△BCE中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【规范解答】解：连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB＝10cm， ∴∠A＝∠EBA＝15°， ∵∠CEB△ABE的一个外角， ∴∠CEB＝∠A+∠ABE＝30°， ∵∠C＝90°， ∴BCBE＝5（cm）， 故选：A． 【考点评析】本题考查了含30度角直角三角形，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2024秋•三台县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，若∠B＝2∠C，BC＝4，则CD＝　3　． 【思路点拨】根据三角形的内角和定理得到∠C＝30°，根据直角三角形的性质得到ABBC＝2，根据垂径定理得到∠ADB＝90°，求得∠BAD＝30°，于是得到结论． 【规范解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∵∠BAC＝90°，∠B＝2∠C， ∴∠C＝30°， ∴ABBC＝2， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝30°， ∴BDAB＝1， ∴CD＝BC﹣BD＝3， 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了含30°角的直角三角形，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 5．（2024秋•南平期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，下列结论： ①DE＝BD+CE； ②∠BFC＝90°+∠A； ③点F一定在BC的垂直平分线上； ④点F到AB，AC，BC三边的距离相等； 其中所有正确的结论是　①④　.（填序号） 【思路点拨】根据角平分线的概念和平行线的性质得到∠1＝∠5，∠3＝∠6，然后根据等角对等边得到BD＝FD，EF＝EC，进而可判断①；根据角平分线的概念和三角形内角和定理即可判断②；根据BF和CF不一定相等即可判断③；根据角平分线的性质定理即可判断④． 【规范解答】解：如图所示， 由条件可知∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵DE∥BC， ∴∠5＝∠2，∠6＝∠4， ∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴BD＝FD，EF＝EC， ∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故①正确，符合题意； ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点F， ∴，， ∴， ∴，故②错误，不符合题意； ∵BF和CF不一定相等， ∴点F不一定在BC的垂直平分线上，故③错误，不符合题意； ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点F， ∴由角平分线的性质得，点F到AB，AC，BC三边的距离相等，故④正确，符合题意； 综上所述，其中所有正确的结论是①④． 故答案为：①④． 【考点评析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（2025•九龙坡区校级开学）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，E是△ABC内一点且BE平分∠ABC，若△BCE的面积为1.5，则△ABE的面积为　2.5　． 【思路点拨】作ED⊥BC，EF⊥AB，利用角平分线的性质求得DE＝EF，利用勾股定理求得BC＝3，再利用三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】解：作ED⊥BC，EF⊥AB，垂足分别为D和F， ∵BE平分∠ABC， ∴DE＝EF， ∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC3， ∵△BCE的面积为1.5， ∴，即3DE＝1.5， ∴DE＝1， ∴EF＝DE＝1， ∴△ABE的面积为， 故答案为：2.5． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积及勾股定理，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7．（2024秋•鄞州区期末）等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 　80°或20°　． 【思路点拨】先分情况讨论：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算． 【规范解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°； 当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°． 故答案为：80°或20°． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 8．（2024秋•三台县期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN． （1）证明：AB＝BC； （2）若∠CAB＝30°，证明：△AMN是等边三角形． 【思路点拨】（1）根据平行线的性质、角平分线定义求出∠BCA＝∠BAC，再根据等腰三角形的判定定理即可得证； （2）根据直角三角形的性质求出∠MAC＝60°，，ANAC，则AN＝AM，再根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得证． 【规范解答】证明：（1）在四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD． ∵CA平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠ACD， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC． （2）∵∠CAB＝30°， ∴∠BCA＝∠ACD＝∠CAB＝30°， ∵AM⊥CD于点M， ∴∠MAC+∠ACD＝90°，， ∴∠MAC＝60°， ∵AB＝BC，BN⊥AC于点N， ∴， ∴AN＝AM， ∴△AMN是等边三角形． 【考点评析】此题考查了等边三角形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练运用等边三角形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 9．（2024秋•信都区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE是边BC的垂直平分线，连接BD． （1）若CD＝4，求BD的长； （2）若BD平分∠ABC，求∠C的度数． 【思路点拨】（1）直接根据垂直平分线的性质求解； （2）根据垂直平分线的性质可知CD＝BD，从而∠C＝∠DBE，再根据角平分线的定义可知∠ABE＝2∠DBE＝2∠C，根据直角三角形两锐角互余即可得出∠C的度数． 【规范解答】解：（1）∵DE是边BC的垂直平分线，CD＝4， ∴BD＝CD＝4； （2）∵DE是BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， ∴∠C＝∠DBE， ∵∠A＝90°， ∴∠C+∠ABE＝90°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝2∠DBE＝2∠C， ∴3∠C＝90°， ∴∠C＝30°． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线定义，等腰三角形性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 10．（2024秋•大足区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【思路点拨】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【规范解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 【考点评析】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题． 培优拔尖真题练 11．（2024秋•太湖县期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列五个结论：其中一定正确的结论有（　　）个． ①EF＝BE+CF； ②BG＝CG； ③∠BGC＝90°+∠A； ④点G到△ABC各边的距离相等； ⑤设GD＝m，AE+AF＝n，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】由等角对等边推出EB＝EG，同理：FC＝FG，推出EF＝BE+CF，∠GBC和∠BCG不一定相等，因此BG和CG不一定相等，由角平分线定义得到∠GBC+∠BCG（∠ABC+∠ACB），由三角形内角和定理得到∠BGC＝90°∠A，过G作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N，由角平分线的性质推出GM＝GN，GM＝GD，连接AG，由三角形面积公式得到△AEF的面积（AE+AF）•Gmn． 【规范解答】解：∵BG平分∠ABC， ∴∠EBG＝∠GBC， ∵EF∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG， 同理：FC＝FG， ∴EG+FG＝BE+CF， ∴EF＝BE+CF， 故①符合题意； ∵BG平分∠ABC，CG平分∠ACB， ∴∠GBCABC，∠BCG∠ACB， ∵∠ABC和∠ACB不一定相等， ∴∠GBC和∠BCG不一定相等， ∴BG和CG不一定相等， 故②不符合题意； ∴∠GBC+∠BCG（∠ABC+∠ACB）， ∴180°﹣∠BGC（180°﹣∠A）， ∴∠BGC＝90°∠A， 故③不符合题意； 过G作GM⊥BC于M，GN⊥AB于N， ∵GD⊥AC，BG平分∠ABC，CG平分∠ACB， ∴GM＝GN，GM＝GD， ∴点G到△ABC各边的距离相等， 故④符合题意； 连接AG， ∵△AEF的面积＝△AEG的面积+△AFG的面积， ∴△AEF的面积AE•GNAF•GD（AE+AF）•GD ∵GD＝m，AE+AF＝n， ∴S△AEFmn， 故⑤符合题意． ∴其中一定正确的结论有3个． 故选：C． 【考点评析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定，关键是由等角对等边推出EB＝EG，FC＝FG，由角平分线的性质推出GM＝GN，GM＝GD． 12．（2024秋•嘉祥县期末）如图，在△ABC中，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于（　　） A．45° B．30° C．60° D．75° 【思路点拨】设∠EBD＝x，根据等腰三角形的性质可得∠EBD＝∠EDB＝x，再利用三角形的外角性质可得∠AED＝2x，然后利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠AED＝2x，从而利用三角形的外角性质可得∠BDC＝3x，再利用等腰三角形的性质可得∠BDC＝∠C＝∠ABC＝3x，最后根据三角形内角和定理进行计算即可解答． 【规范解答】解：设∠EBD＝x， ∵DE＝EB， ∴∠EBD＝∠EDB＝x， ∴∠AED＝∠EBD+∠EDB＝2x， ∵AD＝DE， ∴∠A＝∠AED＝2x， ∴∠BDC＝∠A+∠EBD＝3x， ∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠C＝3x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴2x+3x+3x＝180°， ∴x＝22.5°， ∴∠A＝2x＝45°， 故选：A． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用相关性质是解题的关键． 13．（2024秋•怀化期末）如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数． 【规范解答】解：在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB， ∴∠BA1C70°， ∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角， ∴∠DA2A1∠BA1C70°， 同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°， ∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×70°． 故选：C． 【考点评析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 14．（2024秋•伊川县期末）已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 【思路点拨】根据折叠的条件可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解． 【规范解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED． ∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴BE＝9﹣AE， 根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2， ∴32+AE2＝（9﹣AE）2， 解得AE＝4． ∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）． 故选：C． 【考点评析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 15．（2025•江北区校级开学）如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B′是点B的对应点，延长EB′交DC于点G，B'Gcm，则△ECG的面积为 　　cm2． 【思路点拨】连接AG，由正方形的性质推出∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝10cm，由折叠的性质得到AB′＝AB，BE′＝BE，∠AB′E＝∠B＝90°，判定Rt△ADG≌Rt△AB′G（HL），推出DG＝GB′cm，求出CGcm，设CE＝x cm，由勾股定理得到x2，求出x＝8，得到CE＝8cm，由三角形面积公式即可求出△ECG的面积． 【规范解答】解：连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝10cm， 由折叠的性质得到AB′＝AB，BE′＝BE，∠AB′E＝∠B＝90°， ∴AD＝AB′， ∵AG＝AG， ∴Rt△ADG≌Rt△AB′G（HL）， ∴DG＝GB′cm， ∴CG＝CD﹣DG（cm）， 设CE＝x cm， ∴BE＝（10﹣x）cm， ∴EG＝10﹣x（x）cm， ∵EG2＝EC2+CG2， ∴x2， ∴x＝8， ∴CE＝8cm， ∴△ECG的面积EC•CG8（cm2）． 故答案为：． 【考点评析】本题考查勾股定理，正方形的性质，三角形的面积，关键是由勾股定理列出关于x的方程． 16．（2024秋•南昌期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．当点P运动到边AB时，t为　5或4.75或5.3　秒时，△BCP为等腰三角形． 【思路点拨】先根据勾股定理求出AC＝4cm，再分BP＝BC＝3，PC＝PB，CP＝CB＝3三种情况分类讨论，结合等腰三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：在Rt△ABC中，ACB＝90°， AC4cm． ①如图，当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形， ∴AC+CB+BP＝4+3+3＝10cm， ∴t＝10÷2＝5秒； ②如图，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形， ∵PC ＝ PB， ∴∠PCB ＝∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝∠ACP+∠BCP＝90°， ∴∠A＝∠ACB， ∴AP＝PC， ∴PC＝PB， ∴PA＝PBAB＝2.5cm， ∴AC+BC+BP＝4+3+2.5＝9.5cm， ∴t＝9.5÷2＝4.75秒； ③如图，当CP＝CB＝3时，作CD⊥AB于D， 则△ABC的面积 4×3． ∴CD ＝2.4， 在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD 1.8， ∴PB＝2BD＝3.6， ∴CA+CB+BP＝4+3+3.6＝10.6（cm）， ∴t ＝10.6÷2＝5.3秒． 综上所述，t为5秒或4.75秒或5.3秒时，△BCP 为等腰三角形． 故答案为：5或4.75或5.3． 【考点评析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并注意等腰三角形的定义分类讨论是解题关键． 17．（2024秋•大余县期末）已知△ABC是以AB为腰的等腰三角形，D为BC边上一点，且∠ADC＝90°，若AD的长恰好为△ABC一边长的，则的值为 　1、或2　． 【思路点拨】当AB＝AC，ADBC时，求出1；当AB＝AC，ADAC时，求出；当AB＝BC时，ADAB时，求出CD＝（2）AD，得到2，即可得到答案． 【规范解答】解：当AB＝AC，ADBC时， ∵∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∴CDBC， ∴1； 当AB＝AC，ADAC时， ∵∠ADC＝90°， ∴∠C＝30°， ∴∠DAC＝90°﹣30°＝60°， ∴tan∠DAC＝tan60°； 当AB＝BC时，ADAB时， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADB＝90°， ∴BDAD， ∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣DB＝（2）AD， ∴2， ∴值是1、或2． 故答案为：1、或2． 【考点评析】本题考查等腰三角形的性质，关键是要分三种情况讨论． 18．（2024秋•崆峒区期末）用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长分别是多少？ （2）能围成一个有一边的长为5cm的等腰三角形吗？为什么？ 【思路点拨】（1）设底边长为x cm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可； （2）分5是底边和腰长两种情况讨论求解． 【规范解答】解：（1）设底边长为x cm，则腰长为3x cm， 根据题意得，x+3x+3x＝21， 解得x＝3cm； 则3x＝9cm ∴三角形的三边分别为3cm、9cm、9cm． （2）①若5cm为底时，腰长（21﹣5）＝8（cm）， ∴三角形的三边分别为5cm、8cm、8cm，能围成三角形； ②若5cm为腰时，底边＝21﹣5×2＝11， ∴三角形的三边分别为5cm、5cm、11cm， ∵5+5＝10＜11， ∴不能围成三角形， 综上所述，能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系，关键要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断． 19．（2024秋•琼海期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数； （3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长． 【思路点拨】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案； （3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得． 【规范解答】解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴DB＝DA， ∴△ABD是等腰三角形； （2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°， ∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70° ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°； （3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6， ∴AB＝2AE＝12， ∵△CBD的周长为20， ∴AC+BC＝20， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32． 【考点评析】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单，属于基础题． 20．（2024秋•安新县期末）如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东60°方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【思路点拨】（1）根据已知条件得到∠C＝30°﹣15°＝15°，求得∠BAC＝∠C，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【规范解答】解：（1）根据题意得∠BAC＝90°﹣75°＝15°，∠CBE＝90°﹣60°＝30°，AB＝15×2＝30（海里）， ∴∠C＝30°﹣15°＝15°， ∴∠BAC＝∠C， ∴BC＝AB＝30（海里）， 答：B处到灯塔C的距离为30海里； （2）过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D， ∵∠CBD＝30°，BC＝30（海里）， ∴CDBC＝15（海里）， ∵15＜16， ∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【考点评析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确地作出辅助线是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$