第一章三角形的证明复习课件 -2024-2025学年北师大版八年级数学下册

第一章 三角形的证明 等腰三角形 直角三角形 垂直平分线 角平分线 等腰三角形 等腰三角形的两腰相等，两底角相等。 A B C ) ) ) 其中，大边对大角，小边对小角 ∵AB>AC,∴∠C>∠B 等腰三角形 重要性质： 三线合一(P3底) 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线以及底边上的高互相重合。 ∠1=∠2 D A B C ) ) 1 2 BD=CD AD BC 等腰三角形 反证法：先对原结论进行相反的假设，然后推出矛盾，证明新假设错误(P9上) 如：证明一个三角形不可能有两个直角. 先假设一个三角形可能有两个直角； 若有两个直角，则内角和>180°； 所以，有两个直角是错误的。 练习反馈 2.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5,BC=8,则该三角形的面积为（ ） A.12 B.6 C.10 D.8 A 1.如图，在△ABC中，AB=3,BC=2,AC=4,试判断∠A,∠B和∠C的大小关系。 A B C 3 2 4 ∠B>∠C>∠A 练习反馈 3.已知5个数的和等于1，请用反证法证明：这5个数中，至少有一个大于或等于 。 证明: 假设这5个数都小于 当这5个数都为 时， ∴至少要有一个数大于或等于 直角三角形 30°定理(P11上) A B C 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边，等于斜边的一半。 ) 30° 若AB=4,则BC=2 直角三角形 勾股定理(P14下) 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。 A B C BC2+AC2=AB2 逆运用(P15上) 如果三角形两边的平方和，等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 ≌ 直角三角形 A B C HL全等(P19下) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 A' B' C' 在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中,∵AB=A'B'，BC=B'C' ∴△ABC≌△A'B'C' 练习反馈 C 练习反馈 2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3． 则AC=_____;BC=____． A B C 3 30° 6 C B A D 3.如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°, CD是腰AB上的高，求CD的长. ∵∠B=∠ACB=15° 练习反馈 解： ∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-15°-15°=150° ∴∠CAD=180°-150°=30° ∴AC=2CD=2a(30定理°) ∴CD=a 练习反馈 4.如图，∠ACB =∠ADB=90°，(不添加字母情况下）添加一个条件________________ 使得△ABC ≌△BAD，请说明理由。 AD=BC或AC=BD 斜边重合，AB=AB 所以，只需添加任意直角边，以满足HL 如图，AB⊥BD，垂足为B，ED⊥CD，垂足为D,AB=CD,AC=CE。求证：∠A=∠ECD。 ∵ AB⊥BD， ED⊥CD 在 Rt△ABC 和Rt△CDE 中， AC=CE,AB=CD ∴Rt△ABC≌Rt△CDE (HL) 练习反馈 证明: ∴∠B=∠D=90° ∴△ABC和△CDE是直角三角形 ∴ ∠A=∠ECD 垂直平分线 中垂线的性质(P22上) 线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 A B C M N MC AB AC=BC P PA=PB 垂直平分线 中垂线逆运用(P22下) 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 A B C M N P 若PA=PB 则点P一定在AB的垂直平分线上 则有:MC AB AC=BC 练习反馈 1.在三角形内部，有一点p到三角形三个顶点的距离都相等，则点p一定在( )。 A.三条角平分线的交点上 B .三条中线的交点上 C.三条垂直平分线的交点上 D.三条高线的交点上 C 2.如果三角形两条垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是( )。 A.锐角三角形 B .直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 B 练习反馈 3.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ） A．80° 　　B．70° C．60° D．50° B A D E C C 练习反馈 4.到平面上三个点A,B,C距离都相等的点有( )个. A．只有一个 　 B．有两个 C．有三个或以上 D．有一个或没有 D A C B P A B C 角平分线 角平分线的性质(P28上) 角平分线上的点，到这个角两条边的距离相等。 O A B ) 1 ) 2 C ∠1=∠2 P D E PD OA,PE OB PD=PE 角平分线 角平分线逆运用(P28下) 在一个角的内部，到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 O A B P D E 1.若PD=PE 则点P一定在∠AOB的平分线上 C ) 1 ) 2 则∠1=∠2 2.若∠1=∠2 则OC一定是∠AOB的平分线 练习反馈 1．已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为 . 2．∠AOB的平分线上 一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为 . 1.5 cm 135° A B C O 1 2 1图 ∠AOC=180°-（∠1+∠2） 角平分线上的点,到角两边的距离相等 练习反馈 3．如图∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC= . 4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为( ) A、4㎝　 　B、6㎝　 　C、10㎝　 　D、不能确定 3图 30° B 4图 C△DBE=BD+DE+BE =BD+CD+BE =BC+BE 又∵BC=AC=AE ∴C△DEB=AE+BE=AB=6 练习反馈 A B C D E F 解： 如图，在△ABC中，∠BAC=60°, 点D在BC上，AD=10,DE AB,DF AC,垂足分别为E,F，且DE=DF，求DE的长。 ∵DE AB,DF AC，且DE=DF ∴AD是∠BAC的平分线 又∵∠BAC=60° ∴∠BAC=30° 在Rt△ADE中，∠AED=90°,AD=10 ) 30° $$