专题08 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题08 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.高分线模型 1 模型2.双垂直模型 4 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 6 10 模型1.高分线模型 三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24八年级上·广东·期中）如图，在中，于点，平分交于点．若，则的度数为 ． 例2．（23-24八年级上·重庆·期中）已知：如图①所示，在中，为的高，为平分线交于点E，．(1)求的度数；(2)与之间有何数量关系？ (3)若将题中的条件“”改为“”（如图②），其他条件不变，则与之间又有何数量关系？请说明理由． 例3．（23-24八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 模型2.双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之间的关系。 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 例1．（23-24八年级上·云南西双版纳·阶段练习）在中，已知，是上的高，是上的高，H是和的交点，求的度数． 例2．（23-24八年级上·湖北武汉·开学考试）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为 ． 例3．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（    ） A． B． C．1 D．2 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 例1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知），∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知），∴________（等量代换）． 例2．（23-24七年级下·湖南郴州·单元测试）如图，已知是直角三角形，其中，则点B到的距离为 ． 例3．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证：(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值；②四边形的面积是______． 1．（2024·四川达州·八年级校考期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　） A． B．2 C．5 D．4 2．（23-24八年级上·绵阳市·期中）如图，，，下列叙述正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在锐角中，，边上的高，且，，若，则（　　）    A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 6．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 7．（2024·绵阳市八年级月考）如图，在中，平分交于点、平分交于点，与相交于点，是边上的高，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角中，为钝角，为边上的高，为的平分线，则与、之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（2024下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．（2024·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式） 解：（1）∵，（已知）， 又∵（______），∴（______）． （2）∵（______），∴（等式的性质）． ∵（已知），∴（垂直定义）．∴______（等量代换）．    11．（2024·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分． (1)求的度数；(2)求的度数；(3)直接写出，，三个角之间的数量关系． 12．（2024·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，已知的两条高相交于点，，，求的度数． 13．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图所示，在中，已知于D，于E，，，求的大小．    14．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，(1)求证：平分；(2)若，求证：．    15．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在中，分别是的角平分线和高线，，．(1)若，则_______；(2)小明说：“无需给出的具体数值，只需确定与的差值，即可确定的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确．    16．（2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末）如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，． (1)求的长度；(2)求的度数．    17．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，是的角平分线，是的边上的中线． (1)若的周长为13，，，求的长度；(2)若，的面积为10，，求点到的距离．    18．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图所示，在中，分别是上的高，是交点．(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．    19．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，，平分，交边于点．（1）如图1，过点作于，若已知，求的度数； （2）如图2，过点作于，若恰好又平分，求的度数； （3）如图3，平分的外角，交的延长线于点，作于，设，试求的值．（用含有的代数式表示） （4）如图4，在图3的基础上分别作和的角平分线，交于点，作于，设，试直接写出的值．（用含有的代数式表示） 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.高分线模型 1 模型2.双垂直模型 4 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 6 10 模型1.高分线模型 三角形的高：­从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高. 三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它所对的边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 高分线模型：过三角形一个顶点的高与角平分线的夹角等于另外两个角差的绝对值的一半。 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24八年级上·广东·期中）如图，在中，于点，平分交于点．若，则的度数为 ． 【答案】． 【详解】解：平分 故答案为： 例2．（23-24八年级上·重庆·期中）已知：如图①所示，在中，为的高，为平分线交于点E，．(1)求的度数；(2)与之间有何数量关系？ (3)若将题中的条件“”改为“”（如图②），其他条件不变，则与之间又有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，理由见解析 【详解】（1）解：∵，，∴ 又∵为的平分线，∴ ∵为的高，∴，，∴； （2）解：由图知； （3）解： 理由如下：由三角形内角和知， ∵为的平分线，∴ ∵为的高，∴ 又∵，∴ ∴． 例3．（23-24八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 模型2.双垂直模型 双垂直模型的定义是一个三角形中有两条高，则图中会产生多个直角三角形。双垂直模型的核心是倒角之间的关系。 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 例1．（23-24八年级上·云南西双版纳·阶段练习）在中，已知，是上的高，是上的高，H是和的交点，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵，∴． 又∵是边上的高，是边上的高，∴， ∴． 又∵是的一个外角，∴． 例2．（23-24八年级上·湖北武汉·开学考试）中，，、是它的两条高，直线、交于，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当为锐角三角形时，       ，，，， ，，， 当为钝角角三角形时，的延长线于， ，，，， ，，； 当为直角三角形，时，不存在，故的度数为或． 故答案为：130°或50°． 例3．（2023·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵的边上的高为，边上的高为，，， ∴，即：，∴，故选：D． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 子母型双垂直模型的定义是一个直角三角形和斜边上的高。子母型双垂直模型的核心还是倒角之间的关系。 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 例1．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知），∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知），∴________（等量代换）． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】解：（1）∵（已知），∴， ∴（三角形外角的性质） ∴（等量代换）． （2）∵， ∴（等式的性质）， ∴（已知）， ∴（等量代换）． 例2．（23-24七年级下·湖南郴州·单元测试）如图，已知是直角三角形，其中，则点B到的距离为 ． 【答案】/ 【详解】解：设边上的高为，在中，，，，， ，．故答案为：． 例3．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在中，，D是上一点，且． (1)求证：(2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③，若E为上一点，交于点F，，，． ①求的值；②四边形的面积是______． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)①3；②21 【详解】（1）证明：，， ，，，， （2）证明：平分，， ，，而，； （3）①，，，，， ； ②如图，连接， 设，则，，， ，， ，，解得， 四边形的面积，故答案为：21． 1．（2024·四川达州·八年级校考期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（　　） A． B．2 C．5 D．4 【答案】D 【详解】∵AD⊥BC，∴∠BDH=∠ADC=90°．∵∠ABC=45°，∴∠BAD=∠ABC=45°，∴AD=BD． ∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CAD+∠C=90°，∠DBH+∠C=90°，∴∠DBH=∠CAD． 在△BDH和△ADC中，∵，∴△BDH≌△ADC（ASA），∴AC=BH． ∵AC=4，∴BH=4．故选：D． 2．（23-24八年级上·绵阳市·期中）如图，，，下列叙述正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，，∴，∴．其余的无法得出故选C． 3．（23-24七年级下·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为高线，∴， ∴，∴， ∵平分，∴，∴，故选：B． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在锐角中，，边上的高，且，，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∴．故选：B． 5．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 【答案】B 【详解】解：∵是中线，∴，∴的面积的面积，故①符合题意； ∵是角平分线，∴，∵为高，∴， ∵，∴，∴， ∵， ，∴，故②符合题意； ∵为高，∴，∵，∴，∴， ∵是的平分线，∴，∴，即，故③符合题意； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④不符合题意；故选：B． 6．（23-24八年级下·广西柳州·开学考试）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】A 【详解】解：∵和的平分线相交于点O，∴，， ∴，故①正确． ∵，∴，∵，分别是和的平分线， ∴，∴，∴，∴， 如图，在上取一点N，使，∵是的角平分线，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴ ∵∴∴∴，故②正确． 作于H，于M， ∵和的平分线，相交于点O，∴点O在的平分线上，∴， ∵，∴． 故③错误．故选：A． 7．（2024·绵阳市八年级月考）如图，在中，平分交于点、平分交于点，与相交于点，是边上的高，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，平分，，， ，，，， ，， 平分，，，故选：C． 8．（2024下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角中，为钝角，为边上的高，为的平分线，则与、之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由三角形内角和知∠BAC=180°-∠2-∠1， ∵AE为∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠2-∠1）． ∵AD为BC边上的高，∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD． 又∵∠ABD=180°-∠2，∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°， ∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+（180°-∠2-∠1）=（∠2-∠1）．故选：B 9．（2024上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵是中线，∴，∴ (等底等高的两个三角形面积相等)，故①正确； ∵是角平分线，∴，∵是高，∴， ∵，， ∴，故②正确；∵， ∴，故③正确；∵连接，如图， ∵为的斜边的中线，∴，∴， ∵，∴只有当时，，此时， ∴，∵条件中不能确定，∴不成立，故④错误； ⑤过点F作于点M，如图所示：∵平分，，∴， ∵，∴， ∴，故⑤正确；综上分析可知，正确的个数为4个．故选：C． 10．（2024下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，故A正确；    ∵、分别是高和角平分线，∴， ∵， ∴，∴， ∴；故B正确；∵， ∴， ∵，∴， 由A得：，∴，故C错误； ∵，∴，∴， ∵，∴，故D正确．故选：C． 10．（2024·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，，求：（1）的度数；（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式） 解：（1）∵，（已知）， 又∵（______）， ∴（______）． （2）∵（______）， ∴（等式的性质）． ∵（已知）， ∴（垂直定义）． ∴______（等量代换）．    【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；等量代换； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 【详解】（1）∵，（已知）， 又∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， ∴（等量代换）． （2）∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， ∴（等式的性质）． ∵（已知）， ∴（垂直定义）． ∴（等量代换）． 11．（2024·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图所示，在中，，平分． (1)求的度数；(2)求的度数；(3)直接写出，，三个角之间的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：在中，．∴． ∵平分，∴； （2）解：∵，∴． ∵，∴． （3）解：∵，∴，∵，∴． 12．（2024·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，已知的两条高相交于点，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵的两条高相交于点，∴， ∵，∴，， ∴在中，， 13．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图所示，在中，已知于D，于E，，，求的大小．    【答案】 【详解】证明：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴． 14．（2023·广东中山·八年级校联考期中）如图，在中，，于点D，E为上一点，    (1)求证：平分；(2)若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证：在中， 在中， ∵，∴，∴，∴CE平分； （2）∵，∴ ∵在中，，而 ∴∴ ∵在中，∴ ∵在中，∴，∴． 15．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在中，分别是的角平分线和高线，，．    (1)若，则_______；(2)小明说：“无需给出的具体数值，只需确定与的差值，即可确定的度数．”请通过计算验证小明的说法是否正确． 【答案】(1)(2)小明的说法正确，理由见解析 【详解】（1）∵，，，∴, ∵是的平分线，∴， ∵是高线，，， ∴； （2）∵是的平分线， ．是高线，，， ． 由可知：的度数与的具体数值无关，只和与的差值有关， 故小明的说法正确． 16．（2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末）如图，在中，，为的角平分线，点F是边的中点，已知的面积为12，，，．    (1)求的长度；(2)求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵点F是边的中点， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴, ∵为的角平分线，∴， ∴； 17．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，是的角平分线，是的边上的中线．    (1)若的周长为13，，，求的长度； (2)若，的面积为10，，求点到的距离． 【答案】(1)3(2)4 【详解】（1）∵是的边上的中线，∴， 又∵的周长为13，，，∴； （2）∵，的面积为10，，∴， ∵是的角平分线，∴点到的距离． 18．（2023下·福建福州·七年级校考期末）如图所示，在中，分别是上的高，是交点．(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．    【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵、分别是边、上的高，∴， 而，∴，∴． （2）设，则，，分别是，上的高，，， ，，，， ，， ， ，，，． 19．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，，平分，交边于点．（1）如图1，过点作于，若已知，求的度数； （2）如图2，过点作于，若恰好又平分，求的度数； （3）如图3，平分的外角，交的延长线于点，作于，设，试求的值．（用含有的代数式表示） （4）如图4，在图3的基础上分别作和的角平分线，交于点，作于，设，试直接写出的值．（用含有的代数式表示） 【答案】（1）10°（2）70°（3）=-30°（4）= 【详解】（1）∵，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°∵平分，∴∠EAC==50° ∵∴∠DAC=90°-∠C =40°∴=∠EAC-∠DAC=10°； （2）设=x,∵∴∠DAC=90°-∠C =90°-x ∵平分，∴=2∠DAC=180°-2x ∵平分，∴=2=360°-4x 在△ABC中，+∠B+∠C=180°∴360°-4x+30°+x=180°解得x=70°∴=70°； （3）∵，∴∠BAC=180°-∠B-=150°- ∵平分，∴∠EAC== ∴∠AEC=180°-∠EAC -=∴∠DEF=∠AEC= ∵∴=90°-∠DEF =-15°∵∴∠BCG=180°-∠ACB=180°- ∵平分∴∠DCF== ∴=180°-∠EAC-∠ACF=180°-∠EAC-∠ACB-∠DCF =15°∴=-15°-15°=-30°； （4）=理由如下：∵由（3）可得∠BAE =∠EAC== ∵AF1平分∠BAE∴∠F1AE=∠BAE = 由（3）同理可得+= 又∴+90°=++n∴= ∵CF1平分∴∠BCF1=∠BCF∠BCG = ∴=180°-∠F1AC-∠ACF1=180°-∠F1AE-∠EAC-∠ACB-∠BCF1=180°-()-()--()=22.5°∴=-22.5°=故=． 3 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$