专题07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.“8”字模型 1 模型2.“A”字模型 7 模型3.三角板拼接模型 10 13 模型1.“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2024·河北保定·八年级统考期末）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中 （填“增大”或“减小”） 度． 【答案】 减小 15 【详解】解：如图，延长EF到H与CD交于H， ∵∠DCE=∠ACB=180°-∠A-∠B，∠A=70°，∠B=50°， ∴∠DCE=60°，∴∠DHE=∠E+∠DCE=100°， ∵∠DFE=∠D+∠DHF，∴∠D=∠DFE-∠DHF=120°-100°=20°， ∴∠D从35°减小到20°，减小了15°，故答案为：减小，15． 例2．（2024·山东七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540° 【详解】解：（1）如图①，连接AD，由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F 即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°， （2）如图②，由（1）方法可得： ∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°， （3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA， ∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°， 【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． 例3．（2024·成都市·八年级统考期末）如图1，已知线段、相交于点O，连接、. （1）求证：；（2）如图2，与的平分线、相交于点P，求证：. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【详解】（1）证明：在图1中，有∠A+∠C=180°-∠AOC，∠B+∠D=180°-∠BOD， ∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D； （2）由（1）的证明方法可得：∠P+∠CDP=∠C+∠CAP， ∠P+∠BAP=∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP=∠CAP，∠CDP=∠BDP， ∴化简可得：2∠P=∠B+∠C， 例4．（2024·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 【答案】(1)；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ，即； （2）证明：平分，， 在和中，，，； （3）证明：在上取一点，使，连接交于点， 是的角平分线，， 在和中，，，，同理可证， ，，，即， ，． 例5．（2024·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　     　　　　　   【答案】(1)见解析(2)①；②；③ 【详解】（1）解：∵分别平分，∴，∴， 由题干的结论得：，∠， ∴，∴， ∴，即； （2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知， ∵分别平分，∴， ∵∴， ∴，同理可得，由题干的结论可得，∴；       ②如图所示，分作的角平分线交于H， 由（1）的结论可知，，同理可得，， ∴； ③由题干的结论可得， ∵平分，平分的外角，∴， ∵，∴， 由题干的结论可知，∴， ∴ ． 模型2.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2024·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵，∴，故选：A． 例2.（2024·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴40°-90°=50° 故选C． 例3．（2024·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于_______． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，求的值． （3）如图2，请你归纳猜想与的关系是______，并说明理由． （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4），理由见解析． 【详解】解：（1）∵为直角三角形，， ∴，∴． （2）∵中，，∴，∴． （3）；理由如下：∵中，， ∴． （4），理由如下：如图：是由折叠得到的， ∴，，∴，， ∴， 又∵，． 模型3.三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°， 图②中：∠A=∠C=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（2024·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， ∴，∴．故选：B． 例2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）一副三角板如图摆放，点C，F均在直线上，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与为一副直角三角板，∴， ∵，∴， ∵，∴∴．故选：C． 例3．（2024·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（    ）    A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：由题意知，，∴，①不一定正确，故不符合要求； ∵，∴， ∴与互为补角，②一定正确，故符合要求；∵，∴， ∵，∴，③一定正确，故符合要求； 由题意知，，即， ∵，∴，∴，④一定正确，故符合要求；故选：B． 【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的判定，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 例4．（2024·广东·七年级校考期末）一副直角三角板按照如图所示放置，注意观察和的数量关系.（1）如图①，和的数量关系是______； （2）如图②，将两个直角三角板的直角顶点置于一点，无论如何旋转其中一个直角三角板（两直三角板无重叠），和的数量关系是______； （3）如图③，将两个直角三角板的直角顶点置于一点，旋转后使两直三角板有重叠，请直接写出和的数量关系，并说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3），见解析. 【详解】（1）∵∠AOC+∠AOB+∠BOD=180°，又∠AOB=90°，∴. （2）∵∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠DOC=360°，又∠AOB=∠DOC=90°，∴. （3）. 理由：因为， 所以. 1．（2024·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，由题意得：，，    ，，．故选：D． 2．（2024·四川成都·七年级校考期末）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，，， ，，故选：B． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由题意得：，， ，，．故选：C 4．（2023春·江苏苏州·七年级校考期中）如图是两块直角三角板和，其中，，，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么不可能等于（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵是的外角，∴， ∴，观察四个选项，选项D符合题意，故选：D． 5．（2024·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形的内角和为，直角三角形中两个锐角和为 ．故选：C． 6．（2024·广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（    ） A．540° B．500° C．460° D．420° 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理可得，根据平角的定义和四边形内角和可得，同理可得，据此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，∴， ∵，，∴ ∵∴， 同理可得：，∴，故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于是解题的关键． 7．（2024·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在中，，点P是AB边上的一个动点（不与顶点A、B重合）．则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，再利用三角形的外角可得，结合，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴；故选B 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题关键． 8．（2024·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如下图标记，，，， 又，， ，，故选C． 9．（2024·上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当，且点E在直线的上方时，他发现若 ，则三角板有一条边与斜边平行． 【答案】或或 【详解】解：有三种情形：①如图1中，当时． ∵， ∴， ∵， ∴． ②如图2中，当时，，可得． ③如图3中，当时，延长交于M． ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 10．（2024·江苏苏州·七年级统考期中）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ． 【答案】230 【详解】解：如图，∵，∴， ∴，∴， ∴．故答案为：230． 11．（2024·山东临沂·八年级统考期末）如图，在等边中，将沿虚线剪去，则 °． 【答案】240 【详解】∵是等边三角形∴ ∴∴故答案是： 12．（2024·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，，则 ．    【答案】/260度 【详解】解：在中，，∴， 在中，，∴， ∴,故答案为：． 13．（2024·江苏·七年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ． 【答案】540° 【详解】连接ED，∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE， ∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2) ×180°=540°， 即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°， ∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．故答案为：540°． 14．（2024·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，的度数是 ． 【答案】/360d度 【分析】根据三角形外角的性质得出，进而在四边形中，根据四边形内角和即可求解． 【详解】解：如图所示，∵， 在四边形中，，故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 15．（2024·江苏宿迁·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． (1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，，则； (2)【性质应用】如图3，和的平分线交于点E，则与、之间存在何种数量关系．请说明理由； (3)【拓展提高】如图4，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，直接写出的度数（用含的式子表示）﹒ 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵与是对顶三角形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵ ∴； （2）解：如图，，，∴， ∵、分别是、的平分线，∴，. ∴，∴； （3）解：∵，∴， ∵、是的角平分线，且是和的角平分线， ∴，， ∵，∴. 16．（2024·四川达州·八年级统考期末）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．    (1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　． (2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）∵是的外角，∴， ∴；故答案为：； （2）连接，如图，    由（1）的结论可得：，， ∵，∴， 即，∴． 17．（2024·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 【答案】(1)260°(2)160°(3)(4) 【详解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∴，故答案为：260°； （2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°， ∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案为：160°； （3）解：连接．如图所示： ∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D， ∵，∴，∴，∴． （4）解：如图，设AB与交于点F， ∵，，由折叠可得，，∴， 又∵，，∴，∴． 18．（2024·湖北武汉·七年级校联考期中）（1）【问题情境】已知如图1：，求证：． 证明：过点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成证明过程）        图1            图2           图3 （2）【尝试运用】如图，若，且经过点，，，求（用代数式表示）． （3）【拓广探索】如图3，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）20° 【详解】（1）证明：过点作， ∵，∴，， ∵，∴； （2）设，，故，，过点作. ∵，∴， ∴，，，∴， ∵，，∴，∴，∴； （3）设，．∵平分，平分， ∴，， ∵，∴，， ∵，∴，即， ∵，∴，∴． 7 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.“8”字模型 1 模型2.“A”字模型 7 模型3.三角板拼接模型 10 13 模型1.“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2024·河北保定·八年级统考期末）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中 （填“增大”或“减小”） 度． 例2．（2024·山东七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 例3．（2024·成都市·八年级统考期末）如图1，已知线段、相交于点O，连接、. （1）求证：；（2）如图2，与的平分线、相交于点P，求证：. 例4．（2024·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 例5．（2024·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．     　　　　 (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　　   模型2.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2024·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（    ） A． B． C． D． 例2.（2024·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 例3．（2024·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于_______． （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，求的值． （3）如图2，请你归纳猜想与的关系是______，并说明理由． （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系并说明理由． 模型3.三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°， 图②中：∠A=∠C=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（2024·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）一副三角板如图摆放，点C，F均在直线上，．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（    ）    A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 例4．（2024·广东·七年级校考期末）一副直角三角板按照如图所示放置，注意观察和的数量关系.（1）如图①，和的数量关系是______； （2）如图②，将两个直角三角板的直角顶点置于一点，无论如何旋转其中一个直角三角板（两直三角板无重叠），和的数量关系是______； （3）如图③，将两个直角三角板的直角顶点置于一点，旋转后使两直三角板有重叠，请直接写出和的数量关系，并说明理由. 1．（2024·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·七年级校考期末）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（2023春·江苏苏州·七年级校考期中）如图是两块直角三角板和，其中，，，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么不可能等于（    ）．    A． B． C． D． 5．（2024·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（    ） A．540° B．500° C．460° D．420° 7．（2024·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在中，，点P是AB边上的一个动点（不与顶点A、B重合）．则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 8．（2024·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 9．（2024·上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当，且点E在直线的上方时，他发现若 ，则三角板有一条边与斜边平行． 10．（2024·江苏苏州·七年级统考期中）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ． 11．（2024·山东临沂·八年级统考期末）如图，在等边中，将沿虚线剪去，则 °． 12．（2024·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，，则 ．    13．（2024·江苏·七年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ． 14．（2024·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，的度数是 ． 15．（2024·江苏宿迁·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． (1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，，则； (2)【性质应用】如图3，和的平分线交于点E，则与、之间存在何种数量关系．请说明理由； (3)【拓展提高】如图4，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，直接写出的度数（用含的式子表示）﹒ 16．（2024·四川达州·八年级统考期末）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．    (1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　． (2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数． 17．（2024·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 18．（2024·湖北武汉·七年级校联考期中）（1）【问题情境】已知如图1：，求证：． 证明：过点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成证明过程）        图1            图2           图3 （2）【尝试运用】如图，若，且经过点，，，求（用代数式表示）． （3）【拓广探索】如图3，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．若，求的度数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$