1.1 直线的相交（第一课时 讲练）（6大题型43题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（浙教版2024）

名称 概念 性质 图形 几何语言 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角互为邻补角。如图,∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1都是邻补角。 邻补角互补,如图,∠1+∠2=180°， ∠2+∠3=180°， ∠3+∠4=180°， ∠4+∠1=180°。 此图形 也 称 为“相交线”模 型 因为∠1与∠2是邻补角 所以∠1+∠2=180° 注意： 1. 两角的位置关系：公共顶点，一公共边，另一边互为反向延长线。（邻） 1. 两角数量关系：和为180°。（补） 【基础练习】 【练习1-1】下列四个图形中，和互为邻补角的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据邻补角的定义即可求解． 【详解】和互为邻补角的是④ 故选D． 【练习1-2】下列图形中，与是邻补角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】依据邻补角的定义：若两个角有一条公共边以及共同的顶点，且相加等于，那么这两个角被称作一对邻补角；进行判断即可． 【详解】解：A、B中的两个角不存在公共边，不是邻补角； C中的两个角的和不等于，故不是邻补角； D中的两个角是邻补角，故正确． 故选：． 名称 概念 性质 图形 几何语言 对顶角 两个角有一个公共的顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角互为对顶角.如图, ∠1与∠3, ∠2与∠4是对顶角。 对顶角相等,如图， ∠1=∠3， ∠2=∠4。 此图形 也 称 为“相交线”模 型 因为∠1与∠3是对顶角 所以∠1=∠3 注意： 1. 两角的位置关系：公共顶点，两边分别互为反向延长线。 1. 两角的数量关系：相等 【基础练习】 【练习2-1】如图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．一般地，两条直线相交能形成两对对顶角．根据对顶角的定义分析即可． 【详解】解：由对顶角的定义可知， 图中的和是对顶角， 故选：B． 【练习2-2】下列选项中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断． 【详解】解：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角， 只有选项D中的与互为邻补角． 故选：D． 【典例】下列图中，和是对顶角的有（     ）个．    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答． 【详解】根据对顶角的定义： 中和不是对顶角； 中和是对顶角； 中和不是对顶角； 中和不是对顶角； 故选：． 【变式1-1】下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，C中∠1与∠2是邻补角， 故选：C． 【变式1-2】如图所示，直线和相交于点是一条射线． （1）写出的邻补角：__________________； （2）写出的邻补角：__________________； （3）写出的邻补角：__________________； （4）写出的对顶角：___________________ 【答案】 【解析】邻补角指的是有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角；对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，据此解答即可． 【详解】解：根据邻补角的定义得， （1）的邻补角：； （2）的邻补角：； （3）的邻补角：； （4）根据对顶角的定义得，的对顶角：， 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 方法技巧： （1）两角为邻补角,必须同时满足下列条件:一是有公共顶点;二是两角的一边为公共边，另一边互为反向延长线. （2）一个角的邻补角有两个，且这两个角互为对顶角;而一个角的对顶角只有一个. （3）识别对顶角时,可以先识别图形是不是“相交线”模型,再根据定义进行判断.判断时要抓住两个关键要素:一是顶点，二是边.先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线. 邻补角与对顶角对比 角的名称 特征 性质 相同点 不同点 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边 邻补角互补 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. 1. 有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶角相等 【典例】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【解析】 【分析】由邻补角的性质：邻补角互补，即可求解． 【详解】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°， ∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°． 故选：A． 【变式2-1】如图所示，已知O是直线上一点，，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的含义，邻补角的含义，先求解，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴； 故选B 【变式2-2】已知一个角是，则这个角的邻补角是　 　． 【答案】47 【解析】 【分析】根据互为邻补角的两个角的度数之和为180度进行求解即可． 【详解】解：一个角是， 根据邻补角的定义得，， 即这个角的邻补角是， 故答案为：47． 【典例】如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（ ） A．40° B．60° C．70° D．80° 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角的性质，可得∠1的度数． 【详解】解：由对顶角相等，得 ∠1=∠2，又∠1+∠2=80°， ∴∠1=40°． 故选：A． 【变式3-1】如图，利用工具测量角，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据量角器测量的度数为，由对顶角相等可得． 【变式3-2】如图1，要测量两堵围墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，如图2，小轩分别延长至点，至点，则可得，小轩测量的依据是 　 　． 【答案】对顶角相等 【解析】 【分析】根据对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：由题意得，小轩测量的依据是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等． 【典例】如图，直线相交于点O，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】由对顶角相等求解再利用邻补角互补可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 故选A． 【变式4-1】如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等，根据平角的定义得到，进而推出，由此求出，则由对顶角相等得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式4-2】如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则的度数为　 ． 【答案】 【解析】 【分析】由与是对顶角，则，从而求出，故有，最后根据角平分线的定义和角度和差即可求解． 【详解】解：与是对顶角， ， ， ， ， ， 射线平分， ， ， 故答案为：． 方法技巧： （1）已知角与所求的角都存在于“相交线”模型中,联想邻补角和对顶角,直接运用它们的性质解决问题. （2）在“相交线”模型中,当一对对顶角或一对邻补角之间存在某些数量关系时,常利用对顶角、邻补角的性质,适当采用方程的思想求解或说理，是一种常用的方法。 【典例】下列语句中，正确的是（　　） A．相等的角一定为对顶角 B．不是对顶角的角一定不相等 C．不相等的角一定不是对顶角 D．有公共顶点且和为180°的两个角一定为邻补角 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角、邻补角的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定为对顶角，原说法错误，故此选项不符合题意； B、不是对顶角的角有可能相等，原说法错误，故此选项不符合题意； C、不相等的角一定不是对顶角，正确，故此选项符合题意； D、有公共顶点且和为180°的两个角不一定为邻补角，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（　　　） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据相交线的概念、点与直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：A．符合条件， B．不符合点P不在直线c上； C．不符合点P在直线a上； D．不符合直线a、b、c两两相交； 故选：A． 【变式5-2】下列关于角的说法正确的是（  ） A．角是封闭图形 B．一个角的补角与它的余角互余 C．一个角的邻补角不一定是它对顶角的邻补角 D．一个角的邻补角与它余角的差为 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、角不是封闭图形，故本选项错误； B、一个角的补角为，它的余角为，，故本选项错误； C、一个角的邻补角一定是它对顶角的邻补角，故本选项错误； D、一个角的邻补角为，它的余角为，，故本选项正确． 【典例】如图，当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，AB⊥液面MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝43°，折射角∠2＝29°，则∠EDF的度数为（　　） A．14° B．16° C．43° D．47° 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角相等得出∠BDF＝∠1，进而解答即可． 【详解】解：由对顶角相等得∠BDF＝∠1＝43°， ∵∠2＝29°， ∴∠EDF＝∠BDF﹣∠2＝43°﹣29°＝14°， 故选：A． 【变式6-1】当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）.若，光线传播方向改变了，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角相等，角之间的位置关系求解． 【详解】解：如图，, ∴ 故选：A    【变式6-2】光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【解析】 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 1．下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案． 【详解】解：A．因为∠1与∠2是互余的两个角，故A选项不符合题意； B．因为∠1与∠2有公共顶点且两边互为延长线，所以B选项∠1与∠2是对顶角，故B选项不符合题意； C．因为∠1与∠2的和显然是180°，所以∠1与∠2是邻补角，故C选项符合题意； D．因为∠1与∠2不相邻、互补，所以∠1与∠2不是邻补角，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的定义解决此题． 【详解】解：根据对顶角的定义（具有共同顶点，两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 3．如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a，b所夹锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，邻补角，解题的关键是正确作出辅助线．延伸直线a，b交于点，根据，，可求出，，最后根据三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：如图，延长直线a，b相交于点， ，， ，， ， 直线a，b所夹锐角的度数为， 故选：B． 4．如图是一把剪刀，在使用过程中，若增加，则（   ） A．减少 B．增加 C．不变 D．增加 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对顶角，解题的关键是掌握对顶角的定义和性质．根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：由题图可得和互为对顶角， 所以， 所以当增加时，也会增加． 故选B． 5．如图，直线，相交，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，由此即可求解． 【详解】解：，， ， ， 故选：C． 6．下列说法中正确的是（    ） A．若，则平分. B．若，则，，互为补角. C．相等的角是对顶角. D．等角的余角相等. 【答案】D 【解析】 【详解】A. 若，则不一定平分，故选项错误，不符合题意； B. 若两个角的和为，就说这两个角互为补角，互为补角是两个角之间的关系，故选项错误，不符合题意； C. 相等的角不一定是对顶角.故选项错误，不符合题意； D. 等角的余角相等.故选项正确，符合题意； 7．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查对顶角相等，关键是根据对顶角相等得出解答． 根据对顶角相等得出，进而解答即可． 【详解】解∶因为点在延长线上， 所以， 所以． 故选A． 8．三条直线AB、CD、EF相交于点O，如图所示，∠AOD的对顶角是 ，∠FOB的对顶角是 ，∠EOB的邻补角是 【答案】 ∠BOC ∠AOE ∠AOE和∠BOF 【解析】 【分析】根据对顶角和邻补角的定义解答，注意两直线相交，一个角的对顶角只有一个，但邻补角有两个． 【详解】对顶角和邻补角在两条直线相交的上形中产生，根据对顶角、邻补角的定义得： ∠AOD的对顶角是∠BOC， ∠FOB的对顶角是∠AOE， ∠EOB的邻补角是∠AOE和∠BOF． 故答案为(1)∠BOC (2)∠AOE (3)∠AOE和∠BOF 9．如图，过直线AB上一点O作射线，，平分，则的度数为__________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】先根据，求出，再根据平分，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 10．如图所示，若，则 ；当剪刀口增大时，增大 ． 【答案】 /145度 /5度 【解析】 【分析】本题主要考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，熟练掌握对顶角相等和邻补角互补是解题的关键． 根据邻补角的性质和对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 对顶角相等， ， 当剪刀口增大时，增大． 故答案为：；． 11．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝3：5，OF平分∠BOE． （1）若∠BOD＝72°，求∠BOE． （2）若∠BOF＝2∠AOE+15°，求∠COF． 【答案】（1）153°（2）25° 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等，可得∠AOC的度数，根据∠AOE：∠EOC＝3：5，可得∠AOE，根据邻补角，可得答案； （2）根据角平分线的定义，可得∠BOE＝2∠BOF＝4∠AOE+30°，根据邻补角的关系，可得关于∠AOE的方程，求出∠AOE的度数，可得答案． 【详解】解：（1）由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝72°， 由OE把∠AOC分成两部分且∠AOE：∠EOC＝3：5，得∠AOE＝∠AOC×＝27°， 由邻补角，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣27°＝153°； （2）由OF平分∠BOE，得∠BOE＝2∠BOF＝4∠AOE+30°． 由邻补角，得∠BOE+∠AOE＝180°，即4∠AOE+30°+∠AOE＝180°， 解得∠AOE＝30°． ∴∠EOC＝50°，∠EOF＝∠BOF＝75°， ∴∠COF＝75°﹣50°＝25°． 12．如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若，，则光的传播方向改变了　 　度． 【答案】14 【解析】 【分析】根据对顶角相等这一性质可解出此题． 【详解】解：设所改变的角为， 则所得的角与互为对顶角， 即， ． 故填． 13．如图，点O在直线AB上，过点O作射线OC，OP平分∠AOC，ON平分∠POB．∠AOC＝38°，求∠CON的度数． 【答案】61.5° 【解析】 【分析】由题意易得∠AOP＝∠COP＝∠AOC＝19°，然后根据邻补角可得∠BOP＝161°，进而根据角的和差关系可求解． 【详解】解：∵OP平分∠AOC，∠AOC＝38°， ∴∠AOP＝∠COP＝∠AOC＝×38°＝19°， ∴∠BOP＝180°﹣∠AOP＝180°﹣19°＝161°， ∵ON平分∠POB ∴∠PON＝∠BOP＝×161°＝80.5°， ∴∠CON＝∠PON﹣∠COP＝80.5°﹣19°＝61.5°． 14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数． 【答案】55° 【解析】 【分析】根据对顶角和角平分线的定义求出∠BOE的度数，再根据已知求出∠BOF的度数，即可求出∠EOF的度数． 【详解】解：∵∠AOC＝70°， ∴∠BOD＝∠AOC＝70°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠DOE＝∠BOD＝35°， 又∵∠DOF＝90°， ∴ ∴． 15．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC． （1）图中∠BOD的邻补角为　 　，∠AOE的邻补角为　 　； （2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝　 　， 如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝　 　； （3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用邻补角的定义分析得出答案； （2）结合角平分线的定义利用已知分别得出各角度数即可； （3）利用角平分线的定义结合平角的定义分析得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：∠BOD的邻补角为：∠AOD， ∠AOE的邻补角为：∠BOE； 故答案为：∠AOD，∠BOE； （2）∵∠COD＝25°，∴∠AOC＝2×25°＝50°， ∴∠BOC＝130°， ∴∠BOE＝×130°＝65°， ∵∠COD＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠BOE＝∠BOC＝30°， 故答案为：65°，30°； （3）由题意可得： ∠COD+∠BOE ＝∠AOC+∠BOC ＝（∠AOC+∠BOC） ＝90°． 16．如图，直线与相交于点，，射线在内（如图1）． （1）若比小25度，求的大小； （2）若射线平分，（如图2），则（用含的代数式表示，请直接写出结果） 【答案】（1）80°；（2）． 【解析】（1）由∠CEG=∠AEG-25°，得∠AEG=180°-∠BEC-∠CEG=180°-45°-（∠AEG-25°），解出∠AEG的度数； （2）计算出∠AEG和∠CEG，然后相减，即可得到结果． 【详解】（1） （2）（2）∵EF平分∠AED， ∴∠AEF=∠DEF， 设∠AEF=∠DEF=α°，∠AEG=∠FEG-∠AEF=（m-α）°， ∠CEG=180°-∠GEF-DEF=180-（m+α）°， ∴∠AEG-∠CEG=（m-α）°-（180-m-α）°=（2m-180）°． 17．如图，直线，相交于点，平分． 【基础尝试】 （1）如图1，若，求的度数； 【画图探究】 （2）作∠COF=90°，设，请你利用图2画出图形，探究与之间的关系，结果用含的代数式表示． 【拓展运用】 （3）在第（2）题中，可能和互补吗？请你作出判断并说明理由． 【答案】（1）=110°； （2）或． （3）可能和互补． 【解析】 【分析】（1）由补角的定义可求解的度数，结合角平分线的定义可求的度数，再利用平角的定义可求解； （2）可分两种情况：当在内部时，当在内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可； （3）在∠AOC=90°，且与重合的时候，可以和互补． 【详解】解：（1），， ， 平分， ， ， ； （2）或． 当在内部时，如图， ，， ， 平分， ， ∵∠COF=90°， ， 当在内部时，如图， ，， ， 平分， ， ∵∠COF=90°， ， 综上所述：或； （3）可能和互补． 当∠AOC=90°，且与重合时，， 平分， ， 即， ， ， 即和互补． 18．问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)初探：当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)再探：当时，交点个数最多有________个； (3)归纳：请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)运用：在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 【答案】(1)2；3或5 (2)9 (3) (4)65；130对 【解析】 【分析】（1）按要求画出图形，数一数即可； （2）按要求画出图形，数一数即可； （3）由（1）（2）的图及结果，按照不重不漏的原则，分别找出取、、、等最多交点数与之间的关系，即可求解； （4）代入（3）的代数式求解即可，根据对顶角的定义，可知每两条直线相交的一个交点处有两对对顶角，从而可求． 【详解】（1）解：当时，如图： 故答案：． 当时，如图 故答案：3或5． （2）解：当时，如图 故答案：． （3）解：由（1）（2）得： 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； 当时，交点个数最多：； ．．．．．． 条直线时，交点个数最多：    故答案：． （4）解：当时，， ． 答：有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生65个交点，此时共有130对对顶角． 1．（2022·北京·中考真题）如图，利用工具测量角，则的大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【解析】 【分析】利用对顶角相等求解． 【详解】解：量角器测量的度数为30°， 由对顶角相等可得，． 故选A． 2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．50° 【答案】D 【解析】 【分析】根据对顶角相等可得，之后根据，即可求出． 【详解】解：由题可知， ， ． 故选：D． 3．（2020·内蒙古通辽·中考真题）如图，点O在直线上，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据补角的定义，进行计算即可. 【详解】解：由图可知：∠AOC和∠BOC互补， ∵， ∴∠BOC=180°-=， 故答案为：. 试卷第 1 页，共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名称 概念 性质 图形 几何语言 邻补角 两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角互为邻补角。如图,∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1都是邻补角。 邻补角互补,如图,∠1+∠2=180°， ∠2+∠3=180°， ∠3+∠4=180°， ∠4+∠1=180°。 此图形 也 称 为“相交线”模 型 因为∠1与∠2是邻补角 所以∠1+∠2=180° 注意： 1. 两角的位置关系：公共顶点，一公共边，另一边互为反向延长线。（邻） 1. 两角数量关系：和为180°。（补） 【基础练习】 【练习1-1】下列四个图形中，和互为邻补角的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【练习1-2】下列图形中，与是邻补角的是（ ） A． B． C． D． 名称 概念 性质 图形 几何语言 对顶角 两个角有一个公共的顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角互为对顶角.如图, ∠1与∠3, ∠2与∠4是对顶角。 对顶角相等,如图， ∠1=∠3， ∠2=∠4。 此图形 也 称 为“相交线”模 型 因为∠1与∠3是对顶角 所以∠1=∠3 注意： 1. 两角的位置关系：公共顶点，两边分别互为反向延长线。 1. 两角的数量关系：相等 【基础练习】 【练习2-1】如图中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【练习2-2】下列选项中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例】下列图中，和是对顶角的有（     ）个．    A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图所示，直线和相交于点是一条射线． （1）写出的邻补角：__________________； （2）写出的邻补角：__________________； （3）写出的邻补角：__________________； （4）写出的对顶角：___________________ 方法技巧： （1）两角为邻补角,必须同时满足下列条件:一是有公共顶点;二是两角的一边为公共边，另一边互为反向延长线. （2）一个角的邻补角有两个，且这两个角互为对顶角;而一个角的对顶角只有一个. （3）识别对顶角时,可以先识别图形是不是“相交线”模型,再根据定义进行判断.判断时要抓住两个关键要素:一是顶点，二是边.先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线. 邻补角与对顶角对比 角的名称 特征 性质 相同点 不同点 邻补角 ①两条直线相交而成； ②有一个公共顶点； ③有一条公共边 邻补角互补 ①都是两条直线相交而成的角； ②都有一个公共顶点； ③都是成对出现的. 1. 有无公共边； ②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对. 对顶角 ①两条直线相交形成的角； ②有一个公共顶点； ③没有公共边. 对顶角相等 【典例】如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式2-1】如图所示，已知O是直线上一点，，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】已知一个角是，则这个角的邻补角是　 　． 【典例】如图，直线AB与CD相交于点O，若，则等于（ ） A．40° B．60° C．70° D．80° 【变式3-1】如图，利用工具测量角，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图1，要测量两堵围墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，如图2，小轩分别延长至点，至点，则可得，小轩测量的依据是 　 　． 【典例】如图，直线相交于点O，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，直线与相交于点，，射线平分，若，则的度数为　 ． 方法技巧： （1）已知角与所求的角都存在于“相交线”模型中,联想邻补角和对顶角,直接运用它们的性质解决问题. （2）在“相交线”模型中,当一对对顶角或一对邻补角之间存在某些数量关系时,常利用对顶角、邻补角的性质,适当采用方程的思想求解或说理，是一种常用的方法。 【典例】下列语句中，正确的是（　　） A．相等的角一定为对顶角 B．不是对顶角的角一定不相等 C．不相等的角一定不是对顶角 D．有公共顶点且和为180°的两个角一定为邻补角 【变式5-1】按语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，直线，，两两相交正确的是（　　　） A．B．C．D． 【变式5-2】下列关于角的说法正确的是（  ） A．角是封闭图形 B．一个角的补角与它的余角互余 C．一个角的邻补角不一定是它对顶角的邻补角 D．一个角的邻补角与它余角的差为 【典例】如图，当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，AB⊥液面MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝43°，折射角∠2＝29°，则∠EDF的度数为（　　） A．14° B．16° C．43° D．47° 【变式6-1】当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）.若，光线传播方向改变了，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 1．下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，要想知道黑板上两直线a，b所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线a，b所夹锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图是一把剪刀，在使用过程中，若增加，则（   ） A．减少 B．增加 C．不变 D．增加 5．如图，直线，相交，，则等于　　 A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（    ） A．若，则平分. B．若，则，，互为补角. C．相等的角是对顶角. D．等角的余角相等. 7．当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．三条直线AB、CD、EF相交于点O，如图所示，∠AOD的对顶角是 ，∠FOB的对顶角是 ，∠EOB的邻补角是 9．如图，过直线AB上一点O作射线，，平分，则的度数为__________． 10．如图所示，若，则 ；当剪刀口增大时，增大 ． 11．如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠EOC＝3：5，OF平分∠BOE． （1）若∠BOD＝72°，求∠BOE． （2）若∠BOF＝2∠AOE+15°，求∠COF． 12．如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若，，则光的传播方向改变了　 　度． 13．如图，点O在直线AB上，过点O作射线OC，OP平分∠AOC，ON平分∠POB．∠AOC＝38°，求∠CON的度数． 14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数． 15．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC． （1）图中∠BOD的邻补角为　 　，∠AOE的邻补角为　 　； （2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝　 　， 如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝　 　； （3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由． 16．如图，直线与相交于点，，射线在内（如图1）． （1）若比小25度，求的大小； （2）若射线平分，（如图2），则（用含的代数式表示，请直接写出结果） 17．如图，直线，相交于点，平分． 【基础尝试】 （1）如图1，若，求的度数； 【画图探究】 （2）作∠COF=90°，设，请你利用图2画出图形，探究与之间的关系，结果用含的代数式表示． 【拓展运用】 （3）在第（2）题中，可能和互补吗？请你作出判断并说明理由． 18．问题：我们知道平面内两条直线的位置关系有两种：相交、平行，那在同一平面内多条直线的位置关系又如何？现准备研究在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线产生的交点个数情况．（是不小于3的正整数） (1)初探：当时，交点个数有________个；当时，交点个数有________个； (2)再探：当时，交点个数最多有________个； (3)归纳：请你求出在同一平面内，有且仅有两条直线平行的条直线最多能产生多少个交点； (4)运用：在同一平面内，有且仅有两条直线平行的12条直线最多能产生多少个交点，此时，图中共有多少对对顶角？ 1．（2022·北京·中考真题）如图，利用工具测量角，则的大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（    ） A．25° B．30° C．40° D．50° 3．（2020·内蒙古通辽·中考真题）如图，点O在直线上，，则的度数是______． 试卷第 1 页，共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$