专项 不规则物体的体积（圆柱、圆锥）-北师大版六年级下册期中、期末专项（小学数学）

1 专项 不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 1．下面的图形中，（ ）的体积最大。 A． B． C． D． 2．一个底面直径是 8cm，高是 6cm 的容器，小明将这个容器装满水，再把一个底面积是 3.14cm 2 ， 高 3cm 的圆锥体铁块浸入容器的水中，会溢出（ ）cm 3 的水。 A．301.44 B．9.42 C．3.14 D．6.28 3．计算下面图形的体积。 4．求组合图形的体积。（单位：厘米） 2 5．计算下面图形的体积。（单位：米） 6．在一个底面半径是 10 厘米的圆柱形水桶中装水，水中放一个底面半径是 5厘米的圆锥形铅 锤，铅锤全部淹没，取出铅锤后桶面水面下降 2厘米，求铅锤的高？ 7．在一个底面半径是 4厘米，高是 15 厘米的圆柱形玻璃杯内装入 10 厘米高的水，然后放一 个底面直径是 8厘米的圆锥形铅锤（完全浸没），水面高度上升到 12 厘米，这个铅锤的高是 多少厘米？ 8．在一个底面半径是 7厘米，高是 18 厘米的圆柱形容器中，装有 16 厘米的水，把一个圆锥 形铁块放入水中并完全浸没，此时溢出 144.44 毫升的水，已知圆锥形铁块的底面周长比半径 多 31.68 厘米，这个圆锥形铁块的高是( )厘米。 9.一个底面直径是 12 厘米的圆柱形容器中装有一部分水，水中完全浸没了一个高是 9厘米的 圆锥形铅块。当把铅块从水中取出后，水面下降了 2厘米，这个铅块的底面积是多少平方厘米？ 3 10．如图，将直角梯形 ABCD 以高 AB 所在直线为轴旋转一周，形成一个圆台，你能算出这个圆 台的体积吗？ 1 专项 不规则物体的体积（圆柱、圆锥） 答案解析 1．D 【分析】A．根据圆柱的体积公式 V＝πr 2 h 求解； B．根据圆柱的体积公式 V＝πr 2 h 求解； C．根据圆锥的体积公式 V＝ 1 3 πr 2 h 求解； D．图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，根据圆柱和圆锥的体积公式求解； 先分别求出四个选项中各图形的体积，再比较大小，得出结论。 【详解】A．π×（2r） 2 ×h＝4πr 2 h B．π×r 2 ×（2h）＝2πr 2 h C． 1 3 ×π×（3r） 2 ×h＝3πr 2 h D．π×（2r） 2 ×2h－ 1 3 ×π×（2r） 2 ×h ＝8πr 2 h－ 4 3 πr 2 h ＝ 26 3 πr 2 h 26 3 πr 2 h＞4πr 2 h＞3πr 2 h＞2πr 2 h 所以，D选项体积最大。 故答案为：D 【点睛】本题考查圆柱体积、圆锥体积公式的运用以及组合体的体积求法。 2．C 【分析】根据题意可知，溢出的水的体积即为圆锥的体积，根据“ 1V sh 3  ”求出圆锥的体积 即可。 2 【详解】3.14×3× 1 3 ＝3.14（立方厘米） 故答案为：C 【点睛】明确溢出的水的体积就是圆锥的体积是解答本题的关键。 3． 359.66cm 【分析】观察图形可知，这个图形的体积等于一个底面直径 2cm、高 15cm 的圆柱的体积加上 2 个底面直径 2cm、高 6cm 的圆锥的体积之和，据此根据“圆柱的体积计算公式： 2=V r h圆柱 、 圆锥的体积公式： 21= 3 V r h 圆锥 ”，代入数据计算，即可求出这个图形的体积。 【详解】    2 21 3.14 2 2 6 2 3.14 2 2 15 3          2 213.14 1 6 2 3.14 1 15 3         13.14 1 6 2 3.14 1 15 3         12.56 47.1  59.66 （cm3） 所以，这个图形的体积是 359.66cm 。 4．15.7 立方厘米 【分析】组合图形由一个圆柱和一个圆锥组成。圆柱的体积公式： 2V=πr h，圆锥的体积公式： 21V= πr h 3 ，图中 r＝2÷2＝1（厘米），圆柱 h＝4（厘米），圆锥 h＝3（厘米），代入数据， 计算出圆柱和圆锥的体积，相加即可。 【详解】 3.14×（2÷2） 2 ×4＋ 1 3 ×3.14×（2÷2） 2 ×3 3 ＝3.14×1 2 ×4＋ 1 3 ×3.14×1 2 ×3 ＝12.56＋3.14 ＝15.7（立方厘米） 5．282.6 立方米 【分析】题中立体图形是由一个圆锥和一个圆柱拼成的。圆锥体积＝ 1 3 ×底面积×高，圆柱体 积＝底面积×高，据此先分别求出圆锥和圆柱的体积，再相加求出组合体的体积。 【详解】 1 3 ×3.14×3 2 ×6＋3.14×3 2 ×8 ＝ 1 3 ×3.14×9×6＋3.14×9×8 ＝56.52＋226.08 ＝282.6（立方米） 所以，这个图形的体积是 282.6 立方米。 6．24 厘米 【分析】根据题意知道圆柱形水桶的水面下降的 2厘米的水的体积就是圆锥形铅块的体积，利 用圆柱的体积公式求出下降的这部分水的体积，即铅锤的体积，由此再根据圆锥的体积公式的 变形，h＝3V÷S，即可求出铅锥的高。 【详解】圆锥形铅锥的体积是： 3.14×10 2 ×2 ＝314×2 ＝628（立方厘米） 铅锥的高是：628×3÷（3.14×5 2 ） ＝628×3÷（3.14×25） ＝1884÷78.5 ＝24（厘米） 答：铅锥的高是 24 厘米。 7．6厘米 4 【分析】根据题意，把一个圆锥形铅锤完全浸没在装有水的圆柱形玻璃杯内，水面高度由 10 厘米上升到 12 厘米，那么水面上升部分的体积等于这个圆锥形铅锤的体积； 水面上升部分是一个底面半径为 4厘米、高为（12－10）厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式 V ＝πr 2 h，求出水面上升部分的体积，也就是铅锤的体积； 已知圆锥形铅锤的底面直径是 8厘米，根据圆的面积公式 S＝πr 2 ，求出圆锥形铅锤的底面积； 由圆锥的体积公式 V＝ 1 3 Sh，可知圆锥的高 h＝3V÷S，据此求出圆锥形铅锤的高。 【详解】圆锥形铅锤的体积： 3.14×4 2 ×（12－10） ＝3.14×16×2 ＝100.48（立方厘米） 圆锥形铅锤的底面积： 3.14×（8÷2） 2 ＝3.14×4 2 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 圆锥形铅锤的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（厘米） 答：这个铅锤的高是 6厘米。 8．12 【分析】根据题意，圆锥形铁块的体积等于水面上升的体积加上溢出水的体积，水面上升的高 度是（18－16）厘米，水面上升的体积可利用圆柱的体积公式：V＝ 2πr h求出，继而求出圆锥 形铁块的体积，已知圆锥形铁块的底面周长比半径多 31.68 厘米，即2 31.68r r   ，求出圆 锥形铁块的半径，再利用圆锥的体积公式：V＝ 21 3 πr h，代入数据即可求出这个圆锥形铁块的 高。 5 【详解】 144.44 毫升＝144.44 立方厘米 3.14×7 2 ×（18－16）＋144.44 ＝3.14×49×2＋144.44 ＝307.72＋144.44 ＝452.16（立方厘米） 解：设圆锥形铁块的半径为 r， 2 31.68r r   2 3.14 31.68r r    6.28 31.68r r  5.28 31.68r  31.68 5.28r   6r  21452.16 (3.14 6 ) 3    ＝ 452.16 3 (3.14 36)   ＝1356.48 113.04 ＝12（厘米） 即这个圆锥形铁块的高是 12 厘米。 【点睛】此题的解题关键是理解圆锥形铁块的体积＝水面上升的体积＋溢出水的体积，灵活运 用圆柱和圆锥的体积公式求解。 9．72.36 平方厘米 【分析】水面下降的体积就是铅块的体积，用容器底面积×下降的水的高，求出下降的水的体 积，即铅锥体积，再根据圆锥铅锤的底面积＝体积×3÷高，列式解答即可。 【详解】12÷2＝6（厘米） 3.14×6 2 ×2 ＝3.14×36×2 6 ＝113.04×2 ＝226.08（立方厘米） 226.08×3÷9 ＝678.24÷9 ＝75.36（平方厘米） 答：这个铅块的底面积是 72.36 平方厘米。 10．197.82 立方厘米 【分析】如下图：分别将 CD 和 AB 两条边延长，延长线交于点 E，形成三角形 EBC，将三角形 EBC 以 EB 所在的直线为轴旋转一周，可以形成一个大圆锥，这个圆锥比题中要求的圆台多了 一个小圆锥（圆台上虚线部分）。 因为∠B＝90°，∠C＝45°，所以三角形 EBC 为等腰直角三角形，则 EB＝BC＝6 厘米，EA 为 6 －3＝3（厘米），直角梯形 ABCD 中，∠BAD＝90°，则∠EAD＝90°，在三角形 EAD 中，∠EAD ＝90°，∠E＝45°，所以三角形 EAD 也是等腰直角三角形，AD＝EA＝3 厘米，根据圆锥的体 积公式：V＝ 1 3 πr 2 h，将数据代入分别求出大圆锥和小圆锥的体积，最后相减即可得到圆台的 体积。 【详解】由分析可得： 分别将 CD 和 AB 两条边延长，延长线交于点 E，形成三角形 EBC， 在三角形 BCE 中，∠B＝90°，∠C＝45°，所以∠E＝90°－45°＝45°，则三角形 BCE 是等 腰直角三角形，EB＝BC＝6 厘米； 大圆锥体积： 1 3 ×3.14×6 2 ×6 ＝ 1 3 ×3.14×36×6 7 ＝（ 1 3 ×36）×3.14×6 ＝12×3.14×6 ＝37.68×6 ＝226.08（立方厘米） 6－3＝3（厘米） 1 3 ×3.14×3 2 ×3 ＝ 1 3 ×3.14×9×3 ＝（ 1 3 ×9）×3.14×3 ＝3×3.14×3 ＝9.42×3 ＝28.26（立方厘米） 226.08－28.26＝197.82（立方厘米） 答：这个圆台的体积是 197.82 立方厘米。 【点睛】本题考查了巧妙的将未知立体图形的体积求法转化到已知立体图形的体积求法上来， 熟悉的掌握圆锥体是通过什么图形的旋转得来是解题的关键。