【消灭易错】03 解答题必刷70道-备战2025年中考数学考试易错题（上海专用）

消灭易错03 解答题必刷70道 A组 中考真题 数与式综合 1．（2024·上海·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算． 【详解】解： ． 2．（2023·上海·中考真题）计算： 【答案】 【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键． 3．（2022·上海·中考真题）计算： 【答案】 【分析】原式分别化简 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，再进行合并即可得到答案． 【详解】解： = = 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 方程（组）与不等式（组） 4．（2024·上海·中考真题）解方程组： ． 【答案】 ， 或者 ， ． 【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解． 【详解】解： ， 由 得： 代入 中得： ， ， ， ， 解得： 或 ， 当 时， ， 当 时， ， ∴方程组的解为 或者 ． 5．（2023·上海·中考真题）解不等式组 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： ， 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， 则不等式组的解集为 ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 6．（2022·上海·中考真题）解关于x的不等式组 【答案】-2<x<-1 【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再确定出公共部分，即可求解． 【详解】解： ， 解①得：x>-2， 解②得：x<-1， ∴-2<x<-1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握根据“大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定不等式组的解集是解题的关键． 一次函数与反比例函数综合 7．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系 中，反比例函数 （k为常数且 ）上有一点 ，且与直线 交于另一点 ．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线 轴与直线 交于点C，求 的值． 【答案】(1) ， ； (2) ． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入 ，求出n，然后把B的坐标代入 ，求出k，最后把A的坐标代入 求出m即可； （2）根据 轴求出C的纵坐标，然后代入 ，求出C的横坐标，利用勾股定理求出 ，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把 代入 ， 得 ， 解得 ， ∴ ， 把 代入 ， 得 ， ∴ ， 把 代入 ， 得 ； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵ 轴， 轴 轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2， ， 把 代入 ，得 ， 解得 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 8．（2022·上海·中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． (1)求这个一次函数的解析式； (2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 【答案】(1)y=x+1 (2) 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式y=kx+1， 把A（2，3）代入，得3=2k+1， 解得：k=1， ∴这个一次函数的解析式为y=x+1； （2）解：如图， 设反比例函数解析式为y= ， 把A（2，3）代入，得3= ， 解得：m=6， ∴反比例函数解析式为y= ， 当x=6时，则y= =1， ∴B（6，1）， ∴AB= ， ∵将点B向上平移2个单位得到点C， ∴C（6，3），BC=2， ∵A（2，3），C（6，3）， ∴AC x轴， ∵B（6，1），C（6，3）， ∴BC⊥x轴， ∴AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴cos∠ABC= ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键． 二次函数综合 9．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线 后得到的新抛物线经过 和 ． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线 （ ）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果 小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为 ，如果四边形 有一组对边平行，求点P的坐标． 【答案】(1) 或 ； (2)① ；② ． 【分析】（1）设平移抛物线 后得到的新抛物线为 ，把 和 代入可得答案； （2）①如图，设 ，则 ， ，结合 小于3，可得 ，结合 ，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得： 在 的右边，当 时，可得 ，结合平移的性质可得答案如图，当 时，则 ，过 作 于 ，证明 ，可得 ，设 ，则 ， ， ，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设平移抛物线 后得到的新抛物线为 ， 把 和 代入可得： ， 解得： ， ∴新抛物线为 ； （2）解：①如图，设 ，则 ， ∴ ， ∵ 小于3， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； ②∵ ， ∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得： 在 的右边，当 时， ∴ 轴， ∴ ， ∴ ， 由平移的性质可得： ，即 ； 如图，当 时，则 ， 过 作 于 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ， ， ∴ ， 解得： （不符合题意舍去）； 综上： ； 【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 10．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知直线 与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段 上，以点C为顶点的抛物线M： 经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结 ，且 轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 【答案】(1) ， (2) ， (3) 或 【分析】（1）根据题意，分别将 ， 代入直线 即可求得； （2）设 ，得到抛物线的顶点式为 ，将 代入可求得 ，进而可得到抛物线解析式为 ，即可求得b，c； （3）根据题意，设 ， ，根据平移的性质可得点 ，点 向下平移的距离相同，即列式求得 ， ，然后得到抛物线N解析式为： ，将 代入可得 ，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线 与x轴交于点A，y轴交于点B， 当 时，代入得： ，故 ， 当 时，代入得： ，故 ， （2）设 ， 则可设抛物线的解析式为： ， ∵抛物线M经过点B， 将 代入得： ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴将 代入 ， 整理得： ， 故 ， ； （3）如图： ∵ 轴，点P在x轴上， ∴设 ， ， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点 ，点 向下平移的距离相同， ∴ ， 解得： ， 由（2）知 ， ∴ ， ∴抛物线N的函数解析式为： ， 将 代入可得： ， ∴抛物线N的函数解析式为： 或 ． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值． 11．（2022·上海·中考真题）已知： 经过点 ， ． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为 （m＞0）． ①倘若 ，且在 的右侧，两抛物线都上升，求 的取值范围； ② 在原抛物线上，新抛物线与 轴交于 ， 时，求 点坐标． 【答案】(1) (2)①k≥2 ②P的坐标为（2 ，3） 【分析】（1）把 ， 代入 ，求解即可； （2）①由 ，得顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，由平移得抛物线向右平移了m个单位，根据 ，求得m=2，在 的右侧，两抛物线都上升，根据抛物线的性质即可求出k取值范围； ②把P（m，n）代入 ，得n= ，则P（m， ），从而求得新抛物线解析式为：y= (x-m)2+n= x2-mx+m2-3，则Q(0，m2-3)，从而可求得BQ=m2，BP2= ，PQ2= ，即可得出BP=PQ，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，根据等腰三角形的性质可得BC= BQ= m2，∠BPC= ∠BPQ= ×120°=60°，再根据tan∠BPC= tan 60°= ，即可求出m值，从而求出点P坐标． 【详解】（1）解：把 ， 代入 ，得 ，解得： ， ∴函数解析式为： ； （2）解：①∵ ， ∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点， ∵平移抛物线使得新顶点为 （m＞0）． ∴抛物线向右平移了m个单位， ∴ ， ∴m=2， ∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上， ∵在 的右侧，两抛物线都上升， 又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上， ∴k≥2， ②把P（m，n）代入 ，得n= ， ∴P（m， ） 根据题意，得新抛物线解析式为：y= (x-m)2+n= x2-mx+m2-3， ∴Q(0，m2-3)， ∵B（0，-3）， ∴BQ=m2，BP2= ， PQ2= ， ∴BP=PQ， 如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|， ∵BP=PQ，PC⊥BQ， ∴BC= BQ= m2，∠BPC= ∠BPQ= ×120°=60°， ∴tan∠BPC= tan 60°= ， 解得：m=±2 （舍去负数）， ∴n= =3， 故P的坐标为（2 ，3）. 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般． 全等与相似 12．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形 中， 为边 上一点，且 ． (1)求证： ； (2) 为线段 延长线上一点，且满足 ，求证： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由矩形性质得到 ， ， ，由角的互余得到 ，从而确定 ，利用相似三角形性质得到 ； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到 ， ， ， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【详解】（1）证明：在矩形 中， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； （2）证明：连接 交 于点 ，如图所示： 在矩形 中， ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 在矩形 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 13．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形 中 ，点F，E分别在线段 ， 上，且 ，    (1)求证： (2)若 ，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平行线的性质可得 ，再根据三角形的全等的判定可得 ，然后根据全等的三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得 ，从而可得 ，再根据相似三角形的判定可得 ，然后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明： ， ， 在 和 中， ， ， ． （2）证明： ， ， ，即 ， 在 和 中， ， ， ， 由（1）已证： ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 14．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)CF·FQ=AF·BQ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可； （2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵CF=BE， ∴CE=BF， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠CAE=∠BAF； （2）证明：∵△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF， ∵AE²=AQ·AB，AC＝AB， ∴ ，即 ， ∴△ACE∽△AFQ， ∴∠AEC=∠AQF， ∴∠AEF=∠BQF， ∵AE＝AF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴∠BQF=∠AFE， ∵∠B=∠C， ∴△CAF∽△BFQ， ∴ ，即CF·FQ=AF·BQ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 实际应用问题 15．（2023·上海·中考真题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． (1)他实际花了多少钱购买会员卡？ (2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） (3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 【答案】(1)900 (2) (3) 【分析】（1）根据 ，计算求解即可； （2）由题意知， ，整理求解即可； （3）当 ，则 ，根据优惠后油的单价比原价便宜 元，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， （元）， 答：实际花了900元购买会员卡； （2）解：由题意知， ，整理得 ， ∴y关于x的函数解析式为 ； （3）解：当 ，则 ， ∵ ， ∴优惠后油的单价比原价便宜 元． 【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式． 解直角三角形 16．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为 ． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用 表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用 表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 【答案】(1) 等腰直角三角板直角边为 ，含 的直角三角形板直角边为 和 ； 底为 ，高为 ，面积为 ； (2)画图见解析． 【分析】（ ）①解直角三角形即可求解； 由题意可知四边形 是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （ ）根据题意画出图形即可； 本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图 ， 为等腰直角三角板， ， 则 ； 如图 ， 为含 的直角三角形板， ， ， ， 则 ， ； 综上，等腰直角三角板直角边为 ，含 的直角三角形板直角边为 和 ； 由题意可知 ， ∴四边形 是矩形， 由图可得， ， ， ∴ ， 故小平行四边形的底为 ，高为 ，面积为 ； （2）解：如图，即为所作图形． 17．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 【答案】(1)atanα+b米 (2)3.8米 【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度； （2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得； 【详解】（1）解：如图 由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt∆ACE中，tanα= ， 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：灯杆AB的高度为atanα+b米 （2）由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， 此时 即 ①， ∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， 此时 ， ② 联立①②得 ， 解得： 答：灯杆AB的高度为3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 几何综合 18．（2023·上海·中考真题）如图，在 中，弦 的长为8，点C在 延长线上，且 ．    (1)求 的半径； (2)求 的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）延长 ，交 于点 ，连接 ，先根据圆周角定理可得 ，再解直角三角形可得 ，由此即可得； （2）过点 作 于点 ，先解直角三角形可得 ，从而可得 ，再利用勾股定理可得 ，然后根据正切的定义即可得． 【详解】（1）解：如图，延长 ，交 于点 ，连接 ，    由圆周角定理得： ， 弦 的长为8，且 ， ， 解得 ， 的半径为 ． （2）解：如图，过点 作 于点 ，      的半径为5， ， ， ， ， ，即 ， 解得 ， ， ， 则 的正切值为 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 19．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在 中， ， 在边 上，点 为边 中点，为以 为圆心， 为半径的圆分别交 ， 于点 ， ，联结 交 于点 ．    (1)如果 ，求证：四边形 为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结 ，如果 ，求边 的长； (3)联结 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，且 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角得出 ， ，等量代换得出 ，则 ，根据 是 的中点， ，则 是 的中位线，则 ，即可得证； （2）设 ， ，则 ，由（1）可得 则 ，等量代换得出 ，进而证明 ，得出 ，在 中， ，则 ，解方程即可求解； （3） 是以 为腰的等腰三角形，分为①当 时，②当 时，证明 ，得出 ，设 ，根据 ，得出 ，可得 ， ，连接 交 于点 ，证明 在 与 中， ， ，得出 ，可得 ，根据相似三角形的性质得出 ，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ , ∴ ∴ ， ∵ 是 的中点， ， ∴ 是 的中位线， ∴ ，即 ， ∴四边形 是平行四边形； （2）解：∵ ，点 边 中点， 设 ， ，则 由（1）可得 ∴ ， ∴ ， 又∵ ∴ , ∴ 即 ， ∵ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ 解得： 或 （舍去） ∴ ； （3）解：①当 时，点 与点 重合，舍去； ②当 时，如图所示，延长 交 于点P，    ∵点 是 的中点， ， ∴ ， 设 EMBED Equation.DSMT4 ， ∵ ∴ ， ∴ ， 设 ， ∵ ∴ ，   ∴ ， ∴ ， ∴ ， 连接 交 于点 ，    ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ， 在 与 中， ， ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明 是解题的关键． 20．（2022·上海·中考真题）平行四边形 ，若 为 中点， 交 于点 ，连接 ． (1)若 ， ①证明 为菱形； ②若 ， ，求 的长． (2)以 为圆心， 为半径， 为圆心， 为半径作圆，两圆另一交点记为点 ，且 ．若 在直线 上，求 的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①连接AC交BD于O，证△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论； ②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x= ,即可得OB=3x=3 ，再由平行四边形性质即可得出BD长； （2）由⊙A与⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，点E是△ABC的重心，又 在直线 上，则CG是△ABC的中线，则AG=BG= AB，根据重心性质得GE= CE＝ AE，CG=CE+GE= AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-( AE)2= AE2,则AG= AE,所以AB=2AG= AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2= AE2+（ AE）2=5AE2，则BC= AE，代入即可求得 的值． 【详解】（1）①证明：如图，连接AC交BD于O， ∵平行四边形 ， ∴OA=OC， ∵AE=CE，OE=OE， ∴△AOE≌△COE(SSS)， ∴∠AOE=∠COE， ∵∠AOE+∠COE=180°， ∴∠COE=90°， ∴AC⊥BD， ∵平行四边形 ， ∴四边形 是菱形； ②∵OA=OC， ∴OB是△ABC的中线， ∵ 为 中点， ∴AP是△ABC的中线， ∴点E是△ABC的重心， ∴BE=2OE， 设OE=x，则BE=2x， 在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2, 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2, ∴9-x2=25-9x2， 解得：x= , ∴OB=3x=3 ， ∵平行四边形 ， ∴BD=2OB=6 ； （2）解：如图， ∵⊙A与⊙B相交于E、F， ∴AB⊥EF， 由（1）②知点E是△ABC的重心， 又 在直线 上， ∴CG是△ABC的中线， ∴AG=BG= AB，GE= CE， ∵CE= AE， ∴GE= AE，CG=CE+GE= AE， 在Rt△AGE中，由勾股定理，得 AG2=AE2-GEE=AE2-( AE)2= AE2, ∴AG= AE, ∴AB=2AG= AE， 在Rt△BGC中，由勾股定理，得 BC2=BG2+CG2= AE2+（ AE）2=5AE2， ∴BC= AE， ∴ ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目． 21．（2024·上海·中考真题）在梯形 中， ，点E在边 上，且 ． (1)如图1所示，点F在边 上，且 ，联结 ，求证： ； (2)已知 ； ①如图2所示，联结 ，如果 外接圆的心恰好落在 的平分线上，求 的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边 上，联结 、 、 ， 与 交于N，如果 ，且 ， ，求边 的长． 【答案】(1)见详解 (2)① ；② 【分析】（1）延长 交于点G，由 ，得到 ，由已知数据得到 ， ，故 ，因此 ； （2）①记点O为 外接圆圆心，过点O作 于点F，连接 ，先证明 ，再证明 ，则 ，即 ，求得 ； ②延长 交于点P，过点E作 ，垂足为点Q，由 ，求得 ，可证明 ，角度推导得 ，则 ，求出 ，继而得到 ，由 ，则 ，设 ，则 ，由 ，设 ， ，由 ，得到 ，设 ，可证明 ，求出 ，则 ，在 中，运用勾股定理得： ，则 ，在 中，由勾股定理得， ，故 ． 【详解】（1）证明：延长 交于点G， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； （2）①解：记点O为 外接圆圆心，过点O作 于点F，连接 ， ∵点O为 外接圆圆心， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 外接圆半径为 ； ②延长 交于点P，过点E作 ，垂足为点Q， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由①知 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 由 ， 得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴设 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 而 ， ∴在 中，由勾股定理得， ， ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． B组 中考模拟 数与式综合 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，涉及含特殊角的三角函数值，零次幂，分母有理化．先代入特殊角的三角函数值，分母有理化，计算零次幂，再合并即可． 【详解】解： ． 2．（2025·上海奉贤·一模）计算： 【答案】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算和二次根式的运算，根据特殊角的三角函数值逐个求解，再利用二次根式运算，最后根据有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 3．（2025·上海闵行·一模）计算： ． 【答案】 【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 方程（组）与不等式（组） 4．（2024·上海·模拟预测）解不等式组： ，并写出这个不等式组的自然数解． 【答案】不等式组的解集是 ，不等式组的自然数解是0，1． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的自然数解即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 所以不等式组的解集是 ， 所以不等式组的自然数解是0，1． 5．（2025·上海宝山·模拟预测）解不等式组： 并写出其整数解 【答案】 ，整数解为： ，0，1 【分析】本题考查求一元一次不等式组的整数解，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，进而求出整数解． 【详解】解： 解不等式①得： ， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为： ， ∴整数解为： ，0，1． 6．（2024·上海杨浦·一模）解方程组： ． 【答案】 或 【分析】本题考查的是二元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先把方程组化为 或 ，再解二元一次方程组即可． 【详解】解： ， 由②得： ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ， 解得： 或 ． 一次函数与反比例函数综合 7．（2024·上海杨浦·三模）已知一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于 ， 两点，与 轴交于点 ． (1)求一次函数解析式； (2)设点 关于 轴的对称点为点 ，求 的面积． 【答案】(1) (2) 的面积为15 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，关于轴对称的点的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）由反比例函数的解析式求出点A、B两点坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出点C坐标，根据对称的性质得出点D 坐标，利用 即可求得结论． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图像与反比例函数 的图像相交于 ， 两点， ∴ ， ， ∴ ， 将 和 代入 得 ，解得 ∴一次函数的解析式为： ； （2）如图，当 时， ， ∴ ， ∵ ， 关于 轴的对称， ∴ ， ∴ ， ∴ 8．（2024·上海·三模）如图，已知直线 与 轴交于点A，与y轴交于点C，矩形 的顶点B在第一象限的反比例函数 图像上，过点B作 ，垂足为F，设 ． (1)求 的正切值； (2)已知直线 与反比例函数 图像都经过第一象限的点D，连接 ，若 轴，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数与四边形的综合题目，难度中等，与全等综合转化相关的线段与角度是解题关键． （1）根据一次函数解析式算出 点的坐标即可求算； （2）作 轴，根据矩形的性质得出 ，从而表示出 的坐标，再根据条件表示 的坐标，再根据 均在反比例图象上从而算出 ． 【详解】（1）解：∵直线 与 轴交于点A，与 轴交于点C， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图，作 轴， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点的横坐标为 ， 又∵ 轴， 在 上， ∴ ， ∵ , 均在反比例 上： ∴ ， 解得： ， ∵四边形 是矩形， ∴ 舍去， ∴ ， ∴ ． 9．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数 与反比例函数 的图象交于 ，B两点 (1)求反比例函数解析式 (2)将 在平面内沿某个方向平移得到 其中点 、 、 的对应点分别是 、 、 ，若 、 同时在反比例函数 的图象上，求点 的坐标． 【答案】(1) (2)点 的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质，数形结合是解题的关键． 将点 代入 ，可得点 的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数，从而得出答案； 由平行四边形和反比例函数的对称性可知 与 ，A与 关于原点对称，即可求得 ，根据 、 的坐标得到平移的距离，从而求得点 的坐标． 【详解】（1）解：将点 代入 得， ， 解得 ， ， 反比例函数 的图象经过点A， ， 反比例函数解析式 ； （2）列方程组 ， 解得 或 ， ， 由题意可知 ， ， 四边形 是平行四边形， 由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知， 与 ，A与 关于原点对称， ， 点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到点 ， 点 的坐标为 ． 10．（2024·上海宝山·三模）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于点 两点，与x轴、y轴分别交于 两点，且点A的坐标为 ． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求 的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了待定系数法求表达式，以及一次函数与反比例函数的综合运用． （1）将点A坐标代入一次函数，即可求出b，将点A代入反比例函数，即可求出表达式了． （2）两个函数表达式建立方程，即可求出点A、B的坐标，在根据一次函数求出点C的坐标，即可求解 的面积． 【详解】（1）解：（1）把 代入 得： ． 解得： ． ∴一次函数的表达式为 ． 把 代入 得： ． 解得： ． ∴反比例函数的表达式为 ． （2）解：连接 ，如图所示． 由 ， 解得： ． ∴ ． 在 上，当 时 ， 解得： ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 11．（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系 中，经过原点 的直线与双曲线 交于点 ，点 在射线 上，点 的坐标为 ． (1)求直线 的表达式； (2)如果 ，求点 的坐标． 【答案】(1) ； (2) ． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据 的正确值和正比例函数的解析式求出点 的坐标． 根据点 在双曲线 上，可以求出 ，把点 的坐标代入正比例函数 中求出 的值即可得到直线 的表达式； 因为直线 的解析式为 ，设点 的坐标为 ，根据 ，可得关于 的分式方程，解方程求出 即可得到点 的坐标． 【详解】（1）解： 点 在双曲线 上， 把 代入 ， 可得： ， 点 的坐标为 ， 设直线 的表达式为 （ ）， 把 ， 代入 ， 可得： ， 直线 的表达式为 ； （2）解：如下图所示，过点 作 轴，垂足为点 ， 设点 的坐标为 ， 可得： ， ， 在 中， ， ， 解得： ， 经检验， 是分式方程的解， ， 可得点 的坐标为 ． 二次函数综合 12．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ． (1)求 的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移 个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求 的值． 【答案】(1) ，直线 (2)1或3 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点B坐标代入解析式求出m值，再写出抛物线解析式顶点式，据此写出对称轴即可； （2）先求出平移后的解析式，根据抛物线图象上点的坐标特征求出n值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线解析式为： ， ∴抛物线的对称轴为直线 ； （2）解：将抛物线 向右平移n个单位后得到新抛物线为 ， ∵新抛物线经过原点， ∴ ， 解得 或1． 13．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线 的顶点为 ，与 轴相交与点 ． (1)求点 、 的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与 轴的另一个交点为 ，求 的值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用配方法求出顶点 的坐标，再令 求出 的值，即可得到点 的坐标； （2）设平移后抛物线的解析式为 ，求出 的值，即可得到点 的坐标，得到 ，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 顶点 坐标为 令 ，则 ， ； （2）解：设平移后得解析式 把 代入得 , ， 当 时， , 另一个交点 ， EMBED Equation.DSMT4 , ， ， 在 中， , ． 14．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系 中，已知 ， 是抛物线 （ ）上的两点． (1) ； (2)如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且 ，四边形 的面积是25，求这个抛物线的表达式 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式． （1）结合抛物线的对称性可得 ． （2）根据题意合抛物线的对称性可得 ， ，由已知条件可得 ， ， ，进而根据四边形 的面积是25得到 ，求得 ，即 ， ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 的对称轴为 ， 且抛物线上的点 ， 关于对称轴对称， ∴ ． 故答案为：2． （2）解：由（1）得，抛物线的解析式为 ，对称轴为直线 ， ∵该抛物线与x轴交于点C、D， ∴点C，D关于直线 对称， ∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ， ∴ ， ， ． ∵ ∴ ， 解得 ， ∴ ， ． ∵抛物线 过点 ， ， ∴ ，解得 ， ∴该抛物线的表达式为 ． 15．（2025·上海静安·一模）已知抛物线 上，其 与 部分对应值如下表： x … … y … … (1)求此抛物线的表达式； (2)设此抛物线的顶点为 ，将此抛物线沿着平行于 轴的直线 翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与 轴的交点为 （点 在点 的左侧），且 的重心 恰好落在直线 上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线 上所截得的线段长． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式及二次函数图象的性质，折叠的性质，重心的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意，运用两点式，设 ，运用待定系数法即可求解； （2）①将抛物线的一般式化为顶点式得到点 的坐标为 ，如图所示，过点 作 垂直 轴于点 ，根据 是 的重心，得到 ，则新抛物线的顶点坐标为 ，根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反，由此即可求解；②设直线 与 轴的交点为 ，则 关于直线 的对称点为 ，由此得到新抛物线的表达式为 ，根据它经过原点，得到解得 ，所以令 ，代入 ，由此即可求解． 【详解】（1）解：当 时， ，当 时， ， ∴设抛物线的表达式为 ， 把 代入， ， 解得 ， ∴此抛物线的表达式为 ． （2）解：①∵ ， ∴点 的坐标为 ， 如图所示，过点 作 垂直 轴于点 ， ∴ ， ∵ 是 的重心， ∴ ， ∵ 在直线 上，且新抛物线与原抛物线的图像关于直线 对称， ∴新抛物线的顶点坐标为 ， ∴根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反， ∴新抛物线的表达式为 ； ②设直线 与 轴的交点为 ， ∴ 关于直线 的对称点为 ， ∴新抛物线的表达式为 ， ∵它经过原点， ∴ ， 解得 ， 令 ，代入 ， 得 ， ， ∴新抛物线在直线 上所截得的线段长为 ． 16．（2025·上海静安·一模）二次函数 的部分图像如图所示，已知它与 轴的一个交点坐标是 ，且对称轴是直线 ． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与 轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点 ，求它的顶点坐标． 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的对称性是解题关键． （1）①根据二次函数的对称轴可得 ，由此即可得； ②根据二次函数的对称性求解即可得； （2）根据（1）可设二次函数的解析式为 ，将点 代入求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式的顶点式求解即可得． 【详解】（1）解：①∵二次函数 的对称轴是直线 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ； ②∵二次函数 的图像与 轴的一个交点坐标是 ，且对称轴是直线 ， ∴图像与 轴的另一个交点坐标为 ，即为 ， 故答案为： ． （2）解：∵二次函数 的图像与 轴的两个交点坐标是 和 ， ∴可设二次函数的解析式为 ， ∵这个函数图像经过点 ， ∴ ， 解得 ， ∴二次函数的解析式为 ， ∴它的顶点坐标为 ． 17．（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为 ，且经过点 ． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点 在该抛物线上，求 的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出 点坐标，勾股定理逆定理得到 ，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ， 抛物线过 ， 得 抛物线的表达式为： ． （2）∵点 ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线 与直线 交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点 是线段 上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段 长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 【答案】(1) (2) (3) 或 或 或 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数与线段问题、二次函数与特殊四边形问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由 得 ，推出 ；根据点B的横坐标为2．求得 ；将 、 代入 即可求解； （2）根据点 是线段 上的动点，可得 ， ；由题意得： ，推出 ；即可求解； （3）由（2）可知： ；根据 轴，且 两点均为整点，推出 或 ；求得故 或 ；分类讨论 当 为边时， 当 为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由 得 ， ∴ ； ∵点B的横坐标为2． ∴ ； ∴ ； 将 、 代入 得： ， 解得： ， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点 是线段 上的动点． ∴ ， ； 由题意得： ∴ ； ∵ ， ∴当 时，线段 有最大值，且最大值为 ； （3）解：由（2）可知： ； ∵ 轴，且 两点均为整点， ∴线段 的长为整数； ∴ 或 ； 若 ，则 ，解得 （不符合题意）； 若 ，则 ，解得 ； 故 或 当 为边时，有 且 ； 则 ， ∵ ， ∴ 点的横坐标为 ， ∵ ， ∴ 点的纵坐标为 或 ； 即：整点R的坐标为 或 ； 当 为对角线时，设 ， 则 ，解得： ； 或 ，解得： ； 即：整点R的坐标为 或 ； 综上所述：整点R的坐标 或 或 或 ； 19．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （b、c为常数）与x轴正半轴交于点 ，与y轴交于点 ．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线 于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使 ，以 为边作矩形 ，设点E的横坐标为 ． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形 被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线 在矩形 内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 或2 (3) ， ， 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与几何、解一元二次方程，理解题意，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当 时，求得 、 ，利用待定系数法求得直线 的解析式，根据矩形 被x轴分成面积相等的两部分，可得点D和点C关于x轴对称，再根据当 时， ，当 时， ，进行分类计算即可； （3）求特殊情况m的值，利用图象法判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ， ∴ ， 解得 ． ∴ ； （2）解：当 时， ， ， ， ∴ ， ， 设直线 的解析式为： ， 把 、 代入 得， ， 解得： ， ∴直线 的解析式为： ， ∵当矩形 被x轴分成面积相等的两部分时，点D和点C关于x轴对称， ∴ ， ∵ ， ， ①当 时， ， ∴ ， 解得： ， （舍去）， ②当 时， ， ∴ ， 解得 ， （舍去）； （3）解：(4) 由（2）知， ， ， ①当 在抛物线 上， ，如图： ， 解得 或 （舍去）， 由图可知此时满足 ，在矩形 内部（不包括边界）的图象的函数值 随自变量 的增大而减小； ②当 在抛物线 上， ，如图： 在 中，令 得 ， ，而 ， ， 解得 （舍去）或 ， 而 与 重合时： ， 解得 或 ， 又 ， 结合图形可得， 或 时，在矩形 内部（不包括边界）的图象的函数值 随自变量 的增大而减小． 综上所述，在矩形 内部（不包括边界）的图象的函数值 随自变量 的增大而减小， 的范围是 或 或 ． 20．（2025·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，联结 ， ，抛物线的顶点为点 ． (1)求 的值和点 的坐标； (2)点 是抛物线上一点（不与点 重合），点 关于 轴的对称点恰好在直线 上． ①求点 的坐标； ②点 是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接 ，如果 ，求点 的坐标． 【答案】(1) ； (2)① ；② 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识． （1）点C的坐标为 ，得到 在 中， ，得到 ，点A的坐标为 ，得到 ，解得 ； （2）①点B的坐标为 ，求出直线 的解析式为 ，设点P的坐标为 ，则点P关于x轴的对称点为 ，得到 在直线 上，得到 ，解方程即可得到答案；②设 交抛物线的对称轴于点H，过点H作 于点N，证明 ，求出直线 的解析式为 ，得到 ，得到 ，证明 ，在 中， , 设 ，则 则 ，得到 ，由 得到 ，则 ，得到 ，则点H的坐标是 ，求出直线 的解析式为 ，与抛物线解析式联立得到 求出点M的横坐标，即可得到点M的坐标． 【详解】（1）解：当 时， ， ∴点C的坐标为 ， ∴ 在 中， ， ∴ ∴点A的坐标为 ， ∵抛物线 与 轴交于点 ， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的表达式为 ， ∴ ； （2）①当 时， ，解得 或 ， ∴点B的坐标为 ， 设直线 的解析式为 ∴ 解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 设点P的坐标为 ， 则点P关于x轴的对称点为 ， ∵ 在直线 上， ∴ ， 解得 或 （不合题意，舍去） ∴ ， ∴点P的坐标为 ； ②设 交抛物线的对称轴于点H，过点H作 于点N， ∵ ， ， ∴ 设直线 的解析式为 ， 则 解得 ，     ∴直线 的解析式为 ， ∴ ， ∵ ，且点D在抛物线对称轴直线 上， ∴ ， ∵ ∴ ， 在 中， , 设 ，则 则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，则 ∴ ， 则点H的坐标是 ，即 ， 设直线 的解析式为 ， 则      解得 ，     ∴直线 的解析式为 ， 与抛物线解析式联立得到 解得 ， （不合题意，舍去） 当 时， ∴ 21．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 和点 ． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点 、 、 ， 轴， ， ， 与抛物线的对称轴交于点 （点 在对称轴的左侧）． ①如果点 到抛物线对称轴的距离为 ，请用含 的代数式表示点 的横坐标； ②求点 的横坐标． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①连接 ，过点 作 直线 ，根据对称性结合直角三角形斜边上的中线推出 为等边三角形，在 中，求出 的长，进而得到 的长，即可得出点 的横坐标； ②在 中，利用锐角三角函数求出 的值，进而求出点 的横坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 和点 ， ∴ ，解得： ， ∴ ； （2）①∵ ， ∴对称轴为直线 ， ∵ 轴， ∴ 关于对称轴对称， ∵ 与抛物线的对称轴交于点 ， ∴ 为 的中点， 连接 ，过点 作 直线 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ 直线 ，且点 到抛物线对称轴的距离为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 的横坐标为： ； ②设点 到抛物线对称轴的距离为 ，则点 的横坐标为 ， ∴点 的纵坐标为： ， 由①可知：点 的横坐标为： ，则：点 的纵坐标为： ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴点 的横坐标为： ． 22．（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 （ ）与 轴交于点 和点 ，顶点为 ． (1)求此抛物线的对称轴及点 的坐标； (2)点 是该抛物线上的一点，设对称轴与 轴交于点 ，如果 恰好平分线段 ，求点 的坐标（用含 的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接 、 ，当 时，求 的值． 【答案】(1)对称轴是直线 ，点 的坐标为 (2)点 坐标为 (3) 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）过点P作 轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点D及线段 的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （３）延长 交 轴于点 ，求出点 的坐标，证 ，根据相似三角形的性质求出 ，然后在 中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线 ． ∵点 与点 关于对称轴对称，点 ， ∴点 的坐标为： ． （2） 抛物线与 轴交于点 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，点 坐标为 ，顶点 的坐标为 如图，设 的中点为 ，则点 的坐标 ． 设点 的坐标为 ． 作 轴，垂足为点 ． ∵ 轴， 轴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 或 （舍去）， ∴点 坐标为 ； （3）如图，延长 交 轴于点 ， ∵点 ，点 坐标为 ． ∴直线 的函数解析式为： ． ∴点 的坐标为 ． 又∵ ， ∴ ． 在 与 中， ， 是公共角， ∴ ． ， ∴ ，又 ， ， ∴ ． 在 中， ， ， ， ， 解得： （舍去）或 ． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用点的坐标表示线段的长度、数学形结合及构造辅助线是解本题的关键． 23．（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面 内，以点 为顶点的抛物线 经过点 ，且与 轴交于点 ，对称轴为直线 ． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线 ，顶点为点 ． ①联结 ，如果点 在 轴上且新抛物线与线段 有公共点，求 的取值范围； ②设新抛物线与直线 交于点 ，如果点 在原抛物线 上，且在直线 的右侧， ，求点 的坐标． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）先由对称轴求出 的值，再把 点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； （2）①新抛物线的解析式可设为 ，当 的图象的对称轴右边图象过 点 时，有 ，解得： ；当 的图象的对称轴左边图象过 点 时，有 ，解得： ，从而可知 ； ②如图1所示，作 ，设 ，新抛物线可设为 ，故 ，证明 ，再利用三线合一性质说明 ，当 时，即 时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据 ，解出 的值即可得解． 【详解】（1）解： 对称轴为直线 ， ， ， 把 代入 ，可得 ， 抛物线表达式为 ． （2）解： 抛物线表达式为 ， 故 ， ． ①当点 在 轴上时，新抛物线的解析式可设为 ， 当 的图象的对称轴右边图象过 点 时，有 ， 解得： ， （舍去）； 当 的图象的对称轴左边图象过 点 时，有 ， 解得： ， （舍去）． 故 的取值范围为 ； ②如图1所示，作 ， 设 ，且点 为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线 ， 则新抛物线可设为 ，又 点横坐标为2， 则 ，故 ， ， ， ，从而知 为 中垂线， ，由三线合一性质可得： ， 当 时，即 时，满足题意． 故 ， ， 即 ，故 ， 故 ． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象性质，函数图象的平移，二次函数与线段的公共点问题，二倍角构造问题，熟练掌握以上内容是解题关键． 24．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系 中（如图）．已知抛物线 的顶点A的坐标为 ，与y轴交于点B．将抛物线沿射线 方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果 是锐角，求平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 【详解】（1）解：由原抛物线 顶点的坐标为 ． 可得 ， 解得 ， ． 所以，原抛物线的表达式是 ． （2）解：由点A的坐标为 ，点B的坐标为 设直线 的表达式为 ， 将点A的坐标 代入可得 ，解得： ， ∴直线 的表达式为 ． 由抛物线沿射线 方向平移，可得顶点M始终落在射线 上， 得点M的坐标为 ． 得平移后抛物线的表达式为 ． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为 ， ∴ ． 化简得 ，得 ． ∵ ， ∴ ， 解得： ， 所以m关于n的函数解析式为 ． （3）解：过点B作 ，交原抛物线于点G，那么 ． 当点N在 之间的抛物线上运动时， 是锐角． 当点N与点A重合时， ， ， 平移距离 ， 当点N与点G重合时， 过点N作 轴，垂足为点E，过点A作 轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为 ，点B的坐标为 ，点A的坐标为 ． ∴ ， ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，可得 ． ∵ ， ∴解得： ． ∴点M的坐标为 ， ∴ ． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当 是锐角时，平移距离的取值范围是 ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 25．（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系 中（如图），已知二次函数 的图像与 轴负半轴交于点 ，与 轴交于点 ，且 ． (1)当 时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数 ，满足 的实数 叫做这个函数的不动点．如果二次函数 存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将 绕点 逆时针旋转，点 落在点 处，点 落在点 处，当四边形 是梯形时，点 恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 【答案】(1)0 (2)这个不动点是 (3) 或 【分析】（1）令 ，得 ，得 ，进而得 ，代入解析式得 得 ，从而得 ，再把 代入解析式 即可得解； （2）由 得： ，根据函数 有唯一的不动点得或 ．把 代入 ，得 ，求解即可； （3）分 和 利用解直角三角形，旋转的性质及二次函数的图像及性质即可求解． 【详解】（1）解：令 ，得 ， ． 代入解析式 得 得 ∴ 当 时 当 时， ． （2）解：由 得： ∵有唯一的不动点 解得： （舍）或 ． 当 时， ∴ ， 这个不动点是 ． （3）解： ①当 时，如图 由旋转可得 ， ， ， ∴ ， ②当 时，如图，过 作 于点 ， 由旋转得 ， ∴ ， ， ， ∴ 解得 ， ． 故二次函数解析式为 或 ， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图形及性质，一元二次方程根的判别式，解直角三角形及旋转的性质，熟练掌握二次函数的图形及性质是解题的关键． 26．（2025·上海崇明·一模）已知在直角坐标平面 中，抛物线 经过点 三点． (1)求该抛物线的表达式： (2)点 是抛物线上在第一象限内的动点，点 的横坐标为 ①如果 是以 为斜边的直角三角形，求 的值； ②在 轴正半轴上存在点 ，当线段 绕点 逆时针方向旋转 时，恰好与抛物线上的点 重合，此时点 的横坐标为 ，求 的值． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）由抛物线 经过点 ， ， ，再建立方程组解题即可； （2）①作 轴，垂足为 ．由题意可得 ，证明   ，再建立方程求解即可；②作 轴于 ， 轴于 ，证明 ，可得 ，设 ，再进一步解答即可. 【详解】（1）解： 抛物线 经过点 ， ， ， ，解方程组得： 抛物线的表达式为： （2）解：①作 轴，垂足为 ． 点 在抛物线 的图象上，横坐标为 ， ， ， ，   ， ，   ， ， 即 ， 解得 ，经检验符合题意； ②作 轴于 ， 轴于 ， ， ，   ， 又 ， ， ， 设 ， 由 ，   ， ， ， 整理得： ， ， . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键. 27．（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m， ． (1)连接 、 ，求 的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得 ，且 ， ①求抛物线的表达式； ②若 ，点E在y轴上，且 与 相似，求点E的坐标 【答案】(1)a (2)① ；② 或 【分析】（1）由 ，即可求解； （2）①证明 ，得到 ， ，即可求解； ②证明 为等腰直角三角形，且 与 相似，则 为等腰直角三角形，进而求解． 【详解】（1）解：设点A、B的坐标分别为： ， ， 由抛物线的表达式知，点 ， 则 ； （2）解：① ，且 ，则 为等腰直角三角形，设点 ， 过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、N， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 则 ， ， 即 且 ， 整理得： ，则 ， 故抛物线的表达式为： ； ②由点A、B的坐标得： ， 解得： ， 则点A、B的坐标分别为： 、 ， 由 得： ，即点 ； ∵ ，且 ， 则 为等腰直角三角形， ∵ 与 相似，则 为等腰直角三角形， 过点A作 轴于点M，则点 ， 则 ， 故当点E和点M重合时，即点 ，符合题意； 如图，取 ，则 为等腰直角三角形， 即点 符合题意， 综上， 或 ． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，解直角三角形，求抛物线解析式等知识点，数据处理是解题的关键． 全等与相似 28．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形 中，点 是边 上一点，点 是边 的中点， (1)求证： ； (2)如果 平分 ，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长 交 的延长线于 ，证明 ，得出 ， ，由题意得出 ，再由等腰三角形的性质即可得出答案； （2）由角平分线的定义结合等腰三角形的性质得出 ，由平行四边形的性质得出 ， ， ，证明 ， 得出 ，结合 ，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，延长 交 的延长线于 ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵点 是边 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵点 是边 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 29．（2024·上海宝山·一模）如图， ， 是 的中点，延长 交 于点 ，与 的延长线交于点 ．若 ， ， ，求： 的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，解答的关键是运用相关知识得到线段之间的比例关系．证 ，得到 ，再由 可得 ，求得 的长度，从而求得 的长度． 【详解】解： ， ， ， 是 的中点， ， 在 与 中， ， ， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得： ， ， ． 30．（2025·上海闵行·一模）如图：在四边形 中，对角线 平分 ，且 ，点 在线段 上且 ，连接 并延长交 于点 ，连接 并延长交 于点 ． (1)求证： ； (2)求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形与相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明 即可得到 （2）证明 即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵ 平分 ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ． 31．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在 中， ，过点C作 于点F，交 于点M，且 ，连接 ，使 ，连接 ． (1)求证： ； (2)试判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用 证明 ，即可推导出 ； （2）根据平行四边形、平行线的性质先证 ，再利用 证明 ，推出 ，进而得出 ，可知 是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． （2）解： 是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是熟练掌握上述性质或定理，逐步推导论证． 32．（2025·上海宝山·一模）如图，正方形 的边长是3，点E、F分别在边 、 上， ， 、 分别与对角线 交于点G、H． (1)当 时， ，先补全条件； (2)如果 ，求 的长． 【答案】(1) ；理由见解答过程； (2) ． 【分析】（1）补充的条件是 ，先证明 ，进而依据“ ”判定 和 全等即可得出 ； （2）连接 ，证明 和 相似得 ， ，则 ，再根据 得 和 相似，则 ，由此得 ，则 是等腰直角三角形，由勾股定理得 ，然后求出 ， ，证明 和 相似得 ，则 ，由此可得 的长． 【详解】（1）解：当 时， ,理由如下： ∵四边形 是正方形，且边长为3， ∴ ， ， , ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； 故答案为： ； （2）解：连接GF，如图所示： ∵ ， , ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， 由勾股定理得： ， ∴ ， 在 中， ， 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 实际应用问题 33．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题为函数图象和实际结合的题型，考查由图象写出函数的能力． （1）设出一次函数的一般表达式 ，将 ， 代代入即可求出； （2）由销售的利润和销售价格得出函数关系式，由函数性质判断出随销售价格增大利润增大的范围． 【详解】（1）解：设一次函数的一般表达式 ，将 ， 代入得： ， 解得： ， ， 故每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式为： ． （2）解：每件商品的利润为： ， 所以每天的利润为： ， ∵ ， ∴在 元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加． 34．（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有 两地，小明骑自行车从 地去 地，小刚骑电动车从 地去 地，然后立即原路返回到 地，如图是两人离 地的距离 （千米）和行驶时间 （小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离 地的距离 关于行驶时间 之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过 千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到 地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 【答案】(1) ； (2) 小时． 【分析】（ ）根据题意列出函数解析式即可； （ ）求出两人途中相遇的时间，可求出小刚此时距 地的距离，再算出相遇后两人相距 千米的时间，求出此时小刚距 的距离，进而求出小刚到达 地的时间，然后求出小刚从 地返回 地与小明相距 的时间，把两个时间相加即为两人无法用无线对讲机保持联系的总时间； 本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，小明骑自行车的速度为 千米 小时， ∴小明离 地的距离 关于行驶时间 之间的函数解析式为 ； （2）解：由图可得，小刚骑电动车的速度为 千米 小时， 当两人在途中相遇时，有 ， ∴ ， 此时，小刚距 地 千米， 相遇后设 小时两人相距 千米，则 ， ∴ ， 此时，小刚距 地 千米，到达 需要的时间为 ， 设小刚从 地返回 地 小时与小明相距 千米， 则 ， 解得 ， ∴两人从途中相遇后到 地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间为 小时． 35．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆 分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆 分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆 分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示 与 、 与 之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为 ，车流量大的方向交通量为 ，经查阅资料得：当 ，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】(1) ， (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据 ，求出 关于 的函数关系式，分 ， 两种情况讨论，求出对应 的取值范围即可． 【详解】（1）解： 设 、 为常数，且 ． 将 ， 和 ， 代入 ， 得 ， 解得 ， ． 设 、 为常数，且 ． 将 ， 和 ， 代入 ， 得 ， 解得 ， ． （2） ． 当 时，即 ，解得 ； 当 时，即 ，解得 ． 8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 36．（2024·上海·模拟预测）中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． (1)某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ (2)设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 (3)油的原价是 元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 【答案】(1)900元 (2) (3) 元 【分析】本题主要考查了有理数乘法应用、一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，理解题意、正确的列出算式和一次函数解析式是解题的关键． （1）根据打九折列出算式计算即可； （2）根据每一升油，油的单价降低 元,然后根据题意列出函数关系式即可； （3）当 可得 ，根据优惠后油的单价比原价便宜 元，据此计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意知， （元）， 答：实际花了900元购买会员卡． （2）解：由题意知， ，整理得 ． ∴y关于x的函数解析式为 ． （3）解：当 时， ， ∵ ． ∴优惠后油的单价比原价便宜 元． 解直角三角形 37．（2025·上海松江·一模）如图，在 中， ， ， ． (1)求 的长； (2)在 边上取一点 ，使 ，连接 ，求 的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点 作 ，垂足为 ，由面积法求得 ，进而解直角三角形即可得解； （2）过点 作 ，垂足为 ，由（ ）得 ，解直角三角形得 ， 证 是等边三角形，得 ， ， ，从而求得 ， ， ，利用正切定义即可得解． 【详解】（1）解：过点 作 ，垂足为 ， ， ． （2）解：过点 作 ，垂足为 由（ ）得 ， ∴ ， ， ， ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理， 度直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 38．（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形 （如图1）， 米， 米，斜坡 的坡角为 ．计划将斜坡 改造成坡比为 的斜坡 （如图2所示），坡面的宽度 不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（ ）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分（ ）的长度为 米 (2)改建这条斜坡需要 立方米的混凝土材料 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． （1）过 作 交 的延长线于 ，根据直角三角形的性质得到 （米）， （米），由 ，得到 （米），于是得到 米； （2）根据三角形的面积公式得到 平方米，于是得到结论． 【详解】（1）解：过 作 交 的延长线于 ，如图所示： ∵ 米， ∴ （米）， （米）， 在 中， ， ∴ （米）， ∴ 米， 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（ ）的长度为 米； （2）解：∵ 平方米， ∴ 立方米， 答：改建这条斜坡需要 立方米的混凝土材料． 39．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点 、 是 的边 上的两个定点，点 是边 上的一个动点，当 时，称点 是线段 的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏 ，点 到水平地面的距离 为5米，在水平地面 的 处有一个自动扶梯 ，点 、 、 在同一直线上．已知自动扶梯 的坡度是 ，点 到点 的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面 时，发现点 恰好是屏幕 的最佳视野点，且从点 测得点 的仰角为 ．求 的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯 上找到屏幕 的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕 的垂直平分线与 的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】(1) 的长是10米 (2)不同意，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接 ，由题意得 ， ， ，设 为 ，则 为 ，根据点H恰好是屏幕 的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作 的垂直平分线交 于 ，交 于点 ，分别延长 与 交于点 ，分别求出 ， ， ，计算得出 ，从而判断点 不是屏幕 的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接 ，    由题意得， ， ， ， 设 ，则 ， ， ∵点 恰好是屏幕 的最佳视野点， ∴ ， ∴ ， 解得： （舍去）， ， ∴ （米）， ∴ （米）， ∴ 的长是10米； （2）解：不同意．理由如下： 作 的垂直平分线交 于 ，交 于点 ，分别延长 与 交于点 ，    由题意，可得： ， ， ∵自动扶梯 的坡度是 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴点 不是自动扶梯 上的最佳视野点． 几何综合 40．（2024·上海虹口·三模）如图1， 为半圆O的直径，C为 延长线上一点， 切半圆于点D， ，交 延长线于点E，交半圆于点F，已知 ． (1)求 的值 (2)如图2，连接 ，P为线段 上一点，过点P作 的平行线分别交 ， 于点M，N，交圆O于点K，过点P作 于点H．设 ． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长 交半圆O于点Q，求当x为何值时 的值最大时，并求出最大值． 【答案】(1) (2)①y关于x的函数表达式为 ；②当x为 时 的值最大，最大值为 【分析】（1）连接 ，先求出 的长，可得 ， ，由此可求 的长，结合三角形面积公式即可求解； （2）①证明 可得 ，即可求解； ②如图，连接 ，证明 ，可得 ，得到 ，然后用含x的代数式表示出 ，最后根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接 ， ∵ 切半圆于点D， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， . ∵ ， ∴ ， ， ∴ ； （2）解：①∵ 为半圆O的直径， ，设 ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 过点F作 于点G，如图2， ∵ ， ∴ ， ∴ . ∵P为线段 上一点， ∴ ， ∴y关于x的函数表达式为 ； ②连接 ，如图3， ∵圆周角 所对的弧是 ， ∴ . 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴当 时， 有最大值，最大值为： ， ∴当x为 时， 的值最大，最大值为 ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形的应用，求一次函数关系式，二次函数的图象和性质，准确的作出辅助线是解题的关键． 41．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，等腰直角三角形中有 ， ，点 是线段 中点，点 是平面内任意一点，将线段 绕点 逆时针旋转 得线段 ． (1)如图1，连接 、 ，若点 与点 重合， ，求 长度； (2)如图2，若点 在 右侧，取 中点 ，连接 、 、 ， ，在线段 上取一点满足 ，证明： ． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）如图所示，过点 作 的延长线于点 ，则 ，先由线段中点的定义得到 ， ，由旋转可得， ， ，则可证明 ，得到 ， ，则 ，再利用勾股定理求解即可； （2）如图所示，连接 ，过点N作 交 延长线与Q，先由等腰直角三角形的性质得到 ，即 ， ， ，再证明A、N、C、E四点共圆，得到 ，则 ；证明 是 的中位线，得到 ，则 ，证明 ，得到 ， ，则可证明 ，进而证明 ，则 ；证明 是等腰直角三角形，得到 ，证明 ，得到 ，在 中， ，由此可证明 ； 【详解】（1）解：如图所示，过点 作 的延长线于点 ，则 ， ∵ ，点 是线段 中点， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 由旋转可得， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图所示，连接 ，过点N作 交 延长线与Q， ∵等腰直角三角形中有 ，点 是线段 中点， ∴ ，即 ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴A、N、C、E四点共圆， ∴ ； ∵ ， ， ∴ ； ∵点N和点D分别为 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∴ ， 由旋转的性质可得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 42．（2024·上海·三模）在△ABC中， ， ，正方形 的边 在 上，顶点 ， 分别在 ， 上． (1)如图 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，求：正方形 的边长； (2)如图 ，在 上取点 ，作 于点 ， 交 于点 ， 于点 ，求证：四边形 是正方形； (3)如图 ，在 上取点 ，使 ，连接 ， ，若 试判断点R与以 为直径的圆的位置关系并说明理由 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)点在圆上，理由见解析 【分析】（1）如图1中，设正方形 的边长为x，利用相似三角形的对应高的比等于相似比构建方程即可解决问题； （2）利用平行线分线段成比例定理证明 ，再证明四边形 是平行四边形即可解决问题； （3）设 ， ，则 ， ，可得 ，推出 ，推出 ，推出 ，再证明 可得结论． 【详解】（1）解：如图1中，设正方形 的边长为x． ∵ ， ∴ ，     ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴正方形 的边长为3． （2）证明：如图2中， ∵ ，四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∵ ， ∴四边形 是正方形． （3）证明：如图3中， 在 中， ∵ ， ∴设 ， ，则 ， ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 取 的中点 ，连接 ，则： ， ∴点R在以 为直径的圆上． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，正切，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于压轴题． 43．（2024·上海·二模）如图，在 中， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，连接 ， ． (1)如图1，求： 的值 (2)如图2，将 绕点D顺时针旋转一定角度，得到 ，当射线 交 于点G，射线 交 于点N时，连接 并延长交射线 于点M，判断 与 的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当 时，求 的长． 【答案】(1) (2) ，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接 ，可得 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，根据中位线定理可得 ，即可求解； （2）证明 ，根据（1）的结论即可得 ； （3）连接 ，过点 作 于 ，证明 ，可得 ，勾股定理求得 ， ，根据 ， ，可得 ，进而求得 ，根据 求得 ，根据（2）的结论 ，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． （2）解： ， 理由如下： 连接 ，如图2， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 四边形 是平行四边形， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， 将 绕点 顺时针旋转一定角度，得到 ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ； （3）解：如图，连接 ，过点 作 于 ， 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 中， ， 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 44．（2024·上海宝山·一模）如图，已知在 中， ， 是边 上的一点（不与点 、 重合）， 是边 延长线上一点， ，延长 交边 于点 ． (1)求证： ； (2)如果 ，且 ，求： 的余切值； (3)连结 ，当 平分 时，求： 的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得 ， ，再根据 ， ，即可证明； （2）先证明 ，再证明 ，即有 ，根据 ， ，可得 ，进而可得 ， ，即可解答； （3）过点 作 ，交 于点 ， 与 交于点 ，通过 得到 ，设 ， ， ，即有 ，证明 ，可表示出 ，从而表示出 和 ，进而表示出 和 ，易证 ，可得 ，进而得到关于 的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：在 中， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点 作 于点 ， 在 中， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 在 中， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ； （3）解：如图，过点 作 ，交 于点 ， 与 交于点 ， 平分 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 设 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 整理得 ， ， ， 解得 （负值舍去）， 经检验， 是原方程的根， EMBED Equation.DSMT4 ． 【点睛】本题是相似的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余切，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键． 45．（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形 中， 是边 的动点，以 为圆心， 为半径作圆， 与 相切于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ， ． (1)求证： ； (2)如图2， 与 相交于点 ，连接 并延长交 于点 ，当满足 时，试判断 与 的位置关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 是 的切线，证明见解析 【分析】（1）利用圆的切性的性质定理，正方形的性质和全等三角形的判定定理得到 ，则 ，再利用全等三角形的判定定理解答即可； （2）利用（1）的结论得到 ，利用正方形的性质和同圆的半径相等的性质得到 ，利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质得到 ，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵ 与 相切于点 ， ∴ ， ∵四边形 为正方形， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ； （2） 是 的切线，理由如下： 证明：由（1）知 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为 的半径， ∴ 是 的切线． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 46．（2024·上海浦东新·三模）在 中， ， ， ，点O是 边上动点，以O为圆心， 为半径的 与边 的另一交点为D，过点D作 的垂线，交 于点E，交 于点F，连结 ． (1)如图1，当 时， 求 的半径长； (2)设 ， ，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)若以A为圆心的 与 有公共点D、E，当 恰好也过点B时，求 的长． 【答案】(1) 的半径长为 ； (2) ； (3) 的长为 或 ． 【分析】（1）连接 ，证明四边形 为平行四边形，利用相似求出 ，再在 中，根据勾股定理求出半径； （2）作 于M，利用相似表示出 和 ，再根据勾股定理求出 即可；当点D在点B处时，根据勾股定理求出半径即可讨论出x的取值范围； （3）若以A为圆心的 与 有公共点D、E，当 恰好也过点B时， ，把 代关系式，求出x即可解答． 【详解】（1）解：如图1，连接 ， 设半径为r， ∵ 中， ， ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的半径长为 ； （2）解：如图2，作 于M， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， 当点D在点B处时， 如图3，连接 ， 在 中， ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：当 经过点B、点E时， ， 把 代入 ， 整理得 解得 或 ， ∴ 的长为 或 ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的应用及勾股定理的应用．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 47．（2024·上海·模拟预测）如图，在矩形 中，点E为线段 上一动点，已知 ，点F在边 上， ，点D关于直线 对称点为P，射线 交线段 于G，点C关于直线 的对称点为H，作 交边BC于M，    (1)当点P与点G重合时，求证：H，F，D三点共线 (2)当点P在 上方运动时，连接 ，设 ， ，求y关于x的函数解析式并写出其定义域，以及当 为直角三角形时x的值 (3)当点P在 下方运动时，当 时，求 的长． 【答案】(1)见解析 (2) ，定义域 ，当 为直角三角形时 (3) 【分析】（1）连接 ， ，先证明 是菱形，然后根据正切得到 ，然后证明 是 即可解题； （2）可以得到 和 为矩形，然后根据菱形的性质和等边三角形的性质，利用三角函数求出 和 长，表示y即可，然后根据点P在 上方运动时，点F在边 上，计算出定义域即可解题； （3）过点P作 于点Q，然后解直角三角形求出 和 的值，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：连接 ， ∵ 是矩形， ∴ ， ∴ ， 由折叠可得 ， ， ∴ ， ∴ ∴ 是菱形， 又∵ ， ∴ ， 即 设射线 与 交于点N， 则 ， 又∵点C关于直线 的对称点为H， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴H，F，D三点共线；    （2）解：当点P与点G重合时，由（1）可得 是菱形，且 °， 又∵ ， ∴ 和 为矩形， ∴ ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵点P在 上方运动时，点F在边 上， ∴ ， 当 为直角三角形时，即 ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ； （3）过点P作 于点Q， 如图， ， 又∵ ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ．    【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形和勾股定理，轴对称的性质，综合性强，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 48．（2024·上海黄浦·三模）如图，已知圆 的半径 ， 是半径 上的一个动点（点 不与点 、点 重合），作线段 的垂直平分线，分别交线段 于点 、交圆 于点 和点 （点 在点 的上方）．连接 并延长，交圆 于点 ． (1)当点 是线段 中点时，求 的值； (2)当 时， ①如果 ，求 的长； ②连接 交 于点 ，连接 ，如果 为等腰三角形，求 的长． 【答案】(1) ； (2)① ；② 或 ． 【分析】（ ）利用线段垂直平分线和线段中点性质可得 ， ，利用勾股定理可求出 ，即可求解； （ ） 延长 交圆 于点 ，连接 ，可证 ，得到 ，据此即可求解； 分三种情况讨论： ， 和 ，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：∵ 是 的垂直平分线， ∴ ， ， ∵点 是线段 中点时， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴在 中， ， ∴ ； （2）解： 延长 交圆 于点 ，连接 ，则 ，即 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 是 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 如图，分三种情况讨论： 当 时， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的垂直平分线，， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 即 ， ∴ ； 当 时， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ， 由（ ）知 ， ∴ ， 即 ， 解得 或 （不合，舍去）， ∴ ， ∴ ； 当 时， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ ， ∴ ，不合题意，故此种情况不存在； 综上， 的长为 或 ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 49．（2025·上海奉贤·一模）如图，矩形 中， ，点E在射线 上，点F在射线 上，且 ，射线 与对角线 交于点G，与射线 交于点M． (1)当点E在线段 上时，求 的正切值； (2)当G是 中点时，求 的值； (3)当 ，且 与 相似时，直接写出 的长． 【答案】(1) ； (2) ； (3)当 ，且 与 相似时， 的长为 或 ． 【分析】（1）先证明 ，推出 ，得到 ，再证明 ，得到 ，再利用正切函数的定义即可求解； （2）证明点 四点共圆，得到点 是矩形 的中心，再证明四边形 是菱形，设 ，则 ，再设 ，则 ，在 中，利用勾股定理求得 ，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当点E在线段 上时，设 ，则 ，证明 ，推出 ，再证明 ，利用相似三角形的性质列式计算可求得 的长；当点E在 延长线上时，证明 ，利用相似三角形的性质列式计算可求得 的长． 【详解】（1）解：∵矩形 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：连接 ， ， ， 由（1）得 ， ∴点 四点共圆， ∴ ， ∵G是 中点， ∴点 是矩形 的中心， ∴点 三点共线， ∴ ， ∵矩形 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ，即 ， ∴平行四边形 是菱形， ∴ ， 设 ，则 ， 再设 ，则 ， 在 中， ，即 ， 解得 ， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ，当点E在线段 上时， ∵ ， ∴当 时， ， ∵点 四点共圆， ∴ ， ∴ ， 设 ， 由（1）得 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ； 当点E在 延长线上时， ∵ ， ∴当 时， ， 同理点 四点共圆， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， 设 ， 同理得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ； 综上，当 ，且 与 相似时， 的长为 或 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，解一元二次方程，勾股定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． _1234569218.unknow$$ 消灭易错03 解答题必刷70道 A组 中考真题 数与式综合 1．（2024·上海·中考真题）计算：． 2．（2023·上海·中考真题）计算： 3．（2022·上海·中考真题）计算： 方程（组）与不等式（组） 4．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 5．（2023·上海·中考真题）解不等式组 6．（2022·上海·中考真题）解关于x的不等式组 一次函数与反比例函数综合 7．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 8．（2022·上海·中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． (1)求这个一次函数的解析式； (2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 二次函数综合 9．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． (1)求平移后新抛物线的表达式； (2)直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q． ①如果小于3，求m的取值范围； ②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标． 10．（2023·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求b，c的值； (3)平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 11．（2022·上海·中考真题）已知：经过点，． (1)求函数解析式； (2)平移抛物线使得新顶点为（m＞0）． ①倘若，且在的右侧，两抛物线都上升，求的取值范围； ②在原抛物线上，新抛物线与轴交于，时，求点坐标． 全等与相似 12．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． (1)求证：； (2)为线段延长线上一点，且满足，求证：． 13．（2023·上海·中考真题）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，    (1)求证： (2)若，求证： 14．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： (1)∠CAE=∠BAF； (2)CF·FQ=AF·BQ 实际应用问题 15．（2023·上海·中考真题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． (1)他实际花了多少钱购买会员卡？ (2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） (3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 解直角三角形 16．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 17．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 几何综合 18．（2023·上海·中考真题）如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．    (1)求的半径； (2)求的正切值． 19．（2023·上海·中考真题）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 20．（2022·上海·中考真题）平行四边形，若为中点，交于点，连接． (1)若， ①证明为菱形； ②若，，求的长． (2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值． 21．（2024·上海·中考真题）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； (2)已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． B组 中考模拟 数与式综合 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）计算： 2．（2025·上海奉贤·一模）计算： 3．（2025·上海闵行·一模）计算：． 方程（组）与不等式（组） 4．（2024·上海·模拟预测）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解． 5．（2025·上海宝山·模拟预测）解不等式组： 并写出其整数解 6．（2024·上海杨浦·一模）解方程组：． 一次函数与反比例函数综合 7．（2024·上海杨浦·三模）已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数解析式； (2)设点关于轴的对称点为点，求的面积． 8．（2024·上海·三模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设． (1)求的正切值； (2)已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值． 9．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数与反比例函数的图象交于，B两点 (1)求反比例函数解析式 (2)将在平面内沿某个方向平移得到其中点、、的对应点分别是、、，若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标． 10．（2024·上海宝山·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点两点，与x轴、y轴分别交于两点，且点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． 11．（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 二次函数综合 12．（2025·上海虹口·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值以及抛物线的对称轴； (2)将该抛物线向右平移个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求的值． 13．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线的顶点为，与轴相交与点． (1)求点、的坐标； (2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值． 14．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线（）上的两点． (1) ； (2)如果该抛物线与x轴交于点C、D（点C在点D的右侧），且，四边形的面积是25，求这个抛物线的表达式 15．（2025·上海静安·一模）已知抛物线上，其与部分对应值如下表： x … … y … … (1)求此抛物线的表达式； (2)设此抛物线的顶点为，将此抛物线沿着平行于轴的直线翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与轴的交点为（点在点的左侧），且的重心恰好落在直线上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线上所截得的线段长． 16．（2025·上海静安·一模）二次函数的部分图像如图所示，已知它与轴的一个交点坐标是，且对称轴是直线． (1)填空：① a与b的数量关系为： ；②图像与轴的另一个交点坐标为 ． (2)如果该函数图像经过点，求它的顶点坐标． 17．（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的面积． 18．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 19．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为． (1)求：抛物线所对应的函数表达式． (2)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． (3)当抛物线在矩形内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 20．（2025·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点． (1)求的值和点的坐标； (2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上． ①求点的坐标； ②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标． 21．（2025·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，该抛物线上有三个点、、，轴，，，与抛物线的对称轴交于点（点在对称轴的左侧）． ①如果点到抛物线对称轴的距离为，请用含的代数式表示点的横坐标； ②求点的横坐标． 22．（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 23．（2025·上海长宁·一模）如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 24．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 25．（2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 26．（2025·上海崇明·一模）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点． (1)求该抛物线的表达式： (2)点是抛物线上在第一象限内的动点，点的横坐标为 ①如果是以为斜边的直角三角形，求的值； ②在轴正半轴上存在点，当线段绕点逆时针方向旋转时，恰好与抛物线上的点重合，此时点的横坐标为，求的值． 27．（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 全等与相似 28．（2024·上海·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，点是边上一点，点是边的中点， (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 29．（2024·上海宝山·一模）如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．若，，，求：的长． 30．（2025·上海闵行·一模）如图：在四边形中，对角线平分，且，点在线段上且，连接并延长交于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)求证：． 31．（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，，过点C作于点F，交于点M，且，连接，使，连接． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 32．（2025·上海宝山·一模）如图，正方形的边长是3，点E、F分别在边、上，，、分别与对角线交于点G、H． (1)当 时，，先补全条件； (2)如果，求的长． 实际应用问题 33．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 34．（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 35．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 36．（2024·上海·模拟预测）中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． (1)某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ (2)设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 (3)油的原价是元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 解直角三角形 37．（2025·上海松江·一模）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)在边上取一点，使，连接，求的正切值． 38．（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 39．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 几何综合 40．（2024·上海虹口·三模）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知． (1)求的值 (2)如图2，连接，P为线段上一点，过点P作的平行线分别交，于点M，N，交圆O于点K，过点P作于点H．设． ①求y关于x的函数解析式及其定义域； ②延长交半圆O于点Q，求当x为何值时的值最大时，并求出最大值． 41．（2024·上海杨浦·模拟预测）如图，等腰直角三角形中有，，点是线段中点，点是平面内任意一点，将线段绕点逆时针旋转得线段． (1)如图1，连接、，若点与点重合，，求长度； (2)如图2，若点在右侧，取中点，连接、、，，在线段上取一点满足，证明：． 42．（2024·上海·三模）在△ABC中，，，正方形的边在上，顶点，分别在，上． (1)如图，过点作于点，交于点，求：正方形的边长； (2)如图，在上取点，作于点，交于点，于点，求证：四边形是正方形； (3)如图，在上取点，使，连接，，若试判断点R与以为直径的圆的位置关系并说明理由 43．（2024·上海·二模）如图，在中，，，，分别为，，的中点，连接，． (1)如图1，求：的值 (2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 44．（2024·上海宝山·一模）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求：的余切值； (3)连结，当平分时，求：的值． 45．（2024·上海奉贤·三模）如图1，在边长为6的正方形中，是边的动点，以为圆心，为半径作圆，与相切于点，连接并延长交于点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，与相交于点，连接并延长交于点，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 46．（2024·上海浦东新·三模）在中，，，，点O是边上动点，以O为圆心，为半径的与边的另一交点为D，过点D作的垂线，交于点E，交于点F，连结． (1)如图1，当时， 求的半径长； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)若以A为圆心的与有公共点D、E，当恰好也过点B时，求的长． 47．（2024·上海·模拟预测）如图，在矩形中，点E为线段上一动点，已知，点F在边上，，点D关于直线对称点为P，射线交线段于G，点C关于直线的对称点为H，作交边BC于M，    (1)当点P与点G重合时，求证：H，F，D三点共线 (2)当点P在上方运动时，连接，设，，求y关于x的函数解析式并写出其定义域，以及当为直角三角形时x的值 (3)当点P在下方运动时，当时，求的长． 48．（2024·上海黄浦·三模）如图，已知圆的半径，是半径上的一个动点（点不与点、点重合），作线段的垂直平分线，分别交线段于点、交圆于点和点（点在点的上方）．连接并延长，交圆于点． (1)当点是线段中点时，求的值； (2)当时， ①如果，求的长； ②连接交于点，连接，如果为等腰三角形，求的长． 49．（2025·上海奉贤·一模）如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M． (1)当点E在线段上时，求的正切值； (2)当G是中点时，求的值； (3)当，且与相似时，直接写出的长． ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$