精品解析：江苏省南通市启东市长江中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

长江中学八年级数学下3月阶段测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 10 D. 13 2. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 3. 下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（　　） A. 两个等腰三角形 B. 两个全等三角形 C. 两个锐角三角形 D. 两个直角三角形 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，为边延长线上一点，连结、．若△ADE的面积为2，则的面积为（　　）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 如图，中，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（     ） A. 2 B. C. 3 D. 7. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 8. 四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）. A. 25° B. 20° C. 30° D. 40° 9. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ） A. 45° B. 30° C. 60° D. 55° 二、填空题（11-12题每题3分，13-18题每题4分．共30分．） 11. 若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形． 12. 如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是 _____． 13. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 14. 如图，的对角线相交于点的平分线与边相交于点P，E是中点，若，则的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是____cm2 16. 某同学用如图中的一副七巧板拼成如图的“帆船图”，已知正方形的边长为，则图中的值为______． 17. 如图，是平行四边形内一点，是正三角形，连结，，若，，且，，则的长是 _______________． 18. 如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′若∠ADC=60°，∠ADA′=45°，则∠DA′E′=______度． 三、解答题（90分） 19. 为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出空地的面积； （2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？ 20. 如图，在平行四边形ABCD中，DB=CD，∠C=80°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数． 21. 如图，四边形，都是正方形，点，分别在，上，连接，过点作交于点．若，，试求的长． 22. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，试求的度数． 23. 如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标． 24. 下面是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理： 错题：如图，在中，已知，求的面积． 分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积． 正解：过点A作交的延长线于点， 则， 设，则， ．．．．．． （1）根据勾股定理可得，___________或___________．（用含的代数式表示） （2）请你补全上面的过程，并求出的面积． 25. 如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若与交于点G，且，，，求的面积． 26. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长江中学八年级数学下3月阶段测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 10 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理，计算出斜边长为13． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直接代公式就可以求出斜边的长． 2. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是（ ） A. 2.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，进而得到点表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴点表示的数是； 故选：B． 3. 下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（　　） A. 两个等腰三角形 B. 两个全等三角形 C. 两个锐角三角形 D. 两个直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形被一条对角线分成的两个三角形全等进行分析判断即可． 【详解】解：∵平行四边形被对角线分成的两个三角形是全等的， ∴两个三角形要组成平行四边形，则这两个三角形必须是全等的． A选项中，因为两个等腰三角形不一定全等，所以不能选A； B选项中，因为两个全等三角形一定能组平行四边形，所以可以选B； C选项中，因为两个锐角三角形不一定全等，所以不能选C； D选项中，因为两个直角三角形不一定全等，所以不能选D． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行四边形，知道“能组成平行四边形的两个三角形必须是全等三角形”是解答本题的关键． 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，再由，两式相加进行计算即可得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由得，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键． 5. 如图，在中，为边延长线上一点，连结、．若△ADE的面积为2，则的面积为（　　）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质，平行四边形和的高相等，即可得出的面积. 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴平行四边形和的高相等， 设其高为，， 故答案为B． 【点睛】此题主要考查利用平行四边形的性质进行等量转换，即可求得三角形的面积． 6. 如图，中，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（     ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，首先求出，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中求出即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，设， 在中，∵， ∴， ∴， 在中，． 故选：B 7. 如图，四边形是平行四边形，O是对角线与的交点，，若，，则的长是（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得的长，然后由，，，根据勾股定理可求得的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 8. 四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝20°，则∠CAD的度数是（）. A. 25° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴OH=OB=BD， ∵∠DHO=20°， ∴∠OHB=90°-∠DHO=70°， ∴∠ABD=∠OHB=70°， ∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°． 故选：B． 9. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 10. 如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ） A. 45° B. 30° C. 60° D. 55° 【答案】A 【解析】 【分析】先设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，∠BAD=90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可． 【详解】解：设∠BAE=x°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AB=AD， ∵AE=AB， ∴AB=AE=AD， ∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠BAE）=90°-x°，∠DAE=90°-x°， ∠AED=∠ADE=（180°-∠DAE）=[180°-（90°-x°）]=45°+x°， ∴∠BEF=180°-∠AEB-∠AED =180°-（90°-x°）-（45°+x°）=45°． ∴∠BEF=45°． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大． 二、填空题（11-12题每题3分，13-18题每题4分．共30分．） 11. 若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14cm，则当OA＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】7 【解析】 【分析】根据OB＝OD，当OA＝OC时，四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案． 【详解】由题意得：当OA＝7时，OC＝14﹣7＝7＝OA， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为7． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，难度一般． 12. 如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：． 故答案为：． 13. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 【答案】 【解析】 【分析】设尺，则尺，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为水深． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知,尺， 设尺，则尺， 在中，， ， 解得：， 尺， 答：水深尺． 14. 如图，的对角线相交于点的平分线与边相交于点P，E是中点，若，则的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线，先证明，进而求出的长，证明是的中位线，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵的对角线相交于点， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是中点，， ∴是的中位线， ∴； 故选B． 15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积的和是____cm2 【答案】81 【解析】 【详解】解：根据勾股定理知正方形A，B，C，D的面积的和是92=81cm2． 故答案是：81． 16. 某同学用如图中的一副七巧板拼成如图的“帆船图”，已知正方形的边长为，则图中的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据七巧板的结构可知分成的三角形都是等腰直角三角形，根据勾股定理、等腰三角形三线合一，计算出大、中、小三角形的边长，从而确定． 【详解】解：从七巧板的结构可知，分成的三角形都是等腰直角三角形， 其中，大等腰直角三角形的斜边正方形的边长， 中等腰直角三角形的斜边大等腰直角三角形的边长， 则中等腰直角三角形的斜边上的高它的斜边上的中线， 小等腰直角三角形的斜边， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查七巧板的知识点，七巧板分成的三角形都是等腰直角三角形，从而由勾股定理可以确定各个三角形的各边长度． 17. 如图，是平行四边形内一点，是正三角形，连结，，若，，且，，则的长是 _______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据30度直角三角形的性质求得，，为等边三角形，得，在中利用勾股定理，再结合平行四边形的性质就可得到答案． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， 为等边三角形， ， 在中， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题关键是掌握30度直角三角形的性质． 18. 如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′若∠ADC=60°，∠ADA′=45°，则∠DA′E′=______度． 【答案】165° 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、三角形外角的性质和旋转的性质分别求出∠DA′B和∠B A′E′的度数即可. 【详解】解：∵∠ADC=60°，∠ADA′=45°， ∴∠A′DC=15°，∠DCB=120°，∠ABC=60°， ∴∠DA′B=∠A′DC+∠DCB=135°， ∵∠AEB=90°， ∴∠BAE=30°， ∴∠B A′E′=30°， ∴∠DA′E′= ∠DA′B+∠B A′E′=165°， 故答案为165. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形外角的性质和旋转的性质，能够灵活运用定理进行推理计算是解题关键. 三、解答题（90分） 19. 为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出空地的面积； （2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？ 【答案】（1）； （2）39900元． 【解析】 【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，四边形面积等于面积+面积，求出即可． （2）由（1）求出的面积，乘以350即可得到结果． 【小问1详解】 连接， ∵，，，，， ∴在中， 在中，而， ∴， ∴， 则 ； 答：空地的面积为． 【小问2详解】 需费用（元）， 答：总共需投入39900元． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，DB=CD，∠C=80°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数． 【答案】10° 【解析】 【分析】先由DB=CD计算出∠DBC的度数，再利用平行的性质求出∠ADE的度数，即可求出∠DAE的度数． 【详解】∵DB=DC，∠C=80°， ∴∠DBC=∠C=80°， ∵AD BC， ∴∠ADE=∠DBC=80°， ∵AE⊥BD， ∴∠AED=90°， ∴∠DAE=90°－80°=10°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，余角的计算，熟练掌握平行线的性质，平行四边形性质是解题的关键． 21. 如图，四边形，都是正方形，点，分别在，上，连接，过点作交于点．若，，试求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定；根据正方形的性质得到各边的数量关系和位置关系是解题的关键．已知和的长，根据图中的隐含条件可以求出；根据正方形的性质并结合已知条件易得四边形是平行四边形，于是有；再根据四边形和四边形都是正方形推出多组相等的边，则有，进而得到的长． 【详解】解：，， ． 四边形，四边形都是正方形， ． ，， 四边形平行四边形， ． 四边形，四边形都是正方形， ，， ， ． 22. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，试求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，三角形外角的性质，本题的关键是求出．根据正方形的性质及等边三角形的性质求出，，再求． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又是等边三角形， ，， ， ，， ， 又， ． 23. 如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标． 【答案】E（4，8），D（0，5） 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出BE的长，从而可得出CE的长，求出E点坐标．在Rt△DCE中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的长，从而得出D点坐标． 【详解】解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴， ∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8， ， ∴CE=4， ∴E（4，8） 在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2， 又∵DE=OD， ∴（8-OD）2+42=OD2 ∴OD=5 ∴D（0，5） 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，勾股定理等知识点，关键在于找到直角三角形． 24. 下面是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理： 错题：如图，在中，已知，求的面积． 分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积． 正解：过点A作交的延长线于点， 则， 设，则， ．．．．．． （1）根据勾股定理可得，___________或___________．（用含的代数式表示） （2）请你补全上面的过程，并求出的面积． 【答案】（1）或 （2）36 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，熟练地进行计算是解题的关键． （1）分别在和中，利用勾股定理进行计算即可； （2）利用（1）的结论进行计算，可求出x的长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：在中，， ； 在中，， ， 或， 故答案为：或； 【小问2详解】 由（1）可知，在中， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 25. 如图，四边形是平行四边形，分别以，为边向外构造等边和等边，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若与交于点G，且，，，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得，即，进而利用平行四边形的判定即可得证； （2）先求得，进而求得，，过G作于H，利用等腰直角三角形的性质和含角的直角三角形的性质求得、、，进而求得即可得所求面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵等边和等边， ∴，，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 过G作于H， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，证得是解答 的关键． 26. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（）．过点作于点，连接、． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形能够成为菱形， （3）当或时，为直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知用未知数表示出的长，进而得出； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案； （3）分三种情况讨论：当时；当时；当时，分别分析得出即可． 【小问1详解】 证明：在中，，，， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：四边形能够成为菱形．理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴， 若使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得， 即当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 解：分情况讨论： 当时， 则， ∴， 即， ∴； 当时， 则， ∴， 即， ∴； 当时，此种情况不存在； 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、一元一次方程的应用、直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $