2025年中考数学模拟试卷(7)-【辽海备考】2025年中考数学总复习模拟卷

当 20＜x≤51 时， 设函数关系式为 y＝mx+n ， ∴ 20m+n=960 ， 40m+n=1660 0 ， ∴ m=35 ， n=260 0 ， ∴y＝35x+260. 综上所述， y 与 x 之间的函数关系式为 y＝ 48x （ 0≤x≤20 ）， 35x+260 （ 20<x≤51 ） 0 . （ 2 ） 由题意， 令 x＝51 ， ∴y＝35×51+260＝2045. 又 ∵ 当 x＝20 时， y＝960 ， ∴ 当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量为 2045-960＝1085 （ m 3 ） . 21. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OC ， ∵OB＝OC ， ∴∠OBC＝∠OCB. ∵∠DCA＝∠OBC ， ∴∠DCA＝∠OCB ， 而 AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90° ， ∴∠DCA+∠OCA＝∠OCA+∠OCB＝90° ， ∴∠OCD＝90° ， ∴DC 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 解： 设 OC＝OA＝r ， ∵sinD= OC OD = 4 5 ， ∴ r r+2 = 4 5 ， ∴r＝8 ， ∴OC＝OA＝8. 在 Rt△OCD 中， CD= OD 2 -OC 2 姨 = （ 8+2 ） 2 -8 2 姨 =6. ∵∠DCA+∠ECF＝∠BFG+∠CBA＝90° ， ∴∠ECF＝∠BFG. 又 ∵∠BFG＝∠EFC ， ∴∠ECF＝∠EFC ， ∴EC＝EF. 设 EC＝EF＝x ， ∵∠D＝∠D ， ∠DCO＝∠DGE=90° ， ∴△DOC∽△DEG ， ∴ DO DE = OC EG ， 则 10 x+6 = 8 x+2 ， 解得 x＝14. 经检验， x＝14 是所列方程的解， ∴CE＝14. 22. 解： （ 1 ） 由图例知， 当 n=4 时， 如图 1 ， 共有 20 个小长方形； 当 n=5 时， 如图 2 ， 共有 30 个小长方形； 描点， 连线如图 3. 猜想： 裁剪得到的小长方形个数 m 与纸片序号 n 可能存在的函数关系为二次函数， ∴ 从 “形” 的角度出发， 裁剪得到的小 长方形个数可以用 “行数 × 列数” 的方法得到 . （ 2 ） 小长方形个数 m 与纸片序号 n 之间的函数关系式为 m=n （ n+1 ） . 验证： 由图例知， 当 n=1 时， m=2=1×2 ， 当 n=2 时， m=6=2×3 ， 当 n=3 时， m=12=3×4 ， 当 n=4 时， m=20=4×5 ， 当 n=5 时， m=30=5×6 ， …， ∴m=n （ n+1 ） . （ 3 ） 由题意得， n （ n+1 ） =72 ， ∵n 为正整数， ∴n=8 （负值已舍去）， ∴ 竖直方向分割用的实线数量为 8. （ 4 ） 设水平方向有 n 条道路， 竖直方向有 （ n+1 ） 条道路， 由题意得 40n+35 （ n+1 ） -n （ n+1 ） =40×35×36% ， 整理得 n 2 -74n+469= 0 ， 解得 n=7 或 n=67 （舍去） . ∵n 是水平方向小路数量， 水平方向耕地数量为 8 ， 竖直方向耕地数量为 9 ， ∴ 耕地块数为 8×9=72 （块）， ∴ 小长方形耕地的总数量为 72 块 . 23. 解： （ 1 ） 四边形 AECF 为矩形 . 理由： ∵AE⊥BC ， CF⊥AD ， ∴∠AEC＝90° ， ∠AFC＝90°. ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴AD∥BC ， ∴∠AFC+∠ECF＝180° ， ∴∠ECF＝180°-∠AFC＝90° ， ∴ 四边形 AECF 为矩形 . （ 2 ） ①CH＝MD. 理由： 证法一： ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴AB＝AD ， ∠B＝∠D. ∵△ABE 旋转得到 △AHG ， ∴AB＝AH ， ∠B＝∠H ， ∴AH＝AD ， ∠H＝∠D. 又 ∵∠HAM＝∠DAC ， ∴△HAM≌△DAC ， ∴AM＝AC ， ∴CH＝MD. 证法二： 如图 1 ， 连接 HD. ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴AB＝AD ， ∠B＝∠ADC. ∵△ABE 旋转得到 △AHG ， ∴AB＝AH ， ∠B＝∠AHM ， ∴AH＝AD ， ∠AHM＝∠ADC ， ∴∠AHD＝∠ADH ， ∴∠AHD-∠AHM＝∠ADH-∠ADC ， ∴∠MHD＝∠CDH. 又 ∵DH＝HD ， ∴△CDH≌△MHD ， ∴CH＝MD. ② 情况一： 如图 2 ， 当点 G 旋转至 BA 的延长线上时， GH⊥CD ， 此时 S 四边形 AMNQ ＝ 9 4 . ∵AB＝5 ， BE＝4 ， ∴ 由勾股定理可得 AE＝3. ∵△ABE 旋转到 △AHG ， ∴AG＝AE＝3 ， GH＝BE＝4 ， ∠H＝∠B. ∵GN⊥CD ， ∴GN＝AE＝3 ， ∴NH＝1. ∵AD∥BC ， ∴∠GAM＝∠B ， ∴tan∠GAM＝tanB ， 即 GM AG = AE BE ， 解得 GM＝ 9 4 ， 则 MH＝ 7 4 . ∵tanH＝tanB ， ∴ 在 Rt△QNH 中， QN＝ 3 4 ， ∴S 四边形 AMNQ ＝S △AMH -S △QNH ＝ 1 2 MH · AG- 1 2 NH · QN＝ 9 4 . 情况二： 如图 3 ， 当点 G 旋转至 BA 上时， GH⊥CD ， 此时 S 四边形 AMNQ ＝ 63 4 . 同第一种情况的计算思路可得， NH＝7 ， QN＝ 21 4 ， AG＝3 ， MH＝ 7 4 ， ∴S 四边形 AMNQ ＝S △QNH -S △AMH ＝ 1 2 NH · QN- 1 2 MH · AG＝ 63 4 . 综上所述， 四边形 AMNQ 的面积为 9 4 或 63 4 . 2025 年中考数学模拟试卷 （七） 一、 选择题 二、 填空题 11. 抽样调查 12. m （ a+2 ） 2 13. 2 3 14. 1 2 15. （ 4 ， 1 ） 【解析】 如图， 作点 A 关于对称轴的对称点 A′ ， 将点 A′ 向下平移 3 个单位长度， 得到 A″ ， 连接 A″B ， 交对称 轴于点 C ， 此时 AD+BC 的值最小， AD+BC＝A″B. 在 y= 1 2 x 2 -4x+6 中， 令 x＝0 ， 则 y＝6 ， ∴ 点 A （ 0 ， 6 ）； 令 y＝0 ， 则 1 2 x 2 -4x+6=0 ， 解得 x＝2 或 x＝6 ， ∴ 点 B （ 2 ， 0 ） . ∵ 抛物线的对称轴为直线 x＝- -4 2× 1 2 ＝4 ， ∴A′ （ 8 ， 6 ）， ∴A″ （ 8 ， 3 ） . 设直线 A″B 的表达式为 y＝kx+b ， 代入 A″ ， B 的坐标得 8k+b=3 ， 2k+b=0 0 ， 解得 k= 1 2 ， b=-1 0 ， ∴ 直线 A″B 的表达式为 y＝ 1 2 x-1. 当 x＝4 时， y＝1 ， ∴C （ 4 ， 1 ） . 三、 解答题 16. 解： （ 1 ） 原式 ＝1+6+ 1 2 -5- 1 2 ＝2. （ 2 ） 原式 ＝2a-a 2 +a 2 -1＝2a-1. 17. 解： 设 D 型车的平均速度是 x km/h ， 则 C 型车的平均速度是 3x km/h. 根据题意得 300 x - 300 3x ＝2 ， 解得 x＝100. 经检验， x＝100 是所列方程的解， 且符合题意 . 答： D 型车的平均速度是 100 km/h. 18. 解： （ 1 ） 50 34 8 8 （ 2 ） 观察条形统计图， 6×3+7×7+17×8+15×9+8×10 50 ＝8.36 （ h ）， ∴ 这组数据的平均数是 8.36. （ 3 ） ∵ 在所抽取的样本中， 每周参加科学教育的时间是 9 h 的学生占 30% ， ∴ 根据样本数据， 估计该校八年级学生 500 人 第 15 页 （共 20 页） 第 16 页 （共 20 页） 第 23 题答图 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A C B C B A 8 C 9 10 A C 第 15 题答图 纸片序号 4 纸片序号 5 纸片序号 n 1 2 3 4 5 小长方形个数 m 2 6 12 20 30 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 纸片序号 n 小长方形个数 m 第 22 题答图 B F A D C E M G N H B F A D C E M G N Q H B F A D C E M G N H Q y x O A B D C A′ A″ 图 1 图 2 图 3 第 21 题答图 E G B F O A D C 图 1 图 2 图 3 40 中， 每周参加科学教育的时间是 9 h 的学生占 30% ， 有 500×30%＝150 （人）， ∴ 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是 9 h 的人数为 150 人 . 19. 解： 如图， 过点 D 作 DF⊥AB 于点 F ， 作 DH⊥BE 于点 H. 由题意得， DC＝20 m ， ∠DCH＝60°. 在 Rt△DCH 中， ∵cos60°= CH CD ， sin60°= DH CD ， ∴CH＝CD · cos60°＝10 （ m ）， ∴DH=CD · sin60°=10 3 姨 （ m ） ≈17.3 m. ∵∠DFB＝∠B＝∠DHB＝90° ， ∴ 四边形 DFBH 为矩形， ∴BH＝FD ， BF＝DH. ∵BH＝BC+CH＝ （ 30+10 ） m＝40 （ m ）， ∴FD＝40 m. 在 Rt△AFD 中， AF FD =tan20° ， ∴AF＝FD · tan20°≈40×0.36 （ m ） ＝14.4 （ m ）， ∴AB＝AF+BF＝ （ 17.3+14.4 ） m＝31.7 （ m ） ≈32 （ m ） . 答： 该风力发电机塔杆 AB 的高度为 32 m. 20. 解： （ 1 ） ∵ 点 A （ 1 ， m ）， B （ n ， 1 ） 在反比例函数 y= 3 x 的图象上， ∴m＝3 ， n＝3. 又 ∵ 一次函数 y＝kx+b 过点 A （ 1 ， 3 ）， C （ 0 ， 1 ）， ∴ k+b=3 ， b=1 1 ， 解得 k=2 ， b=1 1 ， ∴ 一次函数表达式为 y＝2x+1. （ 2 ） 如图， 连接 BC ， 过点 A 作 AD⊥BC ， 垂足为点 D ， 过点 C 作 CE⊥AB ， 垂足为点 E. ∵C （ 0 ， 1 ）， B （ 3 ， 1 ）， ∴BC∥x 轴， BC＝3. ∵ 点 A （ 1 ， 3 ）， B （ 3 ， 1 ）， AD⊥BC ， ∴ 点 D （ 1 ， 1 ）， AD＝2 ， DB＝2. 在 Rt△ADB 中， AB＝ AD 2 +BD 2 姨 ＝ 2 2 +2 2 姨 ＝2 2 姨 . 又 ∵S △ABC ＝ 1 2 BC · AD= 1 2 AB · CE ， 即 1 2 ×3×2= 1 2 ×2 2 姨 ×CE ， ∴CE= 3 2 姨 2 ， 即点 C 到线段 AB 的距离为 3 2 姨 2 . 21. （ 1 ） 证明： ∵A A D =B A D ， ∴∠ACD＝∠BCE. ∵∠ADC＝∠EBC ， ∴△ACD∽△ECB. （ 2 ） 解： 如图， 过点 B 作 BH⊥CD 于点 H ， ∵AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90° ， 在 Rt△ACB 中， AB＝ BC 2 +AC 2 姨 ＝ 1 2 +3 2 姨 ＝ 10 姨 . ∵∠ACD＝∠BCD＝45° ， ∴∠ABD＝∠BAD＝45° ， ∴△ABD 为等腰直角三角形， ∴BD＝ 2 姨 2 AB＝ 2 姨 2 × 10 姨 ＝ 5 姨 . 在 Rt△BCH 中， ∵∠BCH＝45° ， ∴CH＝BH＝ 2 姨 2 BC＝ 2 姨 2 . 在 Rt△BDH 中， DH＝ BD 2 -BH 2 姨 ＝ （ 5 姨 ） 2 - 2 姨 2 A 2 2 姨 ＝ 3 2 姨 2 ， ∴CD＝CH+DH＝ 2 姨 2 + 3 2 姨 2 ＝2 2 姨 . ∵△ACD∽△ECB ， ∴ CA CE ＝ CD CB ， 即 3 CE ＝ 2 2 姨 1 ， 解得 CE＝ 3 2 姨 4 ， 即 CE 的长为 3 2 姨 4 . 22. （ 1 ） 证明： 方法一： 在 AC 上截取 AE ， 使得 AE＝AB ， 连接 DE. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD＝∠CAD. 在 △BAD 和 △EAD 中， AD=AD ， ∠BAD=∠EAD AB=AE E . . . - . . . / ， ， ∴△ABD≌△AED （ SAS ）， ∴BD＝ED ， ∠AED＝∠ABC＝2∠C. ∵∠AED＝∠C+∠EDC ， ∴∠EDC＝∠C ， ∴ED＝EC ， ∴BD＝EC ， ∴AC＝AE+EC=AB+BD. 方法二： 延长 AB 到点 E ， 使得 BE＝BD ， 连接 DE ， ∴∠E＝∠BDE ， 则 ∠ABD＝∠E+∠BDE＝2∠E. ∵∠ABC＝2∠C ， ∴∠E＝∠C. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAD＝∠CAD. 在 △EAD 和 △CAD 中， ∠EAD=∠CAD ， ∠E=∠C ， AD=AD E . . . - . . . / ， ∴△EAD≌△CAD （ AAS ）， ∴AE＝AC. ∵AE＝AB+BE ， ∴AC＝AB+BD. （ 2 ） BD＝AC+CD. 证明： 如图 1 ， 在 BD 上截取 MD＝DC ， 连接 AM. ∵AD⊥BC ， ∴AM＝AC ， ∴∠C＝∠AMC. ∵∠C＝2∠B ， ∴∠AMC＝2∠B. ∵∠AMC＝∠B+∠BAM ， ∴∠B＝∠BAM ， ∴AM＝BM＝AC ， ∴BD＝BM+MD＝AC+DC. （ 3 ） 解： 如图 2 ， 延长 AC 至点 D ， 使 AD＝AB ， 连接 PD ， BD ， 延长 AP 交 BC 于点 E ， 连接 DE ， PD ， PD 交 BC 于点 F. ∵PA 平分 ∠BAC ， ∴∠BAP＝∠CAP. 又 ∵AD＝AB ， AP＝AP ， ∴△BAP≌△DAP （ SAS ）， ∴BA＝AD＝AC+CD ， ∠DPA＝∠BPA＝150° ， BP=DP=4 3 姨 ， ∴∠BPE＝∠DPE＝30° ， ∠BPD＝60° ， ∴△BPD 为等边三角形 . 又 ∵∠PBE＝∠DBE＝30° ， ∴BC 为 PD 的垂直平分线， ∴CP＝CD ， 且 CD＝4 13 姨 -3 13 姨 ＝ 13 姨 . 在 Rt△BPF 中， PF= 1 2 PB=2 3 姨 ， 则 BF＝BP · cos30°＝6. 在 Rt△PCF 中， 由勾股定理得 CF= PC 2 -PF 2 姨 = 13-12 姨 =1 ， ∴BC＝BF+FC＝7 ， ∴S △PBC = 1 2 BC · PF= 1 2 ×7×2 3 姨 =7 3 姨 . 23. 解： （ 1 ） y＝x 2 +2x-3＝ （ x+1 ） 2 -4 ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x＝-1. ∵-2≤x≤2 且 |2- （ -1 ） |＞|-2- （ -1 ） | ， ∴ 当 x＝-1 时， y 有最小值 （ -1+1 ） 2 -4＝-4 ； 当 x＝2 时， y 有最大值 （ 2+1 ） 2 -4＝5 ， ∴y 的取值范围为 -4≤y≤5. （ 2 ） ∵y＝-x 2 +2x-3＝- （ x-1 ） 2 -2 ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x＝1 ， 图象如图 1 所示 . 结合图象可知， 当 x＝-2 时， y 有最小值 - （ -2-1 ） 2 -2＝-11 ； 当 x＝1 时， y 有最大值 - （ 1-1 ） 2 -2＝-2 ， ∴y 的取值范围为 -11≤y≤-2. （ 3 ） ∵y＝-x 2 +6x-5＝- （ x-3 ） 2 +4 ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x＝3. ① 若 a+3≤3 ， 即 a≤0 时， 结合图 2 可知， 当 x＝a 时， y 有最小值， ∴y 2 =- （ a-3 ） 2 +4 ； 当 x＝a+3 时， y 有最大值， ∴y 1 =- （ a+3-3 ） 2 +4 ， ∴- （ a+3-3 ） 2 +4- ［ - （ a-3 ） 2 +4 ］ ＝3 ， 解得 a＝1 （舍去） . ② 若 a≥3 ， 结合图 3 可知， 当 x＝a+3 时， y 有最小值， ∴y 2 =- （ a+3-3 ） 2 +4 ； 当 x＝a 时， y 有最大值， ∴y 1 =- （ a-3 ） 2 +4 ， ∴- （ a-3 ） 2 +4- ［ - （ a+3-3 ） 2 +4 ］ ＝3 ， 解得 a＝2 （舍去） . ③ 若 0＜a＜3 ： （ ⅰ ） 当 3 2 <a<3 时， 结合图 4 可知， 当 x＝a+3 时， y 有最小值， ∴y 2 =- （ a+3-3 ） 2 +4 ； 当 x＝3 时， y 有最大值， ∴y 1 =- （ 3-3 ） 2 +4=4 ， ∴4- ［ - （ a+3-3 ） 2 +4 ］ ＝3 ， 解得 a= 3 姨 （舍去 a=- 3 姨 ） . （ ⅱ ） 当 0<a< 3 2 时， 结合图 5 可知， 当 x＝a 时， y 有最小值， ∴y 2 =- （ a-3 ） 2 +4 ； 当 x＝3 时， y 有最大值， ∴y 1 =- （ 3-3 ） 2 +4=4 ， ∴4- ［ - （ a-3 ） 2 +4 ］ ＝3 ， 解得 a=3- 3 姨 （舍去 a=3+ 3 姨 ） . 综上所述， a 的值为 3 姨 或 3- 3 姨 . 2025 年中考数学模拟试卷 （八） 一、 选择题 二、 填空题 11. 2 （ m+2 ）（ m-2 ） 12. 2＜x≤3 13. 1 9 14. （ -1 ， 11 ） 15. 31 3 或 15 4 或 6 【解析】 若 △APE 是直角三角形， 有以下三种情况： ① 如图 1 ， ∠AEP＝90° ， ∴∠AED+∠CEP＝90°. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠C＝∠D＝90° ， ∴∠CEP+∠CPE＝90° ， ∴∠AED＝∠CPE ， ∴△ADE∽△ECP ， ∴ AD CE ＝ DE CP ， 即 12 4 ＝ 9-4 CP ， ∴CP＝ 5 3 . ∵BC＝AD＝12 ， ∴BP＝12- 5 3 ＝ 31 3 . 第 17 页 （共 20 页） 第 18 页 （共 20 页） 第 19 题答图 第 21 题答图 第 23 题答图 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A D D D A B 8 D 9 10 C D A B C E D 60° 20° H F 第 20 题答图 O C x y A B D E O A E C H D B A B D CM 第 22 题答图 x y O -2-3 -1 21 3 4 5 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -9 1 2 x y O -2-3 -1 21 3 4 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 3 4 1 2 a+3a x y O -2-3 -1 21 3 4 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 3 4 1 2 5 x y O -2-3 -1 21 3 4 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 3 4 1 2 5 a a+3 x y O -2-3 -1 21 3 4 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 3 4 1 2 5 a a+3 a A B C D P E 图 1 图 2 A P B C D E F 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 a+3 图 1 41 第一部分 选择题 （共 30 分） 一、 选择题 （本题共 10 小题， 每小题 3 分， 共 30 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的） 1. 《九章算术》 中有 “今两算得失相反， 要令正负以名之”， 意思是： 今有两数， 若其意义 相反， 则分别叫作正数与负数 . 若收入 100 元记作 +100 元， 则 -70 元表示 （ ） A. 收入 70 元 B. 收入 30 元 C. 支出 70 元 D. 支出 30 元 2. 下列图形中有稳定性的是 （ ） A. 三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形 3. 不等式组 x-1>0 ， x-3≤ " 0 的解集是 （ ） A. x＞1 B. 1＜x＜3 C. 1＜x≤3 D. x≤3 4. 下列命题为真命题的是 （ ） A. a 2 姨 ＝a B. 三角形的内心到三边的距离相等 C. 同位角相等 D. 正多边形都是中心对称图形 5. 两个矩形的位置如图所示， 若 ∠1＝α ， 则 ∠2＝ （ ） A. α-90° B. α-45° C. 180°-α D. 270°-α 6. 下列事件中， 必然事件是 （ ） A. 1 月有 28 天 B. 一个等腰三角形中， 有两条边相等 C. 明天的太阳从西边出来 D. 投掷一枚质地均匀的骰子， 出现 1 点向上 7. 若分式 x 2 -1 x+1 ＝0 ， 则 x 的值是 （ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 2025年中考数学模拟试卷 （七） （本试卷共 23 道题 满分 120 分 考试时间 120 分钟） 第 1 页 （共 8 页） 第 2 页 （共 8 页） 学 校 ： 班 级 ： 姓 名 ： 8. 已知 △ABC 与 △A′B′C′ 是位似图形， 位似比是 1 ∶ 3 ， 则 △ABC 与 △A′B′C′ 的面积比是 （ ） A. 1 ∶ 3 B. 1 ∶ 6 C. 1 ∶ 9 D. 3 ∶ 1 9. 如图是利用割补法求图形面积的示意图， 下列公式中与之相对应的是 （ ） A. （ a+b ） 2 ＝a 2 +2ab+b 2 B. （ a-b ） 2 ＝a 2 -2ab+b 2 C. （ a+b ）（ a-b ） ＝a 2 -b 2 D. （ ab ） 2 ＝a 2 b 2 10. 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， E 为 AD 的中 点， 连接 OE ， 若 ∠ABC＝60° ， BD＝4 3 姨 ， 则 OE＝ （ ） A. 4 B. 2 3 姨 C. 2 D. 3 姨 第二部分 非选择题 （共 90 分） 二、 填空题 （本题共 5 小题， 每小题 3 分， 共 15 分） 11. 为了调查某品牌护眼灯的使用寿命， 比较适合的调查方式是 （填 “普查” 或 “抽样调查”） . 12. 因式分解： ma 2 +4ma+4m＝ . 13. 如图， 随机闭合开关 S 1 ， S 2 ， S 3 中的两个， 能让灯泡发光的概率是 . 14. 如图， 在矩形 ABCD 中， M ， N 分别为 BC ， CD 的中点， 则 MN AC 的值为 . 15. 如图， 抛物线 y= 1 2 x 2 -4x+6 与 y 轴交于点 A ， 与 x 轴交于点 B ， 线段 CD 在抛物线的对 称轴上移动 （点 C 在点 D 下方）， 且 CD＝3. 当 AD+BC 的值最小时， 点 C 的坐标为 . 1 2 第 5 题图 a b a b = + + 第 9 题图 O A E D B C 第 10 题图 S 1 S 3 S 2 A D B C N M y x O A B D C 第 15 题图第 14 题图第 13 题图 25 三、 解答题 （本题共 8 小题， 共 75 分 . 解答应写出文字说明、 演算步骤或推理过程） 16. （每题 5 分， 共 10 分） （ 1 ） 计算： 7 0 + 1 6 6 " -1 + - 1 2 - （ 5 姨 ） 2 -sin30°. （ 2 ） 计算： a （ 2-a ） + （ a+1 ）（ a-1 ） . 17. （本小题 8 分） 某旅行社组织游客从 A 地到 B 地的航天科技馆参观， 已知 A 地到 B 地的路程为 300 km ， 乘坐 C 型车比乘坐 D 型车少用 2 h ， C 型车的平均速度是 D 型车的平均速度的 3 倍， 求 D 型车 的平均速度 . 18. （本小题 8 分） 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间 （单位： h ）， 随机调查了该校八年级 a 名 学生， 根据统计的结果， 绘制出如图的统计图 1 和图 2. 请根据相关信息， 解答下列问题： （ 1 ） 填空： a 的值为 ， 图 1 中 m 的值为 ， 统计的这组学生每周参加科学 教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 . （ 2 ） 求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数 . （ 3 ） 根据样本数据， 若该校八年级共有学生 500 人， 估计该校八年级学生每周参加科学教 育的时间是 9 h 的人数为多少 . 第 3 页 （共 8 页） 第 4 页 （共 8 页） 时间 /h 人数 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 6 7 8 9 10 3 7 17 15 8 8 h m% 9 h 30% 10 h 16% 7 h 14% 6 h 6% 第 18 题图 图 2图 1 26 19. （本小题 8 分） 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义 . 某电力部门在某地安装了 一批风力发电机， 如图 1 ， 某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量， 图 2 为测量示意图 （点 A ， B ， C ， D 均在同一平面内， AB⊥BC ） . 已知斜坡 CD 长为 20 m ， 斜 坡 CD 的坡角为 60° ， 在斜坡顶部 D 处测得风力发电机塔杆顶端 A 点的仰角为 20° ， 坡底与塔杆 底的距离 BC＝30 m ， 求该风力发电机塔杆 AB 的高度 . （结果精确到个位， 参考数据： sin20°≈ 0.34 ， cos20°≈0.94 ， tan20°≈0.36 ， 3 姨 ≈1.73 ） 第 5 页 （共 8 页） 第 6 页 （共 8 页） 20. （本小题 8 分） 如图， 已知点 A （ 1 ， m ）， B （ n ， 1 ） 在反比例函数 y＝ 3 x （ x＞0 ） 的图象上， 过点 A 的一次函 数 y＝kx+b 的图象与 y 轴交于点 C （ 0 ， 1 ） . （ 1 ） 求 m ， n 的值和一次函数的表达式 . （ 2 ） 连接 AB ， 求点 C 到线段 AB 的距离 . 21. （本小题 8 分） 如图， 在 ⊙O 中， AB 是 ⊙O 的直径， 弦 CD 交 AB 于点 E ， A A D =B A D . （ 1 ） 求证： △ACD∽△ECB. （ 2 ） 若 AC＝3 ， BC＝1 ， 求 CE 的长 . A B C E D 60° 20° 图 1 第 19 题图 O C x y A B 第 20 题图 第 21 题图 图 2 O A E C B D 27 22. （本小题 12 分） 【方法探究】 （ 1 ） 如图 1 ， 在 △ABC 中， AD 平分 ∠BAC ， ∠ABC＝2∠C ， 探究 AC ， AB ， BD 之间的数量 关系 . 小张同学通过思考发现， 可以通过 “截长、 补短” 两种方法解决问题： 方法 1 ： 如图 2 ， 在 AC 上截取 AE ， 使得 AE＝AB ， 连接 DE ， 可以得到全等三角形， 进而 得到 AC＝AB+BD. 方法 2 ： 如图 3 ， 延长 AB 到点 E ， 使得 BE＝BD ， 连接 DE ， 可以得到等腰三角形， 进而也 得到 AC＝AB+BD. 请你选择其中一种方法的解题思路， 写出证明过程 . 【迁移应用】 （ 2 ） 如图 4 ， 在 △ABC 中， D 是 BC 上一点， ∠C＝2∠B ， AD⊥BC 于点 D ， 探究 BD ， AC ， CD 之间的数量关系， 并证明 . 【拓展延伸】 （ 3 ） 如图 5 ， 点 P 为 △ABC 内一点 ， 连接 PA ， PB ， PC ， PA 平分 ∠BAC ， ∠PBC＝30° ， ∠BPA＝150° ， AB=4 13 姨 ， AC=3 13 姨 ， PB=4 3 姨 ， 求 S △PBC 的面积 . 23. （本小题 13 分） 【问题初探】 （ 1 ） 综合与实践数学活动课上， 张老师给出了一个问题： 已知二次函数 y＝x 2 +2x-3 ， 当 -2≤x≤2 时， y 的取值范围为 . ① 小伟同学经过分析后， 将原二次函数配方成 y＝a （ x-h ） 2 +k 的形式， 确定抛物线的对称轴为 直线 x＝h ， 通过 -2 ， h 和 2 的大小关系， 分别确定了最大值和最小值， 进而求出 y 的取值范围； ② 小军同学画出如图所示的函数图象， 通过观察图象确定了 y 的取值范围 . 请你根据上述两名同学的分析写出 y 的取值范围： . 【类比分析】 （ 2 ） 张老师发现两名同学分别从 “数” 和 “形” 的角度分析、 解决问题， 为了让同学们更 好地感悟 “数形结合” 思想， 张老师将前面问题变式为下面问题， 请你解答： 已知二次函数 y＝-x 2 +2x-3 ， 当 -2≤x≤2 时， 求 y 的取值范围 . 【学以致用】 （ 3 ） 已知二次函数 y＝-x 2 +6x-5 ， 当 a≤x≤a+3 时， 二次函数的最大值为 y 1 ， 最小值为 y 2 ， 若 y 1 -y 2 ＝3 ， 求 a 的值 . 第 7 页 （共 8 页） 第 8 页 （共 8 页） A B D C A P B C 图 4 图 5 第 22 题图 x y O -2 2 第 23 题图 图 1 图 2 图 3 A B D C E A B D C E A B D C 28