2025年中考数学模拟试卷(6)-【辽海备考】2025年中考数学总复习模拟卷

第一部分 选择题 （共 30 分） 一、 选择题 （本题共 10 小题， 每小题 3 分， 共 30 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的） 1. 下列对代数式 -3x 的意义表述正确的是 （ ） A. -3 与 x 的和 B. -3 与 x 的差 C. -3 与 x 的积 D. -3 与 x 的商 2. 下列运算一定正确的是 （ ） A. （ -ab ） 2 ＝-a 2 b 2 B. a 3 · a 2 ＝a 6 C. （ a 3 ） 4 ＝a 7 D. b 2 +b 2 ＝2b 2 3. 某种芯片每个探针单元的面积为 0.000 001 64 cm 2 ， 0.000 001 64 用科学记数法可表示为 （ ） A. 1.64×10 -5 B. 1.64×10 -6 C. 16.4×10 -7 D. 0.164×10 -5 4. 把如图中的纸片沿虚线折叠， 可以围成一个几何体， 这个几何体的名称 是 （ ） A. 五棱锥 B. 五棱柱 C. 六棱锥 D. 六棱柱 5. 以原点为中心， 将点 P （ 4 ， 5 ） 按逆时针方向旋转 90° ， 得到的点 Q 所在的象限为 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图， 下列条件中不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是 （ ） A. AB∥DC ， AD∥BC B. AB＝DC ， AD＝BC C. AO＝CO ， BO＝DO D. AB∥DC ， AD＝BC 7. 下列说法正确的是 （ ） A. 将 580 000 用科学记数法表示为 5.8×10 4 B. 在 8 ， 6 ， 3 ， 5 ， 8 ， 8 这组数据中， 中位数和众数都是 8 C. 甲、 乙两组同学参加 “环保知识竞赛”， 若两组同学的平均成绩相同， 甲组同学成绩的 方差 s 2 甲 ＝1.2 ， 乙组同学成绩的方差 s 2 乙 ＝0.05 ， 则甲组同学的成绩较稳定 D. “五边形的内角和是 540° ” 是必然事件 8. “今有方池一丈， 葭生其中央， 出水一尺， 引葭赴岸， 适与岸齐 . 问： 水 深几何？” 这是我国数学史上的 “葭生池中” 问题 . 如图， AC＝5 ， DC＝1 ， BD＝BA ， 则 BC＝ （ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 9. 向如图所示的空容器内匀速注水， 从水刚接触底部时开始计时， 直至把容器注满， 在注 水过程中， 设容器内底部所受水的压强为 y （单位： Pa ）， 时间为 x （单位： s ）， 则 y 关于 x 的 函数图象大致为 （ ） 10. 宽与长的比是 5 姨 -1 2 的矩形叫黄金矩形， 黄金矩形给我们以协调的美感， 世界各国许 多著名建筑为取得最佳的视觉效果， 都采用了黄金矩形的设计 . 已知四边形 ABCD 是黄金矩形 （ AB＜BC ）， 点 P 是边 AD 上一点， 则满足 PB⊥PC 的点 P 的个数为 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 第二部分 非选择题 （共 90 分） 二、 填空题 （本题共 5 小题， 每小题 3 分， 共 15 分） 11. 因式分解： （ a+1 ） 2 -4a＝ . 12. 已知方程 x 2 -2x+k＝0 的一个根为 -2 ， 则方程的另一个根为 . 13. 新高考 “ 3+1+2 ” 选科模式是指除语文、 数学、 外语 3 门科目以外， 学生应在历史和物 理 2 门首选科目中选择 1 科， 在思想政治、 地理、 化学、 生物学 4 门再选科目 中选择 2 科 . 某同学从 4 门再选科目中随机选择 2 科， 恰好选择地理和化学的概 率为 . 14. 如图所示是工人师傅用边长均为 a 的两块正方形和一块正三角形地砖绕 着点 O 进行的铺设 . 若将一块边长为 a 的正多边形地砖恰好能无空隙、 不重叠地 拼在 ∠AOB 处， 则这块正多边形地砖的边数是 . 15. 如图， 抛物线 y＝ax 2 +bx+c 的顶点 A 的坐标为 - 1 3 ， ， & n ， 与 x 轴的 一个交点位于 0 和 1 之间， 则以下结论： ①abc＞0 ； ②5b+2c＜0 ； ③ 若抛物 线经过点 （ -6 ， y 1 ）， （ 5 ， y 2 ）， 则 y 1 ＞y 2 ； ④ 若关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx+c＝4 无实数根， 则 n＜4. 其中正确结论是 （请填写序号） . 三、 解答题 （本题共 8 小题， 共 75 分 . 解答应写出文字说明、 演算步骤或推理过程） 16. （每题 5 分， 共 10 分） （ 1 ） 计算： 6× - 1 2 ， & + 3 姨 × 8 姨 + （ -15 ） 0 . 2025年中考数学模拟试卷 （六） （本试卷共 23 道题 满分 120 分 考试时间 120 分钟） 第 1 页 （共 8 页） 第 2 页 （共 8 页） 学 校 ： 班 级 ： 姓 名 ： 第 4 题图 C D O A B 第 6 题图 D A C B 第 8 题图 O y x O y x O y x O y x A B C D 第 9 题图 B O A 第 14 题图 A y x 1 O 第 15 题图 21 （ 2 ） 已知 x-y y ＝2 ， 求 1 x-y + 1 x+y y " ÷ x （ x-y ） 2 的值 . 17. （本小题 8 分） 如图， 点 A （ n ， 6 ） 和 B （ 3 ， 2 ） 是一次函数 y 1 ＝kx+b 的图象与反比例函数 y 2 ＝ m x （ x＞0 ） 的图 象的两个交点 . （ 1 ） 求一次函数与反比例函数的表达式 . （ 2 ） 当 x 为何值时， y 1 ＞y 2 ？ 18. （本小题 8 分） 端午节是中国的传统节日， 民间有端午节吃粽子的习俗 . 在端午节来临之际， 某校七、 八 年级开展了一次 “包粽子” 实践活动， 对学生的活动情况按 10 分制进行评分， 成绩 （单位： 分） 均为不低于 6 的整数 . 为了解这次活动的效果， 现从这两个年级各随机抽取 10 名学生的活 动成绩作为样本进行整理， 并绘制统计图表， 部分信息如下： 八年级 10 名学生活动成绩统计表 已知八年级 10 名学生活动成绩的中位数为 8.5 分 . 请根据以上信息， 完成下列问题： （ 1 ） 样本中， 七年级活动成绩为 7 分的学生数是 ， 七年级活动成绩的众数为 分 . （ 2 ） a＝ ， b＝ . （ 3 ） 若认定活动成绩不低于 9 分为 “优秀”， 根据样本数据， 判断本次活动中优秀率高的 年级是否平均成绩也高， 并说明理由 . 19. （本小题 8 分） 小玲想利用所学知识测量自家对面的两栋楼 AB 与 CD 的高度差 . 如图所示， 她站在自家阳 台上发现， 在阳台的点 E 处恰好可经过楼 CD 的顶端 C 看到楼 AB 的底端 B ， 即点 E ， C ， B 在 同一直线上 . 此时， 测得点 B 的俯角 α＝22° ， 点 A 的仰角 β＝16.7° ， 并测得 EF＝48 m ， FD＝50 m. 已知 EF⊥FB ， CD⊥FB ， AB⊥FB ， 点 F ， D ， B 在同一水平直线上 . 求楼 AB 与 CD 的高度差 . （参 考数据： sin16.7°≈0.29 ， cos16.7°≈0.96 ， tan16.7°≈0.30 ， sin22°≈0.37 ， cos22°≈0.93 ， tan22° ≈0.40 ） 第 3 页 （共 8 页） 第 4 页 （共 8 页） O A B x y 第 17 题图 成绩 / 分 6 7 8 9 10 人数 1 2 a b 2 8 分 50% 7 分 10 分 20% 9 分 20% 七年级 10 名学生活动成绩扇形统计图 第 18 题图 E A F D B β α C 第 19 题图 22 20. （本小题 8 分） 某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续 51 天的累计需水量进行研究， 得到当地每公 顷小麦在这 51 天内累计需水量 y （ m 3 ） 与天数 x 之间的关系如图所示， 其中， 线段 OA ， AC 分 别表示抽穗期、 灌浆期的 y 与 x 之间的函数关系 . （ 1 ） 求这 51 天内， y 与 x 之间的函数关系式 . （ 2 ） 求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量 . 21. （本小题 8 分） 如图， 点 C 在以 AB 为直径的 ⊙O 上， 点 D 在 BA 的延长线上， ∠DCA＝∠CBA. （ 1 ） 求证： DC 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 点 G 是半径 OB 上的点， 过点 G 作 OB 的垂线与 BC 交于点 F ， 与 DC 的延长线交于点 E ， 若 sinD＝ 4 5 ， DA＝FG＝2 ， 求 CE 的长 . 第 5 页 （共 8 页） 第 6 页 （共 8 页） y/m 3 1660 960 20 40 51 O A B C x/ 天 第 20 题图 E G B F O A D C 第 21 题图 23 22. （本小题 12 分） 【问题背景】 综合与实践课上， 王老师分发给每名同学若干张相同的长方形纸片， 并取出三张纸片演示 操作， 依次将纸片沿事先画出的竖直和水平方向的实线裁剪成若干个完全相同的小长方形 （如 图 1 ） . 【分析问题】 （ 1 ） 请补全上面表格， 并在图 2 所示的平面直角坐标系中描出表中各对数值所对应的点 （ n ， m ）， 再用平滑曲线连接 . 根据绘制的图象猜想， 裁剪得到的小长方形个数 m 与纸片序号 n 可能存在 （填类型） 函数关系 . 【猜想验证】 为了验证这一猜想， 爱研究的同学从 “形” 的角度出发， 发现裁剪得到的小长方形个数可 以用 “行数 × 列数” 的方法得到 . （ 2 ） 请直接写出裁剪得到的小长方形个数 m 与纸片序号 n 之间的函数关系式： . 【解决问题】 某农科研究所有一块矩形的耕地 ABCD （如图 3 ）， AB=40 m ， BC=35 m ， 现需要将其分成 若干小长方形耕地， 进行不同种子的育种实验 . 按照 【问题背景】 中的分割方式， 爱思考的同 学提出以下两个问题： （ 3 ） 若将此耕地分成 72 个完全相同的小长方形耕地， 求竖直方向分割用的实线数量 . （ 4 ） 为了方便科研人员观察并收集实验数据， 将竖直和水平方向的实线换成 1 m 宽的小 路， 若小路的面积之和占此耕地面积的 36% ， 求小长方形耕地的总数量 . 23. （本小题 13 分） 综合与探究 【问题情境】 如图 1 ， 四边形 ABCD 是菱形， 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E ， 过点 C 作 CF⊥AD 于点 F. 【猜想证明】 （ 1 ） 判断四边形 AECF 的形状， 并说明理由 . 【深入探究】 （ 2 ） 将图 1 中的 △ABE 绕点 A 逆时针旋转， 得到 △AHG ， 点 E ， B 的对应点 分别为点 G ， H. ① 如图 2 ， 当线段 AH 经过点 C 时， GH 所在直线分别与线段 AD ， CD 交于点 M ， N ， 猜想 线段 CH 与 MD 的数量关系， 并说明理由 . ② 当直线 GH 与直线 CD 垂直时， 直线 GH 分别与直线 AD ， CD 交于点 M ， N ， 直线 AH 与 线段 CD 交于点 Q. 若 AB＝5 ， BE＝4 ， 请直接写出四边形 AMNQ 的面积 . 第 7 页 （共 8 页） 第 8 页 （共 8 页） 纸片序号 n 1 2 3 4 5 小长方形个数 m 2 6 12 纸片序号 1 纸片序号 2 纸片序号 3 图 3 BA D C 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 纸片序号 n 小长方形个数 m 图 2 图 1 第 22 题图 B F A D C E B F A D C E M G N H 图 1 图 2 第 23 题图 24 ∵∠ACB=90° ， ∠A=30° ， ∴CM=BM=BC= 1 2 AB ， ∴∠ABC=∠BMC=∠BCM=60°. 由旋转， 得 ∠DCE=60° ， CE=CD ， ∴∠DCE-∠MCE=∠BCM-∠MCE ， 即 ∠BCE=∠MCD ， ∴△BCE≌△MCD （ SAS ）， ∴∠CBE=∠CMD=120° ， ∴∠EBD=60°. ∵DN∥BE ， ∴∠BDN=180°-∠EBD=120° ， ∴∠BDN=∠CMD ， ∴CM∥DN ， ∴∠NDF=∠MCD=∠BCE. ∵∠EBO=2∠BCE ， ∠EBO=∠DNO ， ∠DNO=∠F+∠NDF ， ∴∠NDF=∠F ， ∴ND=NF. ∵OD=OE ， ∠NDO=∠BEO ， ∠EBO=∠DNO ， ∴△BEO≌△NDO （ AAS ）， ∴BE=ND ， BO=NO. ∵OF=ON+NF ， ∴OF=OB+BE. （ 3 ） 解： ① 若点 F 在 △ABC 内部， 如图 4 ， ∵AD∥CE ， ∴∠ADE=∠DEC=45°. ∵∠ADF=45° ， ∠EDC=90° ， ∴∠FDC=∠ADF+∠ADE+∠EDC=180° ， ∴F ， D ， C 三点共线 . 在 Rt△AFC 中， ∠AFC=90° ， ∴AF 2 +CF 2 =AC 2 ， ∴AF 2 + （ AF+2 ） 2 =3 2 ， 解得 AF= 14 姨 -2 2 . ② 若点 F 在 △ABC 外部， 如图 5 ， 同理， 可得方程 AF 2 + （ AF-2 ） 2 =3 2 ， 解得 AF= 14 姨 +2 2 . 综上所述， AF= 14 姨 +2 2 或 14 姨 -2 2 . 23. 解： （ 1 ） ① 一次函数 y 1 =-x+6 是 Rt△ABC 的 “勾股函数” . 由 ∠ACB=90° ， BC∥y 轴， 点 C 的坐标为 （ 1 ， 1 ）， AC=BC=4 ， 可得点 A 的坐标为 （ 5 ， 1 ）， 点 B 的坐标为 （ 1 ， 5 ） . ∵ （ 5 ， 1 ） 和 （ 1 ， 5 ） 这两点都在直线 y 1 =-x+6 上， ∴ 一次函数 y 1 =-x+6 是 Rt△ABC 的 “勾股函数” . ∵-1<0 ， ∴ 一次函数 y 1 =-x+6 的函数值 y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 1≤x≤5 时， y max =5 ， y min =1 ， ∴h= 5-1 2 =2 ， ∴Rt△ABC 的 “ DX ” 值为 2. ② 存在， 理由： ∵ 点 A 的坐标为 （ 5 ， 1 ）， 点 B 的坐标为 （ 1 ， 5 ）， ∴1×5=5×1=5 ， ∴ 点 A 和点 B 在同一个反比例函数 y 2 = 5 x 的图象上， ∴ 反比例函数 y 2 = 5 x 是 Rt△ABC 的 “勾股函数”， 且 k=5. （ 2 ） ①∵ 点 A 的坐标为 （ 2 ， 2 ）， 点 B 的坐标为 （ 1 ， m ）， ∠ACB=90° ， BC∥y 轴， ∴C （ 1 ， 2 ） . ∵ 二次函数 y 3 =x 2 +bx+c 经过 A ， C 两点， ∴ 4+2b+c=2 ， 1+b+c=2 2 ， 解得 b=-3 ， c=4 2 ， ∴y 3 =x 2 -3x+4= x- 3 2 2 * 2 + 7 4 . 当 1≤x≤2 时， 函数 y 3 的最大值为 y max =2 ， 最小值为 y min = 7 4 ， ∴h= y max -y min 2 = 2- 7 4 2 = 1 8 ， 即 Rt△ABC 的 “ DX ” 值为 1 8 . ②∵ 二次函数 y 3 =x 2 +bx+c 经过 A ， B 两点， ∴ 将 A （ 2 ， 2 ）， B （ 1 ， m ） 代入 y 3 =x 2 +bx+c 得 2=4+2b+c ， m=1+b+c 2 ， 解得 b=-m-1 ， c=2m 2 ， ∴y 3 =x 2 - （ m+1 ） x+2m ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=- - （ m+1 ） 2 = m+1 2 . ∵ 二次函数 y 3 =x 2 +bx+c 与 Rt△ABC 的边有第三个交点， ∴ 点 B 在 AC 上方， 对称轴在点 A ， C 之间， ∴ m>2 ， 1< m+1 2 <2 2 ， ∴2<m<3. ③ 由 y 3 =x 2 - （ m+1 ） x+2m ， 可得其顶点坐标为 m+1 2 ， -m 2 +6m-1 4 4 , . 第一种情况， 点 B 在点 A 上方， 即 m>2 ： （ ⅰ ） 当点 B 和点 A 在对称轴左侧， 即 m+1 2 ≥2 ， 解得 m≥3 时， y 3 随 x 的增大而减小， ∴y max =y B =m ， y min =y A =2 ， ∴h= m-2 2 ， ∴ 1 16 m 2 = m-2 2 ， 解得 m 1 =m 2 =4. （ ⅱ ） 当对称轴在点 A 和点 C 之间， 即 2<m<3 ， 此时 y B 最大， 顶点 y 值最小， ∴h= m- -m 2 +6m-1 4 2 ， ∴ 1 16 m 2 = m- -m 2 +6m-1 4 2 ， 解得 m 1 =2+ 2 姨 （舍去）， m 2 =2- 2 姨 （舍去） . 第二种情况， 点 B 在点 A 下方， 即 m<2 ： （ ⅰ ） 当点 B 和点 A 在对称轴右侧， 即 m+1 2 ≤1 ， 解得 m≤1 ， 此时 y 3 随 x 的增大而增大， ∴y max =y A =2 ， y min =y B =m ， ∴h= 2-m 2 ， ∴ 1 16 m 2 = 2-m 2 ， 解得 m 1 =-4+4 2 姨 （舍去）， m 2 =-4-4 2 姨 ， ∴m=-4-4 2 姨 . （ ⅱ ） 当对称轴在点 A 和点 C 之间， 即 1<m<2 ， 此时 y A 最大， 顶点 y 值最小， ∴h= 2- -m 2 +6m-1 4 2 ， ∴ 1 16 m 2 = 2- -m 2 +6m-1 4 2 ， 解得 m 1 =6+3 2 姨 （舍去）， m 2 =6-3 2 姨 ， ∴m=6-3 2 姨 . 综上所述， m 的值为 4 或 -4-4 2 姨 或 6-3 2 姨 . 2025 年中考数学模拟试卷 （六） 一、 选择题 二、 填空题 11. （ a-1 ） 2 12. 4 13. 1 6 14. 6 15. ①②④ 【解析】 ∵ 抛物线 y＝ax 2 +bx+c 的顶点 A 的坐标为 - 1 3 ， 2 , n ， ∴- b 2a ＝- 1 3 ， ∴a＝ 3 2 b. ∵ 抛物线开口方向向下， 即 a＜0 ， ∴b＜0. 当 x＝0 时， y＝c＞0 ， ∴abc＞0 ， 故 ① 正确 . 由图象可得， 当 x＝1 时， y＝a+b+c＜0 ， ∴5b+2c＜0 ， 故 ② 正确 . ∵ 直线 x＝- 1 3 是抛物线的对称轴， ∴ 点 （ -6 ， y 1 ） 到对称轴的距离大于点 （ 5 ， y 2 ） 到对称轴的距离， ∴y 1 ＜y 2 ， 故 ③ 错误 . ∵ 关于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c＝4 无实数根， ∴ 顶点 A - 1 3 ， 2 , n 在直线 y＝4 的下方， ∴n＜4 ， 故 ④ 正确 . 故正确的有 ①②④. 三、 解答题 16. 解： （ 1 ） 原式 ＝-3+ 24 姨 +1＝2 6 姨 -3+1＝2 6 姨 -2. （ 2 ） ∵ x-y y ＝2 ， ∴x＝3y ， ∴ 1 x-y + 1 x+y 2 , ÷ x （ x-y ） 2 = 2x （ x+y ）（ x-y ） · （ x-y ） 2 x ＝ 2 （ x-y ） x+y = 4y 4y =1. 17. 解： （ 1 ） 将点 B （ 3 ， 2 ） 代入 y 2 ＝ m x ， ∴m＝6 ， ∴y 2 ＝ 6 x . 将 A （ n ， 6 ） 代入 y 2 ＝ 6 x ， ∴n＝1 ， ∴A （ 1 ， 6 ） . 将 A （ 1 ， 6 ） 和 B （ 3 ， 2 ） 代入 y 1 ＝kx+b ， ∴ k+b=6 ， 3k+b=2 2 ， 解得 k=-2 ， b=8 2 ， ∴y 1 ＝-2x+8. （ 2 ） 根据图象可得， 当 y 1 ＞y 2 时， x 的取值范围为 1＜x＜3. 18. 解： （ 1 ） 1 8 （ 2 ） 2 3 （ 3 ） 不是， 理由： 结合 （ 1 ） （ 2 ） 中所求可得七年级的优秀率为 2+2 10 ×100%＝40% ， 八年级的优秀率为 3+2 10 ×100%＝50% ， 七年级的平均成绩为 1×7+5×8+2×9+2×10 10 ＝8.5 （分）， 八年级的平均成绩为 1×6+2×7+2×8+3×9+2×10 10 ＝8.3 （分） . ∵40%＜50% ， 8.5＞8.3 ， ∴ 本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高 . 19. 解： 如图， 过点 C 作 CG⊥EF 于 G ， 过点 E 作 EH⊥AB 于 H ， ∵EF⊥FB ， CD⊥FB ， AB⊥FB ， ∴ 四边形 CDFG 、 四边形 EFBH 是矩形， ∴CG＝FD＝50 m ， HB＝EF＝48 m. 在 Rt△CGE 中， CG＝50 m ， ∠ECG＝α＝22° ， 则 EG＝CG · tan∠ECG≈50×0.40＝20 （ m ）， ∴CD＝FG＝EF-EG＝48-20＝28 （ m ） . 在 Rt△EFB 中， EF＝48 m ， ∠EBF＝α＝22° ， 则 EF＝FB · tan∠EBF ， ∴48≈FB×0.40 ， ∴FB＝120 （ m ） . 在 Rt△AHE 中， EH＝FB＝120 m ， ∠AEH＝β＝16.7° ， 则 AH＝EH · tan∠AEH≈120×0.30＝36 （ m ）， ∴AB＝AH+BH＝AH+EF＝36+48＝84 （ m ）， ∴AB-CD＝84-28＝56 （ m ） . 答： 楼 AB 与 CD 的高度差约为 56 m. 20. 解： （ 1 ） 由题意， 当 0≤x≤20 时， 设 y＝kx ， ∴20k＝960 ， ∴k＝48 ， ∴y＝48x. 第 13 页 （共 20 页） 第 14 页 （共 20 页） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D B A B D D 8 C 9 10 B D B C A D O F E M N 第 22 题答图 A B C D E F 图 3 图 4 图 5 B C E A F D E A F D B β α C 第 19 题答图 G H 39 当 20＜x≤51 时， 设函数关系式为 y＝mx+n ， ∴ 20m+n=960 ， 40m+n=1660 0 ， ∴ m=35 ， n=260 0 ， ∴y＝35x+260. 综上所述， y 与 x 之间的函数关系式为 y＝ 48x （ 0≤x≤20 ）， 35x+260 （ 20<x≤51 ） 0 . （ 2 ） 由题意， 令 x＝51 ， ∴y＝35×51+260＝2045. 又 ∵ 当 x＝20 时， y＝960 ， ∴ 当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量为 2045-960＝1085 （ m 3 ） . 21. （ 1 ） 证明： 如图， 连接 OC ， ∵OB＝OC ， ∴∠OBC＝∠OCB. ∵∠DCA＝∠OBC ， ∴∠DCA＝∠OCB ， 而 AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90° ， ∴∠DCA+∠OCA＝∠OCA+∠OCB＝90° ， ∴∠OCD＝90° ， ∴DC 是 ⊙O 的切线 . （ 2 ） 解： 设 OC＝OA＝r ， ∵sinD= OC OD = 4 5 ， ∴ r r+2 = 4 5 ， ∴r＝8 ， ∴OC＝OA＝8. 在 Rt△OCD 中， CD= OD 2 -OC 2 姨 = （ 8+2 ） 2 -8 2 姨 =6. ∵∠DCA+∠ECF＝∠BFG+∠CBA＝90° ， ∴∠ECF＝∠BFG. 又 ∵∠BFG＝∠EFC ， ∴∠ECF＝∠EFC ， ∴EC＝EF. 设 EC＝EF＝x ， ∵∠D＝∠D ， ∠DCO＝∠DGE=90° ， ∴△DOC∽△DEG ， ∴ DO DE = OC EG ， 则 10 x+6 = 8 x+2 ， 解得 x＝14. 经检验， x＝14 是所列方程的解， ∴CE＝14. 22. 解： （ 1 ） 由图例知， 当 n=4 时， 如图 1 ， 共有 20 个小长方形； 当 n=5 时， 如图 2 ， 共有 30 个小长方形； 描点， 连线如图 3. 猜想： 裁剪得到的小长方形个数 m 与纸片序号 n 可能存在的函数关系为二次函数， ∴ 从 “形” 的角度出发， 裁剪得到的小 长方形个数可以用 “行数 × 列数” 的方法得到 . （ 2 ） 小长方形个数 m 与纸片序号 n 之间的函数关系式为 m=n （ n+1 ） . 验证： 由图例知， 当 n=1 时， m=2=1×2 ， 当 n=2 时， m=6=2×3 ， 当 n=3 时， m=12=3×4 ， 当 n=4 时， m=20=4×5 ， 当 n=5 时， m=30=5×6 ， …， ∴m=n （ n+1 ） . （ 3 ） 由题意得， n （ n+1 ） =72 ， ∵n 为正整数， ∴n=8 （负值已舍去）， ∴ 竖直方向分割用的实线数量为 8. （ 4 ） 设水平方向有 n 条道路， 竖直方向有 （ n+1 ） 条道路， 由题意得 40n+35 （ n+1 ） -n （ n+1 ） =40×35×36% ， 整理得 n 2 -74n+469= 0 ， 解得 n=7 或 n=67 （舍去） . ∵n 是水平方向小路数量， 水平方向耕地数量为 8 ， 竖直方向耕地数量为 9 ， ∴ 耕地块数为 8×9=72 （块）， ∴ 小长方形耕地的总数量为 72 块 . 23. 解： （ 1 ） 四边形 AECF 为矩形 . 理由： ∵AE⊥BC ， CF⊥AD ， ∴∠AEC＝90° ， ∠AFC＝90°. ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴AD∥BC ， ∴∠AFC+∠ECF＝180° ， ∴∠ECF＝180°-∠AFC＝90° ， ∴ 四边形 AECF 为矩形 . （ 2 ） ①CH＝MD. 理由： 证法一： ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴AB＝AD ， ∠B＝∠D. ∵△ABE 旋转得到 △AHG ， ∴AB＝AH ， ∠B＝∠H ， ∴AH＝AD ， ∠H＝∠D. 又 ∵∠HAM＝∠DAC ， ∴△HAM≌△DAC ， ∴AM＝AC ， ∴CH＝MD. 证法二： 如图 1 ， 连接 HD. ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴AB＝AD ， ∠B＝∠ADC. ∵△ABE 旋转得到 △AHG ， ∴AB＝AH ， ∠B＝∠AHM ， ∴AH＝AD ， ∠AHM＝∠ADC ， ∴∠AHD＝∠ADH ， ∴∠AHD-∠AHM＝∠ADH-∠ADC ， ∴∠MHD＝∠CDH. 又 ∵DH＝HD ， ∴△CDH≌△MHD ， ∴CH＝MD. ② 情况一： 如图 2 ， 当点 G 旋转至 BA 的延长线上时， GH⊥CD ， 此时 S 四边形 AMNQ ＝ 9 4 . ∵AB＝5 ， BE＝4 ， ∴ 由勾股定理可得 AE＝3. ∵△ABE 旋转到 △AHG ， ∴AG＝AE＝3 ， GH＝BE＝4 ， ∠H＝∠B. ∵GN⊥CD ， ∴GN＝AE＝3 ， ∴NH＝1. ∵AD∥BC ， ∴∠GAM＝∠B ， ∴tan∠GAM＝tanB ， 即 GM AG = AE BE ， 解得 GM＝ 9 4 ， 则 MH＝ 7 4 . ∵tanH＝tanB ， ∴ 在 Rt△QNH 中， QN＝ 3 4 ， ∴S 四边形 AMNQ ＝S △AMH -S △QNH ＝ 1 2 MH · AG- 1 2 NH · QN＝ 9 4 . 情况二： 如图 3 ， 当点 G 旋转至 BA 上时， GH⊥CD ， 此时 S 四边形 AMNQ ＝ 63 4 . 同第一种情况的计算思路可得， NH＝7 ， QN＝ 21 4 ， AG＝3 ， MH＝ 7 4 ， ∴S 四边形 AMNQ ＝S △QNH -S △AMH ＝ 1 2 NH · QN- 1 2 MH · AG＝ 63 4 . 综上所述， 四边形 AMNQ 的面积为 9 4 或 63 4 . 2025 年中考数学模拟试卷 （七） 一、 选择题 二、 填空题 11. 抽样调查 12. m （ a+2 ） 2 13. 2 3 14. 1 2 15. （ 4 ， 1 ） 【解析】 如图， 作点 A 关于对称轴的对称点 A′ ， 将点 A′ 向下平移 3 个单位长度， 得到 A″ ， 连接 A″B ， 交对称 轴于点 C ， 此时 AD+BC 的值最小， AD+BC＝A″B. 在 y= 1 2 x 2 -4x+6 中， 令 x＝0 ， 则 y＝6 ， ∴ 点 A （ 0 ， 6 ）； 令 y＝0 ， 则 1 2 x 2 -4x+6=0 ， 解得 x＝2 或 x＝6 ， ∴ 点 B （ 2 ， 0 ） . ∵ 抛物线的对称轴为直线 x＝- -4 2× 1 2 ＝4 ， ∴A′ （ 8 ， 6 ）， ∴A″ （ 8 ， 3 ） . 设直线 A″B 的表达式为 y＝kx+b ， 代入 A″ ， B 的坐标得 8k+b=3 ， 2k+b=0 0 ， 解得 k= 1 2 ， b=-1 0 ， ∴ 直线 A″B 的表达式为 y＝ 1 2 x-1. 当 x＝4 时， y＝1 ， ∴C （ 4 ， 1 ） . 三、 解答题 16. 解： （ 1 ） 原式 ＝1+6+ 1 2 -5- 1 2 ＝2. （ 2 ） 原式 ＝2a-a 2 +a 2 -1＝2a-1. 17. 解： 设 D 型车的平均速度是 x km/h ， 则 C 型车的平均速度是 3x km/h. 根据题意得 300 x - 300 3x ＝2 ， 解得 x＝100. 经检验， x＝100 是所列方程的解， 且符合题意 . 答： D 型车的平均速度是 100 km/h. 18. 解： （ 1 ） 50 34 8 8 （ 2 ） 观察条形统计图， 6×3+7×7+17×8+15×9+8×10 50 ＝8.36 （ h ）， ∴ 这组数据的平均数是 8.36. （ 3 ） ∵ 在所抽取的样本中， 每周参加科学教育的时间是 9 h 的学生占 30% ， ∴ 根据样本数据， 估计该校八年级学生 500 人 第 15 页 （共 20 页） 第 16 页 （共 20 页） 第 23 题答图 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A C B C B A 8 C 9 10 A C 第 15 题答图 纸片序号 4 纸片序号 5 纸片序号 n 1 2 3 4 5 小长方形个数 m 2 6 12 20 30 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 纸片序号 n 小长方形个数 m 第 22 题答图 B F A D C E M G N H B F A D C E M G N Q H B F A D C E M G N H Q y x O A B D C A′ A″ 图 1 图 2 图 3 第 21 题答图 E G B F O A D C 图 1 图 2 图 3 40