2025年中考数学模拟试卷(4)-【辽海备考】2025年中考数学总复习模拟卷

19. 解： 如图 1 ， 过点 A 作 AF⊥CG ， 垂足为点 F ， 设 AB＝x cm ， 则 AC＝60+x. ∵sin53°＝ AF AC ＝ AF 60+x ， ∴AF＝ （ 60+x ）· sin53°. 如图 2 ， 过点 A 作 AH⊥CG ， 垂足为点 H ， 则 AC＝60+2x ， ∴AH＝ （ 60+2x ）· sin37°. ∵AF＝AH ， ∴ （ 60+x ）· sin53°＝ （ 60+2x ）· sin37° ， ∴ 4 （ 60+x ） 5 = 3 （ 60+2x ） 5 ， 解得 x＝30. 答： 每节拉杆的长度为 30 cm. 20. 解： （ 1 ） ∵ 一次函数 y＝2x+m 的图象过 A （ -3 ， 0 ）， ∴2× （ -3 ） +m＝0 ， ∴m＝6. ∵C （ 1 ， n ） 在函数 y＝2x+6 的图象上， ∴n＝2×1+6＝8. ∵C （ 1 ， 8 ） 在函数 y＝ k x 的图象上， ∴k＝8. （ 2 ） 当 x＝0 时， y＝2x+6＝6 ， ∴OB＝6. ∵ 四边形 OEDB 是正方形， ∴OE＝OB＝6. 当点 P 在反比例函数 y＝ k x （ k≠0 ） 的图象右半支上时， 设点 P 的坐标是 a ， 8 a $ . ∵△OBP 的面积与 △OBE 的面积相等， ∴ 1 2 OB · a＝ 1 2 OB 2 ， ∴a＝OB＝6 ， ∴ 8 a ＝ 4 3 ， ∴ 点 P 的坐标是 6 ， ４ ３ & $ . 当点 P 在反比例函数 y＝ k x （ k≠0 ） 的图象左半支上时， 设点 P 的坐标是 b ， 8 b & $ . ∵△OBP 的面积与 △OBE 的面积相等， ∴ 1 2 OB ·（ -b ） ＝ 1 2 OB 2 ， ∴b＝-OB＝-6 ， ∴ 8 b ＝- 4 3 ， ∴ 点 P 的坐标是 -6 ， - ４ ３ & $ . 综上所述， 点 P 的坐标为 6 ， ４ ３ & $ 或 -6 ， - ４ ３ & $ . 21. 解： （ 1 ） 如图， 连接 AD ， ∵AB＝3 ， AC＝4 ， BC＝5 ， ∴AC 2 +AB 2 ＝BC 2 ， ∴∠BAC＝90°. ∵⊙A 与 BC 相切于点 D ， ∴AD＝ AC×AB BC = 4×3 5 = 12 5 ， S 阴影 ＝S △ABC -S 扇形 ＝ 1 2 ×3×4- 90°×仔× 12 5 & $ 2 360° =6- 36 25 仔. （ 2 ） 当 C ， A ， P 三点共线时， CP 的长最大， 此时 ∠BAP=180°-∠BAC=90°. ∵AP＝ 12 5 ， AB＝3 ， ∴BP＝ AP 2 +AB 2 姨 = 3 5 41 姨 . 22. 解： （ 1 ） ∵ 在 △ABC 中， AB＝BC ， BD⊥AC ， CD＝2 ， ∴AD＝CD＝2 ， ∴AC＝4 ， ∴S △ABC ＝ 1 2 AC · BD＝2. （ 2 ） ∵ 在菱形 A′B′C′D′ 中， A′C′＝4 ， B′D′＝2 ， ∴S 菱形 A′B′C′D′ ＝ 1 2 A′C′ · B′D′＝4. （ 3 ） ①∵EG⊥FH ， ∴S △EFG ＝ 1 2 EG · FO ， S △EHG ＝ 1 2 EG · HO ， ∴S 四边形 EFGH ＝S △EFG +S △EHG ＝ 1 2 EG · FO+ 1 2 EG · HO＝ 1 2 EG · FH＝ 15 2 . ② 猜想： S 四边形 EFGH ＝ ab 2 . 证明： ∵S △EFG ＝ 1 2 EG · FO ， S △EHG ＝ 1 2 EG · HO ， ∴S 四边形 EFGH ＝S △EFG +S △EHG ＝ 1 2 EG · FO+ 1 2 EG · HO＝ 1 2 EG · FH＝ ab 2 . （ 4 ） 根据尺规作图可知， ∠QPM＝∠MKN. ∵ 在 △MNK 中， MN＝3 ， KN＝4 ， MK＝5 ， ∴MK 2 ＝MN 2 +KN 2 ， ∴△MNK 是直角三角形， 且 ∠MNK＝90° ， ∴∠NMK+∠MKN＝90°. ∵∠QPM＝∠MKN ， ∴∠NMK+∠QPM＝90° ， ∴MK⊥PQ. ∵PQ＝KN＝4 ， MK＝5 ， ∴ 根据 （ 3 ） 中结论得 S 四边形 MPKQ ＝ 1 2 MK · PQ＝10. 23. （ 1 ） 解： y=-x 2 +2x+3. （ 2 ） 证明： 设二次函数表达式为 y= 1 2 x 2 +bx+c ， ∴ 对称轴为直线 x=- b 2× 1 2 =-b ， ∴ 它的 “同轴相交二次函数” 的二次项系数为 1- 1 2 = 1 2 ， ∴ 它的 “同轴相交二次函数” 的表达式为 y= 1 2 x 2 +b 1 x+c 1 . ∵ 对称轴相同， ∴x=- b 1 2× 1 2 =-b ， ∴b 1 =b. ∵ 与 y 轴的交点相同， ∴ “同轴相交二次函数” 的表达式为 y= 1 2 x 2 +bx+c ， 即为它本身 . （ 3 ） 解： 二次函数 L 1 ： y=ax 2 -4ax+1 的对称轴为直线 x=- -4a 2a =2 ， ∴ 其 “同轴相交二次函数” L 2 ： y= （ 1-a ） x 2 -4 （ 1-a ） x+1. ①∵a=2 ， ∴ 二次函数 L 1 ： y=ax 2 -4ax+1=2x 2 -8x+1 ， 二次函数 L 2 ： y= （ 1-a ） x 2 -4 （ 1-a ） x+1=-x 2 +4x+1 ， ∴ 点 B 的坐标为 （ m ， 2m 2 -8m+1 ）， 点 C 的坐标为 （ m ， -m 2 +4m+1 ）， ∴ 点 B′ 的坐标为 （ 4-m ， 2m 2 -8m+1 ）， 点 C′ 的坐标为 （ 4-m ， -m 2 +4m+1 ）， ∴BC=-m 2 +4m+1- （ 2m 2 -8m+1 ） =-3m 2 +12m ， BB′=4-m-m=4-2m. ∵ 四边形 BB′C′C 为正方形， ∴BC=BB′ ， 即 -3m 2 +12m=4-2m ， 解得 m 1 = 7- 37 姨 3 ， m 2 = 7+ 37 姨 3 （不合题意， 舍去）， ∴m 的值为 7- 37 姨 3 . ② 当 m=1 时， 点 Ｂ 的坐标为 （ 1 ， -3a+1 ）， 点 C 的坐标为 （ 1 ， 3a-2 ）， ∴ 点 B′ 的坐标为 （ 3 ， -3a+1 ）， 点 C′ 的坐标为 （ 3 ， 3a-2 ）， ∴BC=｜3a-2- （ -3a+1 ） ｜=｜6a-3｜ ， BB′=3-1=2. ∵ 四边形 BB′C′C 的邻边之比为 2 ∶ 3 ， ∴BC= 2 3 BB′ 或 BB′= 2 3 BC ， 即 ｜6a-3｜= 2 3 ×2 或 3=｜6a-3｜ ， 解得 a 1 = 13 18 ， a 2 = 5 18 ， a 3 =0 （舍）， a 4 =1 （舍）， ∴a 的值为 13 18 或 5 18 . 2025 年中考数学模拟试卷 （四） 一、 选择题 二、 填空题 11. 2.8×10 -9 12. 假 13. 1 4 14. （ - 2 姨 ， 2 姨 ） 15. 25 7 【解析】 如图， 过点 E 作 EH⊥BC 于点 H ， 则 ∠BHE＝∠CHE＝90°. ∵CF＝4 cm ， FB′＝1 cm ， ∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5 （ cm ）， 由折叠得 BC＝B′C＝5 cm ， ∠BCE＝∠B′CE. ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴BC∥AD ， DC＝BC＝5 cm ， ∠B＝∠D. ∵CB′⊥AD 于点 F ， ∴∠BCB′＝∠CFD＝90° ， ∴∠BCE＝∠B′CE＝ 1 2 ∠BCB′＝ 1 2 ×90°＝45° ， DF＝ DC 2 -CF 2 姨 ＝ 5 2 -4 2 姨 ＝3 （ cm ）， ∴∠HEC＝∠BCE＝45° ， ∴CH＝EH. ∵ EH BE ＝sinB＝sinD＝ CF DC ＝ 4 5 ， BH BE ＝cosB＝cosD＝ DF DC ＝ 3 5 ， ∴CH＝EH＝ 4 5 BE ， BH＝ 3 5 BE ， ∴ 4 5 BE+ 3 5 BE＝5 ， ∴BE＝ 25 7 cm. 三、 解答题 16. 解： （ 1 ） 原式 ＝1-2× 3 姨 2 + 3 姨 ＝1- 3 姨 + 3 姨 ＝1. （ 2 ） 3 2x-2 +5＝ x x-1 ， 3+5 （ 2x-2 ） ＝2x ， 3+10x-10＝2x ， 10x-2x＝10-3 ， 8x＝7 ， x＝ 7 8 . 经检验， x＝ 7 8 是原方程的解 . 17. 解： （ 1 ） 设 A 型智能机器人的单价为 x 万元， B 型智能机器人的单价为 y 万元， ∴ x+3y=260 ， 3x+2y=360 0 ， ∴ x=80 ， y=60 0 . 答： A 型智能机器人的单价为 80 万元， B 型智能机器人的单价为 60 万元 . 第 7 页 （共 20 页） 第 8 页 （共 20 页） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C D C A C B 8 D 9 10 A B A B C D E G F A B C D E G M H 图 1 图 2 第 19 题答图 F D C B′ A E B H 第 15 题答图 B C D P A 第 21 题答图 36 （ 2 ） 设购买 A 型智能机器人 a 台， 则购买 B 型智能机器人 （ 10-a ） 台， ∴80a+60 （ 10-a ） ≤700 ， ∴a≤5. ∵ 每天分拣快递的件数为 22a+18 （ 10-a ） ＝4a+180 ， ∴ 当 a＝5 时， 每天分拣快递的件数最多为 200 万件， ∴ 选择购买 A 型智能机器人 5 台， 购买 B 型智能机器人 5 台 . 18. 解： （ 1 ） ∵ 抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性， ∴ 抽样调查方式合理的是随机抽取 100 株麦穗的长度 作为样本， 故抽样调查方式合理的是 ③. （ 2 ） ① 频率分布表中的 m＝1- （ 0.04+0.45+0.3+0.09 ） ＝0.12. ② 麦穗长度频率分布在 6.1≤x＜6.8 之间的频数为 100×0.3＝30. 频数分布直方图补全如下： （ 3 ） 0.45+0.3+0.09＝0.84 ， 故长度不小于 5.4 cm 的麦穗在该试验田里所占比例为 84%. 19. 解： （ 1 ） 由表中的数据可知 y 是 x 的一次函数， 设 y＝kx+b ， 则 k+b=6 ， 2k+b=8.4 4 ， 解得 k=2.4 ， b=3.6 4 ， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝2.4x+3.6. （ 2 ） 设碗的数量有 x 个， 则 2.4x+3.6≤28.8 ， 解得 x≤10.5 ， ∴x 的最大整数解为 10. 答： 碗的数量最多为 10 个 . 20. 解： （ 1 ） 如图， 在地面上取点 C ， 测量 BC＝m ， 测量 ∠ACB＝α ， 根据 tanα＝ AB BC ， 即可得出 AB 的长度 . （ 2 ） ∵∠ABC＝90° ， ∴tanα＝ AB BC ， ∴AB＝BC · tanα＝mtanα. 21. 解： （ 1 ） ∵∠BAC＝∠BCD ， ∠B＝∠B ， ∴△BAC∽△BCD ， ∴ BC BD = BA BC . ∵AB=4 2 姨 ， D 为 AB 的中点， ∴BD=AD=2 2 姨 ， ∴BC 2 ＝16 ， ∴BC＝4. （ 2 ） 如图， 过点 A 作 AE⊥CD 于点 E ， 连接 CO ， 并延长交 ⊙O 于点 F ， 连接 AF. 在 Rt△AED 中， cos∠CDA= DE AD = 2 姨 4 ， AD=2 2 姨 ， ∴DE＝1 ， ∴AE= AD 2 -DE 2 姨 = 7 姨 . ∵△BAC∽△BCD ， ∴ AC CD = AB BC = 2 姨 . 设 CD＝x ， 则 AC＝ 2 姨 x ， CE＝x-1. 在 Rt△ACE 中， AC 2 ＝CE 2 +AE 2 ， ∴ （ 2 姨 x ） 2 = （ x-1 ） 2 + （ 7 姨 ） 2 ， 即 x 2 +2x-8＝0 ， 解得 x 1 ＝2 ， x 2 ＝-4 （舍去）， ∴CD＝2 ， AC＝2 2 姨 . ∵∠AFC 与 ∠ADC 都是A A C所对的圆周角， ∴∠AFC＝∠ADC. ∵CF 为 ⊙O 的直径， ∴∠CAF＝90° ， ∴sin∠AFC= AC CF =sin∠CDA= AE AD = 14 姨 4 ， ∴CF= 8 7 姨 7 ， ∴⊙O 的半径为 4 7 姨 7 . 22. 【探究发现】 解： 结论依然成立 . 理由： 如图 1 ， 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E ， 过点 D 作 DF⊥BC 的延长线于点 F ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥DC ， 且 AB＝DC ， ∴∠ABE＝∠DCF ， ∴△ABE≌△DCF （ AAS ）， ∴AE＝DF ， BE＝CF. 在 Rt△ACE 中， 由勾股定理， 可得 AC 2 ＝AE 2 +CE 2 ＝AE 2 + （ BC-BE ） 2 … ① ， 在 Rt△BDF 中， 由勾股定理， 可得 BD 2 ＝DF 2 +BF 2 ＝DF 2 + （ BC+CF ） 2 ＝DF 2 + （ BC+BE ） 2 … ② ， 由 ①② ， 可得 AC 2 +BD 2 ＝AE 2 +DF 2 +2BC 2 +2BE 2 ＝2AE 2 +2BC 2 +2BE 2 . 在 Rt△ABE 中， 由勾股定理， 可得 AB 2 ＝AE 2 +BE 2 ， ∴AC 2 +BD 2 ＝2AE 2 +2BC 2 +2BE 2 ＝2 （ AE 2 +BE 2 ） +2BC 2 ＝2AB 2 +2BC 2 ＝2a 2 +2b 2 =2 （ a 2 +b 2 ） . 【拓展提升】 证明： 如图 2 ， 延长 BO 至点 E ， 使 BO＝OE. ∵BO 是 AC 边上的中线， ∴AO＝CO. 又 ∵BO＝OE ， ∴ 四边形 ABCE 是平行四边形 . 由 【探究发现】， 可得 BE 2 +AC 2 ＝2AB 2 +2BC 2 ， ∵BE＝2BO ， ∴BE 2 ＝4BO 2 . ∵AB＝a ， BC＝b ， AC＝c ， ∴4BO 2 +c 2 ＝2a 2 +2b 2 ， ∴BO 2 = a 2 +b 2 2 - c 2 4 . 【尝试应用】 解： 如图 3 ， 过点 P 作 PH⊥BC 于点 H ， 则四边形 APHB 和四边形 PHCD 是矩形， ∴AB＝PH＝CD＝8 ， AP＝BH ， PD＝CH. 设 BH＝x ， 则 CH＝12-x ， ∴PB 2 +PC 2 ＝PH 2 +BH 2 +PH 2 +CH 2 ＝8 2 +x 2 +8 2 + （ 12-x ） 2 ＝2x 2 -24x+272＝2 （ x-6 ） 2 +200 ， 故 PB 2 +PC 2 的最小值为 200. 23. 解： （ 1 ） ①∵ 点 A 是对称中心， ∴ 点 A 关于点 A 的对称点 A′ 就是点 A 本身， ∴A （ 2 ， 0 ） . ② 在坐标系内描出各点， 用平滑的曲线依次连接各点， 得到的图象 L′ 如图 . （ 2 ） ① 当 m=-1 时， 抛物线 L 的表达式为 y=x 2 +2x= （ x+1 ） 2 -1. ∵1>0 ， ∴ 抛物线 L 开口向上， 当 x≤-1 时， 函数值 y 随着 x 的增大而减小 . ∵A （ -2 ， 0 ）， 抛物线 L 的对称轴为直线 x=-1 ， 顶点为 （ -1 ， -1 ）， ∴ 抛物线 L 的 “孔像抛物线” L′ 的对称轴为直线 x=-3 ， 顶点为 （ -3 ， 1 ）， ∴ 抛物线 L 的 “孔像抛物线” L′ 的表达式为 y=- （ x+3 ） 2 +1. ∵-1<0 ， ∴ 抛物线 L′ 的开口向下， 当 x≥-3 时， 函数值 y 随着 x 的增大而减小， ∴ 当 -3≤x≤-1 时， 抛物线 L 与它的 “孔像抛物线” L′ 的函数值都随着 x 的增大而减小 . ②∵y=x 2 -2mx= （ x-m ） 2 -m 2 ， ∴ 抛物线 L 的顶点坐标为 （ m ， -m 2 ）， 对称轴为直线 x=m ， A （ 2m ， 0 ）， ∴ 抛物线 L 的 “孔像抛物线” L′ 的对称轴为直线 x=3m ， 顶点为 （ 3m ， m 2 ）， ∴ 抛物线 L 的 “孔像抛物线” L′ 的表达式为 y=- （ x-3m ） 2 +m 2 ， 由题意得， m≠0. ∵ 直线 y=m 是纵坐标为 m 且与 x 轴平行的直线， 二次函数 y=x 2 -2mx 及它的 “孔像抛物线” 与直线 y=m 有且只有三个交点， ∴ 直线 y=m 必经过这两条抛物线中的一条的顶点 . 当直线 y=m 经过 （ m ， -m 2 ） 时， m=-m 2 ， ∴m=-1 或 m=0 （舍去）； 当直线 y=m 经过 （ 3m ， m 2 ） 时， m=m 2 ， ∴m=1 或 m=0 （舍去） . 综上所述， m 的值为 ±1. ③∵y=x 2 -2mx= （ x-m ） 2 -m 2 ， ∴ 抛物线 L 的顶点坐标为 （ m ， -m 2 ）， 对称轴为直线 x=m ， A （ 2m ， 0 ）， ∴ 抛物线 L 的 “孔像抛物线” L′ 的对称轴为直线 x=3m ， 顶点为（ 3m ， m 2 ）， ∴ 抛物线 L 的 “孔像抛物线” L′ 的表达式为 y=- （ x-3m ） 2 +m 2 . 设这条抛物线的表达式为 y=ax 2 +bx+c ， 令 ax 2 +bx+c=- （ x-3m ） 2 +m 2 ， 整理得（ a+1 ） x 2 + （ b-6m ） x+c+8m 2 =0. ∵ 这条抛物线与抛物线 L 的所有 “孔像抛物线” L′ 都有唯一交点， ∴Δ= （ b-6m ） 2 -4× （ a+1 ）（ c+8m 2 ） =0 ， 展开得 b 2 -12bm+36m 2 -32 （ a+1 ） m 2 -4 （ a+1 ） c=0 ， ∴ ［ 36-32 （ a+1 ）］ m 2 -12bm+b 2 -4 （ a+1 ） c=0. ∵ 当 m 取不同值时， 通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 y=x 2 -2mx 的所有 “孔像抛物线” L′ 都有唯一交点， ∴Δ 的取值与 m 无关， ∴ 36-32 （ a+1 ） =0 ， -12b=0 ， b 2 -4 （ a+1 ） c=0 0 1 1 1 0 1 1 1 2 ， 解得 a= 1 8 ， b=0 ， c=0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 ， ∴y= 1 8 x 2 . 第 9 页 （共 20 页） 第 10 页 （共 20 页） 试验田 100 株麦穗长度频数分布直方图 长度 /cm 50 频数 40 30 20 10 0 4 12 45 9 4.0 4.7 5.4 6.1 6.8 7.5 30 第 18 题答图 A B m C α 第 20 题答图 A C B D O E F 第 21 题答图 图 1 C DA B F C A B O E D C A B P H 图 2 图 3 第 22 题答图 第 23 题答图 E 6 -9-8-7-6-5-4-3-2-1 y B D 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x O D′ B′ O′A′ A L′ C′ L C 37 第一部分 选择题 （共 30 分） 一、 选择题 （本题共 10 小题， 每小题 3 分， 共 30 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的） 1. 如图， 数轴上点 A ， B ， C ， D 分别对应实数 a ， b ， c ， d ， 下 列各式的值最小的是 （ ） A. |a| B. |b| C. |c| D. |d| 2. 如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形， 则该几何体是 （ ） A. 三棱锥 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 长方体 3. 若 a＞b-1 ， 则下列结论一定正确的是 （ ） A. a+1＜b B. a-1＜b C. a＞b D. a+1＞b 4. 下列图形是中心对称图形的是 （ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 平行四边形 D. 正五边形 5. 在平面直角坐标系中， 点 P （ 1 ， 2 ） 关于坐标原点的对称点 P′ 的坐标为 （ ） A. （ -1 ， -2 ） B. （ -1 ， 2 ） C. （ 1 ， -2 ） D. （ 1 ， 2 ） 6. 下列说法正确的是 （ ） A. 10 张票中有 1 张奖票， 10 人去摸， 先摸的人摸到奖票的概率较大 B. 从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 中随机抽取一个数， 取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出 3 颗质地均匀的骰子， 3 颗全是 6 点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币， 正面朝上的概率为 1 2 ， 连续抛此硬币 2 次必有 1 次正面朝上 7. 在平面直角坐标系中， 将二次函数 y＝ （ x+1 ） 2 +3 的图象向右平移 2 个单位长度， 再向下平 移 1 个单位长度， 所得抛物线对应的函数表达式为 （ ） A. y＝ （ x+3 ） 2 +2 B. y＝ （ x-1 ） 2 +2 C. y＝ （ x-1 ） 2 +4 D. y＝ （ x+3 ） 2 +4 8. 如图， 小杰从灯杆 AB 的底部点 B 处沿水平直线前进到达点 C 处， 他在灯光下的影长 CD＝3 m ， 然后他转身按原路返回到点 B 处， 返回过程 中小杰在灯光下的影长可以是 （ ） A. 4.5 m B. 4 m C. 3.5 m D. 2.5 m 2025年中考数学模拟试卷 （四） （本试卷共 23 道题 满分 120 分 考试时间 120 分钟） 第 1 页 （共 8 页） 第 2 页 （共 8 页） 学 校 ： 班 级 ： 姓 名 ： 9. 如图， 点 A 为反比例函数 y＝- 1 x （ x＜0 ） 图象上的一点， 连接 AO ， 过点 O 作 OA 的垂线与反比例函数 y＝ 4 x （ x＞0 ） 的图象交于点 B ， 则 AO BO 的值为 （ ） A. 1 2 B. 1 4 C. 3 姨 3 D. 1 3 10. “赵爽弦图” 巧妙利用面积关系证明了勾股定理 . 如图所示的 “赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形 . 设直角三角 形的两条直角边长分别为 m ， n （ m＞n ） . 若小正方形面积为 5 ， （ m+n ） 2 ＝21 ， 则 大正方形的面积为 （ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 第二部分 非选择题 （共 90 分） 二、 填空题 （本题共 5 小题， 每小题 3 分， 共 15 分） 11. 溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数 . 常温下 CaCO 3 的溶度积约为 0.000 000 002 8 ， 将 数据 0.000 000 002 8 用科学记数法表示为 . 12. 命题 “若 a＞b ， 则 a-3＜b-3 ” 是 （填 “真” 或 “假”） 命题 . 13. 为发展学生的阅读素养， 某校开设了 《西游记》 《三国演义》 《水浒传》 和 《红楼梦》 4 个整本书阅读项目， 甲、 乙两名同学都通过抽签的方式从这 4 个阅读项目中随机抽取 1 个， 则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是 . 14. 定义： 在平面直角坐标系中， 将一个图形先向上平移 a （ a＞0 ） 个单位长度， 再绕原点 按逆时针方向旋转 θ 角度， 这样的图形运动叫作图形的 ρ （ a ， θ ） 变换 . 如： 点 A （ 2 ， 0 ） 按照 ρ （ 1 ， 90° ） 变换后得到点 A′ 的坐标为 （ -1 ， 2 ）， 则点 B （ 3 姨 ， -1 ） 按 照 ρ （ 2 ， 105° ） 变换后得到点 B′ 的坐标为 . 15. 如图， 在菱形纸片 ABCD 中， 点 E 在边 AB 上， 将纸片沿 CE 折叠， 使点 B 落在 B′ 处， CB′⊥AD ， 垂足为点 F. 若 CF＝4 cm ， FB′＝1 cm ， 则 BE＝ cm. 三、 解答题 （本题共 8 小题， 共 75 分 . 解答应写出文字说明、 演算步骤或推理过程） 16. （每题 5 分， 共 10 分） （ 1 ） 计算： （ π-3 ） 0 -2sin60°+|- 3 姨 |. a A b B c C d D 0 第 1 题图 第 2 题图 D A B C 第 8 题图 A y xO B y=- 1 x y= 4 x m n 第 9 题图 第 10 题图 第 15 题图 F D C B′ A E B 13 （ 2 ） 解方程： 3 2x-2 +5＝ x x-1 . 17. （本小题 8 分） 某快递企业为提高工作效率， 拟购买 A ， B 两种型号智能机器人进行快递分拣 . 相关信息 如下： 信息一 信息二 每台 A 型机器人每天可分拣快递 22 万件， 每台 B 型机器人每天可分拣快递 18 万件 . （ 1 ） 求 A ， B 两种型号智能机器人的单价 . （ 2 ） 现该企业准备用不超过 700 万元购买 A ， B 两种型号智能机器人共 10 台， 则该企业选 择哪种购买方案， 能使每天分拣快递的件数最多？ 18. （本小题 8 分） “五谷者， 万民之命， 国之重宝 . ” 夯实粮食安全根基， 需要强化农业科技支撑 . 农业科研 人员小李在试验田里种植了新品种大麦， 为考察麦穗长度的分布情况， 开展了一次调查研究 . 【确定调查方式】 （ 1 ） 小李计划从试验田里抽取 100 株麦穗， 将抽取的这 100 株麦穗的长度作为样本， 下面 的抽样调查方式合理的是 . （只填序号） ① 抽取长势最好的 100 株麦穗的长度作为样本 ② 抽取长势最差的 100 株麦穗的长度作为样本 ③ 随机抽取 100 株麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （ 2 ） 小李采用合理的调查方式获得该试验田 100 株麦穗的长度 （精确到 0.1 cm ）， 并将调 查所得的数据整理如下： 试验田 100 株麦穗长度频率分布表 根据图表信息， 解答下列问题： ① 频率分布表中的 m＝ ； ② 请把频数分布直方图补充完整 . （画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （ 3 ） 请你估计长度不小于 5.4 cm 的麦穗在该试验田里所占比例为多少 . 第 3 页 （共 8 页） 第 4 页 （共 8 页） A 型机器人台数 B 型机器人台数 总费用 / 万元 1 3 260 3 2 360 长度 x/cm 频率 4.0≤x＜4.7 0.04 4.7≤x＜5.4 m 5.4≤x＜6.1 0.45 6.1≤x＜6.8 0.30 6.8≤x＜7.5 0.09 合计 1 试验田 100 株麦穗长度频数分布直方图 50 频数 40 30 20 10 0 4 12 45 9 4.0 4.7 5.4 6.1 6.8 7.5 长度 /cm 第 18 题图 14 19. （本小题 8 分） 如图是 1 个碗和 4 个整齐叠放成一摞的碗的示意图， 碗的规格都是相同的 . 小亮尝试结合 学习函数的经验， 探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度 y （单位： cm ） 随着碗的数量 x （单位： 个） 的变化规律 . 下表是小亮经过测量得到的 y 与 x 之间的对应数据： （ 1 ） 依据小亮测量的数据， 写出 y 与 x 之间的函数关系式， 并说明理由 . （ 2 ） 若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过 28.8 cm ， 求此时碗的数量最多为多 少个 . 第 5 页 （共 8 页） 第 6 页 （共 8 页） 20. （本小题 8 分） 如图， 学校数学兴趣小组开展 “实地测量教学楼 AB 的高度” 的实践活动 . 教学楼周围是 开阔平整的地面， 可供使用的测量工具有皮尺、 测角仪 （皮尺的功能是直接测量任意可到达的 两点间的距离， 测角仪的功能是测量角的大小） . （ 1 ） 请你设计测量教学楼 AB 的高度的方案， 方案包括画出测量平面图， 把应测数据标在 所画的图形上 （测出的距离用 m ， n 等表示， 测出的角用 α ， β 等表示）， 并对设计进行说明 . （ 2 ） 根据你测量的数据， 计算教学楼 AB 的高度 （用字母表示） . 21. （本小题 8 分） 如图， 在 △ABC 中， AB＝4 2 姨 ， D 为 AB 的中点， ∠BAC＝∠BCD ， cos∠ADC＝ 2 姨 4 ， ⊙O 是 △ACD 的外接圆 . （ 1 ） 求 BC 的长 . （ 2 ） 求 ⊙O 的半径 . 碗的数量 x/ 个 1 2 3 4 总高度 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 第 19 题图 A C B D O 第 21 题图 A B 皮尺 测角仪 第 20 题图 15 22. （本小题 12 分） 【阅读理解】 如图 1 ， 在矩形 ABCD 中， 若 AB＝a ， BC＝b ， 由勾股定理， 得 AC 2 ＝a 2 +b 2 ， 同理 BD 2 ＝a 2 +b 2 ， 故 AC 2 +BD 2 ＝2 （ a 2 +b 2 ） . 【探究发现】 如图 2 ， 四边形 ABCD 为平行四边形， 若 AB＝a ， BC＝b ， 则上述结论是否依然 成立？ 请加以判断， 并说明理由 . 【拓展提升】 如图 3 ， 已知 BO 为 △ABC 的一条中线， AB＝a ， BC＝b ， AC＝c. 求证： BO 2 = a 2 +b 2 2 - c 2 4 . 【尝试应用】 如图 4 ， 在矩形 ABCD 中， 若 AB＝8 ， BC＝12 ， 点 P 在边 AD 上， 则 PB 2 +PC 2 的 最小值为 . 23. （本小题 13 分） 二次函数 y=x 2 -2mx 的图象交 x 轴于原点 O 及点 A. 【感知特例】 （ 1 ） 当 m=1 时， 如图 1 ， 抛物线 L ： y=x 2 -2x 上的点 B ， O ， C ， A ， D 分别关于点 A 中心对 称的点为 B′ ， O′ ， C′ ， A′ ， D′ ， 其坐标如下表： ① 补全表格； ② 在图 1 中描出表中对称后的点， 再用平滑的曲线依次连接各点， 得到的图象记为 L′. 【形成概念】 我们发现形如 （ 1 ） 中的图象 L′ 上的点和抛物线 L 上的点关于点 A 中心对称， 则称 L′ 是 L 的 “孔像抛物线” . 例如， 当 m=-2 时， 图 2 中的抛物线 L′ 是抛物线 L 的 “孔像抛物线” . 【探究问题】 （ 2 ） ① 当 m=-1 时， 若抛物线 L 与它的 “孔像抛物线” L′ 的函数值都随着 x 的增大而减小， 求 x 的取值范围； ② 若二次函数 y=x 2 -2mx 及它的 “孔像抛物线” 与直线 y=m 有且只有三个交点， 直接写出 m 的值； ③ 在同一平面直角坐标系中， 当 m 取不同值时， 通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 y=x 2 -2mx 的所有 “孔像抛物线” L′ 都有唯一交点， 求此抛物线的表达式 . 第 7 页 （共 8 页） 第 8 页 （共 8 页） 图 1 D C A B D C A B C A B O D C A B P 图 2 图 3 图 4 第 22 题图 … B （ -1 ， 3 ） O （ 0 ， 0 ） C （ 1 ， -1 ） A （ ， ） D （ 3 ， 3 ） … … B′ （ 5 ， -3 ） O′ （ 4 ， 0 ） C′ （ 3 ， 1 ） A′ （ 2 ， 0 ） D′ （ 1 ， -3 ） … 6 -9-8-7-6-5-4-3-2-1 y A 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x O L L′ 图 1 图 2 第 23 题图 6 -9-8-7-6-5-4-3-2-1 y B D 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x O L A C 16