高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式：第6节 一元二次不等式恒成立问题

第6节 一元二次不等式的恒成立问题 【基础知识】 由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论 (1)不等式 对任意实数 恒成立⇔或 (2)不等式 对任意实数 恒成立⇔或 当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值． 【规律技巧】 (1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． (2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方． 【典例讲解】 例1、设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围． 【解析】(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0； 若m≠0，则⇒－4<m<0. 所以－4<m≤0. 【特别提醒】 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值． (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 【变式探究】 (1)若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1,4] B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5] (2)已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4) x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为(　　) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3) 【答案】(1)A　(2)C 【针对训练】 1、若不等式的解集是R，则m的范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 2、若不等式对满足的所有都成立，则x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 综合点评：二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论