高中数学一轮复习微专题第12季不等式与一元二次不等式：第5节 一元二次不等式的解法

第5节 一元二次不等式的解法 【基础知识】 对于一元二次方程 的两根为 且 ，设 ，它的解按照 ， ， 可分三种情况，相应地，二次函数 EMBED Equation.DSMT4 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 EMBED Equation.DSMT4 或 EMBED Equation.DSMT4 的解集. 二次函数 （ ）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 【规律技巧】 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【典例讲解】 例1、求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－3>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. 【解析】(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0， 所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－. ，x2＝4＋ 又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{x|4－}． <x<4＋ (2)若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1. 若a<0，原不等式等价于(x－或x>1. )(x－1)>0，解得x< 若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0. 【特别提醒】 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【变式探究】 (1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解为－，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集是________． <x< (2)不等式≤0的解集是________． 【答案】 (1)