精品解析：湖南省长沙市望城区长郡双语白石湖实验中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2025年上学期3月思维训练初二数学 考试范围：八下第16、17、18章；考试时间：120分钟； 命题人： 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 一、单选题（共30分） 1. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ）． A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 6. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 两张全等矩形纸片按如图所示的方式交叉叠放，，．与交于点G，与交于点H，且，，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且和互相平分 C. 且 D. 且 10. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积的； ⑤．其中正确的个数是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 第II卷（非选择题） 二、填空题（共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 13. 如图，在中，，．将边与数轴重合，点，点对应的数分别为，．以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为________． 14. 如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为_____． 15. 如图，折叠矩形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，若，，则长是________． 16. 如图所示，是线段上的两点，，，，点是线段上的一动点，分别以为边在的同一侧作两个等边三角形，连接并取中点为，连结，在点从点出发运动到点的过程中，线段扫过的区域面积为____________． 三、解答题（共72分） 17 计算： 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：． 20. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 21. 如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若平分，且，，求的长． 23. 如图1，四边形中， ，，，，，动点在线段边上以每秒1个单位的速度由点向点运动，动点从点同时出发，以每秒3个单位的速度向点运动，设动点的运动时间为秒． （1）当为何值时，满足和？请说明理由． （2）如图2，若是上一点，，那么在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图1，在菱形中，E 是边上点，是等腰三角形，，（）． （1）如图2，当时，连接交于点P， ①直接写出的度数； ②求证：． （2）如图1，当时，若，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接． （1）如图1，平分交轴于点，交于点，直接写出点、、的坐标：（ ， ）（ ， ）（ ， ）； （2）如图1，在（1）的条件下，为的中点，求的值，并直接写出的值； （3）如图2，点从点出发沿射线运动，点从点出发沿运动，若、两点以相同的速度同时出发运动，当，时，试求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期3月思维训练初二数学 考试范围：八下第16、17、18章；考试时间：120分钟； 命题人： 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷 一、单选题（共30分） 1. 下列各式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟知（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算．根据二次根式的性质以及二次根式运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、3与不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴． 故选：D． 4. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ）． A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意得，大树折断部分、未折断部分及地面正好构成直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，大树折断部分的长度为， 这棵大树在折断前的高度为． 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，平行四边形顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质并利用数形结合的思想是解题关键．根据平行四边形的性质结合所给三个顶点的坐标可得出，，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，， ∴，轴， ∴，， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 7. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明得到OE的长，再证明可得到EF的长，从而可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 同理可证，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答此题的关键． 8. 两张全等的矩形纸片按如图所示的方式交叉叠放，，．与交于点G，与交于点H，且，，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】证明四边形是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】解：∵两张全等的矩形纸片按如图所示的方式交叉叠放，，，， ∴，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 四边形周长为16． 故选D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形是菱形是解题的关键． 9. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且和互相平分 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据三角形的中位线定理先证明四边形是平行四边形，再证明其是菱形，最后根据有一个角是直角的菱形的是正方形即可证明． 【详解】解：如图： 当且，四边形是正方形，理由如下： ∵点E，F，G，H分别是边的中点， ∴,，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，故D符合题意，而A、B、C均不能证明，不符合题意， 故选：D． 10. 如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积的； ⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，即可得出结论． 详解】解：正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ，故⑤正确； 综上所述，其中正确的有①②④⑤，正确的个数是4． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，整式的加减计算，根据数轴上点的位置判断式子符号，解题关键是掌握绝对值性质和二次根式的性质． 由数轴得，，再根据绝对值性质和二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，．将边与数轴重合，点，点对应的数分别为，．以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，数轴上表示无理数，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得到，由勾股定理得到，结合数轴的特点即可求解． 【详解】解：点，点对应的数分别为，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵点表示数是， ∴以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为， 故答案为： ． 14. 如图，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵为的中位线，， ∴，点是的中点， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，折叠矩形纸片，先折出折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕，若，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、二次根式的运算，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题关键．设点落在上点处，连接，先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，，，设，则，在中，利用勾股定理求解即可得答案． 【详解】解：如图，设点落在上点处，连接， 四边形是矩形，且， ，， ， ， 由折叠的性质得：，，， ，， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故答案为：． 16. 如图所示，是线段上的两点，，，，点是线段上的一动点，分别以为边在的同一侧作两个等边三角形，连接并取中点为，连结，在点从点出发运动到点的过程中，线段扫过的区域面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于H，连接，可证出四边形是平行四边形，P为中点，也是中点，从而点P的运动轨迹为线段，得到扫过的图形为梯形，求出其面积即可解决． 【详解】解：延长交于H，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴，是等边三角形， ∴四边形是平行四边形，， ∵P是的中点， ∴点G、P、H三点共线，且P为的中点， 取的中点M、N点，连接，则为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴三点共线， ∴点在线段上移动， ∴扫过的图形为梯形， ∵， ∴， ∴， 过H作于Q，取的中点，连接，则：，，， ∴，在线段上，为梯形的高线， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，解题的关键是确定点的运动轨迹． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】利用零指数幂，二次根式的性质对各项进行计算，再依次进行合并即可．本题考查了零指数幂，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及加减法运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质化简，实数的混合运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的混合运算计算即可； （2）先运用平方差公式展开，分式的除法运算得到，最后再根据实数的混合运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，在菱形中，E，F分别是边上的点，且，连接交于点G．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． 根据菱形的性质可得，进而得到，再通过证明即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）1 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而可得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴的长为1； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 21. 如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质可得：，，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由四边形是平行四边形可得：，，结合，可得，即可得证． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 22. 如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若平分，且，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，，设，在和利用勾股定理建立方程，解方程求出的值即可解答． 【小问1详解】 证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． 【小问2详解】 解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）中的结论得，，，四边形为矩形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 23. 如图1，四边形中， ，，，，，动点在线段边上以每秒1个单位的速度由点向点运动，动点从点同时出发，以每秒3个单位的速度向点运动，设动点的运动时间为秒． （1）当为何值时，满足和？请说明理由． （2）如图2，若是上一点，，那么在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），理由见解析； （2），理由见解析； 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，勾股定理，解题关键是能正确建立方程． （1）要满足和，即四边形为平行四边形，已有，故需要，由此可以得到关于的方程，解方程即可求解； （2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到，再利用勾股定理建立方程求解即可； 【小问1详解】 解： 连接，如图所示， 若满足和，则四边形为平行四边形， ， 设动点的运动时间为秒， 则，， ， ， 解得：，符合题意， 当，满足和； 【小问2详解】 解：假设在线段上存在一点，使得四边形是菱形，连接，， 设动点的运动时间为秒，则， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 此时，， 当时，在线段上存在一点，使得四边形是菱形． 24. 如图1，在菱形中，E 是边上的点，是等腰三角形，，（）． （1）如图2，当时，连接交于点P， ①直接写出的度数； ②求证：． （2）如图1，当时，若，求的值． 【答案】（1）①②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①在上截取，连接，证明，再结合菱形性质得出结论；②作交于点N，证明四边形是平行四边形，根据性质得出，再根据勾股定理得出结论； （2）延长使，连接，过F作交延长线于点N，先证求出，设，则，利用勾股定理求出，计算得出结论； 【小问1详解】 解：①在上截取，连接， ， ， ， 又， ， 四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， ， ； ②作交于点N， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，， ； 【小问2详解】 解：延长使，连接，过F作交延长线于点N， ， ， ， ， ， 解得， 设，则， ， ， 由勾股定理，得， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形是的判定与性质，全等三角形判定与性质及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质及添加辅助线解决问题是解题关键． 25. 在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接． （1）如图1，平分交轴于点，交于点，直接写出点、、的坐标：（ ， ）（ ， ）（ ， ）； （2）如图1，在（1）的条件下，为的中点，求的值，并直接写出的值； （3）如图2，点从点出发沿射线运动，点从点出发沿运动，若、两点以相同的速度同时出发运动，当，时，试求出的最小值． 【答案】（1）0；；；；； （2）的值为，的值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质得到，，，，得到，再利用角平分线的定义推出，得到，再利用平行线的性质得到，得到，即可解答； （2）过点作轴于点，并在的延长线上截取，过点作交的延长线于点，连接，由（1）中的结论证出和都是等腰直角三角形，结合为的中点，可得，，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出点的坐标和的长，进而得出点的坐标和直线的解析式，则可得出点的坐标，再通过证明，得到，即可求解； （3）以为边向下作正方形，连接、，利用正方形的性质和勾股定理求出的长，再通过证明得到，最后利用即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：，， ，， 四边形为矩形， ，，，， ， 平分， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述，，，． 故答案为：0；；；；；． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点，并在的延长线上截取，过点作交的延长线于点，连接， 由（1）得，，， ， ，， 和都是等腰直角三角形， ，， 为的中点， ，， ，， 轴， ，轴， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 又， ， ， ，轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， 综上所述，的值为，的值为． 【小问3详解】 解：如图，以为边向下作正方形，连接、， 正方形， ，， ，， 在中，， 由题意得，， 在和中， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系、矩形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、待定系数法求函数解析式、正方形的性质、勾股定理与最短路径问题，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和推理论证能力，适合有能力解决难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$