七年级（下）期中数学试卷（培优卷）（考查范围：第1～3章）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（浙教版2024）

2024-2025学年七年级（下）期中数学试卷（培优卷） 【浙教版2024】 考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第1~3章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级·陕西渭南·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 2．（3分）（24-25七年级·黑龙江绥化·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25七年级·江苏徐州·期末）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25七年级·福建泉州·期中）若，，则代数式的值等于(   ) A． B． C． D． 5．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25七年级·山东日照·期末）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则为（    ） A．15 B．22 C．28 D．30 7．（3分）（24-25七年级·山西晋中·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25七年级·河南许昌·期末）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（   ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25七年级·四川乐山·期末）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2023． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 10．（3分）（24-25七年级·重庆北碚·期中）如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级·浙江·阶段练习）若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 12．（3分）（24-25七年级·山东日照·期中）如图，已知直线相交于点O，为射线，，平分，，则的度数为 ． 13．（3分）（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知，则 ． 14．（3分）（24-25七年级·浙江宁波·期末）如图，一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则 ． 15．（3分）（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）计算： ． 16．（3分）（24-25七年级·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级·广东深圳·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 18．（6分）（24-25七年级·山东德州·期末）计算： (1)； (2)． 19．（8分）（24-25七年级·陕西西安·期末）如图，在中，过点作直线为上一点，连接交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．（8分）（24-25七年级·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 21．（10分）（24-25七年级·四川成都·期末）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 22．（10分）（24-25七年级·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，，射线在内（如图1）． （1）若比小25度，求的大小； （2）若射线平分，（如图2），则（用含的代数式表示，请直接写出结果） 23．（12分）（24-25七年级·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积： ， ． (2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． (3)运用上述方法计算． 24．（12分）（24-25七年级·安徽安庆·期末）已知点，，不在同一条直线上，． (1)如图①，当 ， 时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，试探究与之间的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，有，，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级（下）期中数学试卷（培优卷） 【浙教版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25七年级·陕西渭南·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 根据方程的解的定义把代入二元一次方程中，再解关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：代入二元一次方程，得 ， 解得：， 故选：C． 2．（3分）（24-25七年级·黑龙江绥化·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（3分）（24-25七年级·江苏徐州·期末）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A，和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，不能判断，故符合题意； B，和是直线被直线所截形成的内错角，内错角相等，可以判断，故不符合题意； C，和是直线被直线所截形成的同位角，同位角相等，可以判断，故不符合题意； D，和是直线被直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补，可以判断，故不符合题意； 故选：A． 4．（3分）（24-25七年级·福建泉州·期中）若，，则代数式的值等于(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用多项式的乘法法则把所求式子展开，然后代入已知的式子即可求解． 【详解】， 当，时， 原式． 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式－化简求值，理解多项式的乘法法则是关键． 5．（3分）（24-25七年级·安徽安庆·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 6．（3分）（24-25七年级·山东日照·期末）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则为（    ） A．15 B．22 C．28 D．30 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 7．（3分）（24-25七年级·山西晋中·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角，三角形的外角以及平行线的性质，对顶角求出的度数，三角形的外角，求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵光线平行于主光轴， ∴， ∴； 故选D． 8．（3分）（24-25七年级·河南许昌·期末）在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可； 【详解】解：由题意可得， 图②所示的算筹图可以表述为：， 故选：B． 9．（3分）（24-25七年级·四川乐山·期末）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2023． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知， 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数的之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2024，因此除以2024，余数为，即2023． 故结论④正确； 故选D． 10．（3分）（24-25七年级·重庆北碚·期中）如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得 ，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级·浙江·阶段练习）若要使 的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到，根据展开式中不含的项，即的系数为零，据此建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， 展开式中不含的项， ， 解得， 故答案为：． 12．（3分）（24-25七年级·山东日照·期中）如图，已知直线相交于点O，为射线，，平分，，则的度数为 ． 【答案】/128度 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 13．（3分）（24-25七年级·湖南娄底·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查解二元一次方程组和绝对值、平方数的非负性，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0． 由原等式得到两个二元一次方程，求解方程得字母值，代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：，， ∴． 故答案为：1． 14．（3分）（24-25七年级·浙江宁波·期末）如图，一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 过点作，平行线的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（3分）（24-25七年级·吉林长春·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了平方差公式．把2变为，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 16．（3分）（24-25七年级·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长，相交于Q点，证明，则，求出，则可得的度数；当在下方时，延长交于Q点，证明，则．求出，则可得的度数． 本题考查了矩形中的折叠问题，分类讨论，掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：①如图，在上方时， 延长，相交于Q点， 由折叠知：，， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ， ； ②如图，在下方时， 延长，交于Q点， 由折叠知：，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ． 故答案为：或 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级·广东深圳·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法求解成为解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）直接运用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：； 得：，解得：． 把代入②得． 所以原方程组的解为． （2）解：， 由①得：③ 把③代入②得，解得：． 把代入③得：． 所以原方程组的解为：． 18．（6分）（24-25七年级·山东德州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的化简，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）利用负整数指数幂，积的乘方，同底数幂相乘，即可解答； （2）先利用平方差，完全平方公式，再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ． 19．（8分）（24-25七年级·陕西西安·期末）如图，在中，过点作直线为上一点，连接交于点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质定理． （1）根据得到，结合，得到即可． （2）先求得，结合，可得，根据即得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 20．（8分）（24-25七年级·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 21．（10分）（24-25七年级·四川成都·期末）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元 (2)共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵 【分析】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设未知数，列出方程或方程组； （1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，列出方程，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵． 22．（10分）（24-25七年级·安徽合肥·期末）如图，直线与相交于点，，射线在内（如图1）． （1）若比小25度，求的大小； （2）若射线平分，（如图2），则（用含的代数式表示，请直接写出结果） 【答案】（1）80°；（2）． 【分析】（1）由∠CEG=∠AEG-25°，得∠AEG=180°-∠BEC-∠CEG=180°-45°-（∠AEG-25°），解出∠AEG的度数； （2）计算出∠AEG和∠CEG，然后相减，即可得到结果． 【详解】（1） （2）（2）∵EF平分∠AED， ∴∠AEF=∠DEF， 设∠AEF=∠DEF=α°，∠AEG=∠FEG-∠AEF=（m-α）°， ∠CEG=180°-∠GEF-DEF=180-（m+α）°， ∴∠AEG-∠CEG=（m-α）°-（180-m-α）°=（2m-180）°． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键． 23．（12分）（24-25七年级·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示S1与S2的面积： ， ． (2)根据图1与图2的面积关系，得到等式： ；运用这个等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形：． (3)运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2)； (3)39999 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，解题的关键是： （1）图1阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图2阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积； （2）根据（1）中两部分阴影面积相等即可得到对应的公式； （3）根据（2）的结论将原式变形，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得；， 故答案为：；； （2）解：∵图1和图2中阴影部分面积相同， ∴， 故答案为：；； （3）解： ． 24．（12分）（24-25七年级·安徽安庆·期末）已知点，，不在同一条直线上，． (1)如图①，当 ， 时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，试探究与之间的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，有，，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过点作，证明，再结合平行线的性质与角的和差关系可得答案； （2）如图，过点作，同理可得：．证明，．由角平分线的定义证明，，可得．结合，再进一步可得结论； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出、的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵ ，， ∴ ． （2）解：如图，过点作， 同理可得：． ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． 由（1）得， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、邻补角、角平分线以及垂线的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$