精品解析：河北省沧州市盐山县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末教学质量评估 九年级数学试卷 （总分120分，考试时间120分钟） 卷I（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于x的方程（k为实数）的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与k的值有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式，求出的值即可判定根的情况． 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根是解答此题的关键． 【详解】因为， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3. 已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理计算． 【详解】解：如图OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3， ∴DE=OD-OE=5-3=2cm， ∴点D是圆上到AB距离为2cm的点， ∵OE=3cm＞2cm， ∴在OD上截取OH=1cm， 过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点， 则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm， 即GF到AB的距离为2cm， ∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点， 故选C． 【点睛】本题利用了垂径定理求解，注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一，有三个． 4. 把抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向上平移2个单位长度后所得图象的解析式为， 再向右平移3个单位长度后所得图象的解析式为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握平移规律：左加右减，上加下减． 5. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵ 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ∴cm， 又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°， 由旋转的性质可知：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 6. 如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出A的坐标，然后通过图象比较函数值大小，根据图象在上方的函数值大求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴ ∴m=12 ∴ ∵在反比例函数图象上， ∴ ∴a=6 ∵ ∴或 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标，函数和不等式的关系，数形结合是解题的关键． 7. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图， PA，PB分别与所在圆相切于点A，B． ， ∠P＝40°， ， 该圆半径是9cm， cm， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键． 8. 小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，确定轴对称图形个数，用简单地概率公式解答即可． 本题考查了轴对称图形的甄别，简单地概率公式。熟练掌握定义和公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，既是中心对称图形也是轴对称图形； 是轴对称图形，不是中心对称图形； 既不是中心对称图形也不是轴对称图形； 故小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是． 故选：C． 9. 将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（ ） A. Ⅰ正确，不正确 B. Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C. 1，都正确 D. Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似三角形的判定、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据相似三角形的判定、位似三角形的判定分别判断即可． 【详解】解：分别延长相交于点O， 由题意得，， ， 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ， ， ，， ， ∴与是位似三角形， 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：C． 10. 嘉嘉利用如左图所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成右图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得的值，然后代入求得的值即可． 【详解】解：根据电压电流电阻，设， 将点代入， 可得：， 解得：， ， 若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是， 故选：A． 11. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可． 【详解】解：如图所示：作直径， 在中，，， 又（圆周角定理）， 故选A. 12. 如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下， 甲：若，则点的个数为0； 乙：若，则点的个数为1； 丙：若，则点的个数为1. 下列判断正确的是（ ） A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 【答案】C 【解析】 【分析】分别令x（4－x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点P的个数． 【详解】当b＝5时，令x（4－x）＝5，整理得：x2－4x＋5＝0，△＝（－4）2－4×5＝－6＜0，因此点P的个数为0，甲的说法正确； 当b＝4时，令x（4－x）＝4，整理得：x2－4x＋4＝0，△＝（－4）2－4×4＝0，因此点P有1个，乙的说法正确； 当b＝3时，令x（4－x）＝3，整理得：x2－4x＋3＝0，△＝（－4）2－4×3＝4＞0，因此点P有2个，丙的说法不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的判别式． 卷Ⅱ（非选择题共84分） 二、填空题（本题共4个小题；每小题3分，共12分．把答案写在题中的横线上） 13. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 14. 如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________． 【答案】4（答案不唯一，满足均可） 【解析】 【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可． 【详解】解：当反比例函数图像过时，； 当反比例函数图像过时，； ∴k的取值范围为 ∴k可以取4． 故答案为4（答案不唯一，满足均可）． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键． 15. 学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为_______________m． 【答案】8.5 【解析】 【分析】根据题意得，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解，根据题意得， ∴ ∴ ∴ 故答案为：8.5 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出BE的长是解题关键． 16. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的是_________． ①；②；③；④关于x的方程有实根． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对四个选项进行判断即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由所给函数图象可知，，，， ∴．故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在0和1之间． 又∵抛物线开口向下， ∴当时，函数值小于零，即．故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 又∵， ∴．故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的图象与直线有交点， ∴关于x的方程有实根．故④正确． ∴结论正确的是②④． 故答案为：②④． 三、解答题（共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． （1）求关于x的方程的根； （2）若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】（1）， （2）且 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键． （1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可； （2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决． 【小问1详解】 ， ， ． ， ， ， 【小问2详解】 ， 整理得：． 方程有两个实数根， 且， 解得：且 18. 如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的长； 【答案】（1） ，理由如下． ∵，D，E分别为的中点， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即：． （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证； （2）设，在中，由勾股定理得：，解方程即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：中，， ∴，同理可求， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴． 19. 如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则 ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由正方形的性质可得，，然后根据对应边成比例且夹角相等即可得到结论； （2）通过证明，可得，根据可得、，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴． 20. 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）九（1）班共有________名学生； （2）补全折线统计图； （3）D所对应扇形圆心角的大小为________； （4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率． 【答案】（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4） 【解析】 【分析】（1）用B组频数除以所占百分比即可求解； （2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图； （3）用360°乘以D组所占百分比即可求解； （4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解． 【详解】（1）20÷40%=50（人）， 故答案为：50； （2）50-10-20-5=15（人）， 补全折线统计图如图： ； （3）， 故答案为：； （4）列表如下： 小明 小丽 A B C D A B C D 由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种， 所以P（相同主题）． 【点睛】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共信息是解题第（1）（2）（3）步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关键． 21. 一个工件槽的两个底角，点A，B的初始高度相同，尺寸如图1所示（单位：），将一个形状规则的铁球放入槽内，测得球落在槽内的最大深度为（E为球的最低点）． （1）求该铁球的半径； （2）如图2，将这个工件槽的右边升高（）后，求该平面图中铁球落在槽内的弧的长度．（参考数据：，，） 【答案】（1）铁球的半径为 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，垂径定理结合勾股定理，进行求解即可； （2）连接过点作，勾股定理求出的长，进而求出，得到，进而求出，再利用弧长公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，交于点， 由题意，得：， ∴， 设铁球的半径为，则：，， 由勾股定理，得：，即：， 解得：； ∴铁球的半径为； 【小问2详解】 连接过点作，则：，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长度为． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求弧长等知识点，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 22. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标． 【小问1详解】 解：轴， ， ， ， ， ， ， 点A在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴于点E， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 点A、C是反比例函数和一次函数的交点， 联立，解得：或， ， ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键． 23. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． （1）写出的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 【答案】（1）的最高点坐标为，，； （2）符合条件的n的整数值为4和5． 【解析】 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则； 【小问2详解】 解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 24. 某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．，而W的大小与运输次数n及平均速度x（）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据． 次数n 2 1 速度x 40 60 指数Q 420 100 （1）用含x和n的式子表示Q； （2）当，时，求n的值； （3）若，要使Q最大，确定x的值； （4）设，，能否在n增加（）同时x减少的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）能， 【解析】 【分析】（1）根据题意，不妨设，则，根据题意，构造方程组，确定比例系数即可； （2）把，代入解析式解答即可； （3）把代入解析式，转化成二次函数，求最值即可； （4）设，，根据n增加（）同时x减少，Q的值为420建立方程求解，根据方程解的情况解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，不妨设，则， 根据题意，得， 解得， 故． 【小问2详解】 解：把，代入解析式，得 ， 解得． 【小问3详解】 解：把代入解析式，得 ， ∵， ∴函数图象开口向下，有最大值， 故当时，Q有最大值， 即要使Q最大，． 【小问4详解】 解：设，，根据题意，得 ， 解得或（舍去）， 故能，此时． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，求函数值，构造二次函数求最值，构造一元二次方程解题，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值，解方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末教学质量评估 九年级数学试卷 （总分120分，考试时间120分钟） 卷I（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 关于x的方程（k为实数）的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与k的值有关 2. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 把抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 8. 小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（ ） A. Ⅰ正确，不正确 B. Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C. 1，都正确 D. Ⅰ，Ⅱ都不正确 10. 嘉嘉利用如左图所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成右图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 11. 如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下， 甲：若，则点的个数为0； 乙：若，则点的个数为1； 丙：若，则点的个数为1. 下列判断正确的是（ ） A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 卷Ⅱ（非选择题共84分） 二、填空题（本题共4个小题；每小题3分，共12分．把答案写在题中的横线上） 13. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 14. 如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________． 15. 学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为_______________m． 16. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的是_________． ①；②；③；④关于x的方程有实根． 三、解答题（共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． （1）求关于x的方程的根； （2）若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 18. 如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的长； 19. 如图，在正方形中，E、F分别是边、CD上的点，， ，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 20. 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）九（1）班共有________名学生； （2）补全折线统计图； （3）D所对应扇形圆心角的大小为________； （4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率． 21. 一个工件槽的两个底角，点A，B的初始高度相同，尺寸如图1所示（单位：），将一个形状规则的铁球放入槽内，测得球落在槽内的最大深度为（E为球的最低点）． （1）求该铁球的半径； （2）如图2，将这个工件槽的右边升高（）后，求该平面图中铁球落在槽内的弧的长度．（参考数据：，，） 22. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 23. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． （1）写出的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 24. 某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．，而W的大小与运输次数n及平均速度x（）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据． 次数n 2 1 速度x 40 60 指数Q 420 100 （1）用含x和n的式子表示Q； （2）当，时，求n的值； （3）若，要使Q最大，确定x的值； （4）设，，能否在n增加（）同时x减少的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $