专题10 期中复习——实数的运算（五大题型总结）（计算题专项训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册计算题专项训练系列（湘教版2024）

专题10 期中复习——实数的运算（五大题型总结） 【题型一：利用平方根与立方根解方程】 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先将变形为，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先将变形为，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可． 【解题过程】 （1）解：， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：，． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）求下列各式中的x． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查平方根和立方根的性质； （1）先求出，再根据平方根的性质解方程即可； （2）先求出，再根据立方根的性质解方程即可． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解方程： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查了平方根和立方根的应用，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义即可解答； （2）移项，化简，根据立方根的定义即可解答； 【解题过程】 （1）解：， 化简得，， ∴或． （2）解：， 移项得，， 化简得，， ∴． 4．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）求下列各式中实数x的值： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （2）， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）求的值： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答本题的关键． （1）先计算，方程两边再开方，得两个一元一次方程，最后解一元一次方程，可得解； （2）方程移项后除以8，得，再移项后开立方即可得到方程的解． 【解题过程】 （1）解：， ， 解得，或； （2）解：， ， ， ， ， 解得，． 【题型二：实数的混合运算】 6．（23-24七年级下·河南许昌·期中）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）利用开平方、开立方进行计算后，再进行加减运算即可． （2）利用开平方、开立方、取绝对值进行化简后，再进行加减运算即可． 【解题过程】 （1）解： ． （2）解： ． 7．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算下列各题． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解题过程】 （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（23-24七年级下·重庆·期中）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查了实数的运算： （1）先计算立方根和算术平方根，再计算乘方，最后计算加减法即可； （2）根据实数的运算法则求解即可． 【解题过程】 （1）解； ； （2）解： ． 9．（23-24七年级下·重庆·期中）计算： （1）； （2）； 【思路点拨】 本题考查了实数的运算，熟记运算法则是解题关键． （1）根据立方根、算术平方根、乘方进行计算，最后加减即可； （2）根据立方根、算术平方根、绝对值、有理数除法进行计算，最后加减即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 10．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 （1）先计算乘方和去绝对值符号，再计算加减即可． （2）先进行开方运算，再计算加减即可． 本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解题过程】 （1） ； （2） ． 11．（24-25七年级下·全国·期中）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了实数的混合运算、立方根与算术平方根，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算算术平方根与立方根，再计算加减法即可得； （2）先化简绝对值，再计算实数的加减法即可得． 【解题过程】 （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 12．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键； （1）先根据算术平方根的性质、实数的性质化简，再计算，即可求解； （2）先根据算术平方根、立方根的概念及实数的性质化简，再计算，即可求解． 【解题过程】 （1）解： ． （2）解： ． 13．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）计算： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方、算术平方根、立方根、化简绝对值，再运算加减即可； （2）先计算乘方、立方根、化简绝对值，再运算乘法，最后进行加减运算即可． 【解题过程】 （1）解：原式 （2）解：原式 14．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）计算： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可； （2）先计算乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再计算加减即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ． 15．（23-24七年级下·全国·期中）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查实数的混合运算，先根据算术平方根和立方根的定义化简，再求值是解题的关键． （1）先根据平方、立方根、算术平方根进行化简，再计算即可； （2）先根据平方、绝对值、算术平方根进行化简，再计算即可． 【解题过程】 （1）解： （2） 【题型三：平方根与立方根的综合运用】 16．（24-25八年级上·全国·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 【思路点拨】 此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的关系． 由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求平方根． 【解题过程】 解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴，解得， ∴， 由，得， ∴， ∵， ∴的平方根是． 17．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知的立方根是，的算术平方根是2，c的平方根是它本身． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 【思路点拨】 本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键． （1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案； （2）根据（1）中所求，，的值代入代数式中求出答案再求平方根即可求出答案． 【解题过程】 （1）解： ∵，，c的平方根是它本身， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：由（1）知：，，， ∴， ∴的平方根是． 18．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知正数的两个平方根分别是和 （1）求代数式的值； （2）当时，求的算术平方根． 【思路点拨】 本题考查了平方根和相反数的应用，注意：正数有两个平方根，它们互为相反数． （1）根据正数有两个平方根，它们互为相反数得出，再整体代入即可求解； （2）把代入，求得，进而可求出x的值，进一步计算即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵正数x的两个平方根是和， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，解得， ∴， ∴正数x的值为， ∴， ∴的算术平方根是． 19．（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【思路点拨】 此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （1）先根据平方根的定义，得，再化简即可； （2）根据平方根的定义，得，代入，再利用平方根的定义解方程即可． 【解题过程】 （1）解：正实数的两个平方根分别是和， ， ， 若，则； （2）解：正实数的两个平方根分别是和， ， ， ，即， ， 是正实数，即， ． 20．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． （1）求这个正数； （2）若和满足，求的平方根． 【思路点拨】 本题考查的是平方根和立方根，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答； （2）根据绝对值的非负性可得b，根据平方的非负性可得c，再根据平方根的定义求解即可． 【解题过程】 （1）解：一个正数的两个不相等的平方根是与． ，   ， ． （2）， ；，   ，， ，   的平方根是． 【题型四：无理数整数部分的有关计算】 21．（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知，，c是的整数部分，求的平方根． 【思路点拨】 此题考查了立方根、算术平方根、无理数的估算等知识，根据立方根的定义求出，再根据算术平方根定义求出，求出，根据无理数估算求出，进一步求出答案即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，c是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 22．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根． 【思路点拨】 本题考查了平方根，立方根，估算无理数的大小，根据题意可得，，从而求出的值，再估算出的值即可求解，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键． 【解题过程】 解： ∵的平方根是， ， ∴， ∵的立方根是， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 23．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们规定：用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分， 例如：．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，即．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以这个数减去其整数部分就是其小数部分，又例如：，． 请解答下列问题： （1）______，______； （2）如果，求的值； （3）的值为______． 【思路点拨】 本题考查了估算无理数的大小和平方根的意义 （1）先估算出的范围，再根据题目规定的表示方法写出答案即可； （2）先估算出，的范围，得出a和b的值． （3）计算出整数部分为1、2、3……的算术平方根的个数即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵ ∴ ∴， （2）解：∵ ∴ ∴ （3）∵，， ∴中，为的有个，为的有个…… ∴ 24．（23-24七年级下·山东临沂·期中）阅读下列信息材料： 信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如：，等，而常用的“……”或者“”的表示方法都不够准确； 信息2：的整数部分是，小数部分是，小数部分可以看成得来的； 信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如． 根据上述信息，回答下列问题： （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）若是夹在相邻两个整数和之间的数，则______； （3）若，其中是整数，且，求的相反数． 【思路点拨】 本题考查了无理数的估值方法，理解题意，按照题目所给的表示方法去解答是解题的关键． （1）先估算在哪两个整数之间，即可确定的整数部分和小数部分； （2）先估算出的整数部分，再利用不等式的性质即可确定答案； （3）先求出的整数部分，得到的整数部分即为的值，从而表示出的结果，再求的相反数即可； 【解题过程】 （1）∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴ 即， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴ 即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴ ∴的相反数为． 25．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为，小数部分为，根据以上知识解答下列各题： （1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （2）已知，其中是整数，且，求的相反数； （3）已知的小数部分为，的小数部分为，求的平方根． 【思路点拨】 （1）首先得出，的取值范围，求得a，b，进而得出答案； （2）首先估算出的大小，然后求得x，y的值，从而可求得答案； （3）首先得出，的取值范围，求得a，b，进而得出答案． 【解题过程】 （1）解：∵，即 ∴ ∵，即 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴的小数部分为：，的整数部分为：1， ∴的整数部分为：，小数部分为：， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵， ∴的小数部分为：，整数部分为：3； ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的小数部分为：， ∴， ∴， ∴的平方根为：． 【题型五：与实数有关的规律问题】 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： （1）计算：＝ ；＝ ； （2）猜想规律：＝ （n为正整数）； （3）利用规律计算的值． 【思路点拨】 本题考查数字变化的规律，解题的关键是： （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取3之后，根据发现的规律即可解决问题． 【解题过程】 （1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知， 从1开始连续个奇数的和等于的平方， 又， 所以． 故答案为：． （3）原式 ． 27．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1）_______； （2）简便计算：． 【思路点拨】 本题考查算术平方根，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键． （1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）将原式化为题目规律中的形式，利用简便方法求出结果即可． 【解题过程】 （1）解：， 故答案为：，21； （2）解： ． 28．（23-24七年级下·河南濮阳·期中）观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算， （2）用含正整数n的代数式表示上述算式的规律 ， （3）计算： 【思路点拨】 （1）利用二次根式的运算法则和算式规律进行计算即可； （2）根据原题的算式写出规律即可； （3）利用（2）中找到的规律化简每个算式，再进行加减运算即可． 【解题过程】 （1）解：，， 故答案为：6，27； （2）由题意得到或； （3） ． 29．（23-24七年级下·山东日照·期中）阅读理解题： 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： （1）第4个等式为________； （2）猜想：第n个等式为________（n为正整数）； （3）利用上面的解法，请化简：． 【思路点拨】 本题主要考查了与实数有关的规律探索： （1）根据给出的等式找出一般规律，写出第4个等式即可； （2）根据题干中给出的一般规律，写出第n个等式即可； （3）根据（2）的规律把对应式子进行替换，然后隔项相消即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； … 第4个等式为：． 故答案为：． （2）解：解：第n个等式为：（n为正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 30．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… （1）请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； （2）请利用上述规律，猜想_________=_________； （3）计算：的值． 【思路点拨】 本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：根据题意可得： ； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 期中复习——实数的运算（五大题型总结） 【题型一：利用平方根与立方根解方程】 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程： （1）； （2）． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）求下列各式中的x． （1）； （2）． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解方程： （1） （2） 4．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）求下列各式中实数x的值： （1） （2） 5．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）求的值： （1）； （2）． 【题型二：实数的混合运算】 6．（23-24七年级下·河南许昌·期中）计算： （1）； （2）． 7．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算下列各题． （1）； （2）． 8．（23-24七年级下·重庆·期中）计算： （1）； （2）． 9．（23-24七年级下·重庆·期中）计算： （1）； （2）； 10．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算： （1）； （2）． 11．（24-25七年级下·全国·期中）计算： （1）； （2）． 12．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）计算： （1）； （2）． 13．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）计算： （1） （2） 14．（23-24八年级上·重庆荣昌·期中）计算： （1） （2） 15．（23-24七年级下·全国·期中）计算： （1）； （2）． 【题型三：平方根与立方根的综合运用】 16．（24-25八年级上·全国·期中）若，正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 17．（24-25八年级上·陕西西安·期中）已知的立方根是，的算术平方根是2，c的平方根是它本身． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 18．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知正数的两个平方根分别是和 （1）求代数式的值； （2）当时，求的算术平方根． 19．（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 20．（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． （1）求这个正数； （2）若和满足，求的平方根． 【题型四：无理数整数部分的有关计算】 21．（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知，，c是的整数部分，求的平方根． 22．（23-24七年级下·福建福州·期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根． 23．（23-24七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们规定：用表示实数的整数部分，用表示实数的小数部分， 例如：．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，即．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以这个数减去其整数部分就是其小数部分，又例如：，． 请解答下列问题： （1）______，______； （2）如果，求的值； （3）的值为______． 24．（23-24七年级下·山东临沂·期中）阅读下列信息材料： 信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如：，等，而常用的“……”或者“”的表示方法都不够准确； 信息2：的整数部分是，小数部分是，小数部分可以看成得来的； 信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如． 根据上述信息，回答下列问题： （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）若是夹在相邻两个整数和之间的数，则______； （3）若，其中是整数，且，求的相反数． 25．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为，小数部分为，根据以上知识解答下列各题： （1）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （2）已知，其中是整数，且，求的相反数； （3）已知的小数部分为，的小数部分为，求的平方根． 【题型五：与实数有关的规律问题】 26．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： （1）计算：＝ ；＝ ； （2）猜想规律：＝ （n为正整数）； （3）利用规律计算的值． 27．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： （1）_______； （2）简便计算：． 28．（23-24七年级下·河南濮阳·期中）观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： （1）观察算式规律，计算， （2）用含正整数n的代数式表示上述算式的规律 ， （3）计算： 29．（23-24七年级下·山东日照·期中）阅读理解题： 阅读下列解题过程：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： （1）第4个等式为________； （2）猜想：第n个等式为________（n为正整数）； （3）利用上面的解法，请化简：． 30．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… （1）请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； （2）请利用上述规律，猜想_________=_________； （3）计算：的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$