精品解析：山东省聊城市高唐县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 说明：1．考试时间为120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生必须将自己的姓名、准考证号、学校按要求填写在答卷密封线左边的空格内． 3．答题可用黑色或蓝色字迹的钢笔或签字笔按要求答在答卷上，但不能用铅笔或红笔． 4．答案写在试题上无效． 5．一律不允许使用科学计算器． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列汽车标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 当时分式有意义 C. 分式的值为0，则的值为 D. 无论为何值，总有意义 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中真命题的个数是（ ） ①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤边长相等的两个等边三角形全等；⑥三角形一条边上的中点到另两边的距离相等． A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 5. 如图，是延长线上一点，下列条件中能判定的有（ ） A. B. C. D. 且 6. 《聊城市初中毕业生体育考试实施方案》中指出初中毕业生体育考试成绩由运动参与、运动技能测试、体质健康测试和统一体能测试四部分得分合成，其中体质健康测试在八年级下学期集中测试，满分30分．某学校体育老师对八年级（7）班全体学生进行了一次体质健康测试，成绩如下： 成绩/分 24 25 26 27 28 29 30 人数 5 10 12 15 5 2 1 根据表中信息判断，下列结论中错误的是（ ） A. 该班一共有50名同学 B. 该班学生这次测试成绩的众数是27分 C. 该班学生这次测试成绩的中位数是27分 D. 该班学生这次测试成绩的平均数是分 7. 如图，在中，，点是的中点，过点作的垂线交于，，连接，则有（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面五个条件：①；②；③；④；⑤以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（ ） A. ①②⑤⇒④ B. ①②④⇒③ C. ①③⑤⇒② D. ②③⑤⇒① 9. 聊城与北京相距496千米，2024年1月10日济郑高铁通车后，在两地间行驶高铁平均车速比原来动车平均车速提高了，时间比原来缩短了74分钟．设原来的平均车速为千米/小时，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分交边于点，为上一动点，若使得的值最小，下列四个示意图中正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分，只要求填写最后的结果．） 11. 计算：________． 12 已知点，关于轴对称，则________． 13. 在中，，的垂直平分线与的所在的直线相交所成的锐角是，则________． 14. 已知，则________． 15. 关于的分式方程有增根，则________． 16. 如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法正确的是________． ①平分；②； ； 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．） 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 18. 在平面直角坐标系中，点，， （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是________； （2）若点到点，，的距离相等，则点的坐标是________； （3）直线过点且平行于轴，关于直线的对称图形是，写出的三个顶点的坐标． 19. 毒品危害人们的身心健康，吞噬人们的肉体和灵魂，直接毁灭我们的美好生活，某校为了解该校对禁毒知识的掌握情况，对不同年级甲、乙两个班的同学（抽取的两个班的学生人数相等）进行了知识测试，并对得分情况进行了整理和分析（得分用整数表示，单位：分），把结果分为等级：，等级：，等级：，并绘制成如上统计图，其中甲班学生测试成绩数据的众数出现在等级，等级的测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；乙班学生成绩数据的等级共有人． 甲乙两个班样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示 成绩 甲班 乙班 平均数 86 86 中位数 90 众数 95 方差 905 89.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________． （2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的________，________，________班的样本成绩的离散程度更大． （3）结合以上数据，你认为哪个班的测试成绩更好？并说明理由． 20. 在中，，分别是边，边上点，作于点，于点，连接，若，． （1）求证：； （2）若，的面积为6，求的面积． 21. 在中，垂直平分，连接，平分． （1）若，求的度数． （2）若，周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 22. 随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入、两种智能机器人执行还书任务，型机器人比型机器人每小时多还书30本，型机器人还1000本书所用的时间与型机器人还800本书所用的时间相等． （1）、两种机器人每小时分别还多少本书？ （2）图书馆现有900本书需要通过还书机器人归还书库，共同还书2小时后，型机器人因另有任务而退出，求型机器人退出后，型机器人还需还书多少小时才能还完这些书？ 23. 阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×月星期四 今天数学课，复习完三角形全等的证明方法和直角三角形的性质之后，重点解决了一个数学问题：是等腰直角三角形，是斜边边上的高，点是上的任意一点，作于点，交于点，根据题意可以得到如下两个结论吗？并说明你的理由（1）；（2）． 第一个结论： 是等腰直角三角形， 是斜边边上的中线（依据） 又 为等腰直角三角形 第二个结论…… （1）以上证明过程中，依据是________． （2）请帮助小亮证明第二个结论：． （3）除了以上两个结论外，你还能得到哪些相等的线段，并说明你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末学业水平检测 八年级数学试题 说明：1．考试时间为120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生必须将自己的姓名、准考证号、学校按要求填写在答卷密封线左边的空格内． 3．答题可用黑色或蓝色字迹的钢笔或签字笔按要求答在答卷上，但不能用铅笔或红笔． 4．答案写在试题上无效． 5．一律不允许使用科学计算器． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 下列汽车标志是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 当时分式有意义 C. 分式值为0，则的值为 D. 无论为何值，总有意义 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式值为零的条件，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据分式的分母含有字母判断选项A；根据分式有意义的条件为分式的分母不等于0判断选项B、D；根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于0判断选项C． 【详解】解：A、不符合分式的定义，代数式不是分式，故该选项不符合题意； B、要分式有意义，则，即，故该选项不符合题意； C、要使分式的值为0，则且，即，故该选项不符合题意； D、因为无论为何值，始终不等于0，所以无论为何值，总有意义，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列等式成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质与运算，熟练掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．根据分式的基本性质，即分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，以及分式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，分子和分母乘以不同的整式，等式不成立，故该选项不符合题意； C、，分子和分母减去同一个的整式，等式不成立，故该选项不符合题意； D、，等式成立，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 下列命题中真命题的个数是（ ） ①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤边长相等的两个等边三角形全等；⑥三角形一条边上的中点到另两边的距离相等． A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据直线、线段、平行线、垂线、全等三角形、等边三角形、与三角形有关的线段等相关知识逐项判断即可． 【详解】解：两点确定一条直线，故①是真命题； 两点之间，线段最短，故②是真命题； 在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是真命题； 边长相等的两个等边三角形全等，故⑤是真命题； 三角形一条边上的中点到另两边的距离不一定相等，故⑥是假命题； 综上可知，真命题的个数是4个， 故选B． 5. 如图，是延长线上一点，下列条件中能判定的有（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一排除即可求解，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，原选项不符合题意； 、∵， ∴，原选项不符合题意； 、由， 不能判定，原选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴， ∴，原选项符合题意； 故选：． 6. 《聊城市初中毕业生体育考试实施方案》中指出初中毕业生体育考试成绩由运动参与、运动技能测试、体质健康测试和统一体能测试四部分得分合成，其中体质健康测试在八年级下学期集中测试，满分30分．某学校体育老师对八年级（7）班全体学生进行了一次体质健康测试，成绩如下： 成绩/分 24 25 26 27 28 29 30 人数 5 10 12 15 5 2 1 根据表中信息判断，下列结论中错误的是（ ） A. 该班一共有50名同学 B. 该班学生这次测试成绩的众数是27分 C. 该班学生这次测试成绩的中位数是27分 D. 该班学生这次测试成绩的平均数是分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数、平均数等知识，熟练掌握众数与中位数的定义、加权平均数的计算公式是解题关键．根据众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”与中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、加权平均数的计算公式逐项判断即可得． 【详解】解：该班一共同学总人数为（名），则选项A正确； ∵成绩为27分的人数最多， ∴该班学生这次测试成绩的众数是27分，则选项B正确； 将该班学生这次测试成绩按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为中位数， ∵，， ∴按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数都是26分， ∴该班学生这次测试成绩的中位数是（分），则选项C错误； 该班学生这次测试成绩的平均数是（分），则选项D正确； 故选：C． 7. 如图，在中，，点是的中点，过点作的垂线交于，，连接，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点距离相等是解题的关键． 根据题意可得是的垂直平分线，是的垂直平分线，即可求解． 【详解】解：∵过点作的垂线交于，点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，只有选项D符合题意， 故选：D． 8. 如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面五个条件：①；②；③；④；⑤以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（ ） A. ①②⑤⇒④ B. ①②④⇒③ C. ①③⑤⇒② D. ②③⑤⇒① 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐项判断选项中的三个条件能否判定和全等即可． 【详解】解：A、由，可知，且，，由不能判定和全等，无法得到，所以无法证明，不符合题意； B、由，，可知，，又，由不能判定和全等，无法得到，不符合题意； C、由，，，可知，所以，可得，即，符合题意； D、由，可知，且，，由不能判定和全等，无法得到，不符合题意； 故选：C． 9. 聊城与北京相距496千米，2024年1月10日济郑高铁通车后，在两地间行驶的高铁平均车速比原来动车平均车速提高了，时间比原来缩短了74分钟．设原来的平均车速为千米/小时，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 设原来的平均车速为千米／小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设原来的平均车速为千米小时，则新修的高速公路开通后的平均速度为千米／小时． 根据题意得：． 故选：A． 10. 如图，在中，，、分别为、的中点，平分交边于点，为上一动点，若使得的值最小，下列四个示意图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据轴对称的性质求最短距离，作点关于的对称点，连接，交于点P，即可使得的值最小，据此作答，熟练利用轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：，为的中点， 作点关于的对称点，点在上， 连接，交于点P，即可使得的值最小， 题中B选项符合要求， 故选：B． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分，只要求填写最后的结果．） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减法， 根据同分母分式相加减法则计算．即分母不变，分子相加减． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12. 已知点，关于轴对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，代数式求值，负整数指数幂的计算，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求求出，的值，然后代入求解即可． 【详解】解：，关于轴对称， ，， 解得，， 故答案为：． 13. 在中，，的垂直平分线与的所在的直线相交所成的锐角是，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，并作分类讨论是解题的关键．①当为锐角三角形时，设的垂直平分线交线段于点，交于点，在中可求得，再由三角形内角和定理可求得；②当为钝角三角形时，设的垂直平分线交于点，交直线于点，在中可求得，从而得到，再由三角形内角和定理可求得． 【详解】解：①当为锐角三角形时， 如图，设的垂直平分线交线段于点，交于点， ，， ， ， ； ②当为钝角三角形时， 如图，设的垂直平分线交于点，交直线于点， ，， ， ， ， ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 14. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，由得出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程有增根求参数，准确计算是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出x，代入求值即可 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，，的平分线，交于点，延长，，，，下列说法正确的是________． ①平分；②； ； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质等知识，过点作于点，由角平分线的性质得到，即可判断，假设，进一步得到，与题意矛盾，可判断，由，，得到，可判断，由， 得到，，进而得到，可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴点在平分线上， ∴平分，故符合题意； 假设， ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴假设不成立，故不符合题意； 由可知，， ∴， ∴， ∴，故符合题意； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故符合题意； 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤．） 17. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 【答案】（1），（2）无解 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解分式方程． （1）先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入求值即可； （2）先去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 18. 在平面直角坐标系中，点，， （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是________； （2）若点到点，，的距离相等，则点的坐标是________； （3）直线过点且平行于轴，关于直线的对称图形是，写出的三个顶点的坐标． 【答案】（1）画图见解析，6 （2）画图见解析， （3）画图见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换三角形的面积，垂直平分线的性质等知识． （1）根据A，B，C的坐标在坐标系中描出点，再依次连接即可画出，再利用三角形面积公式即可求出的面积； （2）根据垂直平分线的性质，画出的垂直平分线交于点P，即可； （3）先画出过点且平行于轴的直线l，再根据对称的性质画出图形是，结合图形即可写出的三个顶点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求： 的面积为：； 【小问2详解】 解：如图所示，点为所求： 由图形得：； 【小问3详解】 解：直线l，如图所示： 由图形得：． 19. 毒品危害人们的身心健康，吞噬人们的肉体和灵魂，直接毁灭我们的美好生活，某校为了解该校对禁毒知识的掌握情况，对不同年级甲、乙两个班的同学（抽取的两个班的学生人数相等）进行了知识测试，并对得分情况进行了整理和分析（得分用整数表示，单位：分），把结果分为等级：，等级：，等级：，并绘制成如上统计图，其中甲班学生测试成绩数据的众数出现在等级，等级的测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；乙班学生成绩数据的等级共有人． 甲乙两个班样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示 成绩 甲班 乙班 平均数 86 86 中位数 90 众数 95 方差 90.5 89.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________，________． （2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算乙班这组数据的方差时，公式中的________，________，________班的样本成绩的离散程度更大． （3）结合以上数据，你认为哪个班的测试成绩更好？并说明理由． 【答案】（1）86，95，13 （2）20，86，甲 （3）乙班的测试成绩比较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数，众数，方差，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据题意可知甲班测试成绩的中位数为第10名和第11名成绩的平均数，即可得到；根据众数的概念，且甲班的众数在等级，即可得到；由扇形统计图可知乙班成绩在等级的占比，再根据公式计算即可得到； （2）根据、以及方差的意义，通过表格数据即可得到答案； （3）根据平均数相同，由中位数和方差的大小即可判断． 【小问1详解】 解：由题图可知，抽取的甲班的学生人数为（人），所以甲班测试成绩的中位数为第10名和第11名成绩的平均数，所以； 因为甲班的众数在等级，且甲班等级中成绩为95分出现了4次，出现的次数最多，所以； 由扇形统计图可知乙班成绩在等级的占比为，且抽取的两个班的学生人数相等为20人，所以； 故答案为：86，95，13． 【小问2详解】 解：根据题意，为抽取学生人数，所以， 由表可知乙班平均数， 由表可知甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班的的样本成绩的离散程度更大， 故答案为：20，86，甲． 【小问3详解】 解：乙班的测试成绩比较好， 理由如下：两个班的平均成绩相同，但是乙班的中位数比甲班的大，并且乙班的方差比甲班的方差小，即乙班的成绩更加稳定，所以乙班的成绩比较好． 20. 在中，，分别是边，边上的点，作于点，于点，连接，若，． （1）求证：； （2）若，的面积为6，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到，然后证明，即可得到； （2）根据题意得到为的中线，推出，然后得到，求解即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 为等腰三角形， 由（1）知， ∴， 即为的平分线， 为的中线， ， 在中 ， ， ∵，， ， ， 为中线， ， 的面积为． 21. 中，垂直平分，连接，平分． （1）若，求的度数． （2）若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【小问1详解】 解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； 【小问2详解】 解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角平分线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 22. 随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入、两种智能机器人执行还书任务，型机器人比型机器人每小时多还书30本，型机器人还1000本书所用的时间与型机器人还800本书所用的时间相等． （1）、两种机器人每小时分别还多少本书？ （2）图书馆现有900本书需要通过还书机器人归还书库，共同还书2小时后，型机器人因另有任务而退出，求型机器人退出后，型机器人还需还书多少小时才能还完这些书？ 【答案】（1）型机器人每小时还书150本，型机器人每小时还书120本 （2）3小时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设型机器人每小时还书本，则型机器人每小时还书本．根据“型机器人还1000本书所用的时间与型机器人还800本书所用的时间相等”列分式方程，解方程即可； （2）设型机器人还需还书小时，根据“、共同还书2小时，单独还书小时，共还900本”列一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设型机器人每小时还书本，则型机器人每小时还书本． 根据题意得， 解得， 经检验，为原方程的解，且符合题意， 则， 型机器人每小时还书150本，型机器人每小时还书120本． 【小问2详解】 解：设型机器人还需还书小时， 由题意得：， 解得：， 经检验符合题意． 型机器人还需还书3小时． 23. 阅读与思考 下面是小亮同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×月星期四 今天数学课，复习完三角形全等的证明方法和直角三角形的性质之后，重点解决了一个数学问题：是等腰直角三角形，是斜边边上的高，点是上的任意一点，作于点，交于点，根据题意可以得到如下两个结论吗？并说明你的理由（1）；（2）． 第一个结论： 是等腰直角三角形， 是斜边边上的中线（依据） 又 为等腰直角三角形 第二个结论…… （1）以上证明过程中，依据是________． （2）请帮助小亮证明第二个结论：． （3）除了以上两个结论外，你还能得到哪些相等的线段，并说明你的理由． 【答案】（1）等腰三角形三线合一 （2）见解析 （3），，见解析 【解析】 【分析】该题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． （1）根据题意可得出依据是等腰三角形三线合一． （2）证明，即可证明． （3）根据得出，证明，得出． 【小问1详解】 解：根据题意可得以上证明过程中，依据是等腰三角形三线合一， 故答案：等腰三角形三线合一． 【小问2详解】 证明：，，， ， 在和中， ， ， ． 【小问3详解】 解：相等的线段还有，． 理由：由（2）中， ，， 在和中，，， ， 又，， ， ， 相等的线段，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$