第八章 实数全章题型总结【7个知识点13个题型】（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版2024）

第八章 实数全章题型总结【7个知识点13个题型】 【人教版2024】 【知识点1 平方根的概念及性质】 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. 2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 3.开平方的定义 (1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方. (2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 4.被开方数 正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数. 【知识点2 算术平方根的概念及性质】 1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示. 2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0 (2)算术平方根的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a的算术平方根为非负数，即≥0. 【知识点3 立方根的概念及性质】 1.概念及表示：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数. 2.性质：①每个数a有且只有一个立方根，其中a可正、可负、可为0. ②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【题型1 平方根与立方根的定义理解】 【例1】下列说法正确的有（　　） ①5是25的算术平方根；②±4是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】下列语句，写成式子正确的是（　　） A．3是9的算术平方根，即 B．﹣3是﹣27的立方根，即 C．是2的算术平方根，即 D．﹣27的立方根是﹣3，即 【变式2】学完平方根后，当堂检测环节刘老师布置了5道填空题，下面是丛丛的完成情况：①16的平方根是±4；②0的平方根是0；③9的算术平方根是3；④的算术平方根是是；⑤1的立方根是±1．若每做对一道题得20分，则该次检测丛丛应得分（　　） A．100分 B．80分 C．60分 D．20分 【变式3】某同学在作业本上做的五道题：①“4的平方根是±2”，用数学式子表示为；②；③的算术平方根是2；④；⑤±3都是27的立方根．请你帮他检查一下，他做错了（　　） A．2道 B．3道 C．4道 D．5道 【题型2 算术平方根的非负性求值】 【例1】已知（a﹣1）2+|b+1|0，则a+b+c＝　 　． 【例2】代数式的最大值是 　 　． 【变式1】如果和互为相反数，那么的平方根是　 　． 【变式2】代数式的最大值为　 　，这时a、b满足的关系式是　 　． 【变式3】已知实数a，b，c满足，且ax2+bx+c＝0，则3x2+6x+5的值为 　 　． 【变式4】已知非零实数a，b 满足 ，则a﹣b等于（　　） A．3 B．﹣2 C．1 D．5 【题型3 立方根的性质求值】 【例1】已知：0，则　 　． 【变式1】已知1＝x，则x＝　 　． 【变式2】已知x为有理数，且0，求x2+x﹣3的平方根． 【变式3】（1）已知和互为相反数，且x﹣5的平方根是它本身，求x+y的平方根． （2）已知x，y是实数，且，求x2023﹣y2023的值． 【题型4 平方根与立方根中综合求值】 【例1】已知M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值． 【变式1】已知A是a+b+3的算术平方根，B是a+2b的立方根，求B﹣A的立方根． 【变式2】已知：4a﹣11的平方根为±3，的算术平方根为它本身，3c+13的立方根是4． （1）求a，b，c的值； （2）求a﹣b+c的平方根． 【变式3】已知一个正数a的两个平方根分别为2m+1和5n+7，0． （1）求m和n的值： （2）求3a﹣2m的平方根． 【题型5 运用开平方或开立方解方程】 【例1】解下列方程： （1）8（x﹣1）3； （2）4（2x﹣1）2﹣36＝0． 【变式1】求下列各式中的x的值： （1）； （2）2（x2﹣2）3﹣16＝0． 【变式2】求下列各式中x的值． （1）6（2x﹣3）2＝54； （2）5（x﹣2）3． 【变式3】解方程 （1）3（8﹣x）3﹣（）2＝21； （2）3． 【知识点4 实数的概念及分类】 1.有理数和无理数统称为实数. 2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数. 常见的无理数形式： ①开方开不尽的数，如，等； ②化简后含有π的数，如π，； ③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001… 3.实数的分类： 按定义分：实数 按符号分：实数 【题型6 无理数的定义】 【例1】下面几个数：0.，1.010010001…（两个1中间的0依次增多），，3π，，，其中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1个）中，无理数的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】在3.14，π，3.212212221，，，，2.1212212221…（在相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【变式3】在实数，1.732，π，，，，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1个）中，无理数个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【知识点5 实数与数轴的关系】 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的. 【题型7 实数与数轴的关系】 【例1】实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2所示的数轴上标示了四段范围，则大正方形的边长数值落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【变式2】如图，半径为0.5的圆周上有一点M落在数轴上﹣1点处，现将圆在数轴上向左滚动一周后点M所处的位置在两个连续整数m，n之间（m＜n），则的平方根是（　　） A． B． C． D． 【变式3】实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（　　） A．2a+b B．b C．2a﹣b D．3b 【知识点6 实数的运算】 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的. 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人. 【题型8 实数的混合运算】 【例1】计算： （1）； （2）． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【变式2】计算： （1）； （2）． 【变式3】计算下列各题： （1）； （2）； （3）． 【知识点7 实数大小比较】 1.利用数轴比较实数大小 （1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数； （2）两个正数，绝对值大的数较大； （3）两个负数，绝对值大的数反而小。 2.无理数大小的比较 估算法： （1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则． 常见实数的估算值：，，． 【题型9 实数的大小比较】 【例1】比较2，，的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】5，2，2的大小关系是（　　） A．225 B．522 C．252 D．522 【变式2】2、、15三个数的大小关系是（　　） A．215 B．15＜2 C．215 D．215 【变式3】已知甲、乙、丙三数，甲＝5，乙＝3，丙＝1，则关于甲、乙、丙三个数的大小关系，下列判断正确的是（　　） A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙 【题型10 无理数的整数与小数部分】 【例1】阅读材料：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 请你结合以上材料，解答下列问题： （1）的小数部分是　 　，的整数部分是　 　； （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求5m+2n的值； （3）已知，其中p是整数，且0＜q＜1，请求出的算术平方根． 【变式1】因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题： （1）求的整数部分和小数部分； （2）若m是的整数部分，且（x+1）2＝m，求x的值． 【变式2】阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求（a+b﹣2）2的值； （3）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求的算术平方根． 【变式3】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，是无理数，而12，所以的整数部分是1，于是可用1来表示的小数部分． 材料2：若10a+b，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b． 根据以上材料，完成下列问题： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）3也是夹在相邻两个整数之间的数，可以表示为a＜3b，求a+b的算术平方根． （3）若x+y，则x＝　 　，y＝　 　． 【题型11 估算无理数的近似值】 【例1】下面是小李同学探索的近似数的过程： ∵面积为107的正方形边长是，且， ∴设，其中0＜x＜1，画出如图示意图， ∵图中，S正方形＝107， ∴102+2×10x+x2＝107， 当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即． （1）的整数部分是 　 　； （2）仿照上述方法，探究的近似值；（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.1） （3）结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且m＝a2+b，请估算 　 　．（用a、b的代数式表示） 【变式1】小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为167的正方形的边长是且， ∴可设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积，又∵S正方形＝167，∴122+2×12x+x2＝167． 由x2＜1，可忽略x2，得144+24x≈167，得到x≈0.96，即． （1）写出的整数部分为 　 　，的整数部分为 　 　； （2）仿照上述方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数） 【变式2】阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分是 　 　；的小数部分是 　 　； （2）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求8﹣y的值； 阅读材料2． 小明在查阅了乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），设，其中0＜x＜1，则107＝100+20x+x2，因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解得x≈0.35，所以． （3）利用小明的方法估算的近似值（结果精确到0.01） 【变式3】阅读材料 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设3+k（0＜k＜1）， ∴，∴14＝9+6k+k2，∴14≈9+6k， 解得，k，∴3.83． 问题： （1）请你依照小明的方法，估算的近似值． （2）已知非负整数a、b、m，若aa+1，且m＝a2+b，结合上述材料估算的近似值（用含a、b的代数式表示）． 【题型12 平方根与立方根中小数点移动规律】 【例1】观察下列各式解决问题： 已知，，则 　 　． 已知，，则y＝　 　． 【变式1】已知，聪明的同学你能不用计算器得出：（1） 　 　；（2） 　 　． 【变式2】观察：0.2477，2.477，1.8308，18.308；填空：①　 　，②若0.18308，则x＝　 　． 【变式3】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 （1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 　 　移动 　 　位． （2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知2.35，则　 　，　 　． （3）类比上述立方根运算：已知1.913，则　 　，　 　． 【题型13 实数中的新定义问题】 【例1】对于整数n，定义[]为不大于的最大整数，例如：[]＝1，[]＝2，[]＝3，对26进行如下操作：26[]＝5[]＝2，即对26进行两次操作后变成2．若对整数a进行上述两次操作后变为4，那么a的最大值为 　 　． 【变式1】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 　 　． 【变式2】若记[x]表示任意实数的整数部分，例如：[3.5]＝3，，…，则（其中“+”“﹣”依次相间）的值为 　 　． 【变式3】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，（1）对85只需进行 　 　次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 　 　． 【变式4】新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣n），例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为（1，2），的“青一区间”为（﹣2，﹣1），请回答下列问题： （1）的“青一区间”为 　 　；的“青一区间”为 　 　； （2）实数x，y，满足关系式：|＝2023，求的“青一区间”． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数全章题型总结【7个知识点13个题型】 【人教版2024】 【知识点1 平方根的概念及性质】 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. 2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 3.开平方的定义 (1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方. (2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 4.被开方数 正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数. 【知识点2 算术平方根的概念及性质】 1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示. 2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0 (2)算术平方根的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a的算术平方根为非负数，即≥0. 【知识点3 立方根的概念及性质】 1.概念及表示：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数. 2.性质：①每个数a有且只有一个立方根，其中a可正、可负、可为0. ②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【题型1 平方根与立方根的定义理解】 【例1】下列说法正确的有（　　） ①5是25的算术平方根；②±4是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据立方根、算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得出答案． 【解答】解：①，即5是25的算术平方根，故①正确； ②，即4是64的立方根，故②错误； ③，即的平方根是，故③正确； ④0的平方根和算术平方根都是它本身，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：B． 【变式1】下列语句，写成式子正确的是（　　） A．3是9的算术平方根，即 B．﹣3是﹣27的立方根，即 C．是2的算术平方根，即 D．﹣27的立方根是﹣3，即 【分析】利用立方根及算术平方根的定义逐项判断即可． 【解答】解：3是9的算术平方根，即3，则A不符合题意； ﹣3是﹣27的立方根，即3，则B不符合题意； 是2的算术平方根，即2的算术平方根是，则C不符合题意； ﹣27的立方根是﹣3，即3，则D符合题意； 故选：D． 【变式2】学完平方根后，当堂检测环节刘老师布置了5道填空题，下面是丛丛的完成情况：①16的平方根是±4；②0的平方根是0；③9的算术平方根是3；④的算术平方根是是；⑤1的立方根是±1．若每做对一道题得20分，则该次检测丛丛应得分（　　） A．100分 B．80分 C．60分 D．20分 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐个计算判断即可． 【解答】解：①16的平方根是±4，正确； ②0的平方根是0，正确； ③9的算术平方根是3，正确； ④，的算术平方根是是，正确； ⑤1的立方根是1，原计算错误； 所以丛丛做对了4道题， 若每做对一道题得20分， 则该次检测丛丛应得分20×4＝80（分）， 故选：B． 【变式3】某同学在作业本上做的五道题：①“4的平方根是±2”，用数学式子表示为；②；③的算术平方根是2；④；⑤±3都是27的立方根．请你帮他检查一下，他做错了（　　） A．2道 B．3道 C．4道 D．5道 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，逐项判断即可． 【解答】解：①“4的平方根是±2”，用数学式子表示为±，①符合题意； ②，②不符合题意； ③∵4， ∴的算术平方根是2， ∴③不符合题意； ④1，选项④符合题意； ⑤3是27的立方根，﹣3不是27的立方根，选项⑤符合题意， 综上，可得他做错了3道：①、④、⑤． 故选：B． 【题型2 算术平方根的非负性求值】 【例1】已知（a﹣1）2+|b+1|0，则a+b+c＝　 　． 【分析】先依据非负数的性质求得a、b、c的值，然后再代入计算即可． 【解答】解：（a﹣1）2+|b+1|0， ∴a＝1，b＝﹣1，c＝2． ∴a+b+c＝1+（﹣1）+2＝2． 故答案为：2． 【例2】代数式的最大值是 　 　． 【分析】根据算术平方根的非负性解答即可． 【解答】解：∵， ∴3， 即代数式的最大值是3． 故答案为：3． 【变式1】如果和互为相反数，那么的平方根是　 　． 【分析】直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出2x﹣y的值，进而得出答案． 【解答】解：∵和互为相反数， ∴1﹣3x＝0，y﹣27＝0， 解得：x，y＝27， ∴xy＝9， ∴的平方根是：±． 故答案为：±． 【变式2】代数式的最大值为　 　，这时a、b满足的关系式是　 　． 【分析】根据非负数的性质进行解答即可． 【解答】解：∵有意义， ∴0， ∴﹣3的最大值为﹣3； 此时0，即a+b＝0． 故答案为：﹣3，a+b＝0． 【变式3】已知实数a，b，c满足，且ax2+bx+c＝0，则3x2+6x+5的值为 　 　． 【分析】根据非负数性质求出a，b，c的值，代入ax2+bx+c＝0得x2+2x＝3，再把3x2+6x+5变形代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴， 解得，， 代入ax2+bx+c＝0，得，x2+2x﹣3＝0 ∴x2+2x＝3， ∴3x2+6x+5＝3（x2+2x）+5＝3×3+5＝14 故答案为：14． 【变式4】已知非零实数a，b 满足 ，则a﹣b等于（　　） A．3 B．﹣2 C．1 D．5 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a﹣3）b2≥0， ∴a﹣3≥0， ∴a≥3， ∴2a﹣4＞0， ∴原式变形为|b+2|0， ∴b+2＝0，（a﹣3）b2＝0， ∴b＝﹣2，a＝3， ∴a﹣b＝3﹣（﹣2）＝5． 故选：D． 【题型3 立方根的性质求值】 【例1】已知：0，则　 　． 【分析】由题意可得2a﹣3与7﹣3a互为相反数，解出a的值，代入运算即可． 【解答】解：由题意得，2a﹣3+7﹣3a＝0， 解得：a＝4， ∴a+5＝9， ∴3． 故答案为：3． 【变式1】已知1＝x，则x＝　 　． 【分析】根据1＝x，可得x﹣1，据此求出x的值是多少即可． 【解答】解：∵1＝x， ∴x﹣1， ∴x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，或x﹣1＝0， 解得x＝0，1或2． 故答案为：0，1或2． 【变式2】已知x为有理数，且0，求x2+x﹣3的平方根． 【分析】根据题意得：x﹣3＝2x+1，解出x，代入x2+x﹣3，求出平方根． 【解答】解：∵0， ∴x﹣3＝2x+1， 解得x＝﹣4， ∴±±±3． 【变式3】（1）已知和互为相反数，且x﹣5的平方根是它本身，求x+y的平方根． （2）已知x，y是实数，且，求x2023﹣y2023的值． 【分析】（1）由相反数的性质可得，进而得到y﹣1＝﹣（3﹣2y），求出y＝2，又根据平方根等于本身的数只有0，可得到x＝5，求出x+y的值，即可得到x+y的平方根； （2）由可得，根据算式平方根的非负性可得1+x＝0，1﹣y＝0，求出x、y的值，代入代数式计算即可求解． 【解答】解：（1）和互为相反数， ∴， ∴y﹣1＝﹣（3﹣2y）， ∴y＝2， ∵x﹣5的平方根是它本身，平方根等于本身的数只有0， ∴x﹣5＝0， ∴x＝5， ∴x+y＝7， x+y的平方根为； （2）∵， ∴， ∴1+x＝0，1﹣y＝0， 解得x＝﹣1，y＝1， ∴x2023﹣y2023＝（﹣1）2023﹣12023＝﹣1﹣1＝﹣2． 【题型4 平方根与立方根中综合求值】 【例1】已知M是m+3的算术平方根，N是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值． 【分析】根据算术平方根和立方根的根指数列出方程，求出m＝12，n＝6，再代入计算即可． 【解答】解：∵是m+3的算术平方根，是n﹣2的立方根， ∴n﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3， 解得：m＝12，n＝6， ∴，， ∴． 【变式1】已知A是a+b+3的算术平方根，B是a+2b的立方根，求B﹣A的立方根． 【分析】是a+b+3的算术平方根，得a﹣2＝2，继而求出a的值，是a+2b的立方根，得a﹣2b+3＝3，继而求出b的值，从而求出A，B，进而求出A﹣B的值． 【解答】解：∵是a+b+3的算术平方根， ∴a﹣2＝2， ∴a＝4． ∵是a+2b的立方根， ∴a﹣2b+3＝3， ∴4﹣2b+3＝3， ∴b＝2， ∴A3，B， ∴B﹣A＝2﹣3＝﹣1， ∴． 【变式2】已知：4a﹣11的平方根为±3，的算术平方根为它本身，3c+13的立方根是4． （1）求a，b，c的值； （2）求a﹣b+c的平方根． 【分析】（1）根据平方根的运算可求出a的，算术平方根的运算及a的值可求出b的值，立方根的运算可求出c的值； （2）把（1）中的a，b，c的值代入，根据平方根的运算即可求解． 【解答】解：（1）∵4a﹣11的平方根为±3， ∴4a﹣11＝（±3）2， 即4a﹣11＝9， 解得a＝5， ∵的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有0或1，且3a+b﹣1≠0， ∴，即3a+b﹣1＝1，且a＝5， ∴3×5+b﹣1＝1，解得，b＝﹣13， ∵3c+13的立方根是4， ∴3c+13＝43，即3a+13＝64，解得，c＝17， ∴a＝5，b＝﹣13，c＝17． （2）解：由（1）可知，a＝5，b＝﹣13，c＝17， ∴a﹣b+c＝5﹣（﹣13）+17＝5+13+17＝35， ∴35的平方根为， ∴a﹣b+c的平方根为：． 【变式3】已知一个正数a的两个平方根分别为2m+1和5n+7，0． （1）求m和n的值： （2）求3a﹣2m的平方根． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质列出算式，求出m和n的值即可； （2）求出a的值，再代入计算3a﹣2m的值，根据平方根的概念求出答案即可． 【解答】解：（1）由平方根的性质得，2m+1+5n+7＝0，2m+n＝0， 解得：m＝1，n＝﹣2， （2）这个正数a＝（2m+1）2＝32＝9； 当a＝9，m＝1时，3a﹣2m＝27﹣2＝25， ∵25的平方根是±5， ∴3a﹣2m的平方根为±5． 【题型5 运用开平方或开立方解方程】 【例1】解下列方程： （1）8（x﹣1）3； （2）4（2x﹣1）2﹣36＝0． 【分析】（1）先两边同除以8，再两边开立方，最后解方程可得答案； （2）先移项，再两边开平方，最后解方程可得答案． 【解答】解：， ， ， ； （2）4（2x﹣1）2﹣36＝0， （2x﹣1）2＝9， 2x﹣1＝±3， x＝2或x＝﹣1． 【变式1】求下列各式中的x的值： （1）； （2）2（x2﹣2）3﹣16＝0． 【分析】（1）两边开平方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后得出（x2﹣2）3＝8，开立方根得出x2﹣2＝2，求出即可． 【解答】解：（1））， 开方得：x﹣1＝±， x1＝2.5，x2＝﹣0.5； （2）2（x2﹣2）3﹣16＝0， （x2﹣2）3＝8， x2﹣2＝2， 即x2＝4， 解得：x1＝2，x2＝﹣2． 【变式2】求下列各式中x的值． （1）6（2x﹣3）2＝54； （2）5（x﹣2）3． 【分析】（1）根据平方根的意义，进行计算即可解答； （2）根据立方根的意义，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）6（2x﹣3）2＝54， （2x﹣3）2＝9， 2x﹣3＝±3， 2x﹣3＝3或2x﹣3＝﹣3， x1＝3，x2＝0； （2）5（x﹣2）3， （x﹣2）3， x﹣2， x． 【变式3】解方程 （1）3（8﹣x）3﹣（）2＝21； （2）3． 【分析】（1）根据立方根的定义即可求出答案． （2）根据平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：（1）3（8﹣x）3﹣（）2＝21， 3（8﹣x）3﹣3＝21， 3（8﹣x）3＝24， （8﹣x）3＝8， 8﹣x＝2， x＝6． （2）3， ， （x﹣3）2， x﹣3＝±， x﹣3或x﹣3， x或x． 【知识点4 实数的概念及分类】 1.有理数和无理数统称为实数. 2.无理数定义：任何有限小数和无限循环小数都是有理数，无限不循坏小数都是无理数. 常见的无理数形式： ①开方开不尽的数，如，等； ②化简后含有π的数，如π，； ③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001… 3.实数的分类： 按定义分：实数 按符号分：实数 【题型6 无理数的定义】 【例1】下面几个数：0.，1.010010001…（两个1中间的0依次增多），，3π，，，其中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用无理数定义即无限不循环小数判断即可． 【解答】解：0.4， 无理数有：1.010010001…（两个1中间的0依次增多），3π，，共有3个． 故选：C． 【变式1】在实数、﹣3、0、、3.1415、π、、，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1个）中，无理数的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：，， 在，﹣3，0，，3.1415，π，，，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1）中，无理数有：，π，，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1），共4个． 故选：C． 【变式2】在3.14，π，3.212212221，，，，2.1212212221…（在相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【分析】无理数就是无限不循环小数，常见的无理数的形式有：π，2π等；开方开不尽的数；像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）这样有规律的数． 【解答】解：无理数就是无限不循环小数，据此在3.14，π，3.212212221，，，，2.1212212221…（在相邻两个2之间1的个数逐次加1）中， 其中π，，，2.1212212221………为无理数，共有4个． 故选：D． 【变式3】在实数，1.732，π，，，，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1个）中，无理数个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数逐一分析即可． 【解答】解：∵， ∴在，1.732，π，，，，2.123122312223•••（1和3之间的2逐次加1个）中，属于无理数的有，π，，2.123122312223…（1和3之间的2逐次加1个）共4个． 故选：B． 【知识点5 实数与数轴的关系】 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的. 【题型7 实数与数轴的关系】 【例1】实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】由数轴可知，2＜a＜3，则π＞a，，再运算绝对值即可求解． 【解答】解：由数轴可知，2＜a＜3， ∴a＜π，， ∴原式＝π﹣a﹣（a）． 故选：B． 【变式1】如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2所示的数轴上标示了四段范围，则大正方形的边长数值落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【分析】先求小正方形的边长，再求出大正方形的边长，估算无理数的大小即可得出答案． 【解答】解：∵面积为2的正方形的边长为， ∴向外等距扩0.5后边长为1， ∵1＜2＜2.25， ∴11.5， ∴21＜2.5， ∴落在段④， 故选：D． 【变式2】如图，半径为0.5的圆周上有一点M落在数轴上﹣1点处，现将圆在数轴上向左滚动一周后点M所处的位置在两个连续整数m，n之间（m＜n），则的平方根是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆的周长公式算出M点在数轴上移动的长度，向左移动，原数减去移动的长度即可得到点M新位置表示的数．从而分析在哪两个数之间，进而求出答案． 【解答】解：2π×0.5＝π， ∵﹣5＜﹣1﹣π＜﹣4， ∴﹣1﹣π在﹣4和﹣5之间， ∴m＝﹣5，n＝﹣4， ∴， 12的平方根为． 故选：D． 【变式3】实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（　　） A．2a+b B．b C．2a﹣b D．3b 【分析】根据实数a，b在数轴上对应的点的位置判断出：a，b，b﹣a，a+b的符号，再根据平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可． 【解答】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＞|b|， 因此，b﹣a＜0，a+b＞0， 所以，a﹣b+a+b﹣b＝2a﹣b， 故选：C． 【知识点6 实数的运算】 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算。在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号内的. 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五人. 【题型8 实数的混合运算】 【例1】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）首先计算开平方，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可； （2）首先计算开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解：（1） ＝63 ＝2﹣3 ＝﹣1． （2） 2 ． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据绝对值的定义，算术平方根的性质分别计算即可； （2）根据立方根，算术平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【变式2】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先把被开方数化为假分数，然后利用算术平方根的定义、立方根的定义进行化简，最后按照实数的运算法则计算即可； （2）先估算7与的大小关系，然后按照绝对值的意义去掉绝对值符号，其它的利用算术平方根的定义、立方根的定义进行化简，即可得出结果． 【解答】解：（1） ＝8﹣3+3 ＝8； （2） ＝2． 【变式3】计算下列各题： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案； （2）直接利用绝对值的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案； （3）直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案． 【解答】解：（1）原式0.5 ； （2）原式＝24+2 ＝8； （3）原式＝﹣9﹣1+8 ． 【知识点7 实数大小比较】 1.利用数轴比较实数大小 （1）正数大于零，负数小于零，正数大于负数； （2）两个正数，绝对值大的数较大； （3）两个负数，绝对值大的数反而小。 2.无理数大小的比较 估算法： （1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则． 常见实数的估算值：，，． 【题型9 实数的大小比较】 【例1】比较2，，的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小． 【解答】解：∵26＝64，，，而49＜64＜125， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1】5，2，2的大小关系是（　　） A．225 B．522 C．252 D．522 【分析】先根据，利用不等式的性质可以判断第2个和第3个数的大小，最后由作差法可得第一个数和第3个数的大小． 【解答】解：∵5＜8， ∴， ∴， ∴22， ∵（5）﹣（2）＝3﹣20， ∴52； 故选：D． 【变式2】2、、15三个数的大小关系是（　　） A．215 B．15＜2 C．215 D．215 【分析】把2、、15三个数都变成算术平方根的形式，再比较被开方数的大小． 【解答】解：2，15， ∵56＜225＜226， ∴， ∴215． 故选：A． 【变式3】已知甲、乙、丙三数，甲＝5，乙＝3，丙＝1，则关于甲、乙、丙三个数的大小关系，下列判断正确的是（　　） A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙 【分析】首先确定，，的范围，再比较大小即可． 【解答】解：∵34， ∴8＜59， ∵45， ∴7＜38， ∵45， ∴5＜16， ∴丙＜乙＜甲， 故选：A． 【题型10 无理数的整数与小数部分】 【例1】阅读材料：我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 请你结合以上材料，解答下列问题： （1）的小数部分是　 　，的整数部分是　 　； （2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求5m+2n的值； （3）已知，其中p是整数，且0＜q＜1，请求出的算术平方根． 【分析】（1）估算出的整数部分，即可求得其小数部分；估算出的整数部分，即可确定的整数部分； （2）求出的整数部分，即可求得m；估算出的整数部分，即可求得n，代入即可求解； （3）估算出的整数部分与小数部分，从而确定出p与q的值，进而求得的值，从而求得其平方根． 【解答】解：（1）∵， ∴的整数部分为5，小数部分为， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为11， 故答案为：，11； （2）∵， ∴的整数部分为4，则小数部分为，即， ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分为10，即n＝10， ∴； （3）∵， ∴的整数部分为7，小数部分为， ∴的整数部分为23，小数部分为， 由题意可得： p＝23，， ∴， ∴其算术平方根为5． 【变式1】因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题： （1）求的整数部分和小数部分； （2）若m是的整数部分，且（x+1）2＝m，求x的值． 【分析】（1）运用题目中的方法对的整数部分和小数部分进行估算求解； （2）先运用题目中的方法估算出m的值，再运用平方根知识进行求解． 【解答】解：（1）∵， 即34， ∴ 的整数部分是3，小数部分是； （2）∵， 即23， ∴的整数部分是2， ∴的整数部分4， 即m＝4， ∴方程（x+1）2＝m即（x+1）2＝4， 开平方，得x+1＝±2， 解得x1＝1，x2＝﹣3． 【变式2】阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求（a+b﹣2）2的值； （3）已知：，其中x是整数，且0＜y＜1，求的算术平方根． 【分析】（1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出a、b的值，再代入求出即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【解答】解：（1）∵9＜15＜16， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）∵， ∴的整数部分是2，小数部分为，即； ∵， ∴的整数部分是4，即b＝4； ∴， （3）∵81＜99＜100， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，且0＜y＜1， ∴， ∴， ∴的算术平方根为． 【变式3】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，是无理数，而12，所以的整数部分是1，于是可用1来表示的小数部分． 材料2：若10a+b，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b． 根据以上材料，完成下列问题： （1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　； （2）3也是夹在相邻两个整数之间的数，可以表示为a＜3b，求a+b的算术平方根． （3）若x+y，则x＝　 　，y＝　 　． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数3的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （3）将左边化为2即可． 【解答】解：（1）∵45， ∴的整数部分为4，小数部分为4， 故答案为：4，4； （2）∵12， ∴4＜35， ∵3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3b， ∴a＝4，b＝5， ∴a+b＝9， ∴a+b的算术平方根为3； （3）∵x+y，即2x+y， ∴x，y＝2， 故答案为：，2． 【题型11 估算无理数的近似值】 【例1】下面是小李同学探索的近似数的过程： ∵面积为107的正方形边长是，且， ∴设，其中0＜x＜1，画出如图示意图， ∵图中，S正方形＝107， ∴102+2×10x+x2＝107， 当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即． （1）的整数部分是 　 　； （2）仿照上述方法，探究的近似值；（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.1） （3）结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且m＝a2+b，请估算 　 　．（用a、b的代数式表示） 【分析】（1）先判断，从而可得的整数部分； （2）设，其中0＜x＜1，再画图，可得82+16x+x2＝74，当x2较小时，省略x2，得16x+64≈74，再解方程可得答案； （3）如图，设，可得正方形的面积为：a2+2ax+x2，而m＝a2+b，当x2较小时，省略x2，得a2+2ax≈m＝a2+b，可得，从而可得答案． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是8； （2）∵面积为74的正方形边长是，且， ∴设，其中0＜x＜1，如图所示， ∵图中， ∴82+16x+x2＝74， 当x2较小时，省略x2，得16x+64≈74， 得到x≈0.625，即． （3）如图，设， 正方形的面积为：a2+2ax+x2，而m＝a2+b， 当x2较小时，省略x2，得a2+2ax≈m＝a2+b， ∴， ∴． 【变式1】小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为167的正方形的边长是且， ∴可设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积，又∵S正方形＝167，∴122+2×12x+x2＝167． 由x2＜1，可忽略x2，得144+24x≈167，得到x≈0.96，即． （1）写出的整数部分为 　 　，的整数部分为 　 　； （2）仿照上述方法，探究解答的近似值．（要求：画出图形，标明数据，结果保留两位小数） 【分析】（1）估算出，即可得到答案； （2）仿照题意画出示意图进行求解即可． 【解答】解：（1）∵， ∴的整数部分为15， ∵， ∴的整数部分为18， 故答案为：15，18； （2）∵， ∴可设，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示， 正方形的面积， 又∵S正方形＝230， ∴152+2×15x+x2＝230， 由x2＜1，可忽略 ∴225+30x≈230，得到x≈0.17，即． 【变式2】阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分是 　 　；的小数部分是 　 　； （2）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求8﹣y的值； 阅读材料2． 小明在查阅了乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），设，其中0＜x＜1，则107＝100+20x+x2，因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解得x≈0.35，所以． （3）利用小明的方法估算的近似值（结果精确到0.01） 【分析】（1）先估算出和在哪两个整数之间，再分别减去较小的整数，即是小数部分； （2）估算出在哪两个整数之间，即可求解； （3）根据材料中的方法估算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴的小数部分是， ∵， ∴， ∴的小数部分是， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴x＝13，， ； （3）∵， ∴， 设，其中0＜x＜1， 则125＝121+22x+x2， ∵0＜x＜1， ∴0＜x2＜1， ∴125≈121+22x， 解得x≈0.18，所以． 【变式3】阅读材料 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设3+k（0＜k＜1）， ∴，∴14＝9+6k+k2，∴14≈9+6k， 解得，k，∴3.83． 问题： （1）请你依照小明的方法，估算的近似值． （2）已知非负整数a、b、m，若aa+1，且m＝a2+b，结合上述材料估算的近似值（用含a、b的代数式表示）． 【分析】（1）根据题目信息，找出30前后的两个平方数，从而确定出5+k（0＜k＜1），再根据题目信息近似求解即可； （2）根据题目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可； 【解答】解：（1）∵， 设5+k（0＜k＜1）， ∴（）2＝（5+k）2， ∴30＝25+10k+k2， ∴30≈25+10k． 解得k， ∴55+0.5＝5.5； （2）设a+k（0＜k＜1）， ∴m＝a2+2ak+k2≈a2+2ak， ∵m＝a2+b， ∴a2+2ak＝a2+b， 解得k， ∴a． 【题型12 平方根与立方根中小数点移动规律】 【例1】观察下列各式解决问题： 已知，，则 　 　． 已知，，则y＝　 　． 【分析】根据算术平方根：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，立方根：被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍直接求解即可得到答案． 【解答】解：∵，， ∴， ∵，， ∴y＝﹣0.01， 故答案为：12.25，﹣0.01． 【变式1】已知，聪明的同学你能不用计算器得出：（1） 　 　；（2） 　 　． 【分析】根据题意，利用小数点移动规律得到结果即可． 【解答】解：（1）∵， ∴． 故答案为：3.984； （2）∵， ∴， 故答案为：0.1166． 【变式2】观察：0.2477，2.477，1.8308，18.308；填空：①　 　，②若0.18308，则x＝　 　． 【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【解答】解：∵2.477， ∴24.77， ∵1.8308，0.18308， ∴x＝0.006137 故答案为：24.77，0.006137． 【变式3】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 （1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 　 　移动 　 　位． （2）运用你发现的规律，探究下列问题：已知2.35，则　 　，　 　． （3）类比上述立方根运算：已知1.913，则　 　，　 　． 【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律； （2）根据（1）的规律可得结论； （3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值． 【解答】解：（1）用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位． 故答案为：右，一； （2）∵2.35， ∴0.235，23.5， 故答案为：0.235，23.5； （3）同理得：在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵1.913， ∴19.13，191.3． 故答案为：19.13，191.3． 【题型13 实数中的新定义问题】 【例1】对于整数n，定义[]为不大于的最大整数，例如：[]＝1，[]＝2，[]＝3，对26进行如下操作：26[]＝5[]＝2，即对26进行两次操作后变成2．若对整数a进行上述两次操作后变为4，那么a的最大值为 　 　． 【分析】根据算术平方根的定义以及新定义义[]的意义进行计算即可． 【解答】解：由题意可知，a[]＝b[]＝4， ∵[]＝4， ∴16≤b＜25， ∴整数b的最大值为24， ∵[]＝24， ∴2425， ∴576≤a＜625， ∴整数a的最大值为624． 故答案为：624． 【变式1】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 　 　． 【分析】根据[a]表示不超过a的最大整数，对81只需进行3次操作后变为1，由此分别对82，182，255，282进行操作，可得到只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的整数 【解答】解：.；；；； ∵只需进行3次操作后变为1的所有正整数，算术平方根是16时就需要四次操作，取整数， ∴最大的数是255． 故答案为：255． 【变式2】若记[x]表示任意实数的整数部分，例如：[3.5]＝3，，…，则（其中“+”“﹣”依次相间）的值为 　 　． 【分析】找到1～100所有平方数，确定其中间各个数字的个数规律，直接计算即可得到答案． 【解答】解：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，102＝100， ∵[x]表示任意实数的整数部分， 1～3由3个1，4～8有5个2，9～15有7个3，16～24有9个4，25～35有11个5， 36～48有13个6，49～63有15个7，64～80有17个8，81～99有19个9， ∴原式＝1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9＝5， 故答案为：5． 【变式3】任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，（1）对85只需进行 　 　次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 　 　． 【分析】根据新运算依次求出即可． 【解答】解：，，， 故对85只需进行3次操作后变为1， ∵22＝4，42＝16，162＝256， ∴， 故只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：3；255． 【变式4】新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣n），例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为（1，2），的“青一区间”为（﹣2，﹣1），请回答下列问题： （1）的“青一区间”为 　 　；的“青一区间”为 　 　； （2）实数x，y，满足关系式：|＝2023，求的“青一区间”． 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）利用非负性求出x，y的值，再进行求解即可． 【解答】解：（1）∵42＜17＜52， ∴的“青一区间”为（4，5）； ∵42＜23＜52， ∴的“青一区间”为（﹣5，﹣4）； 故答案为：（4，5），（﹣5，﹣4）； （2）∵， ∴， 即， ∴x＝3，y＝4， ∴， ∵32＜12＜42， ∴的“青一区间”为（3，4）． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$