热点07 二次函数的图象与性质及其实际应用（10大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

热点07 二次函数的图象与性质及实际应用 中考数学中二次函数的图象与性质及其实际应用部分主要考向分为四类： 一、二次函数的性质与图象（每年1~2道，3~6分） 二、二次函数的图象与系数的关系（每年1~2道，3~6分） 三、二次函数的对称性和最值（每年1~3道，3~6分） 四、方程和不等式与二次函数（每年1~2道，3~6分） 五、二次函数实际应用（每年1~2道，3~12分） 二次函数是四川中考中必考内容，常以选择题、填空题以及解答题的形式出现，难度中等偏上。二次函数是中考三大函数中内容最多、难度最大的，考察点包括图象形状、对称轴、顶点坐标、系数符号判断等，这些都是选填中常考的题型。其次二次函数的题往往还结合一次函数、反比例函数以及几何知识点进行考查，题型多变。想要在此题型上拿到高分，必须熟悉中考中常考二次函数题型，能举一反三。 考向一：二次函数的图象与性质 【题型1 根据二次函数的定义求参数】 我们把形如：的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b称为一次项系数，c是常数项。 其中a决定二次函数的开口：当a＞0时，二次函数开口向上；当a＜0时，二次函数的开口乡下。 b和a一起决定二次函数的对称轴：； c决定二次函数与y轴的交点：当c＞0时，二次函数与y轴交于正半轴；当c=0时，二次函数与y轴交于原点；当c＜0时，二次函数与y轴交于负半轴。 二次函数与x轴的交点个数： 当△=时，二次函数与x轴有两个不同的交点； 当△=时，二次函数与x轴有一个交点； 当△=时，二次函数与x轴没有交点； 1．（2024·四川凉山·一模）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2023·四川广安·一模）若抛物线的开口向下，则m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．1或 3．（2024·四川内江·二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 4．（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 5．（2024·四川巴中·二模）我们定义：关于x的函数与（其中）叫做互为交换函数．如与互为交换函数．如果函数与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么 ． 6．（2024·四川凉山·二模）当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是 ． 【题型2 二次函数性质综合】 二次函数的解析式： 一般式：； 顶点式：+k其中（h、k）是二次函数的顶点； 交点式： 其中、是二次函数与x的交点。 二次函数的图象与性质基础知识点如图： a＞0 a＜0 图象 开口向上的抛物线 开口向下的抛物线 对称轴 顶点坐标 二次函数的增减性 时，y随x的增大而减小时，y随x的增大而增大 时，y随x的增大而增大时，y随x的增大而减小 1．（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 2．（2024·四川乐山·一模）二次函数的顶点坐标为（  ）． A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·一模）已知点与点关于轴对称，则下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．， C．顶点坐标是 D．当时，随减小而增大 4．（2023·四川成都·一模）下列关于抛物线的说法正确的是（    ） ①开口方向向上；②对称轴是直线；③当时，随的增大而减小；④当或时，． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 5．（2023·四川成都·一模）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的对称轴在y轴右侧 B．y的最小值为5 C．图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x的值的增大而增大 【题型3 一次函数、二次函数、反比例函数图象综合】 一次函数、二次函数以及反比例函数的图象综合题，也时常出现在中考试卷中，要想在此类题型中拿到分，需要掌握一次函数、二次函数以及反比例函数的图象和性质。 函数图像共存判断 题型特点：给定多个函数解析式(含参数)，要求判断哪些函数图像可能同时存在。 典型考法：一次函数与反比例函数共存:通过参数符号(如斜率k、反比例系数k)判断图像走向及象限分布。 二次函数与其他函数共存：结合二次函数开口方向(a的正负)、顶点位置、判别式(Δ)与其他函数的参数关系综合分析。 示例：若反比例函数 y=与一次函数y= kx +2的图象可能共存，需满足 k的符号一致(如k>0时，反比例函数在一、三象限，一次函数上升) 判断函数图象是否能够共存的方法： ①从选项入手，假设每个选项里面的函数图象都是正确的； ②分别根据每个函数图像的特点，写出图象中待定系数的正负关系； ③若所有函数图象中判断出来的待定系数正负都不冲突，则假设成立，反之，则不成立。 1．（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A．B． C． D． 2．（2023·四川自贡·一模）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·四川成都·二模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（    ） A．  B．  C．   D．   4．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向二：二次函数的图象与系数的关系 【题型4 二次函数的图象与系数的关系】 二次函数图象与系数abc之间的关系类题目经常出现在四川中考数学试卷选择或填空题压轴题中，难度中等偏上，是一道能拉开差距的题目。做此类题目我们需要从以下几个方面入手： ①a、b、c在二次函数图象中的作用 a的符号：开口方向决定(开口向上→a>0；向下→a<0)； b的符号：结合对称轴位置(对称轴，左同右异)。 c的符号：图像与y轴交点的纵坐标(交于正半轴→c>0)。 ②代数式正负判断 题型特征：通过特殊点判断代数式的正负（注意：观察图中现成的特殊点） 关键点：结合图像中点的位置，如顶点、与x轴交点等。 当x=1时，则a+b+c=0； 当x=-1时，则a-b+c=0； 当x=2时，则4a+2b+c=0； 当x=-2时，则4a-2b+c=0. ③函数值比较与最值问题 题型特征：比较不同点的函数值大小或求顶点最值； 方法：利用对称性，重点关注题目中最大值和最小的所在的位置，根据二次函数的对称性将不在对称轴同一侧的转换到同一侧，再利用二次函数的增减性进行比较； ④判别式与图像交点 核心考点：Δ=b2-4ac的符号决定图像与x轴的交点个数；当△＞0时，二次函数图象与x轴有2个不同的交点，当△=0时，二次函数图象与x轴只有一个交点，当△＜0时，二次函数图象与x轴没有交点。 典型陷阱：Δ>0时有两个交点，但需注意交点是否在指定区间内。 ⑤综合应用题 题型特征：结合几何图形(如三角形面积)或实际问题，分析系数对图像的影响。 1．（2023·四川资阳·中考真题）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 4．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（    ）    A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 6．（2023·四川乐山·中考真题）如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 考向三：二次函数的对称性和最值 【题型5 已知抛物线上的两点求对称轴】 已知抛物线上的两点求对称轴核心知识点与公式： 二次函数一般式：+bx+c，其对称轴为： 交点式：，抛物线与x轴的交点为（）、（），对称轴为 此题型在中考试卷中常以下面三种题型出现 ①图表题型：题目以图表的形式出现，根据二次函数的对称性，关于对称轴对称的两点函数值相等，所以我们只需要找出表格中相等函数值所对应的x值，再结合即可求出对称轴； ②图象题型：题目以二次函数图象的形式出现，找出二次函数图象中与x轴的两个交点值，再根据即可得出对称轴； ③解析式题型：题目直接给出解析式，代入即可得出对称轴。 1．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 2．（2024·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D． 3．（2024·四川凉山·一模）抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 4．（2024·四川巴中·一模）已知二次函数，其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系： x … 2 3 4 … y … 4.8 … 下列判断中，正确的是 （填序号）． ①顶点是②③④当时，⑤当时，y随着x的增大而减小． 5．（2024·四川乐山·二模）已知抛物线过点、，则a的取值范围是 ． 6．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则 ；若，则m的取值范围是 ． 【题型6 二次函数的最值问题】 二次函数的最值问题在中考中常以下题型出现： 二次函数顶点坐标（）; ①直接求解：如题目已经给出二次函数解析式且对自变量的取值没有要求时，我们可以直接代入y=求解； ②间接求解：当题目对二次函数的自变量有取值要求时，我们应该先根据解出二次函数对称轴，再分情况讨论，例如已知自变量的取值范围为≤x≤，（以开口向上为例）分以下三种情况讨论 （1）当≤x≤在对称轴左边时，y随x的增大而减小，所以在处取的最大值，处取的最小值，如图所示 （2）当≤x≤在对称轴两边时，在对称轴处取的最小值，如图所示 （3）当≤x≤在对称轴右边时，y随x的增大而增大，所以在处取的最小值，处取的最大值，如图所示 1．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川眉山·二模）若函数；当时，此时该函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·三模）已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 5．（2024·四川南充·一模）如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·四川泸州·一模）当时，抛物线有最大值2，则b的值为（  ） A．1或 B．或1 C．或 D．1或 7．（2024·四川成都·二模）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 8．（2024·四川眉山·二模）如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，，那么y的最小值为 ． 【题型7 二次函数图象的平移】 二次函数的平移（平移规律：左加右减、上加下减） ①先将抛物线转换为顶点式：，其中（h，k）是顶点坐标； ②保持二次函数图象不变，将其顶点平移到（h，k）的方法具体如下： 1．（2023·四川南充·中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川巴中·一模）将二次函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川眉山·二模）若将抛物线先沿轴方向向右平移1个单位，再沿方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 5．（2025·四川泸州·一模）将抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的顶点坐标为 ． 6．（2024·四川成都·一模）将抛物线：向左平移（）个单位长度后，再向下平移个单位长度，得到新的抛物线，若，，为抛物线图象上的三点，则，，的大小关系 ．（请用“”表示） 7．（2023·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，如果抛物线经过平移可以与抛物线互相重合，那么这个平移是（    ） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 考向四：方程和不等式与二次函数 【题型8 抛物线与坐标轴的交点】 抛物线与坐标轴的交点问题在中考中常见题型： 1.交点个数判断 题型特点：要求证明或判断抛物线与x轴的交点数量(0、1或2个)。 解题方法：利用判别式 △ =b2 - 4ac 判断。 当△ >0时，二次函数与坐标轴有两个交点； 当△ =0时，二次函数与坐标轴有一个交点(顶点在x轴上); 当△＜0时，二次函数与坐标轴没有交点。 2.交点坐标求解 题型特点：直接求抛物线与x轴、y轴的交点坐标。 解题方法 x轴交点：令y=0，解方程 ax2+bx+c=0，根即为交点横坐标； y轴交点：令x=0得y=c，交点为(0，c)。 3.参数求解问题 题型特点：已知交点位置或数量，反推抛物线解析式中的参数 解题方法：①利用交点代入方程建立方程组；②结合判别式、对称轴公式等条件。 4.几何综合应用 题型特点：结合交点坐标与几何图形(如三角形、四边形)的面积或形状问题。 解题方法：①先求交点坐标，再计算几何图形的边长或面积；②注意坐标系中的对称性(如关于对称轴对称的交点)。 1．（2024·四川南充·一模）已知二次函数，若关于的方程的实数根为．且，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川泸州·二模）二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．1和2 B．1和 C．和2 D．和 3．（2024·四川成都·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 4．（2024·四川达州·一模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N.若，则b的值为（    ） A． B．3或 C． D．或3 5．（2024·四川自贡·一模）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 6．（2024·四川宜宾·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为2，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为（　　） A． B． C． D．5 7．（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川成都·二模）对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，我们称之为分段函数，它是一个函数，而不是几个函数，习惯上，我们会把每段的自变量的取值范围写在该范围内满足的解析式后面．现有分段函数（其中m是常数，且），该函数的图象记为G．当时，图象G与x轴的交点坐标为 ；若直线与G恰有两个交点，则m的值为 ． 9．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【题型9 图象法解一元二次不等式】 图象法解一元二次不等式中考题型分析 1.基础解法题：要求通过二次函数图象直接求解不等式解集。 典型例题：给出形如 x2-2x-3>0的不等式，要求画出对应二次函数图象，通过观察图象在x轴上方或下方的区间确定解集； 解题关键：①计算判别式△，确定方程根的情况；②画出开口方向、顶点及交点位置的函数草图； 2.图象分析综合题：结合二次函数图象与方程、不等式的关联设计问题。例如:给出函数图象，判断不等式解集，据解集反推二次项系数符号或判别式的值； 1．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 2．（2024·四川绵阳·一模）二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（2024·四川广安·一模）如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，则以下结论：①，；②当时，直线与抛物线的函数值都随着x的增大而增大；③的长度可以等于5；④连接，，有可能是等边三角形；⑤当时，，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 5．（2024·四川凉山·二模）如图，一次函数与抛物线相交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 6．（2024·四川达州·二模）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；  ②； ③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的两根分别为，．其中错误的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2024·四川眉山·二模）如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是 ． 8．（2023·四川成都·二模）已知关于x的多项式，二次项系数、一次项系数和常数项分别a，b，c，且满足．若当和（t为任意实数）时的值相同；当时，的值为2，则二次项系数a的取值范围是 ． 考向五：二次函数实际应用 【题型10 二次函数与实际问题结合】 1.利润/成本最优化问题 核心模型：总利润=单件利润×销量，通过二次函数求最大值； 典型场景：商品售价调整对销量的影响； 2.几何图形面积/长度最值问题 核心模型：利用几何图形(如矩形、三角形)的边长关系构建二次函数求面积或周长的最值； 关键点：合理设变量，结合勾股定理或相似三角形； 例题：用篱笆围矩形苗圃，靠墙边长度限制下求最大面积； 3.抛物线轨迹问题 常见场景：投掷实心球、喷泉水流、篮球轨迹等抛物线运动； 解题步骤：建立坐标系→求解析式→计算落地点或高度差； 4.动态几何与二次函数结合 题型特点：涉及动点、平移、翻折等几何变换，求线段长度或图形面积变化规律； 难点：需结合几何性质与二次函数增减性； 5.分段函数与实际问题 场景：不同自变量范围内函数关系变化(如阶梯电价、分段计费)； 关键：分段讨论并验证取值范围对最值的影响。 1．（2024·四川成都·二模）如图是某小区大门上方拱形示意图，其形状为抛物线，测得拱形水平横梁宽度为8m，拱高为2m，在五一节到来之际，拟在该拱形上悬挂灯笼（高度为1m），要求相邻两盏灯笼的水平间距均为1m，挂满后不擦横梁且成轴对称分布，则最多可以悬挂 个灯笼． 2．（2024·四川广元·一模）文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商城销售某品牌空调，该空调每台进货价为2500元，已知该商店6月份售出75台空调，8月份售出108台空调．求该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率； 调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台； 售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商城如何定价能使每天的利润最大？ 最大利润是多少？ 3．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 x/元 15 20 25 30 y/袋 25 20 15 10 若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题： (1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式； (2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润销售额成本） 4．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 5．（2024·四川泸州·一模）足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.4米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 6．（2024·四川成都·一模）为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 7．（2024·四川泸州·一模）如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？ 8．（2024·四川南充·三模）某工厂在A，B两城分别生产同种产品共200件，其中A城生产x件，A城生产产品的总成本y（元）与产品数量x（件）之间满足函数关系式，B城生产产品的成本为每件60元． (1)若A城生产产品的件数为30件，求A，B两城完成这种产品生产任务的总成本． (2)设A，B两城生产这批产品总成本共w元，求w关于x的函数关系式，并求生产这批产品总成本最小的生产方案； (3)在（2）的生产方案下，要把这批产品全部运往C，D两地，从A城运往C，D两地的费用分别为10元/件和20元/件；从B城运往C，D两地的费用分别为a元/件（a为常数，）和30元/件；C地需要150件，D地需要50件，请你帮工厂设计出运费最节省的运输方案． （建议用时：30分钟） 1．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是 4．（2024·四川内江·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤若，是该抛物线上的三点，则．其中正确的个数是（      ）    A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 6．（2024·四川遂宁·二模）将解析式为 的抛物线先向右平移 4 个单位，再向下平移 5 个单位，则平移后的新抛物线的解析式为   ． 7．（2024·四川成都·二模）已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ． 8．（2024·四川南充·二模）如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是 ． 9．（2023·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称W为a到b时y的值的“极差”（即时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当时，W的取值范围是 ．    10．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 11．（2024·四川成都·一模）近年来，盲盒备受潮玩商家关注．某潮玩商家推出2024年生肖龙公仔，并将类毛绒玩具和类毛绒挂件放在一起采用盲盒模式销售，一个盲盒内随机装一个类毛绒玩具和一个类毛绒挂件（不同盲盒内所装的玩具与挂件仅颜色不同），已知一个盲盒成本为22元/个．该商家销售该盲盒一段时间后，发现该盲盒的周销售量（个）和盲盒单价（元）满足一次函数关系的图象如图所示． (1)求该盲盒周销售量（个）和盲盒单价（元）的函数表达式； (2)该商家应如何定价才能使盲盒的周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 12．（2024·四川达州·一模）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)当时，______； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大?最大利润是多少? (3)小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价的范围为．”你认为小红的说法正确吗?若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 13．（2024·四川成都·二模）“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元． (1)求商场购进第一批“小金龙”每件的进价； (2)直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点07 二次函数的图象与性质及实际应用 中考数学中二次函数的图象与性质及其实际应用部分主要考向分为四类： 一、二次函数的性质与图象（每年1~2道，3~6分） 二、二次函数的图象与系数的关系（每年1~2道，3~6分） 三、二次函数的对称性和最值（每年1~3道，3~6分） 四、方程和不等式与二次函数（每年1~2道，3~6分） 五、二次函数实际应用（每年1~2道，3~12分） 二次函数是四川中考中必考内容，常以选择题、填空题以及解答题的形式出现，难度中等偏上。二次函数是中考三大函数中内容最多、难度最大的，考察点包括图象形状、对称轴、顶点坐标、系数符号判断等，这些都是选填中常考的题型。其次二次函数的题往往还结合一次函数、反比例函数以及几何知识点进行考查，题型多变。想要在此题型上拿到高分，必须熟悉中考中常考二次函数题型，能举一反三。 考向一：二次函数的图象与性质 【题型1 根据二次函数的定义求参数】 我们把形如：的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b称为一次项系数，c是常数项。 其中a决定二次函数的开口：当a＞0时，二次函数开口向上；当a＜0时，二次函数的开口乡下。 b和a一起决定二次函数的对称轴：； c决定二次函数与y轴的交点：当c＞0时，二次函数与y轴交于正半轴；当c=0时，二次函数与y轴交于原点；当c＜0时，二次函数与y轴交于负半轴。 二次函数与x轴的交点个数： 当△=时，二次函数与x轴有两个不同的交点； 当△=时，二次函数与x轴有一个交点； 当△=时，二次函数与x轴没有交点； 1．（2024·四川凉山·一模）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：依题意，， 解得：， 故选：C． 2．（2023·四川广安·一模）若抛物线的开口向下，则m的值为（    ） A． B．1 C．2 D．1或 【答案】A 【详解】解：由抛物线的开口向下，得： ， ，（不符合题意要舍去）， 故选：A． 3．（2024·四川内江·二模）若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：由题意知，， 令，则， ∵二次函数的图象与轴有公共点， ∴， 解得，， ∴的取值范围是且， 故选：D． 4．（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】3 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， 则代数式， 故答案为：． 5．（2024·四川巴中·二模）我们定义：关于x的函数与（其中）叫做互为交换函数．如与互为交换函数．如果函数与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么 ． 【答案】 【详解】解：由题意函数的交换函数为． ∵， ，， 函数与它的交换函数图象顶点关于x轴对称， ∴且， 解得：． 故答案为． 6．（2024·四川凉山·二模）当时，直线与抛物线有交点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：画出抛物线，如图， 当时，，且抛物线的顶点是图象最低点，抛物线开口向上， ∵直线与抛物线有交点，, ∴由图象可知． 故答案为：． 【题型2 二次函数性质综合】 二次函数的解析式： 一般式：； 顶点式：+k其中（h、k）是二次函数的顶点； 交点式： 其中、是二次函数与x的交点。 二次函数的图象与性质基础知识点如图： a＞0 a＜0 图象 开口向上的抛物线 开口向下的抛物线 对称轴 顶点坐标 二次函数的增减性 时，y随x的增大而减小时，y随x的增大而增大 时，y随x的增大而增大时，y随x的增大而减小 1．（2023·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 2．（2024·四川乐山·一模）二次函数的顶点坐标为（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ∴二次函数的顶点坐标为． 故选：B． 3．（2023·四川成都·一模）已知点与点关于轴对称，则下列关于抛物线的说法错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．， C．顶点坐标是 D．当时，随减小而增大 【答案】C 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 解得：，故选项B正确； ∴抛物线的解析式为：， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，故选项A正确，选项C错误； 当时，随减小而增大，故选项D正确． 故选：C． 4．（2023·四川成都·一模）下列关于抛物线的说法正确的是（    ） ①开口方向向上；②对称轴是直线；③当时，随的增大而减小；④当或时，． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：，， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小； 故①正确，②错误，③正确； 令，即， 解得：，， 抛物线开口向上，与轴交于，， 当或时，， 故④正确， 综上所述，正确的有：①③④， 故选：C． 5．（2023·四川成都·一模）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象的对称轴在y轴右侧 B．y的最小值为5 C．图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x的值的增大而增大 【答案】D 【详解】解：A、∵二次函数，∴对称轴为直线，在y轴左侧，故本选项不正确，不符合题意； B、∵，顶点坐标为，∴y的最小值为1，故本选项不正确，不符合题意； C、∵，顶点坐标为，在第二象限，∴图象与x轴没有交点，故本选项不正确，不符合题意； D、∵，对称轴为直线，∴当时，y的值随x的值的增大而增大，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【题型3 一次函数、二次函数、反比例函数图象综合】 一次函数、二次函数以及反比例函数的图象综合题，也时常出现在中考试卷中，要想在此类题型中拿到分，需要掌握一次函数、二次函数以及反比例函数的图象和性质。 函数图像共存判断 题型特点：给定多个函数解析式(含参数)，要求判断哪些函数图像可能同时存在。 典型考法：一次函数与反比例函数共存:通过参数符号(如斜率k、反比例系数k)判断图像走向及象限分布。 二次函数与其他函数共存：结合二次函数开口方向(a的正负)、顶点位置、判别式(Δ)与其他函数的参数关系综合分析。 示例：若反比例函数y=与一次函数y= kx +2的图象可能共存，需满足 k的符号一致(如k>0时，反比例函数在一、三象限，一次函数上升) 判断函数图象是否能够共存的方法： ①从选项入手，假设每个选项里面的函数图象都是正确的； ②分别根据每个函数图像的特点，写出图象中待定系数的正负关系； ③若所有函数图象中判断出来的待定系数正负都不冲突，则假设成立，反之，则不成立。 1．（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 2．（2023·四川自贡·一模）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次函数的图象开口方向向下， ， 对称轴在轴的右边， 、异号，即． 反比例函数的图象位于第二、四象限， 正比例函数的图象位于第一、三象限． 观察选项，C选项符合题意． 故选：C． 3．（2023·四川成都·二模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【详解】解：A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意； B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意． 故选：B． 4．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 考向二：二次函数的图象与系数的关系 【题型4 二次函数的图象与系数的关系】 二次函数图象与系数abc之间的关系类题目经常出现在四川中考数学试卷选择或填空题压轴题中，难度中等偏上，是一道能拉开差距的题目。做此类题目我们需要从以下几个方面入手： ①a、b、c在二次函数图象中的作用 a的符号：开口方向决定(开口向上→a>0；向下→a<0)； b的符号：结合对称轴位置(对称轴，左同右异)。 c的符号：图像与y轴交点的纵坐标(交于正半轴→c>0)。 ②代数式正负判断 题型特征：通过特殊点判断代数式的正负（注意：观察图中现成的特殊点） 关键点：结合图像中点的位置，如顶点、与x轴交点等。 当x=1时，则a+b+c=0； 当x=-1时，则a-b+c=0； 当x=2时，则4a+2b+c=0； 当x=-2时，则4a-2b+c=0. ③函数值比较与最值问题 题型特征：比较不同点的函数值大小或求顶点最值； 方法：利用对称性，重点关注题目中最大值和最小的所在的位置，根据二次函数的对称性将不在对称轴同一侧的转换到同一侧，再利用二次函数的增减性进行比较； ④判别式与图像交点 核心考点：Δ=b2-4ac的符号决定图像与x轴的交点个数；当△＞0时，二次函数图象与x轴有2个不同的交点，当△=0时，二次函数图象与x轴只有一个交点，当△＜0时，二次函数图象与x轴没有交点。 典型陷阱：Δ>0时有两个交点，但需注意交点是否在指定区间内。 ⑤综合应用题 题型特征：结合几何图形(如三角形面积)或实际问题，分析系数对图像的影响。 1．（2023·四川资阳·中考真题）如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【详解】解：由图象开口向上可得：， 由于图象与轴交于负半轴，可知：， 根据对称轴公式：可知：， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， 即：，故②正确； 当时，取得最小值， ， （为任意实数），故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确； 其中正确的结论是：①②④， 故选：C． 2．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（     ） ①；②抛物线的顶点坐标为； ③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由题意，∵有两实根， ． ∴得，． ∴，故①正确． ， ∴抛物线的对称轴是直线． ∴抛物线的顶点为． 又， ∴，即． ∴． ∴． ∴顶点坐标为，故②正确． ∵， ∴． 又， ， ∴，故③错误． ， ， ∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值． ∵，抛物线的对称轴是直线， 又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ， ， ∴，故④错误． 综上，正确的有①②共2个． 故选：B． 3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】C 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 4．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 5．（2023·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（    ）    A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开☐向下， ∴，故①错误， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 设点B坐标为 ∵抛物线对称轴为直线，点A的坐标为， ∴，解得：， ∴点B的坐标为，故②正确， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴ ∴由得，即，故③正确； ∵，抛物线对称轴为直线， ∴当时，时函数最大值， 当时，， ∴，即， 综上所述：正确的结论有②③④， 故选：C． 6．（2023·四川乐山·中考真题）如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解 ：∵抛物线的图象开口向上， ∴， ∵抛物线经过点，且， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴ ∴，故②正确； 由图象可知，当时，，即， ∴ ∵，， ∴，故③正确； ∵， 又∵， ∴， ∵抛物线的图象开口向上， ∴，故④错误． ∴正确的有①②③共3个， 故选：B． 7．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【答案】①②④ 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④ 考向三：二次函数的对称性和最值 【题型5 已知抛物线上的两点求对称轴】 已知抛物线上的两点求对称轴核心知识点与公式： 二次函数一般式：+bx+c，其对称轴为： 交点式：，抛物线与x轴的交点为（）、（），对称轴为 此题型在中考试卷中常以下面三种题型出现 ①图表题型：题目以图表的形式出现，根据二次函数的对称性，关于对称轴对称的两点函数值相等，所以我们只需要找出表格中相等函数值所对应的x值，再结合即可求出对称轴； ②图象题型：题目以二次函数图象的形式出现，找出二次函数图象中与x轴的两个交点值，再根据即可得出对称轴； ③解析式题型：题目直接给出解析式，代入即可得出对称轴。 1．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ∵抛物线经过两点 ∴， 即， ∴， ∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 即，即， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（    ） A． B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D． 【答案】C 【详解】解：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴， ∴，A选项的结论不正确，不符合题意； 二次函数的图象与轴交于，两点， ∴对称轴为，故B选项的结论不正确，不符合题意； 由图象知：当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，故C选项的结论正确，符合题意； 当时，，故D选项的结论不正确，不符合题意． 故选：C． 3．（2024·四川凉山·一模）抛物线上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线 B．当时， C．当时，随的增大而减小 D．抛物线开口向下 【答案】B 【详解】解：A、由表格中点，，可知对称轴是直线，故此选项不符合题意； B、根据对称轴是直线，图象过点，则根据二次函数的对称性得当时，，故此选项符合题意； C、由表格数据可得，当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； D、根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，得出抛物线开口向下，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（2024·四川巴中·一模）已知二次函数，其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系： x … 2 3 4 … y … 4.8 … 下列判断中，正确的是 （填序号）． ①顶点是②③④当时，⑤当时，y随着x的增大而减小． 【答案】②④⑤ 【详解】解：已知抛物线经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点不是，故①错误； 由，，可得时，y随着x的增大而减小， ∴抛物线开口向下， ∴，故②正确； ∵抛物线经过点，，， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过， ∴抛物线经过点， ∴当时，，故④正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴时，y随着x的增大而减小，故⑤正确； 故答案为：②④⑤． 5．（2024·四川乐山·二模）已知抛物线过点、，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：∵， ∴当时，，即：过， ∵过，， ∴的对称轴为：，即：， 则当时，， ∵过，即存在使得， 当时，有最小值，故存在使得； 当时，有最大值，要使得存在使得，则，即：； ∴或； 故答案为：或． 6．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，则 ；若，则m的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴是直线， ①∵， ∴点P、Q关于对称轴对称， ∴，解得； ②∵抛物线与y轴的交点为，当时，或， ∴与关于对称轴对称， 当对称轴在y轴右侧时，， ∵， ∴，且， 解得； 当对称轴在y轴左侧时，，此时， P、Q两点都在对称轴的右侧，y的值随x值增大而增大， ∵， ∴， 解得； ∴综上，m的取值范围是或． 故答案为：；或． 【题型6 二次函数的最值问题】 二次函数的最值问题在中考中常以下题型出现： 二次函数顶点坐标（）; ①直接求解：如题目已经给出二次函数解析式且对自变量的取值没有要求时，我们可以直接代入y=求解； ②间接求解：当题目对二次函数的自变量有取值要求时，我们应该先根据解出二次函数对称轴，再分情况讨论，例如已知自变量的取值范围为≤x≤，（以开口向上为例）分以下三种情况讨论 （1）当≤x≤在对称轴左边时，y随x的增大而减小，所以在处取的最大值，处取的最小值，如图所示 （2）当≤x≤在对称轴两边时，在对称轴处取的最小值，如图所示 （3）当≤x≤在对称轴右边时，y随x的增大而增大，所以在处取的最小值，处取的最大值，如图所示 1．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 2．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 3．（2024·四川眉山·二模）若函数；当时，此时该函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵函数， ∴当时，函数的最小值在函数上， ∴当时，该函数的最小值是3， 故选：A． 4．（2024·四川南充·三模）已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点是， 设关于的中心对称点为， 则， 解得， ∴关于的中心对称点为， ∴，且抛物线：与抛物线：开口方向相反，形状相同，即， 当时，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵当时，有最大值为4，且， ∴当时，，解得， ∴， 当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵当时，而 ∴当时，有最大值，最大值为， 显然，不符合题意， 综上可知，， 故选：C． 5．（2024·四川南充·一模）如图，抛物线与x轴交于点．点，是抛物线上两点，当时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 当点P，Q均在对称轴左侧时，有，， ， 则， ∵m随t的增大而减小，， ∴ 当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时 ①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有，， ， 则， 对称轴：，在对称轴左侧m随t的增大而减小， ∴ ②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时， 当时，，， 则， 对称轴：，在对称轴右侧m随t的增大而增大， ∴， ∵， ∴点P，Q不可能均在对称轴右侧． 综上可得：， 故答案为D． 6．（2023·四川泸州·一模）当时，抛物线有最大值2，则b的值为（  ） A．1或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，且开口向下， 当，即时，有， 解得（舍去）或； 当，即时，有， 整理得，，方程无实数解； 当，即时，有， 解得； 综上，b的值为或， 故选：C 7．（2024·四川成都·二模）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 5 485 【详解】解：∵(为正整数)等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为，则另一个正奇数为， ， ， 利用求根公式得：或(舍)， ∴当为正奇数时，为“彗星数”， ， ， ∵为正奇数， ∴为整数， ∴也必须为整数，为偶数， 令，p为正整数， ， ∵ ∴抛物线开口向上，且对称性为y轴，当时，随的增大而增大， ∵p为正整数 ∴当时，n有最小值为，此时 ∵当时，(不符合题意，舍去)，当时，，当时，， ， ∴当时，的最大值是485， ∴“彗星数”的最小值为5，最大值为485． 故答案为：5，485． 8．（2024·四川眉山·二模）如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，，那么y的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴ 解得 ∴， ∴ ∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为 ∴当时，y随m的增大而增大 ∴时y的最小值为． 故答案为：． 【题型7 二次函数图象的平移】 二次函数的平移（平移规律：左加右减、上加下减） ①先将抛物线转换为顶点式：，其中（h，k）是顶点坐标； ②保持二次函数图象不变，将其顶点平移到（h，k）的方法具体如下： 1．（2023·四川南充·中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到 ∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上 ∴点在抛物线上 故选：D 2．（2023·四川巴中·一模）将二次函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：， 则， 消去得到， 整理得， ， ， 故选：D． 3．（2024·四川眉山·二模）若将抛物线先沿轴方向向右平移1个单位，再沿方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， 又∵抛物线沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位， ∴平移后得新抛物线解析式为， 故选：D． 4．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）； 【答案】 【详解】解：， ∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（2025·四川泸州·一模）将抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：将抛物线向右平移个单位后，所得新抛物线的解析式为： ， 其顶点坐标为， 故答案为：． 6．（2024·四川成都·一模）将抛物线：向左平移（）个单位长度后，再向下平移个单位长度，得到新的抛物线，若，，为抛物线图象上的三点，则，，的大小关系 ．（请用“”表示） 【答案】 【详解】解：由题意得新的抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，，为抛物线图象上的三点， ∴关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∵抛物线的开口向上， ∴， 故答案为：． 7．（2023·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，如果抛物线经过平移可以与抛物线互相重合，那么这个平移是（    ） A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【答案】C 【详解】解：∵， 又∵该抛物线经过平移可以与抛物线互相重合， ∴这个平移是向左平移1个单位． 故选C． 考向四：方程和不等式与二次函数 【题型8 抛物线与坐标轴的交点】 抛物线与坐标轴的交点问题在中考中常见题型： 1.交点个数判断 题型特点：要求证明或判断抛物线与x轴的交点数量(0、1或2个)。 解题方法：利用判别式 △ =b2 - 4ac 判断。 当△ >0时，二次函数与坐标轴有两个交点； 当△ =0时，二次函数与坐标轴有一个交点(顶点在x轴上); 当△＜0时，二次函数与坐标轴没有交点。 2.交点坐标求解 题型特点：直接求抛物线与x轴、y轴的交点坐标。 解题方法 x轴交点：令y=0，解方程 ax2+bx+c=0，根即为交点横坐标； y轴交点：令x=0得y=c，交点为(0，c)。 3.参数求解问题 题型特点：已知交点位置或数量，反推抛物线解析式中的参数 解题方法：①利用交点代入方程建立方程组；②结合判别式、对称轴公式等条件。 4.几何综合应用 题型特点：结合交点坐标与几何图形(如三角形、四边形)的面积或形状问题。 解题方法：①先求交点坐标，再计算几何图形的边长或面积；②注意坐标系中的对称性(如关于对称轴对称的交点)。 1．（2024·四川南充·一模）已知二次函数，若关于的方程的实数根为．且，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：令，相当于抛物线向上平移了个单位， 求关于的方程的实数根为，相当于抛物线与轴的交点， ，， 则、在和之间， 故选：B． 2．（2024·四川泸州·二模）二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．1和2 B．1和 C．和2 D．和 【答案】A 【详解】解：令，则， 解方程，得，， 所以二次函数的图象与x轴交点的横坐标是1和2． 故选：A． 3．（2024·四川成都·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，下列说法正确的是（    ） A． B．二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5 C．当时， D．直线与二次函数图象有两个交点 【答案】D 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为， ∴二次函数解析式为，即，故A错误； ∵二次函数图象的对称轴为直线，图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为，故B错误； 将代入，得 ∴ 当时，；当时，， ∵图象开口向上，顶点坐标为， ∴函数有最小值， ∴当时，，故C错误； 令，整理得， ∴， ∴直线与二次函数图象有两个交点，故D正确； 故选：D． 4．（2024·四川达州·一模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为N.若，则b的值为（    ） A． B．3或 C． D．或3 【答案】D 【详解】解：在函数中， 当时，， 当时，，解得：， 函数与x轴交于，与y轴交于点， 其轴点函数经过点， ，； ，即， 其轴点函数与x轴的另一交点为， ，即， ， ， ， ， ， 当时，， 当时， 或3， 故选：D． 5．（2024·四川自贡·一模）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数中，令，则， 解得，， ，， 过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ， 点在二次函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， 故选：． 6．（2024·四川宜宾·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为2，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为（　　） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】解：令得或， 如图，连接， P为中点，D为中点， ， 当最大时，最大，由圆的性质可知当点G、C、B三点共线时，最大， 此时， 所以的最大值为. 故选：A. 7．（2024·四川达州·中考真题）抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为 依题意， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，，即 ∴，故A选项正确，符合题意； 若对称轴为，即， 而，不能得出对称轴为直线， 故B选项不正确，不符合题意； ∵抛物线与坐标轴有2个交点， ∴方程有两个不等实数解，即，又 ∴，故C选项错误，不符合题意； 无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 8．（2024·四川成都·二模）对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数，我们称之为分段函数，它是一个函数，而不是几个函数，习惯上，我们会把每段的自变量的取值范围写在该范围内满足的解析式后面．现有分段函数（其中m是常数，且），该函数的图象记为G．当时，图象G与x轴的交点坐标为 ；若直线与G恰有两个交点，则m的值为 ． 【答案】 或 【详解】解：当时，函数， 令，则，， 解得：，， ∵， ∴， 方程中，， 即方程无解， ∴当时，图象G与x轴的交点坐标为； ∵， ∴函数的顶点为， ∵， ∴函数的顶点为， 当或时，直线与G恰有两个交点， 由，解得， 由，解得， ∴若直线与G恰有两个交点，则m的值为或， 故答案为：；或． 9．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴，解得：， ∴， ∵抛物线的开口向上，且与轴有两个交点， ∴，解得：或； 故答案为：或． 【题型9 图象法解一元二次不等式】 图象法解一元二次不等式中考题型分析 1.基础解法题：要求通过二次函数图象直接求解不等式解集。 典型例题：给出形如 x2-2x-3>0的不等式，要求画出对应二次函数图象，通过观察图象在x轴上方或下方的区间确定解集； 解题关键：①计算判别式△，确定方程根的情况；②画出开口方向、顶点及交点位置的函数草图； 2.图象分析综合题：结合二次函数图象与方程、不等式的关联设计问题。例如:给出函数图象，判断不等式解集，据解集反推二次项系数符号或判别式的值； 1．（2024·四川成都·三模）如图是二次函数的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（    ） A．， B．不等式的解集是 C． D．方程的解是， 【答案】B 【详解】解：由图象得：，，对称轴是， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵对称轴是，函数图象与x轴一个交点是， ∴另一个交点， ∴不等式的解集是，故B错误，符合题意； ∵函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故C正确，不符合题意； ∵函数图象与x轴的两个交点为和， ∴方程的解是，，故D正确，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·四川绵阳·一模）二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 3．（2024·四川广安·一模）如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3，则以下结论：①，；②当时，直线与抛物线的函数值都随着x的增大而增大；③的长度可以等于5；④连接，，有可能是等边三角形；⑤当时，，其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 【答案】B 【详解】解：①抛物线的开口向上， ， 一次函数与轴的交点在轴的正半轴， ， 故①正确； ②由图象得， 一次函数的函数值都随着x的增大而增大； 抛物线的对称轴为轴，， 当时，抛物线的函数值都随着x的增大而增大； 故②正确； ③点A的横坐标是－2，点B的横坐标是3， 若，可得出直线与轴平行， 即， 与已知矛盾， 故不可能为， 故③不正确； ④若， 直线与轴平行， 即，与已知矛盾， ， 即不可能为等边三角形， 故④不正确； ⑤直线与关于轴对称，如图所示： 直线与抛物线交点C、D横坐标分别为，， 由图象可得：当时， ， 即 故⑤正确； 综上所述：正确的结论是：①②⑤； 故选：B． 5．（2024·四川凉山·二模）如图，一次函数与抛物线相交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察函数图象可得：或时，抛物线在直线上方， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 6．（2024·四川达州·二模）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；  ②； ③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的两根分别为，．其中错误的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， ，故②正确； 抛物线和轴交点在负半轴， ， ， ①正确； 当时，两点都在对称石侧．图象部分．随增大而增大， ， ③正确； 不等式，抛物线在轴上方时，取值范围，而抛物线和轴交点为和， 解集是或； ④错误． 的两个根，， ∴，， ，， 的两个根，， ⑤错误． 故选：C． 7．（2024·四川眉山·二模）如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】解：由图可知，当时，抛物线在直线上方， 因此不等式的解集是， 故答案为：． 8．（2023·四川成都·二模）已知关于x的多项式，二次项系数、一次项系数和常数项分别a，b，c，且满足．若当和（t为任意实数）时的值相同；当时，的值为2，则二次项系数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵当和（t为任意实数）时的值相同 ∴ ∴整理得① ∵时，的值为2 ∴② 将①代入②得 ∴ ∵ ∴ ∴整理得 设 画函数图象如图，由图像知时的图象在x轴下方 ∴ 考向五：二次函数实际应用 【题型10 二次函数与实际问题结合】 1.利润/成本最优化问题 核心模型：总利润=单件利润×销量，通过二次函数求最大值； 典型场景：商品售价调整对销量的影响； 2.几何图形面积/长度最值问题 核心模型：利用几何图形(如矩形、三角形)的边长关系构建二次函数求面积或周长的最值； 关键点：合理设变量，结合勾股定理或相似三角形； 例题：用篱笆围矩形苗圃，靠墙边长度限制下求最大面积； 3.抛物线轨迹问题 常见场景：投掷实心球、喷泉水流、篮球轨迹等抛物线运动； 解题步骤：建立坐标系→求解析式→计算落地点或高度差； 4.动态几何与二次函数结合 题型特点：涉及动点、平移、翻折等几何变换，求线段长度或图形面积变化规律； 难点：需结合几何性质与二次函数增减性； 5.分段函数与实际问题 场景：不同自变量范围内函数关系变化(如阶梯电价、分段计费)； 关键：分段讨论并验证取值范围对最值的影响。 1．（2024·四川成都·二模）如图是某小区大门上方拱形示意图，其形状为抛物线，测得拱形水平横梁宽度为8m，拱高为2m，在五一节到来之际，拟在该拱形上悬挂灯笼（高度为1m），要求相邻两盏灯笼的水平间距均为1m，挂满后不擦横梁且成轴对称分布，则最多可以悬挂 个灯笼． 【答案】6 【详解】如图，以抛物线状拱形的顶点为原点，建立直角坐标系，即设抛物线的解析式为：， 根据题意可知：， 将代入中，有， 解得：， 则抛物线解析式为：， 当时，，解得：， 如图，， ∵相邻两盏灯笼的水平间距均为1m，且按轴对称的方式摆放， ∴共计最多可以挂6盏灯笼， 故答案为：6． 2．（2024·四川广元·一模）文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商城销售某品牌空调，该空调每台进货价为2500元，已知该商店6月份售出75台空调，8月份售出108台空调．求该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率； 调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台； 售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商城如何定价能使每天的利润最大？ 最大利润是多少？ 【答案】该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为；该商城将空调定价为2800元时，每天的利润最大，最大利润是7200元 【详解】解（1）设该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为x， 根据题意得∶， 解得∶ ，(舍去)． 答∶该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为； （2）设该商城每台空调降价m元，则每天可多售台， 每天的利润为w元， 根据题意得出： ， 当时，w取得最大值，最大值为5000， 此时， 答∶该商城将空调定价为2800元时，每天的利润最大，最大利润是7200元． 3．（2023·四川绵阳·中考真题）随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 x/元 15 20 25 30 y/袋 25 20 15 10 若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题： (1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式； (2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润销售额成本） 【答案】(1)日销量y关于每袋售价x的函数关系式为 (2)每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元 【详解】（1）解：设（） 将，代入， 得 解得， ∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为； （2）解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元， （） ， 当时，W最大，最大值为225 答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元． 4．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价； (2)设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值． 【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元 (2)或，当时，取得最大值为1000元 【详解】（1）解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元 由题意得： 解得： 经检验：是原方程的解且符合题意 ∴ 答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元． （2）解：设猪肉粽每盒售价元，表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则 ∵，， ∴当时，取得最大值为1000元． 5．（2024·四川泸州·一模）足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.4米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球能射进球门 【详解】（1）解：∵（米）， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线，把点代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴球能射进球门． 6．（2024·四川成都·一模）为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 【答案】(1)； (2)该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 【详解】（1）解：喷出的水流距柱子1米处时达到最大高度3米， 抛物线的顶点坐标为， 设水流所在抛物线解析式为：， 米， ， 将代入得：， 解得：， 水流所在抛物线解析式为； （2）解：当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 7．（2024·四川泸州·一模）如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？ 【答案】当球运行的水平距离为时，球在空中达到最大高度，最大高度为 【详解】解：依题意，抛物线经过点和， 解得 ∴， ∵， ∴当时，取得最大值3.5， 当球运行的水平距离为时，球在空中达到最大高度，最大高度为． 8．（2024·四川南充·三模）某工厂在A，B两城分别生产同种产品共200件，其中A城生产x件，A城生产产品的总成本y（元）与产品数量x（件）之间满足函数关系式，B城生产产品的成本为每件60元． (1)若A城生产产品的件数为30件，求A，B两城完成这种产品生产任务的总成本． (2)设A，B两城生产这批产品总成本共w元，求w关于x的函数关系式，并求生产这批产品总成本最小的生产方案； (3)在（2）的生产方案下，要把这批产品全部运往C，D两地，从A城运往C，D两地的费用分别为10元/件和20元/件；从B城运往C，D两地的费用分别为a元/件（a为常数，）和30元/件；C地需要150件，D地需要50件，请你帮工厂设计出运费最节省的运输方案． 【答案】(1)11700元 (2)，城生产20件，城生产180件 (3)当时，从A城运往C地件，从B城运往C地130件，运往地50件，运费最小；时，从A城运往D地件，从B城运往C地150件，运往地30件，运费最小 【详解】（1）解：当A城生产产品的件数为30件时，则：B城生产产品的件数为件， ∵， ∴当时，， ∴A，B两城完成这种产品生产任务的总成本为元； （2）由题意，得：， ∴， ∴当，即：城生产20件，城生产件时，总成本最低； ∴城生产20件，城生产180件； （3）设从A城运往C地件，总运费为元，则从城运往地件，从B城运往C地件，运往地件，由题意，得： ， ∵且， ∴， 当，即时，随的增大而减下， ∴当时，最小为：； 此时从A城运往C地件，从B城运往C地130件，运往地50件，运费最小； 当，即时，随的增大而增大， ∴当时，最小为， 此时从A城运往D地件，从B城运往C地150件，运往地30件，运费最小． （建议用时：30分钟） 1．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线， 该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵，，， 而，，， ∴点离对称轴最近，点离对称轴最远， ∴； 故选：D． 2．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限， 设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得 解得． 故选：A． 3．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是(    ) A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点 C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是 【答案】D 【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意； B、， ， 即图象与轴有两个交点， 故此选项不符合题意； C、抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， 故此选项不符合题意； D、， 图象的顶点坐标是， 故此选项符合题意； 故选：D． 4．（2024·四川内江·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①；②；③；④（t为实数）；⑤若，是该抛物线上的三点，则．其中正确的个数是（      ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，顶点在第二象限，与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴，故②正确； 对于，当时，， ∵抛物线与x轴的另一个交点在和之间，顶点在第二象限，开口向下， ∴点在第二象限， ∴， 由①得，，即， ∴， 即，故③正确； 对于，当时，，当（t为实数）时，， ∵抛物线对称轴为， ∴点为抛物线的顶点， 又∵抛物线开口向下， ∴为抛物线的最大值， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线开口向下，且对称轴为， 观察图象可得，在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值越大， ∴，故⑤错误； 故选：A． 5．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ． 【答案】 【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和构成矩形， 设矩形在射线上的一段长为，矩形菜地面积为， 当时，如图， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的最大值为； 当时，如图， 则矩形菜园的总长为， 则在射线上的长为 则， ∵， ∴当时，随的增大而减少， ∴当时，的值均小于； 综上，矩形菜地的最大面积是； 故答案为：． 6．（2024·四川遂宁·二模）将解析式为 的抛物线先向右平移 4 个单位，再向下平移 5 个单位，则平移后的新抛物线的解析式为   ． 【答案】 【详解】解：将解析式为的抛物线先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，则平移后的新抛物线的解析式为． 故答案为：． 7．（2024·四川成都·二模）已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 将三点代入到中，得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2024·四川南充·二模）如图，将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，原抛物线轴上方的图象与翻折得到图象组成一个新函数的图象，若直线与新函数的图象有三个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或者 【详解】解：如图所示，过点A的直线与新图象有三个公共点，将直线向上平移到恰在点E处相切，此时与新图象也有三个公共点， 令， 解得：，， ∴，， ∵将抛物线在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方， ∴翻折之后的二次函数的解析式为：， 将一次函数与二次函数联立得：， 整理得：， 令， 解得：， 当一次函数过点A时，将代入得：， 解得：， ∴若直线与这个新图象有3个交点，则b的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 9．（2023·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，对任意的，称W为a到b时y的值的“极差”（即时y的最大值与最小值的差），L为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当时，W的取值范围是 ．    【答案】 【详解】解：根据题意可得：， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为． ，即与的差值为7， ． ，即， ． ． 当时，随增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为． 当时，有最小值，最小值为， ． 对称轴是直线． 当时，随的增大而增大． 当时，有最小值，最小值为4． 当时，有最大值，最大值为． 综上所述：． 故答案为： 10．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 (2)（） (3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 11．（2024·四川成都·一模）近年来，盲盒备受潮玩商家关注．某潮玩商家推出2024年生肖龙公仔，并将类毛绒玩具和类毛绒挂件放在一起采用盲盒模式销售，一个盲盒内随机装一个类毛绒玩具和一个类毛绒挂件（不同盲盒内所装的玩具与挂件仅颜色不同），已知一个盲盒成本为22元/个．该商家销售该盲盒一段时间后，发现该盲盒的周销售量（个）和盲盒单价（元）满足一次函数关系的图象如图所示． (1)求该盲盒周销售量（个）和盲盒单价（元）的函数表达式； (2)该商家应如何定价才能使盲盒的周销售利润最大？并求出此时的最大利润． 【答案】(1) (2)当销售单价为27元，销售利润最大，最大利润为2000元． 【详解】（1）设与之间的函数关系式为， 由题意可得，解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）设利润为元，得：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，销售利润最大，最大利润为元． 答：当销售单价为27元，销售利润最大，最大利润为2000元． 12．（2024·四川达州·一模）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为元，日销售量为盒． (1)当时，______； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大?最大利润是多少? (3)小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价的范围为．”你认为小红的说法正确吗?若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 【答案】(1)400 (2)当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元 (3)小红正确，理由见解析 【详解】（1）由题意可得， ， 即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是， 当时，（）， （2）由题意可得， ， 由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ∴， 即，解得． ∴当时，W取得最大值，此时， （3）当日销售利润不低于8000元时，即， ，解得： ， ， 当日销售利润不低于8000元时， ． 故小红正确，当日销售利润不低于8000元时，． 13．（2024·四川成都·二模）“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段，2024年是中国农历甲辰龙年，某主播用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具在直播间销售，由于销售火爆，又用9900元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的3倍，但每件的进价贵了3元． (1)求商场购进第一批“小金龙”每件的进价； (2)直播间在第二批“小金龙”布偶销售过程中发现，“小金龙”布偶每分钟的销量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，设每分钟的销售利润为元，求与之间的函数关系式，并求最大值． 【答案】(1)30元 (2)；最大值160元 【详解】（1）解：设购进第一批“小金龙”每件进价为元，则购进第二批“小金龙”每件进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 商场购进第一批“小金龙”每件的进价为30元． （2）解：由题意得：， 当时，有最大值160元， 答：最大值为160元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$