第一章：04 第四讲 分式--2025年中考数学一轮复习【精讲精练+分层练习】（全国通用）

第四讲 分式 教材知识 中考考点 课标要求 分式及其性质 1.分式定义及有意义的条件 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分 2.分式值为0的条件 3.分式的基本性质（含约分和通分） 分式的运算 4.分式的简单运算 能对简单的分式进行加、减、乘、除混合运算 5.分式的化简求值 命题点1 分式有意义的条件及其值为0的条件 （一）、分式及其性质 1、分式：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母．那么式子叫做分式． 【要点解读】 ①判断一个式子是否为分式，应在约分前进行判断，如是分式，不是整式． ②分式有意义的条件：； ③分式值为0的条件：且． 2、分式的性质 基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 即；，（其中是整式） 【要点解读】 符号变化规则： （二）、约分 （1）根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． （2）关键：确定分式的分子与分母的最大公因式． （3）最大公因式的确定： ①系数：取分子、分母系数的最大公约数； ②字母（或因式）：取分子分母中相同字母或因式的最低次幂． （4） 最简分式：分子与分母没有公因式的分式． （5） 约分： 约分思路：①因式分解 ②找分子与分母的公因式： ③约去公因式 具体步骤： 【要点解读】 ①若分子、分母是多项式，应先把分子、分母分解因式，再确定最大公因式，最后进行约分． ②约分要彻底，使分式的分子和分母没有公因式，约分的结果是最简分式或整式． （三）、通分 （1）根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． （2）关键：确定几个分式的最简公分母． 【要点解读】 ①最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积为各分式的最简公分母． ②确定最简公分母的步骤：与 步骤 具体内容 示例 ①定系数 取各分母系数的最小公倍数 各分母系数的最小公倍数：6 ②定字母 取各分母中的所有字母 各分母中的所有字母： ③定指数 取各个字母的最高指数 的最高指数：2 的最高指数：1 的最高指数：2 ④最简公分母： （3）通分：与 通分思路：①因式分解 ②确定最简公分母 ③通分 具体步骤： 角度1 分式的定义、有意义的条件 1．（2022·湖南怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分式的判断 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 2．（2024·江苏镇江）使分式有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 3．（2024·黑龙江大兴安岭）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 4．（2024·山东烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 角度2 分式的值 5．（2023·浙江湖州）若分式的值为0，则x的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分式值为零的条件 【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 6．（2024·吉林）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【难度】0.85 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为0， 故答案为：0（答案不唯一）． 7．（2024·黑龙江大庆）已知，则的值是 ． 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值 【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式． 8．（2021·四川攀枝花）已知：（x、y、z均不为零），则＝ ． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】分式的求值 【分析】根据已知条件可设，，，将其代入所求式子，计算即可． 【详解】解：（，，均不为零）， 设，则，， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的求值，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数表示出，，，再代入计算． 角度3 分式的基本性质（近几年单独考察较少，多在化简求值题目中应用） 9．（2023·甘肃兰州）计算：（    ） A． B． C．5 D．a 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】提公因式法分解因式、约分 【分析】分子分解因式，再约分得到结果． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 10．（2019·山东临沂）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】约分 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 【详解】原式 . 故选B． 【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用． 11．（2016·山东滨州）下列分式中，最简分式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】最简分式 【详解】选项A为最简分式； 选项B化简可得原式=； 选项C化简可得原式=； 选项D化简可得原式=； 故选：A． 考点：最简分式． 12．（2018·山东济南）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键. 13．（2020·内蒙古呼和浩特）分式与的最简公分母是 ，方程的解是 ． 【答案】 x=-4 【难度】0.65 【知识点】最简公分母、解分式方程 【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解． 【详解】解：∵， ∴分式与的最简公分母是， 方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：，变形得：， 解得：x=2或-4， ∵当x=2时，=0，当x=-4时，≠0， ∴x=2是增根， ∴方程的解为：x=-4． 【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法． 命题点2 分式的运算及化简求值 1、加减运算 类别 法则 示例 同分母 分母不变，把分子相加减 异分母 先通分，化为同分母的分式，再进行加减 2、乘除运算 类别 法则 示例 乘法运算 用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 除法运算 把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 （） 乘方运算 把分子、分母分别乘方 （是正整数） 3、分式化简求值的一般步骤： 角度1 分式的运算及化简 14．（2024·广东）计算： ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 15．（2024·山东威海）计算： ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减，根据同分母分式的加减法则解题即可． 【详解】 ． 故答案为：． 16．（2023·河北）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分式乘法、分式乘方 【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键． 17．（2024·河北）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 18．（2024·黑龙江绥化）计算： ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算．先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 19．（2024·新疆）计算：(2)． 【答案】(2)1 【难度】0.65 【知识点】零指数幂、求一个数的算术平方根、分式乘除混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是： （2）先把第一个分式的分子、分母因式分解，同时把除法转化为乘法，然后约分化简即可． （2）解：原式 ． 20．（2024·辽宁）（2）计算：． 【答案】（2）1 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键． （2）先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】解：（2）原式 ． 21．（2024·山东德州）（1）化简： 【答案】（）； 【难度】0.65 【知识点】加减消元法、分式加减乘除混合运算 【分析】（）先计算分式除法，然后计算分式减法即可； 【详解】解：（）原式 ； 22．（2024·四川泸州）化简：． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，然后根据完全平方公式和平方差公式整理，最后约分即可得出答案． 【详解】解： 23．（2024·江苏连云港）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析 【难度】0.85 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键． 【详解】解：从第②步开始出现错误． 正确的解题过程为： 原式． 角度2 分式的化简求值 类型一：给具体值 24．（2024·江苏宿迁）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】分式化简求值、利用二次根式的性质化简、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简． 【详解】解： ， 当时，原式． 25．（2024·内蒙古呼伦贝尔）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 26．（2024·黑龙江大兴安岭）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】分式化简求值、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时原式． 类型二：结合实数的运算 27．（2024·山东淄博）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【答案】； 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：依题意，，且为整数，又，则， ； 当，时，原式． 28．（2023·辽宁盘锦）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂、分母有理化 【分析】先将括号内的部分通分，再将分式分子、分母因式分解并化简，再计算出x的值后，将代入即可求解． 【详解】解：原式， ， ， ， 当时， 原式， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及实数的混合计算，熟悉通分、约分和分母有理化是解题的关键． 29．（2024·山东烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 【答案】，． 【难度】0.65 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值、求一个数的平方根 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出的值，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴的平方根为， ∵， ∴， 又∵为的平方根， ∴， ∴原式． 类型三：结合方程、不等式 30．（2024·山东日照）（2）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】 （2）； 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值、求不等式组的解集 【分析】（2）根据分式混合运算规则进行化简，得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解： （2）原式 ． 当时，， 原式 31．（2024·四川广元）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减得到，最后将化为，代入即得答案． 【详解】原式 ， ， 原式． 32．（2023·山东东营）（2）先化简，再求值：，化简后，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 【答案】（2），当时，原式=． 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值 【分析】（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：（2）原式 ； 由题意可知：，，， ∴当时，原式． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则，掌握特殊角的三角函数值，零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质进行求解． 33．（2023·山东枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解 【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∵， ∴的整数解有：， ∵， ∴，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键． 类型四：整体带入 34．（2023·四川成都）若，则代数式，的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值 【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得，再将变形，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故原式的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键． 35．（2023·山东）先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】，6 【难度】0.85 【知识点】分式化简求值 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将变形整体代入计算即可求解． 【详解】解：原式 ； 由，得到， 则原式． 【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解． 36．（2024·北京）已知，求代数式的值. 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】分式化简求值、整式的加减运算、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 类型五：自选值 37．（2024·四川达州）先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式． 38．（2024·西藏）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 【答案】，取，原式． 【难度】0.85 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴取，原式． 39．（2024·黑龙江牡丹江）先化简，再求值：，并从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】，取，原式 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 先计算括号内的减法，再计算除法，然后根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可得． 【详解】解： ． 且， 或或． 当时，原式． 或当时，原式． 或当时，原式． 1．（2010·广东深圳）在中，分式的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分式的判断 【详解】解：是分式，共3个 故选：B． 2．（2023·广西）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 3．（2023·四川凉山）分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分式值为零的条件、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 4．（17-18八年级上·广东广州·期末）下列各分式中，是最简分式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分． 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：．是最简分式； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，不符合题意； 故选A． 5．（2024·甘肃）计算：（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 6．（2024·山东济南）若分式的值为0，则的值是 ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】分式值为零的条件 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 7．（23-24八年级下·江苏南京·期中）（1）通分：和；（2）约分： 【答案】（1）；；（2） 【难度】0.65 【知识点】约分、通分 【分析】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式． （1）找出两分母的最简公分母，通分即可； （2）原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）原式． 8．（2024·山西）（2）化简：． 【答案】（2） 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算、分式加减乘除混合运算、负整数指数幂 【分析】（2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（2） ． 9．（2024·山东潍坊）（2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（2）， 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、分式化简求值 【分析】（2）先括号内通分，分子分解因式，除法换作乘法，约分化简，再代入a值，合并即得． 【详解】 （2） ； 当时， 原式． 10．（2024·四川乐山）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． (1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 【答案】(1)③ (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底； （2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底， 应为：； （2）解： 当时，原式 11．（2024·青海）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的混合运算．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式． 12．（2023·湖南娄底）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】；2 【难度】0.85 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，其中， ∴原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键． 13．（2023·山东）先化简，再从的范围内选择一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式=（答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值 【分析】先根据分式混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义条件把合适的数代入化简式计算即可． 【详解】解： ， ∵且， ∴当时，原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则和分式有意义的条件是解题的关键． 14．（2023·山东滨州）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【难度】0.65 【知识点】分式化简求值、零指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解． 【详解】解： ； ∵， 即， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解． 15．（2024·四川雅安）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 16．（2024·黑龙江齐齐哈尔）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【难度】0.65 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 17．（2021·福建）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】分式的求值 【分析】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值． 【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy ∴ 故答案为：4 【点睛】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入． 18．（2023·山东烟台）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 成立的正整数． 【答案】； 【难度】0.85 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件、求一元一次不等式的整数解 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 解不等式得：， ∵a为正整数， ∴，，， ∵要使分式有意义， ∴， ∵当时，， ∴， ∴把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．若分式值为0，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则表示的代数式是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 7．下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若，则的值是______． A． B．2 C． D． 9．若分式有意义，则x的取值范围是 ． 10．若分式的值为正数，则需满足的条件是 ． 11．化简： ． 12．计算 的结果是 ． 13．计算： (1)； (2)． 14．先化简，再求值：，其中． 15．先化简，再求值：，其中从中选择合适的数字． 16．已知 ，则 的值是（　） A．1 B． C．3 D． 17．已知，则的值是（    ） A． B． C． D．1 18．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 19．已知，则代数式的值为 ． 20．已知，则 ． 21．化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… (1)甲同学解法的依据是__________；乙同学解法的依据是____________________． (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程． 22．先化简，再求值：，其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且x为整数． 23．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．C 2．B 3．B 4．A 5．A 6．A 7．C 8．C 9．D 10．B 11．B 12． 13．/ 14．/ 15． 16．/ 17． 18．(1) (2) 19．，1 20．，当时，原式 21．(1)分式的基本性质，乘法分配律；(2)见解析 22．， 23．(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 一、单选题 1．下列代数式中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】此题主要考查了分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且，那么式子叫做分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．据此判定各式子即可． 【详解】解：A、是单项式，不是分式，不符合题意； B、是多项式，不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是多项式，不是分式，不符合题意， 故选：C． 2．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】约分、最简分式 【分析】此题考查了最简分式，分子和分母中除了1以外，没有其它公因式的分式叫做最简分式，熟练掌握最简分式的定义和分式的约分是解题的关键．根据最简分式的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项不是最简分式，不符合题意； B．，是最简分式，故选项符合题意； C．，故选项不是最简分式，不符合题意； D．，故选项不是最简分式，不符合题意． 故选：B． 3．若分式值为0，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．根据分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案． 【详解】解：由分式值为0，得 且． 解得， 故选：B． 4．已知，则表示的代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解答本题的关键． 根据题意得：，根据分式的乘法法则计算即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 即表示的代数式是， 故选：A． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同分母分式加减法 【分析】本题考查同分母的分式的加法运算，分母不变，分子相加，再进行约分化简即可． 【详解】解：； 故选A． 6．如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题． 【详解】解：如果将分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 则， 分式的值不变， 故选：A． 7．下列各式从左到右的变形中，不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，原式变形正确，不符合题意； B、，原式变形正确，不符合题意； C、，原式变形错误，符合题意； D、，原式变形正确，不符合题意； 故选：C． 8．若，则的值是______． A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】分式的求值、异分母分式加减法 【分析】本题考查的是分式的求值，分式的加减运算，掌握整体代入法求解分式的值是解本题的关键；把化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选C 9．若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件, 即分式分母不能为0，可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10．若分式的值为正数，则需满足的条件是 ． 【答案】/ 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键． 根据平方的非负性、分式的值为正数可得，，由此即可得． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴，解得， 故答案为：． 11．化简： ． 【答案】/ 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的化简，先找到所有分母的最简公分母，再通分，即可求解． 【详解】解： ， ， ． 故答案为：． 12．计算 的结果是 ． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用分式运算法则计算得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，即可求解； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： （2） 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当时，原式． 15．先化简，再求值：，其中从中选择合适的数字． 【答案】，当时，原式 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行化简，再将合适的数字代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 不能取，1，0，2，只能取，，3，答案不唯一，计算正确即可， 当时，原式． 16．已知 ，则 的值是（　） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的求值，将整体代入，即可求解． 【详解】解：∵，则 ∴， 故选：D． 17．已知，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是先把已知条件变形为，再将原式变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 18．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的规律性问题 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 19．已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【知识点】分式的求值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查分式的加减法，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 20．已知，则 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程、通过对完全平方公式变形求值、分式的求值 【分析】本题主要考查完全平方公式，分式的求值，利用平方根的含义解方程，利用关系式是解题的关键． 根据，把已知条件代入可得结果． 【详解】解：， 又， ， ． 故答案为： 21．化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… (1)甲同学解法的依据是__________；乙同学解法的依据是____________________． (2)请你选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)分式的基本性质，乘法分配律； (2)见解析 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． （2）根据所给的解题过程即可得到答案； 【详解】（1）根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：分式的基本性质，乘法分配律； （2）甲同学的解法： 原式 ， 乙同学的解法为： 原式 22．先化简，再求值：，其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且x为整数． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、确定第三边的取值范围、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 先利用分式的除法法则化简，再根据分式有意义的条件和三角形的三边关系确定的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵其中x是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长， ∴， ∴， ∵x为整数，， ∴， ∴， ∴． 23．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【知识点】分式的判断、分式化简求值、分式最值 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲 分式 教材知识 中考考点 课标要求 分式及其性质 1.分式定义及有意义的条件 了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分 2.分式值为0的条件 3.分式的基本性质（含约分和通分） 分式的运算 4.分式的简单运算 能对简单的分式进行加、减、乘、除混合运算 5.分式的化简求值 命题点1 分式的有关概念及其性质 （一）、分式及其性质 1、分式：一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母．那么式子叫做分式． 【要点解读】 ①判断一个式子是否为分式，应在约分前进行判断，如是分式，不是整式． ②分式有意义的条件：； ③分式值为0的条件：且． 2、分式的性质 基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 即；，（其中是整式） 【要点解读】 符号变化规则： （二）、约分 （1）根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． （2）关键：确定分式的分子与分母的最大公因式． （3）最大公因式的确定： ①系数：取分子、分母系数的最大公约数； ②字母（或因式）：取分子分母中相同字母或因式的最低次幂． （4） 最简分式：分子与分母没有公因式的分式． （5） 约分： 约分思路：①因式分解 ②找分子与分母的公因式： ③约去公因式 具体步骤： 【要点解读】 ①若分子、分母是多项式，应先把分子、分母分解因式，再确定最大公因式，最后进行约分． ②约分要彻底，使分式的分子和分母没有公因式，约分的结果是最简分式或整式． （三）、通分 （1）根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． （2）关键：确定几个分式的最简公分母． 【要点解读】 ①最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积为各分式的最简公分母． ②确定最简公分母的步骤：与 步骤 具体内容 示例 ①定系数 取各分母系数的最小公倍数 各分母系数的最小公倍数：6 ②定字母 取各分母中的所有字母 各分母中的所有字母： ③定指数 取各个字母的最高指数 的最高指数：2 的最高指数：1 的最高指数：2 ④最简公分母： （3）通分：与 通分思路：①因式分解 ②确定最简公分母 ③通分 具体步骤： 角度1 分式的定义、有意义的条件 1．（2022·湖南怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024·江苏镇江）使分式有意义的的取值范围是 ． 3．（2024·黑龙江大兴安岭）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 4．（2024·山东烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 角度2 分式的值 5．（2023·浙江湖州）若分式的值为0，则x的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 6．（2024·吉林）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ． 7．（2024·黑龙江大庆）已知，则的值是 ． 8．（2021·四川攀枝花）已知：（x、y、z均不为零），则＝ ． 角度3 分式的基本性质（近几年单独考察较少，多在化简求值题目中应用） 9．（2023·甘肃兰州）计算：（    ） A． B． C．5 D．a 10．（2019·山东临沂）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 11．（2016·山东滨州）下列分式中，最简分式是（ ） A． B． C． D． 12．（2018·山东济南）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 13．（2020·内蒙古呼和浩特）分式与的最简公分母是 ，方程的解是 ． 命题点2 分式的运算及化简求值 1、加减运算 类别 法则 示例 同分母 分母不变，把分子相加减 异分母 先通分，化为同分母的分式，再进行加减 2、乘除运算和乘方运算 类别 法则 示例 乘法运算 用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 除法运算 把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 （） 乘方运算 把分子、分母分别乘方 （是正整数） 3、分式化简求值的一般步骤： 角度1 分式的运算及化简 14．（2024·广东）计算： ． 15．（2024·山东威海）计算： ． 16．（2023·河北）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·河北）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 18．（2024·黑龙江绥化）计算： ． 19．（2024·新疆）计算：(2)． 20．（2024·辽宁）（2）计算：． 21．（2024·山东德州）（1）化简： 22．（2024·四川泸州）化简：． 23．（2024·江苏连云港）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 角度2 分式的化简求值 类型一：给具体值 24．（2024·江苏宿迁）先化简再求值：，其中． 25．（2024·内蒙古呼伦贝尔）先化简，再求值：，其中． 26．（2024·黑龙江大兴安岭地）先化简，再求值：，其中． 类型二：结合实数的运算 27．（2024·山东淄博）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    28．（2023·辽宁盘锦）先化简，再求值：，其中． 29．（2024·山东烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 类型三：结合方程、不等式 30．（2024·山东日照）（2）先化简，再求值：，其中x满足． 31．（2024·四川广元）先化简，再求值：，其中a，b满足． 32．（2023·山东东营）（2）先化简，再求值：，化简后，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 33．（2023·山东枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数． 类型四：整体带入 34．（2023·四川成都）若，则代数式，的值为 ． 35．（2023·山东）先化简，再求值：，其中x，y满足． 36．（2024·北京）已知，求代数式的值. 类型五：自选值 37．（2024·四川达州）先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 38．（2024·西藏）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 39．（2024·黑龙江牡丹江）先化简，再求值：，并从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值． 1．（2010·广东深圳）在中，分式的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023·广西）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川凉山）分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 4．（17-18八年级上·广东广州·期末）下列各分式中，是最简分式的是（      ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃）计算：（　　） A．2 B． C． D． 6．（2024·山东济南）若分式的值为0，则的值是 ． 7．（2024·南京期中）（1）通分：和；（2）约分： 8．（2024·山西）（2）化简：． 9．（2024·山东潍坊）（2）先化简，再求值：，其中． 10．（2024·四川乐山）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． (1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 11．（2024·青海）先化简，再求值：，其中． 12．（2023·湖南娄底）先化简，再求值：，其中x满足． 13．（2023·山东）先化简，再从的范围内选择一个合适的数代入求值． 14．（2023·山东滨州）先化简，再求值：，其中满足． 15．（2024·四川雅安）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 16．（2024·黑龙江齐齐哈尔）在函数中，自变量的取值范围是 ． 17．（2021·福建）已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 18．（2023·山东烟台）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$