第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末测试-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 章末测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）化简的值为（     ） A． B．1 C． D． 5．（2025·广东湛江·一模）已知向量，，若，则（   ）． A． B．2 C． D．5 6．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 7．（24-25高一上·河南开封·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最大值为2 B．函数的单调递增区间是 C．函数的图象关于点中心对称 D．直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 8．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）如图所示，是直角三角形，，，点D是斜边的中点，点E是线段靠近点A的三等分点，则（   ） A． B． C．0 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知向量满足，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，则与的夹角为 10．（2025·黑龙江·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则存在实数使得 B． C． D． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习） 的值为 ． 13．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）若，，则的值为 ，的值为 . 14．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 16．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，. (1)若，，求的值； (2)证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即. 17．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期 (2)若，求函数的值域； (3)若且，求的值． 18．（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求函数的值域； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 19．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； (2)记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由和差角公式展开即可验证ABD；对于C，令代入左边，根据公式展开即可验证. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于 C，因为 ，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：C 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，利用同角间的关系和正切的二倍角公式即可求解. 【详解】因为且角的终边经过点， 故角为第二象限角， 所以，， 所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知，均为单位向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积公式求出向量夹角. 【详解】因为，均为单位向量，所以， 所以， 即，所以， 所以， 因为， 所以， 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）化简的值为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用差角公式与诱导公式即可求得结果. 【详解】由正弦的两角和公式得：， 且由诱导公式得：， 故 故选：A 5．（2025·广东湛江·一模）已知向量，，若，则（   ）． A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案. 【详解】因为，所以，所以，所以． 故选：C． 6．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 7．（24-25高一上·河南开封·期末）已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最大值为2 B．函数的单调递增区间是 C．函数的图象关于点中心对称 D．直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 【答案】D 【分析】应用三角恒等变换化简，结合正弦型三角函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】， 由，则， 当，即时，取最大值为3，A错； 由正弦函数的单调性，知和， 即和时，单调递增，B错； ，但不关于对称，C错； 令，则，又， 所以或或，即或或， 故所有公共点的横坐标之和为，D对. 故选：D 8．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）如图所示，是直角三角形，，，点D是斜边的中点，点E是线段靠近点A的三等分点，则（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】用、作为一组基底表示、，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】依题意，，， 所以， 所以 . 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·云南·阶段练习）已知向量满足，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C．在方向上的投影向量为 D．若，则与的夹角为 【答案】ABD 【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，因为，故B正确； 对于C：在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为，所以， 因为，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 10．（2025·黑龙江·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由三角恒等变换结合同角的三角函数和二倍角公式逐项判断即可. 【详解】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：AC. 11．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则存在实数使得 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用向量相关的一些性质和运算，包括向量共面的判断、向量点积的计算、向量叉积模长的计算等.对各个选项逐个计算验证即可. 【详解】对于A，因为不共面，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习） 的值为 ． 【答案】/ 【分析】先运用诱导公式化简，再应用两角差余弦公式计算即可. 【详解】 ． 故答案为：． 13．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）若，，则的值为 ，的值为 . 【答案】 7 / 【分析】利用两角和的正切公式求解；利用两角和与差的正弦和余弦公式和商数齐次式求解. 【详解】因为，， 所以； ， ， 故答案为：7， 14．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 . 【答案】 【分析】延长至，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段的中点，连接，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值. 【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图， 因为， 所以点在直线上，取线段的中点，连接， 则， 显然当时，有最小值， 又易知，，所以的最小值为，所以， 故的最小值为， 故答案为：． 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知. (1)化简函数； (2)若，求的值； (3)若，且，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系化简即可； （2）利用平方关系和商数关系可得，结合（1）中结论求解即可； （3）利用和正切的两角和公式求解即可. 【详解】（1）由题意. （2）由（1）得若，则， 所以. （3）由（1）得若，， 则，，所以，， 所以， 又因为，所以，， 所以. 16．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，. (1)若，，求的值； (2)证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再通过构角，利用正弦的差角公式，即可求解； （2）根据条件得，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又，则，又， 所以. （2）因为，、在单位圆上， 则，，，所以，， 则， 即. 17．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数． (1)求函数的最小正周期 (2)若，求函数的值域； (3)若且，求的值． 【答案】(1)最小正周期为 (2) (3) 【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期； (2)根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； (3)根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，结合，代入求解. 【详解】（1）由题意可得： ， 所以函数的最小正周期为. （2）因为，则， 可得，即， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 且，即， 可得， 所以 ， 所以. 18．（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求函数的值域； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间； （2）根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； （3）根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解. 【详解】（1）， 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为. （2）由，得，则， 所以在区间上的值域为. （3）由，得， 又， 即的两个解为，且， 则，即，即， 则， 所以. 19．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； (2)记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（I）   （II） 【分析】（1）利用两角差的正弦公式及两角和的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的相伴特征向量的定义即可求解； （2）（I）根据题意先求得函数的解析式，结合已知条件求得的值，进而求得的值，通过配角的方法并结合两角差的正弦公式即可求解； （II）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论的正负，通过参变分离法转化为最值问题即可求解. 【详解】（1）， ∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标. （2）由题可知：向量的相伴函数. （I），，即. ，，. ； （II）当时，不等式可化为，即恒成立. ，. 当，即时，，恒成立，. ，，； 当，即时，，，不等式恒成立； 当，即时，，恒成立，. ，，. 综上，实数的取值范围为.. 【点睛】恒成立问题多参变分离后转化为最值问题，通过分类讨论等方法快速求出参数范围. 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$