第07讲 三角恒等变换的应用（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第07讲 三角恒等变换的应用 课程标准 学习目标 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程； 2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明； 3.能根据两角和与差的正弦、余弦公式进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式。 1.能用倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法； 2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用。 知识点01 半角公式 1、半角公式 ＝±， ＝±， 其中根号前的正负号，由角所在象限确定。 2、半角正切公式的有理化 借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式可以得到： ； 所以 上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理化。 【即学即练1】 （24-25高一上·全国·课后作业）设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于（    ） A． B．－ C．－ D． 知识点02 积化和差与和差化积 1、积化和差 2、和差化积 3、积化和差公式的推导 积化和差可由两角和与差的正弦、余弦公式推导，例如： ，① ，② ①+②，得，则 ①-②，得，则 同理根据两角和与差的余弦公式可得到剩下的两个积化和差公式。 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 知识点03 万能公式 1、万能公式 ； ； 万能公式的好处在于把角的三角函数式转化为用表示的式子。若设，则三角函数式可转化为关于的有理代数式。 2、万能公式的推导 或 【即学即练3】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型01 利用半角公式求值 【典例1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（    ） A． B． C． D．或 【变式4】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 题型02 万能公式的应用 【典例2】（2025·上海高一·随堂训练）若，，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【变式1】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（23-24高一下·陕西西安·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知，则 ． 【变式4】已知，且角是第二象限的角，则 . 题型03 积化和差与和差化积公式应用 【典例3】（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（ 2025北京通州区期末测试） ． 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）设是的三个内角，则的最大值为 ． 【变式4】（24-25高一上·江苏南京·期末）如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有 . ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 【变式5】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ． 题型04 三角恒等变换的化简问题 【典例4】（24-25高一上·全国·课后作业）以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）请运用所学三角恒等变换公式，化简计算，并从以下选项中选择该式子正确的值（    ） A． B． C．2 D．1 【变式3】（多选）（24-25高一上·湖南益阳·期末）下列式子化简后等于的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ） A．= B．= C． D．= 题型05 三角变换中的求值问题 【典例5】（23-24高一下·广东佛山·期中）定义：．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·四川成都·期中）求值（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】（2024·辽宁大连·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D．1 【变式3】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式4】（23-24高三上·贵州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．1 题型06 三角形中的恒等变换 【典例6】（24-25高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一·上海·假期作业）在中，若，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）在中，为它的三个内角，且满足，，则 . 【变式3】（23-24高一下·上海·假期作业）在中，若，则是 三角形； 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 8．（23-24高三上·湖北·期中）已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·江西·阶段练习）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·辽宁·期中）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，下列命题正确的是（    ） A．若，则为等腰直角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为正三角形 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则 ， ， . 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，化简的结果是 . 14．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）计算 . 四、解答题 15．（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 16．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，，，. (1)求的值： (2)求的值． 17．（24-25高一上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点． (1)求； (2)的值． (3)求的值． 18．（2025·全国·模拟预测）已知，且. (1)求和的值； (2)若，且，求的值. 19．（24-25高二上·安徽·开学考试）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． (1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； (2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 三角恒等变换的应用 课程标准 学习目标 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程； 2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明； 3.能根据两角和与差的正弦、余弦公式进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式。 1.能用倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法； 2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用。 知识点01 半角公式 1、半角公式 ＝±， ＝±， 其中根号前的正负号，由角所在象限确定。 2、半角正切公式的有理化 借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式可以得到： ； 所以 上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理化。 【即学即练1】 （24-25高一上·全国·课后作业）设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于（    ） A． B．－ C．－ D． 【答案】B 【分析】先分析的范围，确定象限，利用cos2＝求解即可. 【详解】由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以 cos<0.所以cos＝－. 故选：B 知识点02 积化和差与和差化积 1、积化和差 2、和差化积 3、积化和差公式的推导 积化和差可由两角和与差的正弦、余弦公式推导，例如： ，① ，② ①+②，得，则 ①-②，得，则 同理根据两角和与差的余弦公式可得到剩下的两个积化和差公式。 【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式即可化简得到答案. 【详解】. 故选：C. 知识点03 万能公式 1、万能公式 ； ； 万能公式的好处在于把角的三角函数式转化为用表示的式子。若设，则三角函数式可转化为关于的有理代数式。 2、万能公式的推导 或 【即学即练3】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两表达式结合诱导公式化简，再结合万能公式即可求解 【详解】， 故选：A 题型01 利用半角公式求值 【典例1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的范围，然后利用半角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知是第三象限的角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是第三象限的角，得到，并根据和辅助角公式得到，由半角公式求出答案. 【详解】是第三象限的角，故， 故， 因为，， 则，， 若，，，， 此时，满足要求，故， 若，，，， 此时，不合要求，舍去， ，D正确. 故选：D 【变式2】（23-24高一下·湖南岳阳·阶段练习）若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的关系求出，再由半角公式求. 【详解】为第三象限角，且，则， 得， 故选：A 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据已知条件求出和的值，再利用求解即可. 【详解】∵角是第二象限角，且终边经过点， ∴，， ∴. 故选：C． 【变式4】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 题型02 万能公式的应用 【典例2】（2025·上海高一·随堂训练）若，，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合二倍角公式化简可求，再结合万能公式可求. 【详解】因为，，所以且， 解得，所以. 故选：D 【变式1】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可. 【详解】由， 所以，则， 由，则. 故选：A 【变式2】（23-24高一下·陕西西安·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值. 【详解】. 故选：A. 【变式3】（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】先用诱导公式将题目化简，然后运用切换弦进行化简，代入数据可得. 【详解】∵ ∴ 故答案为： 【变式4】已知，且角是第二象限的角，则 . 【答案】 【分析】利用三角万能置换公式，结合角所在象限即可求出． 【详解】由，解得 因为是第二象限的角，则 所以，则，故 故答案为： 题型03 积化和差与和差化积公式应用 【典例3】（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由和差角公式展开即可验证ABD；对于C，令代入左边，根据公式展开即可验证. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于 C，因为 ，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【详解】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C 【变式2】（ 2025北京通州区期末测试） ． 【答案】/ 【分析】直接根据和差化积公式即可得结果. 【详解】 ， 故答案为：. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）设是的三个内角，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用三角函数积化和差公式以及余弦函数和二次函数最值，即可求出结果. 【详解】令，视为常量，，为变量， 则， 显然，在变化中取相等的值时，取最大值， 因此有． 又当，即时，取得最大值，即有． 所以， （当且仅当时，等号成立）． 故答案为： 【变式4】（24-25高一上·江苏南京·期末）如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有 . ①； ②； ③点的坐标为； ④点的坐标为 【答案】①②③ 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】，①正确； 依题意，知为的中点，，②正确； 又为劣弧的中点，， 又，点的坐标为，③正确： 为的中点，，则点的坐标为， ， ， 点的坐标为，④错误. 故答案为：①②③. 【变式5】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】运用和差化积恒等公式，结合同角三角函数关系式计算即可. 【详解】由得①， 由得②， 得． 故答案为：. 题型04 三角恒等变换的化简问题 【典例4】（24-25高一上·全国·课后作业）以表示的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化为，根据万能公式和计算. 【详解】． 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得. 【详解】 . 故选：A 【变式2】（23-24高一上·重庆·期末）请运用所学三角恒等变换公式，化简计算，并从以下选项中选择该式子正确的值（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】由切化弦，然后利用和角公式可得. 【详解】 故选：A 【变式3】（多选）（24-25高一上·湖南益阳·期末）下列式子化简后等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A：根据两家和差公式分析判断；对于BD：根据倍角公式分析判断；对于C：切化弦结合倍角公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：ABC. 【变式4】（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ） A．= B．= C． D．= 【答案】BD 【分析】利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案. 【详解】A.，选项A错误. B.，选项B正确. C. ，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：BD. 题型05 三角变换中的求值问题 【典例5】（23-24高一下·广东佛山·期中）定义：．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到方程，得到，并根据三角恒等变换得到，利用同角三角函数关系求出正切值. 【详解】， 故， ，故，即， 故， 所以， 故，. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·四川成都·期中）求值（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式、同角三角函数基本关系、二倍角公式和辅助角公式化简即可. 【详解】因为； ； ， 所以 . 故选：D. 【变式2】（2024·辽宁大连·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先利用三角恒等变换公式化简可得，结合可得，进而可得. 【详解】由得， 即， 因为，所以， 所以，结合，且， 得， 所以. 故选：A. 【变式3】（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换的知识先求得对应的三角函数值，进而求得. 【详解】因为，，所以， 所以，. 因为，所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 则， 故（）. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，所以. 故选：D. 【变式4】（23-24高三上·贵州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】由可得，即， 所以， 故选：B 题型06 三角形中的恒等变换 【典例6】（24-25高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断. 【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：因为， 即， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，则 所以，故D错误； 故选：D. 【变式1】（24-25高一·上海·假期作业）在中，若，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得； 【详解】解：因为 所以 所以 所以 因为，所以，即 所以三角形为等腰三角形； 故选：D 【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）在中，为它的三个内角，且满足，，则 . 【答案】/ 【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可求得结果. 【详解】由题意可知，将两边同时平方得 将两式相加得 ，即，所以 可得或； 又因为，得， 由余弦函数单调性可得，所以不合题意； 因此. 故答案为： 【变式3】（23-24高一下·上海·假期作业）在中，若，则是 三角形； 【答案】等腰 【分析】根据两角和差的余弦公式结合二倍角余弦公式化简已知等式，可得，即可推出，即得答案. 【详解】由，得， 所以，，即， 由于为三角形内角，故， 所以，即， 则是等腰三角形， 故答案为：等腰 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接使用半角公式（或逆用二倍角公式得到半角公式）即可. 【详解】. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的正弦公式、平方关系依次得，，由半角公式即可求解. 【详解】由已知及正弦公式得，， 是第三象限角，． ． 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 4．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式可得，即可根据同角关系得，进而即可由半角公式求解. 【详解】由可得，故， 由于是第四象限角，故， ∴． 故选：D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和差化积公式，即可求值. 【详解】． 故选：A. 6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由积化和差公式及余弦二倍角公式化简即可求解. 【详解】由， 可得：， 即，又， 结合平方差公式可得：. 故选：C 7．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 8．（23-24高三上·湖北·期中）已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后化为，利用均值不等式可得出答案. 【详解】，即； 即，故 令，则（当且仅当时等号成立） 故选：B． 二、多选题 9．（23-24高一下·江西·阶段练习）下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据和差化积公式判断A，根据正切的半角公式判断B，根据积化和差公式判断C，根据特殊值判断D. 【详解】由和差化积公式，得，故A错误； 根据半角公式，得，故B正确； 由积化和差公式，得，故C正确； 当时，等式左边有意义，右边无意义，故D错误. 故选：BC. 10．（23-24高一下·辽宁·期中）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，以及积化和差公式，逐项运算，即可求解. 【详解】对于A中，由 ，所以A错误； 对于B中，由 ，所以B正确； 对于C中，由 ，所以C正确； 对于D中，由 ，所以D正确. 故选：BCD. 11．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，下列命题正确的是（    ） A．若，则为等腰直角三角形 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为正三角形 【答案】CD 【分析】先给出，作为A，B选项的反例，然后用三角恒等变换方法证明C选项正确，用三角函数知识证明D正确. 【详解】对于A，B选项，当，时： 此时，但由知不是等腰直角三角形，故A错误； 此时，，故. 但由知不是锐角三角形，故B错误； 对于C，若，则 ， 所以，从而为钝角三角形，故C正确； 对于D，若，则有 . 故每个不等号两边都相等，从而. 而，故，所以. 这就得到，所以为正三角形，故D正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于三角恒等变换的灵活使用. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则 ， ， . 【答案】 /0.8 【分析】先利用二倍角公式及同角关系式求出，进而求出正切值. 【详解】； ； . 故答案为：，， 13．（23-24高一下·上海·阶段练习）设，化简的结果是 . 【答案】 【分析】由二倍角的余弦公式结合角的范围即可化简. 【详解】， 因为，所以， 从而. 故答案为：. 14．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）计算 . 【答案】2 【分析】根据二倍角公式以及和差化积公式化简求解分母，再利用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化简分子，求得结果. 【详解】分母 ， 分子 ， 所以原式. 故答案为：2. 四、解答题 15．（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案； （2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案. 【详解】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式． 16．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，，，. (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和与差的余弦公式化简，得，根据半角公式化简，得，再得，根据二倍角的余弦公式可得； （2）先得和，再由两角和的正切公式可得结果. 【详解】（1）由，得， 即， 因为，所以， 又因为，所以，即，所以， 所以. （2）由（1）知，，， 又因为，， 所以，， 所以，， 所以. 17．（24-25高一上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点． (1)求； (2)的值． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角函数定义可得，后由两角和的正切公式可得答案； （2）由诱导公式化简，后由可得答案； （3）根据半角公式，结合同角三角函数关系式联立方程组解题即可. 【详解】（1）由三角函数定义，结合题意，可得， 即，所以； （2）由诱导公式，结合题意可得： ， 又，则 （3）根据半角公式，则， 由，即，可得. 又因为，把代入可得. 即，，，则. ，且终边与单位圆交点，终边在第一象限， 则，则， 则终边落在第一象限，则，则，； 则的值为. 18．（2025·全国·模拟预测）已知，且. (1)求和的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据及得到，根据半角公式求出，结合同角三角函数关系得到； （2）先求出，从而求出，利用凑角法求出的值，得到答案. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以，故. 因为， 所以， 则. （2）由已知条件，得. 又，所以. 由，得. 所以 . 因为，，所以，所以. 19．（24-25高二上·安徽·开学考试）对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． (1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； (2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，代入公式计算，结合正弦差角公式得到答案； （2）利用三角恒等变换化简，从而，平方相加，得到，结合，求出，从而消元，结合得到，得到，求出，. 【详解】（1）， 其中. （2）存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由如下： ， 只需，则， 即，整理得， 因为，， 所以，，， 则， 所以，则， 所以， 即， 整理得，故， 因为，所以，， 则，， 检验，将，代入得 ，满足要求， 故存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值， 此时. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧， （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$