第06讲 倍角公式（2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第06讲 倍角公式 课程标准 学习目标 1.会用两角和（差）的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用。 1.掌握二倍角公式及其变形应用； 2.掌握二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切的区别与联系； 3.通过对倍角公式的学习，强化逻辑推理、数学运算的核心素养。 知识点01 倍角公式 1、倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：；变形 （2）二倍角的余弦（）：. （3）二倍角的正切（）： 2、对倍角公式的理解 （1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如是的二倍角，是的二倍角等。“倍”是描述两个数量之间的关系，这里蕴含着换元思想； （2）由任意角的三角函数的定义可知，，中的角是任意的，但要使有意义，需要； （3）一般情况下，，， 【即学即练1】 （24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则 . 知识点02 倍角公式的变形 1、升幂公式：， 2、降幂公式：， 【即学即练2】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）求值 ． 题型01 利用二倍角正弦公式求值 【典例1】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知角α的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高二上·辽宁·学业考试）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·高一·随堂测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知，，则 . 【变式4】（24-25高一上·上海·课后作业）形如的式子叫做行列式，其运算法则为.已知，则 . 题型02 逆用二倍角正弦公式 【典例2】（24-25高一下·广西·期中）的值为（   ） A． B． C． D．1 【变式1】（23-24高一下·山东日照·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一·专题训练），则（　　） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·甘肃·期末）（    ） A． B． C． D． 题型03 利用二倍角余弦公式求值 【典例3】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式5】（24-25高三下·广东广州·开学考试）若，是第三象限角，则 . 题型04 逆用二倍角余弦公式 【典例4】（24-25高一上·广西柳州·期末）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式1】（2024高二上·北京·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东惠州·期末）若，θ为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则（    ） A． B． C． D． 题型05 利用二倍角正切公式求值 【典例5】（24-25高一下·河北沧州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东深圳·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型06 逆用二倍角正切公式 【典例6】（24-25高一上·天津西青·期末）求值：（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·全国·随堂练习）的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式4】（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，则 . 题型07 二倍角公式的综合应用 【典例7】（24-25高一上·陕西西安·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（   ） A． B． C． D．4 【变式3】（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）设，则有（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 一、单选题 1．（24-25高一上·广西玉林·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏镇江·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（    ） A． B． C． D．1 7．（24-25高一下·浙江杭州·开学考试）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了0.618就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．（2025高三下·全国·专题练习）下列各式的值正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ） A．= B．= C． D．= 三、填空题 12．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则 ． 13．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知，则 ． 14．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则 . 四、解答题 15．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知. (1)求的值； (2)求的值. 16．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 17．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知. (1)求的值； (2)求和的值. 18．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 19．（24-25高一下·黑龙江绥化·开学考试）已知． (1)求在的值域； (2)若，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 倍角公式 课程标准 学习目标 1.会用两角和（差）的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用。 1.掌握二倍角公式及其变形应用； 2.掌握二倍角公式与两角和与差的正弦、余弦、正切的区别与联系； 3.通过对倍角公式的学习，强化逻辑推理、数学运算的核心素养。 知识点01 倍角公式 1、倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：；变形 （2）二倍角的余弦（）：. （3）二倍角的正切（）： 2、对倍角公式的理解 （1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如是的二倍角，是的二倍角等。“倍”是描述两个数量之间的关系，这里蕴含着换元思想； （2）由任意角的三角函数的定义可知，，中的角是任意的，但要使有意义，需要； （3）一般情况下，，， 【即学即练1】 （24-25高一上·云南昆明·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】直接运用二倍角余弦公式即可. 【详解】若，由二倍角的余弦公式可得，. 故答案为：. 知识点02 倍角公式的变形 1、升幂公式：， 2、降幂公式：， 【即学即练2】 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）求值 ． 【答案】/ 【分析】根据余弦二倍角公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 题型01 利用二倍角正弦公式求值 【典例1】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知角α的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义求出，结合二倍角的正弦公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：D 【变式1】（2025高二上·辽宁·学业考试）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的正余弦的平方关系，以及二倍角的正弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 【变式2】（2025·高一·随堂测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据二倍角公式及同角三角函数关系式化简求值. 【详解】 由题意知， 故选：C. 【变式3】（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知，，则 . 【答案】/ 【分析】先求出，再根据诱导公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·上海·课后作业）形如的式子叫做行列式，其运算法则为.已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据行列式的运算法则得，结合同角三角函数关系式算的的值，利用二倍角正弦公式解出结果. 【详解】因为，所以， 又，两式解得或， 当时，； 当时，. 故答案为：. 题型02 逆用二倍角正弦公式 【典例2】（24-25高一下·广西·期中）的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】利用正弦的二倍角公式求值即可. 【详解】由， 故选：D. 【变式1】（23-24高一下·山东日照·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式求解即得. 【详解】. 故选：C 【变式2】（24-25高一·专题训练），则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的关系平方求解，结合二倍角公式求解即可. 【详解】∵，平方可得，∴， 故选：C． 【变式3】（23-24高一下·甘肃·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式和倍角公式化简. 【详解】. 故选：D 题型03 利用二倍角余弦公式求值 【典例3】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】应用二倍角余弦公式计算即可. 【详解】因为，则. 故选：B. 【变式3】（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】拆角后由诱导公式和余弦二倍角公式计算即可； 【详解】. 故选：A. 【变式4】（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合诱导公式和二倍角公式对已知等式化简变形可求出，再利用二倍角公式可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，解得或（舍）， 所以． 故选：A． 【变式5】（24-25高三下·广东广州·开学考试）若，是第三象限角，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式和两角差的正弦展开式结合余弦二倍角的余弦公式计算即可； 【详解】由题意可得， 所以，即， . 故答案为：. 题型04 逆用二倍角余弦公式 【典例4】（24-25高一上·广西柳州·期末）函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】B 【分析】利用二倍角公式计算可得，再由周期公式以及余弦函数的奇偶性可得结论. 【详解】易知， 所以其最小正周期为， 且满足，即该函数为偶函数； 因此函数是最小正周期为的偶函数. 故选：B 【变式1】（2024高二上·北京·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·广东惠州·期末）若，θ为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角公式求出，再利用二倍角的余弦公式化简即得. 【详解】由θ为第二象限角，则， 所以. 故选：D 【变式3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降幂公式，化简求值. 【详解】，解得：. 故选：B 题型05 利用二倍角正切公式求值 【典例5】（24-25高一下·河北沧州·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求出，再根据二倍角得正切公式即可得解. 【详解】由，得, 故， 故选：D 【变式1】（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用正切的差角公式，求得，再利用正切的倍角公式，即可求解. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·广东深圳·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式化简可得，即可利用正切的二倍角公式求解. 【详解】， 因为，所以， 解得或（舍去） 故选:C. 【变式3】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系分别求，，再根据角度之间的和差倍关系，利用诱导公式与二倍角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 所以. 故选：C. 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，，则，则， 故． 故选：A. 题型06 逆用二倍角正切公式 【典例6】（24-25高一上·天津西青·期末）求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的正切公式化简即可求出结果. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助正切函数的二倍角公式可得，结合函数定义域及正切型函数的周期性计算即可得. 【详解】，， 又，可得， 即，且、，故. 故选：B. 【变式2】（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由正切函数的和差角公式可得，再由正切函数的二倍角公式，代入计算，即可求解. 【详解】由 可得， 则. 故选：C 【变式3】（24-25高一下·全国·随堂练习）的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用和差角的正切及二倍角的正切公式计算即得. 【详解】 . 故选：A 【变式4】（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【分析】由正切二倍角公式即可求解； 【详解】. 故答案为： 题型07 二倍角公式的综合应用 【典例7】（24-25高一上·陕西西安·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 【变式1】（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平方求出，结合平方关系求出，即可求得，利用两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】已知， 则， 所以， 联立，结合，解得， 则， 故. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先由和差公式以及二倍角公式将化简为，再结合诱导公式即可得答案. 【详解】因为， 而，所以， 故选：D. 【变式3】（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）设，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数恒等变换化简可得，，.根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小. 【详解】， ， ， ，， 即有：. 故选：D 【变式4】（24-25高一上·福建福州·期末）若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 【变式5】（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的正余弦公式可得，进而利用两角和的余弦与正弦公式可求得，进而可求得. 【详解】先由，得到， 即，所以， 即， 所以，，， 得. 一、单选题 1．（24-25高一上·广西玉林·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果. 【详解】由二倍角的余弦公式可得． 故选：A． 2．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角的商数、平方关系可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以，解得. 所以. 故选：C 3．（23-24高一下·江苏镇江·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用二倍角正弦公式进行化简，结合正弦函数的值域为，计算得出结果； 【详解】函数，因为， 所以函数的值域为 故选：B. 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据两角和的正弦公式展开，再利用辅助角公式，求得，进而求得，根据，得出答案. 【详解】由，得，所， 由二倍角公式得， 又， 所以， 所以. 故选：B 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角的余弦公式可求半角的余弦值. 【详解】，故． 故选：D. 6．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简计算即可. 【详解】原式 . 故选：A 7．（24-25高一下·浙江杭州·开学考试）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了0.618就是黄金分割数的近似值，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由和得，利用二倍角公式，诱导公式即可求解. 【详解】由， ， 故选：D. 8．（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）已知，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用和角公式及二倍角公式化简，将表示为的函数，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得， 即，则， 由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：A 二、多选题 9．（2025高三下·全国·专题练习）下列各式的值正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用二倍角正弦，余弦，正切公式计算化简判断各个选项即可. 【详解】．A不正确； ，B正确； ，C不正确； ，D正确． 故选：BD. 10．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，利用诱导公式化简判断；对于B，利用诱导公式化成同角，再逆用二倍角公式即可判断；对于C，用诱导公式即可判断；对于D，将化成后，必须通过同角的三角基本关系式化成正弦和余弦,代值即可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（ ） A．= B．= C． D．= 【答案】BD 【分析】利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案. 【详解】A.，选项A错误. B.，选项B正确. C. ，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，则 ． 【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义和二倍角公式可求答案. 【详解】因为角的始边与x轴非负半轴重合，终边过点，即； 所以，所以， 故答案为： 13．（24-25高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用诱导公式求出的值，再由余弦的二倍角公式可得答案. 【详解】因为，所以， 则 . 故答案为：. 14．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则 . 【答案】 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方关系先求出，再由两角差的正弦公式求解； （2）根据二倍角公式求解. 【详解】（1）因为， 所以. 所以. （2） . 16．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件根据平方关系求，再由商的关系求； （2）结合二倍角余弦公式及两角和余弦公式化简求值. 【详解】（1） . ； （2） . 17．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知. (1)求的值； (2)求和的值. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）由诱导公式及同角函数的基本关系可得答案； （2）由二倍角正切公式及两角差的正切公式可得答案. 【详解】（1）由诱导公式及同角函数的基本关系， 有 有.可得； （2）由，有， 有. 故有，. 18．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角的正切公式求出，结合两角和的正切公式计算即可求解； （2）根据二倍角的正、余弦公式，结合切弦互化计算即可求解. 【详解】（1）， 所以； （2）原式. 19．（24-25高一下·黑龙江绥化·开学考试）已知． (1)求在的值域； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据的范围得到的范围，结合的图象可求得的范围，代入求得所求值域； （2）利用求得；根据的范围得到的范围，再根据正弦值进一步确定，利用同角三角函数求解出，利用二倍角公式求得结果． 【详解】（1）， 当时， ， ， ， . （2） 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $