第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷）-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．设，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数z满足，则（　　） A． B．0 C． D．2 3．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 4．若，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 6．复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，复数，，在复平面内对应的点为，，，若，，三点共线，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 8．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小值为3 D．的最小值为3 10．任何一个复数（，，为虚数单位）都可以表示成（，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：（），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有（    ） A．复数的三角形式为 B．当，时， C．当，时， D．当，时，“为偶数”是“为纯虚数”的充分不必要条件 11．意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤： 第一步，把方程中的用来替换，得到方程； 第二步，利用公式将因式分解； 第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）； 第四步，写出方程的根：，，. 某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数满足，则 . 13．已知复数的实部为0，则 ． 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．计算： (1) (2) (3) (4) 16．已知复数，，其中a是正实数． (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，求a的值． 17．已知复数，其中为实数且． (1)若，求； (2)若为纯虚数，且，求的取值范围． 18．我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作等边，且在上方. （ⅰ）求线段长度的最小值； （ⅱ）若（，），求的取值范围. 19．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章《复数》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 2．若复数z满足，则（　　） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】根据复数的运算规则进行计算即可求解. 【详解】因为， 所以， 则， 故选：D. 3．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，根据模长公式得到，两边平方得到答案. 【详解】，则， 即，故. 故选：C 4．若，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的周期性化简，再利用复数的四则运算化简求出结果即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：D. 5．法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】变形复数，根据题中定义进行计算，即可判定. 【详解】， 所以 , 所以的虚部为. 故选:B. 6．复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式. 7．已知，，复数，，在复平面内对应的点为，，，若，，三点共线，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】 根据复数对应的点共线可得，利用均值不等式求解即可. 【详解】由题意，，，， 由三点共线可得，，化简可得， 又，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B 8．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以. 故选：B. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小值为3 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助复数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离可得C、D. 【详解】对A：为纯虚数，可设选项A正确； 对B：设，， 则，即， 则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， ，选项B正确； 对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点）， 所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 的取值范围为，无最小值，选项C错误； 对D： ， 表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离， 为纯虚数或0，在轴上（除去点）， 当时取得最小值3，∴选项D正确. 故选：ABD． 10．任何一个复数（，，为虚数单位）都可以表示成（，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：（），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有（    ） A．复数的三角形式为 B．当，时， C．当，时， D．当，时，“为偶数”是“为纯虚数”的充分不必要条件 【答案】BC 【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可. 【详解】复数的三角形式为，故错误； 当，时，， 因为，， 所以，故正确； 当，时，， ，故正确； 当，时，， ， 若为纯虚数，则，则，所以，， 虽然，是偶数，但是偶数还有，的形式的数， 所以“为偶数”是“为纯虚数”的必要不充分条件，故错误. 故答案为：. 11．意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤： 第一步，把方程中的用来替换，得到方程； 第二步，利用公式将因式分解； 第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）； 第四步，写出方程的根：，，. 某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】 依题意可知是次项系数，所以，A选项正确. 第一步，把方程中的，用来替换， 得， 第二步，对比与， 可得，解得，B选项正确. 所以，C选项正确. ，D选项错误. 故选：ABC 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．复数满足，则 . 【答案】 【分析】设，结合复数的几何意义，列出方程组即可求解. 【详解】设复数， 由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以， 联立，解得，所以， 经检验，满足， 则. 故答案为：. 13．已知复数的实部为0，则 ． 【答案】 【分析】利用复数的实部为0，求出，再利用二倍角公式得出结论． 【详解】复数的实部为0， ． ． 故答案为：． 14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设，依题意，列出关于的方程组，解之得，求出，利用三角形面积公式计算即得. 【详解】设，依题意，， 即，解得.则有， 则, 由可得为直角三角形， 故的面积为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查复数与复平面内的点、对应向量之间的一一对应关系的应用，属于较难题. 解题思路，即是将复数对应的点或者向量在复平面内表示出来，通过图形理解，列出与复数的实部与虚部关联的方程组，求出点的坐标，得到相应的边长和角即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案. （2）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案. （3）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案. （4）直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案. 【详解】（1） （2） . （3） （4） . 16．已知复数，，其中a是正实数． (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，求a的值． 【答案】(1)2 (2)2 【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算法则构建关于的方程组，求解的值； （2）根据复数的除法运算求解，利用复数的定义，构建关于的方程组，求解的值； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，从而，解得， 所以实数a的值为2． （2）依题意得：， 因为是纯虚数，所以：，解得：或； 又因为a是正实数，所以a＝2． 17．已知复数，其中为实数且． (1)若，求； (2)若为纯虚数，且，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据共轭复数定义、复数运算法则和复数相等的条件可构造方程组求得结果； （2）根据复数运算法则化简得到，由纯虚数定义可构造方程求得，由复数模长的范围可求得结果. 【详解】（1），，， ，解得：或，或. （2）为纯虚数， ，又，，则，即， ，，解得：，即的取值范围为. 18．我们知道复数有三角形式，，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知圆半径为1，圆的内接正方形的四个顶点均在圆上运动，建立如图所示坐标系，设点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为，点所对应的复数为. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作等边，且在上方. （ⅰ）求线段长度的最小值； （ⅱ）若（，），求的取值范围. 【答案】(1)， (2)①1；② 【分析】（1）由题意，根据复数的乘法运算即可求解； （2）（ⅰ）解法一：设，根据三角恒等变换化简和复数的乘法计算求出，进而表示的坐标，结合模长公式计算即可；解法二：连接，设，，求出，进而，利用换元法化简计算即可求解； （ⅱ）设，则D，利用向量的线性运算和三角恒等变换化简可得，进而求解. 【详解】（1）， . （2）（ⅰ）解法一：设，， 所表示的复数为，所表示的复数为 有， ， 故， 得 ， 其中，故线段长度的最小值为1. 解法二：连接，设，， 由可得，则， 当时， 化简得，令，. 则 . 同理可得：当时， （ⅱ）设，则，即点坐标为， 此时，，. 由（，）得： ， 即，解得， 故， ，其中， 可得. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 19．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析. 【分析】(1)当时, ,​​​,，由,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得，利用复数相等的条件得到,即可求； (3)由得,利用复数相等的条件得到和,则,则,进一步得,即可证明存在有理数,使得. 【详解】（1）当时, , ​​​​​​​则​​​,. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. （2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. （3）由，得,由(2)同理可得, 即. 因为,所以. 因为,由, 所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以, 所以, 又因为,所以,所以, 即， ​​​​​​​所以存在有理数,使得. 【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$