第七章《复数》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

第七章《复数》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数模的几何意义得出z对应点的轨迹，从而可判断其所在的象限． 【详解】因为， 所以点z的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 所以复数z对应的点在第一象限． 故选：A． 2．若复数的实部与虚部相等，则实数m的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算，求得的实部和虚部，解方程即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故，解得 ， 故选：D 3．（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 4．欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由欧拉公式和复数除法运算可求得，由复数虚部定义求得结果 【详解】由欧拉公式知： ，， ， 的虚部为． 故选：B 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘方运算以及其三角形式的运算即可得到答案. 【详解】 ， 故选：A. 6．已知复数是虚数单位，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由复数的模长计算结合同角的三角函数和辅助角公式计算可得. 【详解】由已知可得， 所以， 当时，上式模长取得最小值， 最小值为， 故选：B. 7．如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意复数为纯虚数，即得，从而求解. 【详解】由复数是纯虚数， 得 解得:. 故选:C. 8．已知复数z满足，则中不同的数有（    ） A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式可求，从而可判断出不同的数的个数. 【详解】根据题意，有， 于是中有6个不同的数． 故选：B. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．对任意复数，，有 C．对任意复数，，有 D．在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为 【答案】BC 【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得. 【详解】对A：由，故， 故，故A错误； 对B：设、， 则 ， ， 故，故B正确； 对C：设、， 有，则， ，故，故C正确； 对D：设，则有， 集合M所构成区域为以为圆心，半径为的圆， 故，故D错误. 故选：BC. 10．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据同角三角函数关系和复数模的运算即可判断A，根据复数乘方运算即可判断B，根据复数乘法代数运算即可判断C，根据复数模的计算和余弦函数的有界性即可判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，因为复数，则， 则，而，则，故B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由题意得， ， 因为，则当，故D错误. 故选：ABC． 11．设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及运算性质，以及共轭复数的性质和复数模的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，若，因为，则，可得， 设，则，所以A正确； 对于B中，由A得，设，若， 则， 只要或，选项B就不正确； 例如：，此时， 可表示为或， 所以表示方法不唯一，所以B错误. 对于C中，若，则，可得， 则，所以且， 设，则，其中， 则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍， 故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确. 对于D中，若，可得，同理， 由，即，可得， 即， 即，即， 即， 因为，所以成立， 所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设复数的共轭复数为，若，则 . 【答案】 【分析】设，代入已知式利用复数相等的定义求得，得，再由复数模的概念求得结论． 【详解】设，则. 因为，所以， 所以解得所以，所以. 故答案为：． 13．已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 14．已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【答案】2 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数. （1）若在复平面中所对应的点在直线上，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）化简，得在复平面中所对应的点的坐标，代入直线计算；（2）代入模长公式表示出，再利用二次函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）化简得，所以在复平面中所对应的点的坐标为，在直线上，所以，得. （2），因为， 且，所以，所以的取值范围为. 16．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由为纯虚数，可得，从而得，再根据模的公式求解即可； （2）化简得，再根据题意列出不等式组求解即可. 【详解】（1）解：因为，则， 所以为纯虚数， 所以，解得. 所以， 因此. （2）解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 则，解得. 因此实数的取值范围是. 17．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数） (1)求实数及； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的概念得到方程（不等式）组，求出的值，即可求出，从而求出其模； （2）根据复数的乘方及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）∵，∴， ， 为纯虚数， ，解得， 故，则 （2）， ， 复数所对应的点在第二象限， ，解得， 故实数的取值范围为. 18．设复数和满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，利用共轭复数的定义及复数的相关概念计算即可； （2）根据条件式及共轭复数的意义变形得，再结合第一问的结论证明即可； （3）利用第一问与第二问结论证明即可. 【详解】（1）设， 则，， 显然，得证； （2）由已知， 又由（1）知， 所以，得证； （3）因为，所以，即有， 所以， 由（2）知， 所以，得证. 【点睛】思路点睛：利用共轭复数的定义及几何意义并注意设问之间的递进关系一一证明即可. 19．任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)计算：的值. 【答案】(1) (2)推导过程见解析 (3) 【分析】（1）求出复数的模，根据复数的三角形式，即可求得答案； （2）设模为1的复数为，利用复数的乘方运算，结合复数的相等以及同角的三角函数关系化简，即可推得结论； （3）由（2）的结论结合恒等变换推出，继而得，，再结合，化简，即可求得答案. 【详解】（1）由于，故， 则； （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式可得， 故； （3）首先证明：； 由于，则， 则，故， 则可得 ， ， 所以 . 【点睛】难点点睛：本题考查了复数的新定义问题，解答时要注意理解棣莫弗定理的含义以及复数乘方的运算，解答的难点在于第三问的求值，解答时要利用三倍角公式结合恒等变换化简，并结合进行求解. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章《复数》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若复数的实部与虚部相等，则实数m的值为（    ） A． B． C．1 D．3 3．（    ） A．1 B．2 C． D．5 4．欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 5．（    ） A． B． C． D． 6．已知复数是虚数单位，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 7．如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 8．已知复数z满足，则中不同的数有（    ） A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．对任意复数，，有 C．对任意复数，，有 D．在复平面内，若，则集合M所构成区域的面积为 10．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 11．设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设复数的共轭复数为，若，则 . 13．已知是虚数单位，化简的结果为 ． 14．已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数. （1）若在复平面中所对应的点在直线上，求的值； （2）求的取值范围. 16．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)设复数，求； (2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 17．已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数） (1)求实数及； (2)设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 18．设复数和满足关系式，其中A为不等于0的复数．证明： (1)； (2)； (3)． 19．任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)计算：的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$