专题强化03：复数【9大题型 培优】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

专题强化03：复数 【题型归纳】 · 题型一：复数的基础概念 · 题型二：复数的分类 · 题型三：复数的几何意义 · 题型四：复数的模 · 题型五;复数代数形式的四则运算 · 题型六：共轭复数 · 题型七：复数的立方问题 · 题型八：复数的最值问题 · 题型九：复数的综合问题 【题型探究】 题型一：复数的基础概念 1．（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（    ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 题型二：复数的分类 4．（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 5．（23-24高一下·海南海口·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知复数，若为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．3 题型三：复数的几何意义 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（23-24高一下·河北·期中）在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四：复数的模 10．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·浙江·一模）已知复数（其中是虚数单位），则（   ） A．2 B．1 C． D． 12．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（    ） A． B．1 C． D．2 题型五;复数代数形式的四则运算 13．（23-24高一下·天津河东·期中）计算： (1)； (2)； 14．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算 (1) (2) (3). 15．（23-24高一下·广东佛山·期中）计算： (1) (2) (3) 题型六：共轭复数 16．（23-24高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的共轭复数为 . 17．（23-24高一下·陕西安康·期中）若复数，为的共扼复数，则的虚部为 . 18．（23-24高一下·福建福州·期末）已知 ，则复数 . 题型七：复数的立方问题 19．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 20．（22-23高二下·湖南·期中）若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 题型八：复数的最值问题 22．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 23．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一下·河南·阶段练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.设复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九：复数的综合问题 25．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 26．（23-24高一下·山东烟台·期中）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． (1)若复数，求； (2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 27．（23-24高一下·四川内江·期末）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受. 材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式； (2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值； (3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值. 【专题强化】 一、单选题 28．（24-25高一上·湖南娄底·期中）复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（   ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 30．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 32．（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 33．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 二、多选题 34．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 35．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 36．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）设，为复数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 37．（23-24高一下·黑龙江·期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（    ） A．复数为纯虚数 B．复数对应的点位于第二象限 C．复数的共轭复数为 D．复数的模长为1 38．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知i是虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数为纯虚数，则 D． 三、填空题 39．（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 . 40．（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . 41．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知是虚数单位，则 . 42．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）已知复数z的模为2，则的最大值为 ． 43．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 四、解答题 44．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 45．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数 (1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； (2)若复数满足，求． 46．（23-24高一下·天津河北·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若，求的值； (4)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 47．（23-24高一下·山西大同·期中）已知复数满足为纯虚数，． (1)求以及； (2)设，若，求实数的值． 48．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是关于x的方程的一个根. (1)求p，q的值及方程的另一个根； (2)若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证； (3)若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形? 49．（23-24高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化03：复数 【题型归纳】 · 题型一：复数的基础概念 · 题型二：复数的分类 · 题型三：复数的几何意义 · 题型四：复数的模 · 题型五;复数代数形式的四则运算 · 题型六：共轭复数 · 题型七：复数的立方问题 · 题型八：复数的最值问题 · 题型九：复数的综合问题 【题型探究】 题型一：复数的基础概念 1．（23-24高一下·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（    ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据复数的共轭复数的定义判断命题（1），根据实部和虚部的定义判断命题（2），根据复数的几何意义判断（3），根据复数的定义判断（4）. 【详解】因为复数的共轭复数， 若为实数，则，此时，命题（1）正确， 复数的实部为，虚部为， 复数的虚部是实数，（2）错误； 因为复数在复平面上的对应点为， 复平面上的点对应复数，（3）正确； 复数不能比较大小，命题（4）错误， 故选：C. 2．（23-24高一下·江苏苏州·期末）复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解. 【详解】， 所以复数. ∴，虚部为. 故选：C. 3．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由实部与虚部概念可得，代入计算可求出结果. 【详解】易知的实部为，虚部为， 由题意可知， 则. 故选：B 题型二：复数的分类 4．（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【答案】D 【分析】依题意得，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，得， 则“”是“是纯虚数”的充要条件， 故选：D 5．（23-24高一下·海南海口·期中）已知复数，，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法及纯虚数的意义求出，再求出复数的模. 【详解】依题意，， 由为纯虚数，得，解得，即， 所以. 故选：C 6．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知复数，若为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，利用共轭复数的概念与复数的乘法运算，结合纯虚数的概念建立方程组，解之即可求解. 【详解】因为复数， 所以， 因为为纯虚数，所以，解得． 故选：D． 题型三：复数的几何意义 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共轭复数，最后求出对应点的坐标即可得解. 【详解】由题意，所以， 则复数在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D. 8．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 9．（23-24高一下·河北·期中）在复平面内，设i是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由，得，然后根据共轭复数的定义，再确定在复平面内对应的点所在的象限． 【详解】由题意知，， 其共轭复数为， 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C． 题型四：复数的模 10．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的四则运算，模的计算公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 11．（2024·浙江·一模）已知复数（其中是虚数单位），则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算化简复数，利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 12．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知复数在复平面内所对应的点分别为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据复数的除法和复数模的概念即可得到答案. 【详解】由题意得， ， 则. 故选：C. 题型五;复数代数形式的四则运算 13．（23-24高一下·天津河东·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的除法运算法则求解即可； （2）利用复数的四则运算法则化简求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 14．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）计算 (1) (2) (3). 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据复数的加减法法则求解； （2）根据复数的乘除法法则求解； （3）根据复数的乘法法则求解. 【详解】（1）； （2） （3）. 15．（23-24高一下·广东佛山·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复数的加、减法运算求解； （2）根据复数的乘法运算求解； （3）根据复数的除法运算求解. 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. 题型六：共轭复数 16．（23-24高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的共轭复数为 . 【答案】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可求出其共轭复数. 【详解】因为， 所以， 所以的共轭复数为. 故答案为： 17．（23-24高一下·陕西安康·期中）若复数，为的共扼复数，则的虚部为 . 【答案】 【分析】根据共轭复数的概念可得，即可由复数的除法运算求解. 【详解】由可得，所以， 故，故虚部为， 故答案为： 18．（23-24高一下·福建福州·期末）已知 ，则复数 . 【答案】/ 【分析】利用复数四则运算及共轭复数的定义可得答案. 【详解】因为，所以，所以 故答案为： 题型七：复数的立方问题 19．（21-22高一下·河南安阳·阶段练习）定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论. 【详解】设复数的平方根为，则， 化简，所以，，解得 ，或，，即复数的平方根为或， 故选：C 20．（22-23高二下·湖南·期中）若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可. 【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为. 故选：B． 21．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 【答案】1000 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】原式 ． 故答案为：1000． 题型八：复数的最值问题 22．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【详解】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B 23．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的模的几何意义作出图形，将求复数的模的最值转化为求两点之间距离的最值问题解决即可. 【详解】    如图，由复数的模的几何意义可知， 满足的点的轨迹是以点为圆心，半径分别为1和2的两个圆组成的圆环内的区域（含内外圆弧）. 而可理解为圆环区域内的点（含内外圆弧）到点的距离. 由点与圆的位置关系可知，当且仅当点在线段的延长线与大圆的交点处时，距离取得最大， 为，即的最大值为. 故选：A. 24．（23-24高一下·河南·阶段练习）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.设复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的模的几何意义可得表示动点到定点的距离为定长，的几何意义表示动点到定点的距离，据此可求解. 【详解】由， 可知其几何意义表示动点到定点的距离为定长， 则动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 同理，的几何意义表示动点到定点的距离. 因为，所以. 故选：D. 题型九：复数的综合问题 25．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用复数减法运算化简复数，再结合复数对应的点所在象限列不等式即可求解； （2）根据韦达定理求得，然后利用复数运算法则化简得，利用该复数为实数列方程得，从而代入化简得，最后利用复数模的运算求解即可. 【详解】（1）因为复数，，所以， 其对应的点为，由题意，解得， 即实数a的取值范围为； （2）由题意知的两根为，， 所以，所以，所以， 因为为实数， 所以，即， 所以， 所以. 26．（23-24高一下·山东烟台·期中）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． (1)若复数，求； (2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的四则运算法则及的周期性，再利用复数的模公式即可求解； （2）根据已知条件及复数减法的几何意义即可求解. 【详解】（1）由题可知， ， ， 所以， 所以． （2）因为， 所以． 27．（23-24高一下·四川内江·期末）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受. 材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式； (2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值； (3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)最大值为3. 【分析】（1）根据复数的三角形式的定义直接求解即可； （2）解法一：由题意得，解方程组即可，解法二：根据所给材料中的复数的乘法几何意义求解即可； （3）解法一：设，所表示的复数为所表示的复数为，根据复数的三角形式求出的坐标，从而可表示出，化简变形后可求出其最大值；解法二：连接，设，然后利用正余弦定理求解即可. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以， 因为，所以 所以； （2）法一：由题意知， 得，解得或， 因为逆时针旋转后与重合，所以； 法二：由材料一复数的乘法几何意义可知，复数乘以一个模长为1，辐角为的复数， 即为复数.故， 故，所以. （3）解法一：设， 所表示的复数为所表示的复数为，则， ， 故， 得 ， 所以当时，取得最大值3， 故线段长度的最大值为3. 解法二：连接，设， 由，在中可得， 在中可得，于是， 在中可得，于是， 在中可得， 化简得. 故的最大值为3. . 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是对所给材料的正确理解，然后利用材料中的知识解决问题. 【专题强化】 一、单选题 28．（24-25高一上·湖南娄底·期中）复数的共轭复数是，是虛数单位，则点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数除法运算和共轭复数概念即可得到答案. 【详解】，则其共轭复数为， 则点即为点. 故选：B. 29．（23-24高一下·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由共轭复数的定义求出，再根据复数的几何意义求解. 【详解】由题，，对应的点在第一象限， 则，可得，又为整数，所以． 故选：B． 30．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，利用复数除法法则计算出. 【详解】，故， . 故选：B 31．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【答案】C 【分析】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 因为， 所以不是方程的一个复根，所以B不正确； 对于C中，设复数，可得， 所以， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，设，由，可得， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误. 故选：C. 32．（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，其中为虚数单位，，若为纯虚数，则复数在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】先化简复数，再根据复数为纯虚数求参，最后求出的对应点即可. 【详解】因为， 若z为纯虚数，则，即， 则在复平面内对应的点为, 则复数在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A. 33．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 二、多选题 34．（23-24高一下·安徽黄山·期中）已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（   ） A．复数的虚部等于 B． C． D．若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 35．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC. 【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 设， 对于B，由，得，则， 因此，，B正确； 对于C，， ，C正确； 对于D，由，得都是实数，因此，D正确. 故选：BCD 36．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）设，为复数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，， 对于选项A，因为， 所以， 且，所以，故A正确； 对于选项B，因为，，， 则，， 所以，故B正确； 对于选项C，若，例如，，满足， 但，，即，故C错误； 对于选项D，因为， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 37．（23-24高一下·黑龙江·期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（    ） A．复数为纯虚数 B．复数对应的点位于第二象限 C．复数的共轭复数为 D．复数的模长为1 【答案】ABD 【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得. 【详解】A选项：是纯虚数，A选项正确； B选项：而，即，则复数对应的点在第二象限，B 选项正确； C 选项：，则复数的共轭复数为，C 选项错误； D 选项：D选项正确； 故选：ABD. 38．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知i是虚数单位，下列说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若复数，则 C．若复数为纯虚数，则 D． 【答案】BCD 【分析】利用复数概念可判断A错误，根据模长公式可知B正确，由纯虚数概念解方程可得C正确，由复数乘方计算可得D正确. 【详解】对于A，根据虚数概念可得复数无法比较大小，即A错误； 对于B，由，可得，即B正确； 对于C，若复数为纯虚数，可知， 解得，可知C正确； 对于D，易知，即D正确. 故选：BCD 三、填空题 39．（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 . 【答案】1 【分析】设，由得，由可得计算并检验求得，即得 【详解】设，由可得， 由可得，即， 则解得或， 显然不满足，应舍去，故 故答案为：1. 40．（23-24高一下·新疆·期末）已知，方程的一个根为，则 . 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的概念求解. 【详解】因为的一个根为， . 故答案为： 41．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知是虚数单位，则 . 【答案】 【分析】利用复数的四则运算化简原复数，再求模即可. 【详解】由题意得， . 故答案为： 42．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）已知复数z的模为2，则的最大值为 ． 【答案】3 【分析】利用复数模的几何意义，求出的最大值. 【详解】复数z的模为2，表示复数在复平面内对应的点到原点的距离为2， 则点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 而是圆上的点到点的距离， 所以. 故答案为：3 43．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 44．（23-24高一下·福建漳州·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可； （2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解. 【详解】（1）由题意得， 是纯虚数， ， ， （2） . 45．（23-24高一下·浙江·期中）已知复数 (1)若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值； (2)若复数满足，求． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据复数的乘法运算，结合复数相等的充要条件，即可列方程求解， （2）由复数的除法运算可得，即可由模长公式求解. 【详解】（1） ，所以， （2）由可得 故 46．（23-24高一下·天津河北·期中）已知复数，其中. (1)若，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若，求的值； (4)若对应的点在第一象限，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) (3) (4) 【分析】（1）根据复数的类型求参； （2）根据复数的类型求参； （3）根据共轭复数的定义得出复数再应用复数相等求参； （4）应用复数对应的点所在象限列不等式组求参数范围. 【详解】（1）由，得， 解得或. （2）由是纯虚数，得 解得， 所以. （3）由，可知， 得到 解得， 所以. （4）由对应的点在第一象限，得. 解得且 所以的取值范围为 47．（23-24高一下·山西大同·期中）已知复数满足为纯虚数，． (1)求以及； (2)设，若，求实数的值． 【答案】(1)； (2)1或5 【分析】（1）设复数的代数形式，利用复数的乘法运算化简，根据纯虚数概念求解； （2）利用复数的乘除、乘方化简，再由模的公式建立方程求解. 【详解】（1）设，则， 由为纯虚数， 得①，且， 由，得②， 由①②解得，验证知，满足题意. 所以. （2）由（1）可知，， 由，得， 整理，得， 解得或. 故实数的值为1或5. 48．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是关于x的方程的一个根. (1)求p，q的值及方程的另一个根； (2)若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证； (3)若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形? 【答案】(1)， (2)结论、证明见解析 (3)以为圆心，3为半径的圆 【分析】（1）代入方程的根，由复数相等求得参数，由求根公式求得另一个根即可； （2）由求根公式可知，韦达定理在复数范围内通用适用，由此即可得解； （3）由复数的模的计算公式及其几何意义即可求解. 【详解】（1）因为是关于x的方程的一个根， 所以有，整理得. 故有，解得. 可得方程的根为， 所以另一个根为； （2）猜想：实系数一元二次方程在复数集C内的根为，则， 验证：方程的根为， ； （3）由（1）可知可化为， 所以，表示点与点的距离为定长3， 故复平面内满足的动点的集合是以为圆心，3为半径的圆. 49．（23-24高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【详解】（1）设， ，，， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， （3），设， 则， ，， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$