精品解析：陕西省安康市汉阴县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

汉阴县2024~2025学年度第一学期期末学科素养检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 事件“小明抛掷一枚硬币，正面朝上”属于（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 3. 圆心角是，半径为20的扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 某班从4名男生和2名女生中任选1人参加演讲比赛，则选中男生的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向右平移3个单位后所得图象对应函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 7. 如图，内接于， 点 B 是弧的中点， 是的直径．则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点中心对称，则点的坐标是________． 10. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为______． 11. 二次函数的顶点在y轴上，则__________． 12. 如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为______°． 13. 如图，等边的边长为，D是边上的动点，连接，以为斜边向上作等腰．连接，则长的最小值是___________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程： 15. 一个不透明的口袋中有红球和黑球共20个，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3．估计其中黑球的个数． 16. 如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长． 17. 如图，已知的一条弦和该圆上的一点C，连接，．请用尺规作图法在上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，分别交于点，，，，且．求证：． 19. 甲、乙、丙、丁4人聚会，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起． （1）丙从中随机抽取一件，则丙抽取的不是自己带来的礼物的概率是_________； （2）甲从4件礼物中随机抽取一件，不放回，乙再从剩下的3件礼物中随机抽取一件，请用树状图或列表法求抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的概率． 20. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 21. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值及此抛物线的顶点坐标． （2）试判断点是否在此函数图象上． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点O对称的（点A，B，C的对应点分别为点，，）； （2）请画出绕原点O顺时针旋转后的（点A，B，C的对应点分别为点，，）． 23. 如图，开口向下抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1． （1）求该拋物线所对应的函数解析式； （2）连接，，，求四边形的面积． 24. 如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径长． 25. 如图，一小球M从斜坡上O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 26. 【初步探究】（1）如图1，为的直径，点P在的延长线上，在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．则_________；（填“>”“<”或“=”） 【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，是一个边长为200米的等边三角形空地，点P为区域内一点，分别沿、、修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使得，求小道的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汉阴县2024~2025学年度第一学期期末学科素养检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的”进行求解即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、是中心对称图形，故符合题意； 故选D． 2. 事件“小明抛掷一枚硬币，正面朝上”属于（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：事件“小明抛掷一枚硬币，正面朝上”属于随机事件， 故选：B． 3. 圆心角是，半径为20的扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），由此即可计算． 【详解】解：扇形弧长， 故选：A． 4. 某班从4名男生和2名女生中任选1人参加演讲比赛，则选中男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单地概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．根据简单地概率公式计算解答即可． 【详解】解：根据题意，得选中男生的概率是：． 故选：D． 5. 将抛物线向右平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解答本题的关键．二次函数的平移法则是“上加下减，左加右减”．根据二次函数的平移法则，即得答案． 【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后所得图象对应的函数解析式为． 故选：C． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．根据根的判别式公式，求该方程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 即该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 7. 如图，内接于， 点 B 是弧的中点， 是的直径．则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的性质，勾股定理，弧与弦之间的关系，直径所对的圆周角是直角，连接，先求得，进而得到，再利用直角三角形的性质求得，又由点是的中点得，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴即， 解得， 故选：C． 8. 抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线，横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，再根据点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 横坐标离对称轴越近，纵坐标越小， ，，，且， ， 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点中心对称，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的特征：横纵坐标均变为原来的相反数，即可得出结果． 【详解】解：由题意得：点的坐标为； 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则实数的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元一次方程的求解，将代入方程得关于k的方程，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为1， 故将代入，得， 解得：． 故答案为：1． 11. 二次函数的顶点在y轴上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标公式结合y轴上点的横坐标为0求解即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点在y轴上， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标公式和y轴上点的坐标特点，熟记二次函数的顶点坐标公式是解题的关键． 12. 如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为______°． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及定边形内角和的计算，掌握正五边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切于点， ， 是正五边形， ， ， ， 故答案为：72． 13. 如图，等边的边长为，D是边上的动点，连接，以为斜边向上作等腰．连接，则长的最小值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】过点B作于点H，作射线，由，可得点B，E，H，D四点共圆，由圆周角定理得出，可得点E在的角平分线上运动，由垂线段最短，可知当时，的长度有最小值，由此可解． 【详解】解：如图，过点B作于点H，作射线， 是等腰直角三角形， ，， 是等边三角形，边长为，， ， ， 点B，E，H，D四点共圆， ， ， 点E在的角平分线上运动， 当时，的长度有最小值，此时是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是找出点E的运动轨迹． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的解法是快速解题的关键．利用因式分解法求解可． 【详解】解：， ， 或， ，． 15. 一个不透明的口袋中有红球和黑球共20个，这两种球除颜色外无其他差别，将球搅匀后，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3．估计其中黑球的个数． 【答案】估计其中黑球的个数为6个． 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用概率求数量，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据频率估计概率可得摸到黑球的概率为0.3，再利用概率公式求解可得出答案． 【详解】解：经过大量重复试验后发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.3， 估计摸到黑球的概率为0.3， 个， 估计其中黑球的个数为6个． 16. 如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】由旋转的性质得：，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 17. 如图，已知的一条弦和该圆上的一点C，连接，．请用尺规作图法在上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，解题关键是理解题意，正确作出图形．在的上方，以C为圆心，为半径作弧交于点D，连接，，点D即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求． 18. 如图，分别交于点，，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． 19. 甲、乙、丙、丁4人聚会，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起． （1）丙从中随机抽取一件，则丙抽取的不是自己带来的礼物的概率是_________； （2）甲从4件礼物中随机抽取一件，不放回，乙再从剩下的3件礼物中随机抽取一件，请用树状图或列表法求抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲、乙、丙、丁4人聚会，每人带了一件礼物， ∴丙从中随机抽取一件，则丙抽取不是自己带来的礼物的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把甲、乙、丙、丁带的礼物分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的结果有2种，即、， ∴抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的概率是． 20. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，记住增长率公式是解题的关键． 根据增长（降低）率公式，可列出式子． 【详解】解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为． 21. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值及此抛物线的顶点坐标． （2）试判断点是否在此函数图象上． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）点在函数图象上 【解析】 【分析】（）将代入，求出的值，然后通过配方配成顶点式即可求解； （）将点代入解析式即可判断； 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点． ∴将代入， 得， ∴， 则， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 将代入得，， ∴点在函数图象上． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点O对称的（点A，B，C的对应点分别为点，，）； （2）请画出绕原点O顺时针旋转后的（点A，B，C的对应点分别为点，，）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换（旋转作图，原点对称作图），正确理解旋转的性质，原点性质是解题关键． （1）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数确定对应点，，的坐标，依次连接即可； （2）根据旋转的性质可知，对应角都相等旋转角，对应线段也相等，再通过作直角，在角的边上截取相等的线段的方法，确定对应点，，的坐标，依次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作． 23. 如图，开口向下的抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的横坐标为1． （1）求该拋物线所对应的函数解析式； （2）连接，，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法求解即可； （2）如图，连接，首先求出点的坐标为，然后求出，，，然后利用代数求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， 将代入，得， 点坐标为， 抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ，，， ， 四边形的面积为8． 24. 如图，为的直径，是的切线，切点为点B，点D为上一点，连接并延长交的延长线于点E，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】此题重点考查勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由切线的性质得，则，因为，，所以，则，即可证明是的切线； （2）由，得，而，，，则，求得，所以的半径长为3． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径，与相切于点B， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是的半径，且， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的半径长为3． 25. 如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 【答案】（1） （2）小球M能飞过这棵树 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合及实际应用，求出抛物线的解析式是解题的关键 （1）根据顶点坐标设顶点式，将原点坐标代入，即可求解； （2）计算出树的顶点的纵坐标，以及时抛物线上对应点的纵坐标，比较大小即可． 【小问1详解】 解：小球到达的最高的点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过原点O， ， 解得， ， 即抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解： B点的横坐标为2，B点在斜坡上， B点的纵坐标为， 树高为4，树与y轴平行， 树的顶点的纵坐标为：， 将代入，得：， ， 小球M能飞过这棵树． 26. 【初步探究】（1）如图1，为的直径，点P在的延长线上，在上任取一点C（不与A，B两点重合），连接，．则_________；（填“>”“<”或“=”） 【直接运用】（2）如图2，在中，，，以为直径的半圆交于点D，P是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（3）如图3，是一个边长为200米的等边三角形空地，点P为区域内一点，分别沿、、修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使得，求小道的最小值． 【答案】（1） （2）长度的最小值为 （3）小道的最小值为米 【解析】 【分析】（1）利用三角形三边关系，结合圆的性质可完成证明； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上取，连接，，可见，，即是的最小值，再根据勾股定理求出的长，然后减掉半径即可； （3）根据等边三角形的性质得到，求得，设内接于，连接交于，交于，则此时，最小，得到点在上，，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，， ， 故答案为：； （2）取的中点，连接，交半圆于，在半圆上任取，连接，，可见，，即是的最小值． 在中，，，， ， ， ． 即长度的最小值为； （3）是等边三角形， ， ， ， ， 设内接于，连接交于，交于，则此时，最小， ，， 垂直平分， 点在上，， ， 米， 米， ∴， ∵（米）， （米）， 答：小道的最小值为米． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的点的最短距离、正方形的性质、勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆外一点到圆上的点的最短距离和勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$