6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示～6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示-2024-2025学年第二学期高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示 6.3.3平面向量加、减运算 的坐标表示 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.(重点) 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.(重点) 学习目标 在初中，我们通过平面直角坐标系用有序实数对（坐标）表示点，将位置关系转化为计算思考，带来研究上的便利。上节课的平面向量基本定理表明，选定基底后，平面上的任意向量都能唯一地分解为一组有序数对。那么，这组有序数对能否称为“向量的坐标”呢？建立“向量的坐标”概念又会给我们研究向量带来哪些便利？通过今天的学习，我们将找到答案。让我们一起进入知识的海洋探索吧！ 导 语 目 录 1 2 3 4 平面向量的坐标表示 平面向量的加减运算的坐标表示 平面向量坐标表示的应用 CONTENTS 书读百遍 其义自现 平面向量的坐标表示 1 平面向量基本定理的内容是怎样的？ 思考1 提示　如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2. 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，这里的向量i，j长度和方向上有什么特点？能作为平面内的一个基底吗？为什么？ 思考2 提示　向量i，j都是单位向量，而且互相垂直.由于i，j不共线，所以能作为平面内的一个基底. 如右图，在平面直角坐标系中，取｛i，j｝作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用｛i，j｝表示成什么？ 思考3 提示　由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj. 1.把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解. 2.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i，j，取｛i，j｝作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a= ，则有序数对______ 叫做向量a的坐标. 3.坐标表示：a= . 4.特殊向量的坐标：i= ，j= ，0=(0，0). 互相垂直 单位向量 xi+yj (x，y) (x，y) (1，0) (0，1) 知识梳理 (1)表示点的坐标与表示向量的坐标的书写形式不同，A(x，y)，a=(x，y). (2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同. 知识梳理 10 题型一　平面向量的坐标表示 探究1 平面向量加减运算 的坐标表示 2 如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 思考5 提示　=-=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1). 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则如表所示.   符号表示 文字叙述 加法 a+b=(_______，_______) 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 减法 a-b=(_______，_______) 重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(_______，______) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标 x1+x2 y1+y2 x1-x2 y1-y2 x2-x1 y2-y1 知识梳理 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关. 知识梳理 18 题型二　平面向量加、减运算的坐标表示 √ 探究2 (－3，－5) 平面向量坐标表示的应用 3 题型三　平面向量坐标表示的应用 √ 书读百遍 其义自现 4 互相垂直 单位向量 且只有 (1，0) (0，1) (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (x2－x1，y2－y1) 终点 起点 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ √ √ √ √ (0，－1) 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq \o(OA,\s\up12(→))|＝4eq \r(3)，∠xOA＝60°， (1)求向量eq \o(OA,\s\up12(→))的坐标； 【解析】　(1)设点A(x，y)，则x＝|eq \o(OA,\s\up12(→))|cos 60°＝4eq \r(3)cos 60°＝2eq \r(3)，y＝|eq \o(OA,\s\up12(→))|sin 60°＝4eq \r(3)sin 60°＝6，即A(2eq \r(3)，6)，所以eq \o(OA,\s\up12(→))＝(2eq \r(3)，6)． (2)若B(eq \r(3)，－1)，求eq \o(BA,\s\up12(→))的坐标． 【解析】　(2)eq \o(BA,\s\up12(→))＝(2eq \r(3)，6)－(eq \r(3)，－1)＝(eq \r(3)，7)． 求向量坐标的方法： (1)定义法：根据平面向量坐标的定义得a＝xi＋yj＝(x，y)，其中i，j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量． (2)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标． (3)求差法：先求出这个向量的起点、终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标． 思考题1　如图，取与x轴，y轴正方向同向的两个单位向量i，j，将{i，j}作为基底，分别用i，j表示eq \o(OA,\s\up12(→))，eq \o(OB,\s\up12(→))，eq \o(AB,\s\up12(→))，并求出它们的坐标． 【解析】　由题图可知，eq \o(OA,\s\up12(→))＝6i＋2j，eq \o(OB,\s\up12(→))＝2i＋4j，eq \o(AB,\s\up12(→))＝－4i＋2j，它们的坐标表示分别为eq \o(OA,\s\up12(→))＝(6，2)，eq \o(OB,\s\up12(→))＝(2，4)，eq \o(AB,\s\up12(→))＝(－4，2)． 例2　已知四边形ABCD为平行四边形，eq \o(AB,\s\up12(→))＝(2，3)，eq \o(AD,\s\up12(→))＝(－1，2)，则eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝(　　) A．(－2，4)　　　　　 B．(4，6) C．(－6，－2) D．(－1，9) 【解析】　因为eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))＝(1，5)，eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝(－3，－1)，所以eq \o(AC,\s\up12(→))＋eq \o(BD,\s\up12(→))＝(－2，4)．故选A. 平面向量坐标运算的技巧： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 思考题2　在平行四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up12(→))＝(2，4)，eq \o(AC,\s\up12(→))＝(1，3)，则eq \o(BD,\s\up12(→))的坐标为____________． 【解析】　∵eq \o(AC,\s\up12(→))＝eq \o(AB,\s\up12(→))＋eq \o(AD,\s\up12(→))， ∴eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(AC,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)， ∴eq \o(BD,\s\up12(→))＝eq \o(AD,\s\up12(→))－eq \o(AB,\s\up12(→))＝(－1，－1)－(2，4)＝(－3，－5)． 例3　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \o(OA,\s\up12(→))＝a，eq \o(AB,\s\up12(→))＝b，四边形OABC为平行四边形，求： (1)向量a，b的坐标； 【解析】　(1)如图，作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)， AM＝OA·sin 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2). ∴A(2eq \r(2)，2eq \r(2))，故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∴∠COx＝75°＋45°＝120°， 又∵OC＝AB＝3， ∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，∴eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OC,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))). (2)点B的坐标． 【解析】　(2)连接OB，eq \o(OB,\s\up12(→))＝eq \o(OA,\s\up12(→))＋eq \o(AB,\s\up12(→))＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2))). 即点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2))). 思考题3　(1)如图，分别取与x轴，y轴正方向同向的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝eq \r(2)，θ＝45°，则向量a的坐标为(　　) A．(1，1)　　　　　 B．(－1，－1) C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D．(－eq \r(2)，－eq \r(2)) 【解析】　由题意，得a＝eq \r(2)cos 45°i＋eq \r(2)sin 45°j＝i＋j＝(1，1)． (2)已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为(3，－1)，(1，2)，(m，1)，(3，n)．求msin α＋ncos α的最大值． 【解析】　因为四边形ABCD为平行四边形，则eq \o(AD,\s\up12(→))＝eq \o(BC,\s\up12(→))， 即(3－3，n＋1)＝(m－1，1－2)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1＝0，,n＋1＝－1，))得m＝1，n＝－2， 得msin α＋ncos α＝sin α－2cos α＝eq \r(5)sin(α＋φ)，其中tan φ＝－2，故msin α＋ncos α的最大值为eq \r(5). 要点1　平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个_________的向量，叫做把向量作正交分解． 要点2　平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系内，设与x轴、y轴方向相同的两个_________分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有_______一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)． (2)在向量的直角坐标中，i，j称为标准正交基底：i＝______，j＝______，0＝(0，0)． 要点3　平面向量加、减运算的坐标表示 (1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_______________，a－b＝_______________． (2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up12(→))＝eq \o(OB,\s\up12(→))－eq \o(OA,\s\up12(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝______________，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______的坐标减去______的坐标． 1．点的坐标与向量坐标有何区别？ 答：(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．因为向量坐标是a＝xi＋yj的简写． (2)点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向． (3)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同． (4)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)． 2．将向量平移到另一个位置，向量的坐标不变，对吗？ 答：正确，向量平移后，向量不变，坐标也不变． 1．【多选题】下列说法中正确的有(　　) A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为起点、该点为终点的向量一一对应 解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误． 2．已知点A(1，0)，B(3，2)，向量eq \o(AC,\s\up12(→))＝(2，1)，则向量eq \o(BC,\s\up12(→))＝(　　) A．(0，－1)　　　 B．(1，－1) C．(1，0) D．(－1，0) 解析　eq \o(BA,\s\up12(→))＝(1，0)－(3，2)＝(－2，－2)，∴eq \o(BC,\s\up12(→))＝eq \o(BA,\s\up12(→))＋eq \o(AC,\s\up12(→))＝(－2，－2)＋(2，1)＝(0，－1)．故选A. 3．设点A(1，2)，B(3，5)，将向量eq \o(AB,\s\up12(→))按向量a＝(－1，－1)的方向平移后得到eq \o(A′B′,\s\up12(→))为(　　) A．(1，2)　　　 B．(2，3) C．(3，4) D．(4，7) 解析　eq \o(AB,\s\up12(→))＝(3，5)－(1，2)＝(2，3)，向量平移前后坐标不变．故选B. 4．【多选题】已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任意一向量a，下列结论中正确的是(　　) A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y) B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2且y1≠y2 C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O D．若x，y∈R，a的起点坐标是(1，1)，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x－1，y－1) 解析　B中，x1≠x2或y1≠y2；C中起点可以是任意位置． 5．已知对任意平面向量eq \o(AB,\s\up12(→))＝(x，y)，把eq \o(AB,\s\up12(→))绕其起点沿逆时针方向旋转θ得到向量eq \o(AP,\s\up12(→))＝(xcos θ－ysin θ，xsin θ＋ycos θ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ得到点P.已知平面内点A(1，2)，点B(1＋eq \r(2)，2－2eq \r(2))，把点B绕点A沿顺时针方向旋转eq \f(π,4)后得到点P，则点P的坐标为________． 解析　由题意可知eq \o(AB,\s\up12(→))＝(eq \r(2)，－2eq \r(2))，点B绕点A沿顺时针方向旋转eq \f(π,4)即点B绕点A沿逆时针方向旋转eq \f(7π,4)， 设P(x，y)，则eq \o(AP,\s\up12(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)cos\f(7π,4)＋2\r(2)sin\f(7π,4)，\r(2)sin\f(7π,4)－2\r(2)cos\f(7π,4)))＝(－1，－3)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝－1，,y－2＝－3，))解得x＝0，y＝－1，所以点P的坐标为(0，－1)． $$