6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册待审核

6.3.2～6.3.3　平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 预 学 案 一、平面向量的正交分解及坐标表示❶ 1．向量的正交分解 把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量作正交分解． 2．向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个________分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对________叫做向量a的坐标，记作a＝________，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标． 互相垂直 单位向量 (x，y) (x，y) 3．向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标________就是终点A的坐标；反过来，终点A的________(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是________的． (x，y) 坐标 一一对应 练习　 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (2)向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．(　　) (4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　) × × √ × 2．平面直角坐标系中，的坐标(　　) A．与点B的坐标相同 B．与点B的坐标不相同 C．当A与原点O重合时，与点B的坐标相同 D．当B与原点O重合时，与点A的坐标相同 答案：C 解析：A：仅当A点与原点重合时，向量与点B的坐标相同，错误； B：只有当A点不与原点重合时，向量与点B的坐标不相同，错误； C：如A中描述，正确； D：当B与原点O重合时，的坐标值与A的对应坐标值互为相反数，错误．故选C. 二、平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．   数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 练习　 1．在平面直角坐标系中，若点A(0，1)，B(－1，2)，则的坐标为(　　) A．(－1，1)　　B．(1，1) C．(－1，2)　　D．(－1，3) 答案：A 解析：由题意，＝(－1－0，2－1)＝(－1，1).故选A. 2．已知向量a＝(0，3)，b＝(4，1)，则a＋b的坐标是________． (4，4) 解析：a＋b＝(0，3)＋(4，1)＝(4，4). 微点拨❶ (1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直． (2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (3)向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 共 学 案 【学习目标】　 (1)借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． (2)掌握平面向量加减法运算的坐标表示．   题型 1 平面向量的正交分解及坐标表示 【问题探究1】　卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，需要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度． (1)如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？ (2)我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对(即它的坐标)表示，那么如何表示坐标平面内的一个向量呢？ 提示：(1)将飞行速度分别向坐标轴投影，在xOy平面上分解为x，y轴上的向量即可． (2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj. 例1　如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标． 解析：由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2)． 笔记： 求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． 训练1　如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝，θ＝45°，则向量a的坐标为(　　) A．(1，1) B．(－1，－1) C．() D．(－，－) 答案：A 解析：由题意可得，a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝()i＋()j＝i＋j＝(1，1)．故选A. 题型 2 平面向量加、减运算的坐标表示 【问题探究2】　设i，j分别是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. (1)根据向量的线性运算性质，分别用基底i，j表示向量a＋b，a－b. (2)向量的加、减运算，可以类比数的运算进行吗？   提示：(1)a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j. (2)向量加、减的坐标运算可以完全类比数的运算进行． 例2　在▱ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，求的坐标． 解析：∵＝， ∴＝＝(－1，－1)， ∴＝＝(－3，－5)． 平面向量坐标运算的策略 训练2　已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) 答案：A 解析：方法一　设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A. 方法二　＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， ＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A. 题型 3 平面向量加、减坐标运算的应用 例3　已知点A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R)，C(4，5)．若＝，试求λ为何值时， (1)点P在第一、三象限角平分线上； (2)点P在第一象限内． 解析：(1)设点P的坐标为(x，y)， 则＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)， 又∵＝(5，2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)， ＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)， ∴＝＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2λ－1)， ∴则 若P在第一、三象限角平分线上， 则9－λ＝2λ＋2，∴λ＝. (2)由(1)知， 若P在第一象限内，则 ∴－1<λ<9. ∴λ＝时，点P在第一、三象限角平分线上； －1<λ<9时，点P在第一象限内． 笔记 (1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝⇔x1＝x2，且y1＝y2. (2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则． 训练3　如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(2，1)，(－3，2)，(－1，3)． (1)写出向量的坐标； (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．   解析：(1)＝(－3，2)－(2，1)＝(－5，1)，＝(－1，3)－(2，1)＝(－3，2)，＝(－1，3)－(－3，2)＝(2，1)， (2)设D(x，y)，由＝＝(2，1)，可得x－2＝2，y－1＝1，所以x＝4，y＝2，故D(4，2)． 随堂练习 1．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，1)，则a－b＝(　　) A．(2，0) B．(0，1) C．(2，1) D．(4，1) 答案：A 解析：因为a＝(2，1)，b＝(0，1)，所以a－b＝(2，0)，故选A. 2．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为(　　) A．2i＋3j B．4i＋2j C．2i－j D．－2i＋j 答案：C 解析：因为A(2，3)，B(4，2)，所以＝(2，－1)，所以＝2i－j.故选C. 3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝，则顶点D的坐标为(　　) A．(2，) B．(2，－) C．(4，5) D．(1，3) 答案：C 解析：设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝(m，n－2)，解得即点D(4，5)．故选C. 4．已知点A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，则满足＝0的G的坐标为________． () 解析：设G的坐标为(x，y)，且A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)， 因为＝0， 可得(－1－x，4－y)＋(2－x，6－y)＋(3－x，－y)＝(0，0)， 可得x＝＝，y＝＝， 所以G的坐标为()． 课堂小结 1.平面向量的正交分解及坐标表示． 2．平面向量加、减运算的坐标表示． 3．平面向量坐标运算的应用． $$