热点必刷题02 生活情境与新定义解答题（8大题型74题）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

热点必刷题02 生活情境与新定义解答题（74题） 题型一：与一次函数应用有关的生活情境（10年4考） 1 题型二：与解直角三角形应用有关的生活情境（10年2考） 8 题型三：与图形相似有关的生活情境 38 题型四：与四边形有关的生活情境 42 题型五：与圆有关的生活情境 46 题型六：与一元一次方程有关的生活情境 48 题型七：与不等式与不等式组有关的生活情境 52 题型八：与一元二次方程有关的生活情境 54 题型七：与二次函数有关的生活情境 57 题型八：新定义问题 60 题型一：与一次函数应用有关的生活情境 1．（2023·上海·中考真题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． (1)他实际花了多少钱购买会员卡？ (2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） (3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 2．（2018·上海·中考真题）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域） （2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？ 3．（2017·上海·中考真题）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案． 甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示． 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元． （1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）； （2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．    4．（2016·上海·中考真题）某物流公司引进，两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运小时，种机器人于某日时开始搬运，过了小时，种机器人也开始搬运，如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：    （1）求关于的函数解析式； （2）如果、两种机器人连续搬运个小时，那么种机器人比种机器人多搬运了多少千克？ 5．（2024·上海·模拟预测）中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． (1)某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ (2)设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 (3)油的原价是元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 6．（2024·上海黄浦·二模）网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零． (1)在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？ (2)在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当时，写出y关于x的函数关系式； (3)广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由． 7．（2024·上海徐汇·三模）个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共吨，每个集装箱都只装载一种商品，根据下表提供的信息，解答以下问题： 商品类型 甲 乙 丙 每个集装箱装载量（吨） 每吨价值（万元） (1)如果甲种商品装个集装箱，乙种商品装个集装箱，求与之间的关系式； (2)如果其中个集装箱装了甲种商品，求每个集装箱装载商品总价值的中位数． 8．（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 9．（2024·上海金山·二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元）和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元）和销售量（千克）的关系如射线所示． (1)当销售量为 千克时，销售额和成本相等； (2)每千克草莓的销售价格是 元； (3)如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 10．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 11．（2024·上海静安·二模）某区连续几年的GDP（国民生产总值）情况，如下表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ 我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析． (1)根据点A、B的坐标，可得直线的表达式为．请根据点A、C坐标，求出直线的表达式； (2)假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．） 例如，分析直线，即上的点：可知，求得偏离方差． 请依据以上方式，求出关于直线的偏离方差值：______； 问题：你认为在选用直线与直线进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？ 请写出所选直线的表达式：______； 根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为______百亿元． 12．（2024·上海杨浦·一模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： (1)图中的_______，______； (2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； (3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 题型二：与解直角三角形有关的生活情景 13．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 14．（2019·上海·中考真题）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向 旋转．当旋转角为60°时，箱盖ADE落在的位置（如图2所示），已知，，． (1)求点到BC的距离； (2)求E、两点的距离． 15．（2025·上海徐汇·一模）小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 16．（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 17．（2025·上海奉贤·一模）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 18．（2024·上海·三模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点C在的中垂线上，且，， 如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行， (1)当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，求：的长． (2)将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与E′到的距离之比，则求：的长． 19．（2024·上海虹口·模拟预测）如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，， (1)求：的长度 (2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离 20．（2025·上海嘉定·一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 21．（2025·上海金山·一模）如图，和都是直角三角形纸片，且和不相似．其中，，，（）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． (1)如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； (2)按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 22．（2025·上海松江·一模）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 23．（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 24．（2024·上海青浦·模拟预测）图是某折叠式靠背椅实物图，图是椅子打开时的侧面示意图，椅面与地面平行，支撑杆，可绕连接点转动，且，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，点是的中点，，均与地面垂直，测得，，． (1)求椅面的长度为 ； (2)如图，椅子折叠时，连杆绕着支点带动支撑杆，转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，求，两点间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 25．（2024·上海虹口·二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 26．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 27．（2025·上海崇明·一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 28．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 29．（2025·上海普陀·一模）如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 30．（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 31．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 32．（2025·上海虹口·一模）根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 33．（2025·上海徐汇·一模）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 34．（2025·上海闵行·一模）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨和、支伞骨和以及伞柄组成，伞柄垂直于地面且平分，厘米，，厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当点、、三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时达到最大为．（参考数据：，，，计算结果保留根号） (1)当厘米， ⅰ）在遮阳伞完全打开时，求、之间的距离． ⅱ）在伞打开的过程中（从变到），点上升了_____厘米． (2)设的度数为，在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面长为_____（用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，你的建议是_____． 35．（2025·上海黄浦·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 36．（2025·上海青浦·一模）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸），升起的最高点不超过顶部．矩形门的高米，宽米．矩形闸机的宽米，矩形道闸的宽米，道闸底部距地面的高度米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边，边与之间的缝隙可以忽略不计． (1)求道闸升起的最大角的正切值； (2)一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 37．（2024·上海宝山·一模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 38．（2024·上海·模拟预测）小张同学用无人机测量教学楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面100米的P点，测得楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行米到达点Q，测得楼底端B的俯角为，求教学楼的高度（保留4位有效数字，参考数据：，，） 39．（2024·上海·模拟预测）“科技改变生活”，小顾是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到3位有效数字；参考数据：，） 40．（2024·上海·三模）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：） 41．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．    (1)当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字； （参考数据∶，，，） (2)当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号． 42．（2024·上海金山·二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 43．（2023·贵州遵义·三模）阅读下列材料： 如图①，在中，所对的边分别为a，b，c，可以得到． 证明：如图②，过点A作，垂足为D． 在中，，所以．所以． 同理可得． 所以． (1)通过上述材料证明：； (2)运用（1）中的结论解决问题：如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在B点测得A在北偏东方向上，沿笔直公路向正东方向行驶千米到达C点，测得A在北偏西方向上，根据以上信息，求A，B，C三点围成的三角形面积．（结果取整数，参考数据：） 44．（2024·上海杨浦·三模）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：，，） (1)点到平面镜的距离是______厘米． (2)移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． (3)在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米． 题型三：与图形相似有关的生活情景 45．（2025·上海宝山·一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 46．（2025·上海静安·一模）如图，在与中，，．求证：． 以下是小明同学证明本题的过程： 证明：如图，在、上分别截取，，连接． 在与中，      ① ∴． ∵，又，     ② ∴．               ∴．            ③ ∴， ∴． ④ (1)有同学认为小明的证明过程不正确，那么你认为他是从第 部分开始出现 问题（填①或②或③或④）．请简述小明出错的原因； (2)小红认为：本题可以用添加辅助线——平行线，构造熟悉的基本图形解决．请你用小红的思路完成本题的证明过程． 47．（2024·上海·模拟预测）如图，在等腰中，，D是底边上一点，E是线段上一点，，设，，关于k值的问题，小张和小吴同学有不同观点： 小张同学：我认为k是一个定值，随着图形的运动，存在某种不变的数量关系 小吴同学：我认为k是一个变量，随自变量β的改变而改变 请你判断哪个同学的说法是真命题，并说明理由． 题型四：与四边形有关的生活情境 48．（2025·上海·模拟预测）翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论． 点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处． (1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由； (2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长． 49．（2025·上海宝山·模拟预测）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 50．（2024·上海·三模）我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果．那么称点为B线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为 ； (2)如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明G是的黄金分割点； (3)如图③，在边长为a的正方形的边上任取点E，连接，作，交于点F，延长交于点P．若E、F恰好分别是的黄金分割点，请直接写出：的值 51．（2024·上海·模拟预测）小张同学在探究作角问题 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如图1的方法：    （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段． 【证明】请根据上述过程完成下列问题： （1）连接，如图2.请直接写出：______； （2）请判断和的数量关系，并说明理由； （3）小张在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图3），将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平，求证：四边形是平行四边形． 题型五：与圆有关的生活情境 52．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心， (1)如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长； (2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 53．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 54．（2024·上海·二模）2023年2月13日，21世纪以来第20个指导“三农”工作的中央一号文件《中共中央国务院关于做好2023年全面推进乡村振兴重点工作的意见》发布，体现了国家对“三农”的重视．实际上在古代，智慧的劳动人民有很多发明创造．如图即为古代劳动民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当AP与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点C，，，求的半径． 题型六：与一元一次方程有关的生活情境 55．（2024·上海·模拟预测）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元． (1)求这种玩具的进价． (2)求平均每次降价的百分率（精确到0.1﹪） 56．（2024·上海·模拟预测）环境保护局统计了2013年世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A，B，C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得数据整理后绘成如下条形统计图． (1)在A出口被调查游客中，购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的_____，请绘制扇形图，表示A出口被调查游客购买饮料数量以及对应的人数比例．扇形图的优势是_________． (2)小敏认为，由（1）可知，在A出口购买不少于2瓶饮料的游客的质量占全部A出口被调查游客质量的质量分数，也约为购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的百分比，你认为她的说法对吗，请说明理由． (3)已知B，C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表所示，若C出口的被调查人数比B出口的被调查人数多2万，且B，C两个出口的被调查游客在园区内公购买了49万瓶饮料，B出口的被调查游客人数是多少？ 出口 B C 人均购买饮料数量/瓶 3 2 (4)为给配合，参与调查的游客给予一定奖励，环境保护局决定给从B，C出口离开的游客发放可乐和冰红茶，已知可乐的单价为2元，冰红茶的价格为3元，选择要可乐的人比选择冰红茶的人数少1万人，那么环境保护局准备了多少资金来购买可乐和冰红茶？ 57．（2024·上海闵行·三模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 58．（2024·上海长宁·二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 所购商品按原价每满300元减80元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）； (2)购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值； (3)顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 59．（2024·上海徐汇·二模）A市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时千米，人步行的平均速度是每小时千米（上、下车时间忽略不计）． (1)如果该小汽车先送名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由； (2)试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 60．（2024·上海普陀·二模）甲外卖平台的外卖员小张看到乙外卖平台外卖员小王的月工资收入比自己高，于是想跳槽去乙外卖平台工作，如果不考虑其他因素，仅根据以下信息，请你帮助小张来决策是否需要跳槽到乙外卖平台，并说明理由． 信息一：甲、乙两个外卖平台的税前月工资收入计算方式相同，如下： 税前月工资收入＝（每日底薪＋每单提成×日均送单数）×月送单天数－当月违规扣款 （其中这两个外卖平台每个月的月送单天数均相同） 信息二：乙外卖平台外卖员小王的月工资单如下表： 每日底薪（元） 每单提成（元） 日均送单数 当月违规扣款 税前月工资收入（元） 每单扣款（元） 违规送单数 信息三：甲外卖平台外卖员每日底薪元，每单提成元，违规每单扣款元； 信息四：如图1，随机抽取了小张在甲外卖平台若干天的日均送单数绘制成条形图；如图2，根据小张在一年中每月的违规送单数绘制成条形图． 题型七：不等式与不等式组有关的生活情境 61．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 62．（2024·上海·模拟预测）某品牌新能源汽车原厂年销售总额为万元，年销售总额为万元，年每辆车的销售价格比年降低万元，年销售量是年销售量的倍 (1)求年每辆车的销售价格 (2)若年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购辆车，每售出一辆车要交税万元，则为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？ 63．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 题型八：与一元二次方程有关的生活情境 64．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 65．（2024·上海·模拟预测）已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，)满足一次函数的关系，部分数据如下表： （元/件） 12 13 14 15 16 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.如果线上和线下月利润总和达到6900元，求此时的线下售价. 66．（2024·上海嘉定·二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数（） 1 2 3 利润数（）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； (2)这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 67．（2024·上海浦东新·二模）某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，为不合格、为合格，为良好，为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：    (1)估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据； (2)小明对统计图进行了研究，得出了如下结论： ①中位数一定落在80分—90分这一组内； ②众数一定落在80分—90分这一组内； ③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强； ④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数． 上述结论中错误的是________（填序号）． (3)估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？ 题型七：与二次函数有关的生活情境 68．（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 69．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 70．（2024·上海嘉定·三模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小丁站在距篮圈中心水平距离处的点跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式； ③已知篮网长，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”“三不沾”） (2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m 题型八：新定义问题 71．（2025·上海普陀·一模）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 72．（2024·上海·三模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 73．（2024·上海松江·二模）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”． (1)如图所示的四边形是一个“精致四边形”，其中，．试写出该“精致四边形”的两条性质（，除外）； (2)如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值； (3)如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数． 74．（2025·上海宝山·模拟预测）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点必刷题02 生活情境与新定义解答题（74题） 题型一：与一次函数应用有关的生活情境（10年4考） 1 题型二：与解直角三角形应用有关的生活情境（10年2考） 17 题型三：与图形相似有关的生活情境 96 题型四：与四边形有关的生活情境 103 题型五：与圆有关的生活情境 113 题型六：与一元一次方程有关的生活情境 118 题型七：与不等式与不等式组有关的生活情境 128 题型八：与一元二次方程有关的生活情境 132 题型七：与二次函数有关的生活情境 140 题型八：新定义问题 146 题型一：与一次函数应用有关的生活情境 1．（2023·上海·中考真题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． (1)他实际花了多少钱购买会员卡？ (2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） (3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 【答案】(1)900 (2) (3) 【知识点】有理数乘法的实际应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，整理求解即可； （3）当，则，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，（元）， 答：实际花了900元购买会员卡； （2）解：由题意知，，整理得， ∴y关于x的函数解析式为； （3）解：当，则， ∵， ∴优惠后油的单价比原价便宜元． 【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式． 2．（2018·上海·中考真题）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域） （2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？ 【答案】（1）该一次函数解析式为y=﹣x+60．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 【知识点】一次函数的实际应用、从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案． 【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b， 将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，得 ， 解得：， ∴该一次函数解析式为y=﹣x+60； （2）当y=﹣x+60=8时， 解得x=520， 即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升． 530﹣520=10千米， 油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米， ∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键． 3．（2017·上海·中考真题）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案． 甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示． 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元． （1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）； （2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．    【答案】（1）y=5x+400．（2）乙 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断； 【详解】解：（1）设， 则有 ， 解得 ， ∴． （2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元， ∵6300＜6400 ∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少． 4．（2016·上海·中考真题）某物流公司引进，两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运小时，种机器人于某日时开始搬运，过了小时，种机器人也开始搬运，如图，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，线段表示种机器人的搬运量（千克）与时间（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：    （1）求关于的函数解析式； （2）如果、两种机器人连续搬运个小时，那么种机器人比种机器人多搬运了多少千克？ 【答案】（1）（）；（2）种机器人比种机器人多搬运了150千克． 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设关于的函数解析式为，把E、P的坐标代入即可得到结论； （2）设关于的函数解析式为，把P的坐标代入即可得到的表达式，令x=6，代入，令x=5，代入，两者相减即可得到结论． 【详解】（1）设关于的函数解析式为（）， 由线段过点和点， 得， 解得， 所以关于的函数解析式为（）； （2）设关于的函数解析式为（），由题意，得，即， ∴； 当时，（千克）， 当时，（千克）， （千克）． 答：如果、两种机器人各连续搬运5小时，那么种机器人比种机器人多搬运了150千克． 5．（2024·上海·模拟预测）中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． (1)某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ (2)设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 (3)油的原价是元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 【答案】(1)900元 (2) (3)元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、列一次函数解析式并求值、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数乘法应用、一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，理解题意、正确的列出算式和一次函数解析式是解题的关键． （1）根据打九折列出算式计算即可； （2）根据每一升油，油的单价降低元,然后根据题意列出函数关系式即可； （3）当可得，根据优惠后油的单价比原价便宜元，据此计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，（元）， 答：实际花了900元购买会员卡． （2）解：由题意知，，整理得． ∴y关于x的函数解析式为． （3）解：当时，， ∵． ∴优惠后油的单价比原价便宜元． 6．（2024·上海黄浦·二模）网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零． (1)在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？ (2)在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当时，写出y关于x的函数关系式； (3)广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由． 【答案】(1)355 (2) (3)不是，理由见详解 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）根据题意列式计算即可算得答案； （2）当时，可使用4张代金券，故根据题意列出一次函数即可． （3）当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元，同理消费在75到80之间，团1张代金券都比不团要划算，即可得到理由． 【详解】（1）解：根据题意有： 故在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元． （2）当时，可使用4张代金券， 故． （3）如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下∶ 当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元； 同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算； 故如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”． 7．（2024·上海徐汇·三模）个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共吨，每个集装箱都只装载一种商品，根据下表提供的信息，解答以下问题： 商品类型 甲 乙 丙 每个集装箱装载量（吨） 每吨价值（万元） (1)如果甲种商品装个集装箱，乙种商品装个集装箱，求与之间的关系式； (2)如果其中个集装箱装了甲种商品，求每个集装箱装载商品总价值的中位数． 【答案】(1) (2)每个集装箱装载商品总价值的中位数是98万元 【知识点】函数解析式、求中位数 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式及中位数，正确认识题中图表及理解题意是解题关键． （1）先列出三种商品装集装箱的个数的式子，再利用三种商品共吨列式即可； （2）先得出三种商品装载集装箱的个数，再得出个集装箱装载商品总价值分别是多少，利用中位数定义即可求解． 【详解】（1）解：∵甲种商品装个集装箱，乙种商品装个集装箱，一共个集装箱， ∴丙种商品装个集装箱， ∴由题意得：， 化简得：； （2）当时，，， ∴甲、乙、丙三种商品装载集装箱个数分别是、、， 由表可知每个甲集装箱装载商品总价值为（万元）， 每个乙集装箱装载商品总价值为（万元）， 每个丙集装箱装载商品总价值为（万元）， ∴个集装箱装载商品总价值有个万元，个万元，个万元， ∴这个数据从小到大排列后第、个数据分别是、万元， ∴每个集装箱装载商品总价值的中位数是（万元）． 8．（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 【答案】(1)； (2)小时． 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）求出两人途中相遇的时间，可求出小刚此时距地的距离，再算出相遇后两人相距千米的时间，求出此时小刚距的距离，进而求出小刚到达地的时间，然后求出小刚从地返回地与小明相距的时间，把两个时间相加即为两人无法用无线对讲机保持联系的总时间； 本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，小明骑自行车的速度为千米小时， ∴小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式为； （2）解：由图可得，小刚骑电动车的速度为千米小时， 当两人在途中相遇时，有， ∴， 此时，小刚距地千米， 相遇后设小时两人相距千米，则， ∴， 此时，小刚距地千米，到达需要的时间为， 设小刚从地返回地小时与小明相距千米， 则， 解得， ∴两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间为小时． 9．（2024·上海金山·二模）如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元）和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元）和销售量（千克）的关系如射线所示． (1)当销售量为 千克时，销售额和成本相等； (2)每千克草莓的销售价格是 元； (3)如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 【答案】(1)20 (2)20 (3)销售量为220千克，见详解 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是一次函数表达式． （1）即图中两条射线交点所对应的x值； （2）从图中发现销售20千克时，销售额为400元，即可求解； （3）依据利润=售价成本，分别求出销售额，成本关于销售量x的函数表达式，代入即可． 【详解】（1）解：由图象可知当销售量为20千克时，销售额和成本相等， 故答案为：20． （2）解：每千克草莓的销售价格为（元）， 故答案为：20． （3）解：设， 由题意得：，， 解得： ， ∴的解析式为，的解析式为， ∵销售利润为2000元， ∴， 解得， ∴如果销售利润为2000元，那么销售量为220千克． 10．（2024·上海·模拟预测）某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数，其图象如图所示 (1)求每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式 (2)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题为函数图象和实际结合的题型，考查由图象写出函数的能力． （1）设出一次函数的一般表达式，将，代代入即可求出； （2）由销售的利润和销售价格得出函数关系式，由函数性质判断出随销售价格增大利润增大的范围． 【详解】（1）解：设一次函数的一般表达式，将，代入得： ， 解得：，， 故每天的销售数量m（件）与每件的销售价格x（元）的函数表达式为：． （2）解：每件商品的利润为：， 所以每天的利润为：， ∵， ∴在元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加． 11．（2024·上海静安·二模）某区连续几年的GDP（国民生产总值）情况，如下表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ 我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析． (1)根据点A、B的坐标，可得直线的表达式为．请根据点A、C坐标，求出直线的表达式； (2)假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．） 例如，分析直线，即上的点：可知，求得偏离方差． 请依据以上方式，求出关于直线的偏离方差值：______； 问题：你认为在选用直线与直线进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？ 请写出所选直线的表达式：______； 根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为______百亿元． 【答案】(1) (2)0.0125，，14.8 【知识点】求一次函数解析式、求方差、运用方差做决策 【分析】本题考查一次函数和方差的应用，解题的关键是理解题意，正确运用． （1）设直线的表达式为，代入即可作答； （2）分析直线，即，分别求出，，，，进而求出偏离方差；根据偏离方差的实际意义即可写出所选直线的表达式；根据函数模型代入，作答即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 根据题意， 解得， 直线的表达式为； （2）分析直线，即， ， ， ， 偏离方差， ， 直线更合适， 当时， ， 故答案为：0.0125，，14.8． 12．（2024·上海杨浦·一模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： (1)图中的_______，______； (2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； (3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)提速后y关于x的函数解析式为． (3)能．理由见解析 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据图象求出a的值，根据“离目的地的路程=家与目的地之间的距离-行驶的路程”可计算b的数值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）当时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ． （2）设提速后y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标和代入， 得 ， 解得 ， ∴提速后y关于x的函数解析式为． （3）能．理由如下： 当她们到达目的地时，， 得， 解得， 小时=6时12分， ∴她们于12：12分到达目的地． 题型二：与解直角三角形有关的生活情景 13．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 【答案】(1)atanα+b米 (2)3.8米 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用、三角函数综合、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度； （2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得； 【详解】（1）解：如图 由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt∆ACE中，tanα= ， 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：灯杆AB的高度为atanα+b米 （2）由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， 此时 即①， ∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， 此时， ② 联立①②得 ， 解得： 答：灯杆AB的高度为3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 14．（2019·上海·中考真题）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向 旋转．当旋转角为60°时，箱盖ADE落在的位置（如图2所示），已知，，． (1)求点到BC的距离； (2)求E、两点的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、根据旋转的性质求解、根据矩形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）如图所示，过点作垂足为点H，交AD于点F，先解直角三角形求出的长，再求出FH的长即可得到答案； （2）连接AE，，，证明是等边三角形，，只需要利用勾股定理求出AE即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作垂足为点H，交AD于点F， 由题意得：，， ∵四边形ABCD是矩形， ∵， ∴， 在中， 又∵CE＝40cm，DE＝30cm， ∴cm， ∴ 答：点到BC的距离为； （2）解：连接AE，，，如图所示．由题意，， ∴是等边三角形， ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴ 在Rt△ADE中，AD＝90cm，DE＝30cm， ∴， ∴， 答：E、两点的距离为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 15．（2025·上海徐汇·一模）小华（考虑为线段垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为，他向前走之后，站在点D处仰望点E，仰角为．已知小华身高，求的高度．（近似值：，精确到两位小数） 【答案】树的高分别为和 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用及相似三角形的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．作于M交于N，连结．先求得，再由，可得，求得，再用勾股定理得，得出．再由，可得，再列比例式求解即可， 【详解】解：作于M交于N，连结． 由题可知，． ． , ∴, ∵， ， ，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ， ∴， 即， ． ∴． ∴． 答：树的高分别为和． 16．（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米 (2)改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． （1）过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米； （2）根据三角形的面积公式得到平方米，于是得到结论． 【详解】（1）解：过作交的延长线于，如图所示： ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米； （2）解：∵平方米， ∴立方米， 答：改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料． 17．（2025·上海奉贤·一模）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）过点A作于点N，利用余切函数的定义，平行线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，余弦函数，解直角三角形的即可． （2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，则米，四边形是矩形，解直角三角形解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点N， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， ∴， ∵，米， ∴，米， ∴米， 设与地面的交点为G， 则米，四边形是矩形， ∴， ∵米， ∴米， ∴米． （2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P， 过点O作于点K， 则米，四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 根据（1）得（米）， ∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米． 【点睛】本题考查了余切函数，余弦函数，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 18．（2024·上海·三模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点C在的中垂线上，且，， 如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行， (1)当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，求：的长． (2)将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与E′到的距离之比，则求：的长． 【答案】(1)cm (2)cm 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接, 过点作于.首先证明利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理可得； （2）设 利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出即可. 【详解】（1）连接, 过点作于. 由题意， , ， ， ， ， ， ， ，即 ， ； （2） 设 ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中, 则有， 解得 ， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 19．（2024·上海虹口·模拟预测）如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，， (1)求：的长度 (2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查垂径定理及解直角三角形的应用，理解和灵活运用垂径定理，并能够熟练地解直角三角形是解答本题的关键． （1）过点，交于点M．连接．根据已知条件求出、，由勾股定理计算的长度； （2）设点O为所在圆的圆心．连接、、、，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N．由垂径定理求得、，由勾股定理和半径相等列方程，求出，进而求出圆心到的距离． 【详解】（1）解：过点G作，交于点M．连接． 由题意可得：，， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设点O为所在圆的圆心．连接、、、，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N． 由垂径定理，得， ∴． ∴． ∵，，且， ∴， ∴，即， 解得． ∴． ∴所在的圆的圆心到台面之间的距离为． 20．（2025·上海嘉定·一模）火车作为我国重要的交通运输形式之一，其轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移计”这一设备开展了学习与探究： 阅读概述 激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离． 发现原理 被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图中点与点之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设备上成像． 建立模型 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为和，线段与线段交于点，． 探究（1） 设，请用含和的式子表示点到直线的距离． 探究（2） 已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，） 【答案】（1）（2）60 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，对顶角结合同角的余角相等，得到，解直角三角形，求出的长即可； （2）作，交于点，解直角三角形，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：过点作于点，则：，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）作，交于点 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．（2025·上海金山·一模）如图，和都是直角三角形纸片，且和不相似．其中，，，（）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． (1)如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； (2)按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 【答案】(1)存在，见解析 (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）根据锐角的正切值可以得到，故过点的直线交边于点，使得，即可； （2）根据相似的性质，求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：存在，分割方案：（答案不唯一）如图： 过点的直线交边于点，使得，         证明：，，，，， ，，，， ， 即， ，                      ，， ； （2） ，                                               ，，， ，                                               ． 22．（2025·上海松江·一模）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 【答案】(1)摄像头到桌面的距离是 (2)桌面上可拍摄区域的宽度为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，构造直角三角形，正确运用锐角三角函数的计算及相似三角形的判定的方法及性质是解题的关键． （1）过点作，过点作，垂足分别为点、，可得，由可算出，由即可求解； （2）过点作，垂足为，则有，设，，则，，，再证，由相似三角形的性质可得，由即可求解． 【详解】（1）解：过点作，过点作，垂足分别为点、， ，， ， ，， ， ， ． 答：摄像头到桌面的距离是． （2）解：过点作，垂足为， ，， 设，，则，，， ，， ， ， 解得：， ， 答：桌面上可拍摄区域的宽度为． 23．（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，结合，即可判定四边形是正方形，可得，再求出，则由勾股定理可得，再证明即可； （2）作的角平分线交于D，先求出，再证明，得到，进一步证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H，根据，得到；再证明，进而得到，解直角三角形得到，则，再解直角三角形得到，则；证明，得到，则，可得；如图所示，连接，由勾股定理得到，根据，得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， 又∵， 四边形是矩形， 又由折叠可知：， 四边形是正方形， ∴， 由题意得， ∴； 由折叠得， ∴， ∴，， ∴矩形是黄金矩形； （2）解：如图所示，作的角平分线交于D， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解． （3）解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H， ∵， ∴； 由（2）可知，当平分时有， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图所示，连接， 在中，， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，矩形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定等等，正确理解题意作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 24．（2024·上海青浦·模拟预测）图是某折叠式靠背椅实物图，图是椅子打开时的侧面示意图，椅面与地面平行，支撑杆，可绕连接点转动，且，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，点是的中点，，均与地面垂直，测得，，． (1)求椅面的长度为 ； (2)如图，椅子折叠时，连杆绕着支点带动支撑杆，转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，求，两点间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（）延长交于点，则，根据相似三角形的性质求出长度，则； （）根据图可得，对应图中求出长度，列比例求即可； 本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∵椅面与地面平行， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （2）在图中， ∵，椅面与地面平行， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵椅面与地面平行， ∴， ∴， 图中，过点作的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 答：，两点间的距离为． 25．（2024·上海虹口·二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 【答案】任务一：斜坡的坡比；任务二：米 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作交延长线于点O，作于点Q，交于点R，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可． 【详解】解：任务一：如图①， 由题意得：在中，为25米，斜坡长为65米， （米）， 斜坡的坡比； 任务二：如图③，作交延长线于点O，作于点Q，交于点R， 则四边形为矩形，四边形为矩形， 米， 米， ，为米， ， 解得：米， 米， 米，米， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 米． 26．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，C处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上． (1)__________，__________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，，，，） 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】多边形外角和的实际应用、相似三角形的判定与性质综合、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出，解，求出，即可； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为，解，求出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：， ∴，； （2）解：过点作，垂足为． ∵ ∴在中，，， ∴， ． 在中，， ． 答：点到道路的距离为千米． （3）解：连接并延长交于点，延长交于点，过点作，垂足为． 正八边形的外角均为， 在中，． ． 又，， ． ∵， ∴， ，即， ， ． 答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 【点睛】本题考查正多边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 27．（2025·上海崇明·一模）九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点处竖直上升米到达处，测得实验楼顶部的俯角为，综合楼顶部的俯角为，已知实验楼高度为米，且图中点在同一平面内，求综合楼的高度． （参考数据：；，精确到米．） 【答案】约为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，作，垂足为，由题意可得，，米，， 米，即得，分别解和，求出、即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作，垂足为，则， 由题意可知：，，米，， 米， ∴米， 在中，， 米 ， ， 在中，， 米， 米， 答：综合楼的高度约为米． 28．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩垂直于地面，且在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和，且桩与桩的高度差为米，两桩的距离为米． (1)舞狮人从跳跃到，随后再跳跃至，所成的角 ； (2)求桩与桩的距离的长．（结果精确到米） 【答案】(1) (2)米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据仰俯角，平角为即可求解； （2）过点作，分别交于点，则四边形、、都是矩形，设米，则米，在中，由函数函数的计算，得到，在中，，得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：在桩顶处测得桩顶和桩顶的仰角分别为和， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，分别交于点， ∵，，， ∴， ∴四边形、、都是矩形， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ ， 解得， （米）， 答：桩与桩的距离的长约为米． 29．（2025·上海普陀·一模）如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上） (1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度； (2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1)大楼的高度为 (2)能，大楼的高度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． （1）设大楼的高度为．利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解； （2）根据题意先求得，设为，则，利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：设大楼的高度为． ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为15m； （2）解：由大楼的高度为，共有五层，且这两栋大楼每层的高度都相同， 可得， 设为，则， ∵， ∴，． ∵， ∴． 解得． 答：大楼的高度为． 30．（2025·上海长宁·一模）如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． (1)求坡道的坡度； (2)已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)该货车能进入该地下车库，理由见解析 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴  解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． （2）解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵  即该货车能进入该地下车库． 31．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】(1)的长是10米 (2)不同意，理由见解析 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接，由题意得，，，设为，则为，根据点H恰好是屏幕的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，分别求出，，，计算得出，从而判断点不是屏幕的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接，    由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕的最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； （2）解：不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，    由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 32．（2025·上海虹口·一模）根据以下素材，完成任务． 探究淋浴喷头的位置 素材1 图1是一种淋浴喷头，淋浴喷头固定器装在升降杆上的某处，手柄与固定器的连接处记为点（点与墙之间的距离忽略不计）．图2视作淋浴喷头喷水后的截面示意图，线段为手柄，射线为水流，与的夹角为，手柄与墙的夹角为淋浴喷头的“调整角”，记为．已知长为． 素材2 图3中的矩形是淋浴房的截面图，，．为了方便在淋浴房里淋浴，规定淋浴时，人一直站在处，． 素材3 我们把人竖直站立时，头顶以下处记为这个人的“舒适喷淋点”，即“舒适喷淋点”到地面的距离等于人的身高减．已知小明的身高是，他爸爸和妈妈的身高分别是和．某次爸爸洗澡时，将淋浴喷头固定器调整至如图12的点处，“调整角”为，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”处（即爸爸身高-30）． 素材4 参考数据：，，，． 问题解决 任务一 （1）求图3中，淋浴喷头手柄与固定器的连接处点到地面的距离． 任务二 （2）爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即不变），把淋浴喷头的“调整角”调整至，然后小明进淋浴房洗澡．①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋点”处，请通过计算说明理由；②下降固定器（将固定器下降后的位置记为点）后，小明发现水流可以喷在他的“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的距离（精确到）． 【答案】（1）；（2）①理由见解析；② 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所给的角度整理到直角三角形中并进行解答是解决本题的关键． （1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）①利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为NE的长度减去的长度； ②设点A移动到了点，易得进而求得的长度，取的长度，减去的长度，即为固定器下降的距离． 【详解】解：（1）作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）①当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∵， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处； ②设点A移动到了点，此时在小明的“舒适喷淋点”， ∴， 由题意得：， ∴， ∴． 答：固定器下降的距离约为． 33．（2025·上海徐汇·一模）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了，的三角比． (1)计算：； (2)小杰的一副特制的三角板，如图1，在和中，，：小杰的想法是：将和的边和重合，拼接成如图2所示的四边形．请利用图2，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解直角三角形： （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）过点F分别作于点G、于点H，解直角三角形，求出的长，证明，求出的长，在中，利用三角函数进行求解即可． 【详解】（1）原式； （2）过点F分别作于点G、于点H， 在中，， ， 在中，, , 又 又 ∴四边形是矩形， ， 在中， 34．（2025·上海闵行·一模）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨和、支伞骨和以及伞柄组成，伞柄垂直于地面且平分，厘米，，厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当点、、三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时达到最大为．（参考数据：，，，计算结果保留根号） (1)当厘米， ⅰ）在遮阳伞完全打开时，求、之间的距离． ⅱ）在伞打开的过程中（从变到），点上升了_____厘米． (2)设的度数为，在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面长为_____（用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，你的建议是_____． 【答案】(1)i）； (2)；增大主伞骨的长度 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，解直角三角形等，理解题意，正确作出辅助线是解题关键． （1）i）连接，由题意得：，根据三角函数求出的长度，再利用，求出的长； ii）分别求出时和时的长度，作差即可得到点M上升的高度； （2）用l和α表示的长度，即可得到的长；如可以通过增大主伞骨的长度，来增大遮阳伞遮住地面的长． 【详解】（1）解：i）连接，由题意得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即、之间的距离为； ii）当时，， 当时，， ∴上升的高度为：， 故答案为：； （2）解：连接，遮阳伞完全打开，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面的长，我的建议是增大主伞骨的长度， 故答案为：；增大主伞骨的长度． 35．（2025·上海黄浦·一模）某校初三学生开展主题为“测量校园内树木高度的方案设计”的数学综合与实践活动． 甲、乙、丙三位同学制作出一个简易测高仪．取两根小木条钉在一起，使它们互相垂直，其中木条长，木条长，长（接头处忽略不计）．为了便于校正竖直位置，在点B处悬挂一个铅垂，如图1所示，这样就制作出一个简易测高仪． 任务：测量校园内某棵大树的高度（树顶端M与树根部N的距离）． 工具：简易测高仪、卷尺（如图2所示）． 要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示． 第一次实践 实践操作 甲手持测高仪，C端朝上D端朝下，从测高仪的点A经过点C望向树顶端M，调整人到树的距离，使得点M恰好与点C、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点E的位置，如图3所示． 示意图3 获取数据 乙负责测量，得到点B到地面的垂直距离，还需要测量得到的相关数据有：___． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度： __________． 反思：这种方法需要能够一直走到大树的底下，有时因为有障碍物，无法走到大树底下．于是三位同学讨论如果不走到大树底下也可以测量出大树的高度，经过讨论得到第二种测量方案，具体如下： 第二次实践 实践操作 甲重复第一次实践操作，然后将测高仪的D端朝上C端朝下，从测高仪的点A经过点D望向树顶端M，向后走调整人到树的距离，使得点M恰好与点D、A在一条直线上，然后标记铅垂线的下端刚好接触地面的点F的位置．丙提醒甲注意：两次测量时点B到地面的垂直距离保持不变；点E、F和树根部N三点要保持在同一直线上，如图4所示． 示意图4 获取数据 点B到地面的垂直距离，乙还需要测量得到的相关数据有：__________． 解决问题 利用得到的数据表示树的高度．（写出求解过程） 【答案】第一次实践需要测量得到的相关数据有：，的高度：．第二次实践需要测量得到的相关数据有：，，过程见解析． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】第一次实践，由，，，，得到， 进而得到，即可求解， 第二次实践，设，由，得到，由，得到，即可求解， 本题考查了三角函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 第一次实践需要测量得到的相关数据有：， 利用得到的数据表达树的高度：． 第二次实践需要测量得到的相关数据有：， 解决问题：设， 由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 36．（2025·上海青浦·一模）图1是某商场地下车库的出入口，车辆出入时，通常情况下只需升起“出口”或“入口”的道闸．特殊情况，两个道闸也可以同时升起．图2是其示意图，道闸升起过程中对边始终保持平行（如图中升起的道闸），升起的最高点不超过顶部．矩形门的高米，宽米．矩形闸机的宽米，矩形道闸的宽米，道闸底部距地面的高度米．顶点G、M、Q、P在同一条直线上，边，边与之间的缝隙可以忽略不计． (1)求道闸升起的最大角的正切值； (2)一辆高为1.8米、宽为1.9米的小货车想进入这个地下车库，是否需要同时升起两个道闸？请说明理由． 【答案】(1) (2)需要同时升起两个道闸，理由见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）设道闸升起的最高点为点，当点在线段上时，道闸升起的角最大．延长交于点，在中，勾股定理求出，正切的定义求出，平行线的性质，得到，即可得出结果； （2）设只升起一个道闸，当最高点在线段上时，在线段上取车宽（米），过点作，交于，垂足为，交于点，在中，求出的值，进而求出的值，与车高进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设道闸升起的最高点为点，当点在线段上时，道闸升起的角最大．延长交于点．根据题意，可知： （米）． （米）． 在中， （米）， ． ． ． 即道闸升起的最大角的正切值为． （2）设只升起一个道闸，当最高点在线段上时， 在线段上取车宽（米），过点作，交于，垂足为，交于点．则（米），（米）． ∵， ∴， 在中， （米）， （米）． 车高1.8米米米， 只起一个道闸，小轿车不能通过． 需要同时升起两个道闸． 37．（2024·上海宝山·一模）如图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，，，． (1)求：的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长，交于点，根据题意得出，通过解求得，根据与3比较即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长，交于点， ，， ， 又， ， 在中，， ， 该运动员能挂上篮网． 38．（2024·上海·模拟预测）小张同学用无人机测量教学楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面100米的P点，测得楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行米到达点Q，测得楼底端B的俯角为，求教学楼的高度（保留4位有效数字，参考数据：，，） 【答案】米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，交的延长线于，用三角函数解和即可． 【详解】解:延长交的延长线于,则， 由题意得，米， 在中， ， ， 在中， ， ， ， 答:教学楼的高度约为米. 39．（2024·上海·模拟预测）“科技改变生活”，小顾是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为，看底部C的俯角为，无人机A到该建筑物的水平距离为10米，求该建筑物的高度．（结果精确到3位有效数字；参考数据：，） 【答案】米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用三角函数分别解和即可． 【详解】解：中，， ， （米）， 中，， ， （米）， （米）， 即该建筑物的高度为米． 40．（2024·上海·三模）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：） 【答案】地不受台风影响； 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】如图，过作于，过作于，交于，过作于， 由题意可得：，，求解，此时地不受台风影响；再求解，，，，此时地不受台风影响；从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于，交于，过作于， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴此时地不受台风影响； 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时地不受台风影响； 综上：地不受台风影响． 【点睛】本题考查的是与方位角相关的解直角三角形的应用，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的画出图形是解本题的关键． 41．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．    (1)当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字； （参考数据∶，，，） (2)当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号． 【答案】(1)码头与船的距离为千米 (2)船到海岸线的距离为千米 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角形函数的定义． （1）根据题意可得，，进而得到，根据三角函数即可求解； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，，进而得到，根据，求出，推出，从而求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ， 在中， 又，千米， （千米）， 千米 答：码头与船的距离为千米； （2）， ， ， ， 又， ∴， 过点作，垂足为， 在中，，， （千米），（千米）， 在中， （千米）， （千米）， 在中，， （千米）， 答：船到海岸线的距离为千米． 42．（2024·上海金山·二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 【答案】(1)30 (2)上海中心大厦（SH）的高度为632米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设教学楼（）的高度为x米，根据题意列方程即可得到结论； （2）方案1，设米，过点A作，垂足为点E，根据矩形的性质得到（米），解直角三角形得到上海中心大厦（）的高度为632米；方案2，设米，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：设教学楼（）的高度为x米， 根据题意得， 解得， 答：教学楼（）的高度为30米， 故答案为：30； （2）解：方案1，设米，过点A作，垂足为点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（米） 在中，， ， 在中，， ， ∴， 解得：， ∴上海中心大厦（）的高度为632米； 方案2，设米， 在中，， , 在中，， , ∴， 解得， ∴上海中心大厦（）的高度为632米． 43．（2023·贵州遵义·三模）阅读下列材料： 如图①，在中，所对的边分别为a，b，c，可以得到． 证明：如图②，过点A作，垂足为D． 在中，，所以．所以． 同理可得． 所以． (1)通过上述材料证明：； (2)运用（1）中的结论解决问题：如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在B点测得A在北偏东方向上，沿笔直公路向正东方向行驶千米到达C点，测得A在北偏西方向上，根据以上信息，求A，B，C三点围成的三角形面积．（结果取整数，参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)38平方千米 【知识点】解直角三角形的相关计算、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题： （1）利用材料可得：，从而可得，进而可得，然后同理可得：，从而利用等量代换即可解答； （2）根据题意可得：千米，，从而可得，然后利用（1）的结论可得：，从而可得：，再利用材料的结论进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：千米，，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， ∴A，B，C三点围成的三角形面积约为38平方千米． 44．（2024·上海杨浦·三模）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：，，） (1)点到平面镜的距离是______厘米． (2)移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． (3)在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米． 【答案】(1) (2)入射角的度数为 (3) 【知识点】轴对称中的光线反射问题、相似三角形实际应用、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）作于点，且，得出，则，根据三线合一可得，进而解直角三角形，即可求解； （2）作于，使得，得出是等腰直角三角形，进而即可求解； （3）作关于的对称点，连接，并延长交分别为，得出，，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作于点，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40； （2）解：如图所示，作于，使得， 同理可得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则入射角为； （3）解：如图所示，作关于的对称点，连接，并延长交分别为， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型三：与图形相似有关的生活情景 45．（2025·上海宝山·一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【答案】探究：证明见解析；运用： 【知识点】利用矩形的性质证明、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质是解题的关键． 【探究】连接，证明，得出，，则可得出答案；【运用】由矩形的性质得出，证出，由结论“四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形四边形，则可得出答案． 【详解】【探究】证明：连接，如图所示： ∵四边形与四边形相似， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 【运用】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形四边形， ∴． 46．（2025·上海静安·一模）如图，在与中，，．求证：． 以下是小明同学证明本题的过程： 证明：如图，在、上分别截取，，连接． 在与中，      ① ∴． ∵，又，     ② ∴．               ∴．            ③ ∴， ∴． ④ (1)有同学认为小明的证明过程不正确，那么你认为他是从第 部分开始出现 问题（填①或②或③或④）．请简述小明出错的原因； (2)小红认为：本题可以用添加辅助线——平行线，构造熟悉的基本图形解决．请你用小红的思路完成本题的证明过程． 【答案】(1)③，错误原因见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质； （1）由三角形一边的平行线的判定方法错误可得答案； （2）如图，在上截取，过点G作交于点H．证明，证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：第③步出现错误；错用三角形一边的平行线的判定定理； （2）证明：如图，在上截取，过点G作交于点H． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 在与中，，，       ∴． ∵， ∴． ∴． 47．（2024·上海·模拟预测）如图，在等腰中，，D是底边上一点，E是线段上一点，，设，，关于k值的问题，小张和小吴同学有不同观点： 小张同学：我认为k是一个定值，随着图形的运动，存在某种不变的数量关系 小吴同学：我认为k是一个变量，随自变量β的改变而改变 请你判断哪个同学的说法是真命题，并说明理由． 【答案】小张的说法是真命题，理由见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】在上截取，连接，作交直线于，先证明，再证明是等腰三角形，得到，再证明，列出比例式，即可得出结论． 【详解】解：小张的说法是真命题，理由如下： 在上截取，连接，作交直线于， ∵，， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴，，． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是一个定值，与的数量关系与的度数无关； 故小张的说法是真命题． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 题型四：与四边形有关的生活情境 48．（2025·上海·模拟预测）翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论． 点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处． (1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由； (2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证得，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）设的长为x，由折叠得，再求出，然后证得到，最后代入数据计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：设的长为x，由折叠得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的长为． 49．（2025·上海宝山·模拟预测）簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 【答案】(1) (2) 【知识点】平面镶嵌 【分析】本题考查了平面镶嵌，熟练掌握平面图形的镶嵌是解题的关键：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论； （2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论． 【详解】（1）解：①正三角形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ②正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ③正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意； ④正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是， ， 解得：， 故答案为：． 50．（2024·上海·三模）我们知道：如图①，点B把线段分成两部分，如果．那么称点为B线段的黄金分割点．它们的比值为． (1)在图①中，若，则的长为 ； (2)如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点B对应点H，得折痕．试说明G是的黄金分割点； (3)如图③，在边长为a的正方形的边上任取点E，连接，作，交于点F，延长交于点P．若E、F恰好分别是的黄金分割点，请直接写出：的值 【答案】(1) (2)见详解 (3)或时，、分别是、的黄金分割点 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割 【分析】（1）由根据黄金分割的定义直接求出的长即可； （2）延长、交于点，由折叠得，，由，，得，则，根据勾股定理得到，再证明，即可求得，则点是的黄金分割点； （3）先证明，得，由，得，再证明，得，所以，再分两种情况讨论，一是，可证明，所以，则、分别是、的黄金分割点；二是，先探究出当、分别是、的黄金分割点时，，再证明当时，则，，所以、分别是、的黄金分割点． 【详解】（1）解：，点是的黄金分割点， ， 故答案为：． （2）证明：如图②，延长、交于点， 四边形是正方形，， ，，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， 点是的黄金分割点． （3）解：或时，、分别是、的黄金分割点， 理由：设交于点， 四边形是正方形， ，，， 于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 若，如图③， 则， 当时，则， ， 、分别是、的黄金分割点； 若，如图④， 设，则， 由可知， ， 当时，由得， 整理得， 解关于的方程得，（不符合题意，舍去）， ，， 、分别是、的黄金分割点． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法与应用、黄金分割原理的应用等知识与方法，解题过程中还要注意数形结合与分类讨论数学思想的运用，求得所有符合题意的结论． 51．（2024·上海·模拟预测）小张同学在探究作角问题 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用如图1的方法：    （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段． 【证明】请根据上述过程完成下列问题： （1）连接，如图2.请直接写出：______； （2）请判断和的数量关系，并说明理由； （3）小张在探究活动的第（2）步基础上再次动手操作（如图3），将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，连接，把纸片再次展平，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、证明四边形是平行四边形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得：垂直平分、垂直平分，得出，推出为等边三角形，由等边三角形的性质即可得出答案； （2）结合矩形的性质求出，即可得解； （3）证明是等边三角形，，得出，，由折叠的性质得出，推出，即可得证． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得：垂直平分、垂直平分， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（1）可得， ∴，， 由折叠的性质得出， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， 由折叠的性质得出， ∴， ∴四边形是平行四边形． 题型五：与圆有关的生活情境 52．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心， (1)如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长； (2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）由，，推出，即可证得，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根，即． 答：的长为； （2）解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点， 则，， 设外半径为，则， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为． 53．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆弧形水道外侧的半径为483米 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、确定圆心(尺规作图) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图： （1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，米，则四点共线，设米，则米，由勾股定理得，解得，则米． 【详解】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）解：如图所示，连接， ∵C为的中点，点D为圆弧形道路内侧中点， ∴，米， ∴四点共线， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米． 答：圆弧形水道外侧的半径为483米． 54．（2024·上海·二模）2023年2月13日，21世纪以来第20个指导“三农”工作的中央一号文件《中共中央国务院关于做好2023年全面推进乡村振兴重点工作的意见》发布，体现了国家对“三农”的重视．实际上在古代，智慧的劳动人民有很多发明创造．如图即为古代劳动民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当AP与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： (1)若，求的度数． (2)若线段与交于点C，，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理： （1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据圆周角定理得到，等量代换证明结论； （2）设的半径为r，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ， ∴； （2）解：设⨀O的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：，即的半径为． 题型六：与一元一次方程有关的生活情境 55．（2024·上海·模拟预测）益趣玩具店购进一种儿童玩具，计划每个售价36元，能盈利，在销售中出现了滞销，于是先后两次降价，售价降为25元． (1)求这种玩具的进价． (2)求平均每次降价的百分率（精确到0.1﹪） 【答案】(1)20元 (2) 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用， （1）设这种玩具的进价是x元，根据计划每个售价36元，能盈利，可列方程求解即可． （2）设平均每次降价的百分率为y，根据先后两次降价，售价降为25元可列方程求解． 【详解】（1）解：设这种玩具的进价是x元，根据题意得： 解之得： 答：这种玩具的进价为20元． （2）设平均每次降价的百分率为y ，根据题意得： 解之得：（不合题意，舍去） ∴， 答：平均每次降价的百分率为． 56．（2024·上海·模拟预测）环境保护局统计了2013年世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A，B，C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得数据整理后绘成如下条形统计图． (1)在A出口被调查游客中，购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的_____，请绘制扇形图，表示A出口被调查游客购买饮料数量以及对应的人数比例．扇形图的优势是_________． (2)小敏认为，由（1）可知，在A出口购买不少于2瓶饮料的游客的质量占全部A出口被调查游客质量的质量分数，也约为购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的百分比，你认为她的说法对吗，请说明理由． (3)已知B，C两个出口的被调查游客在园区内人均购买饮料的数量如表所示，若C出口的被调查人数比B出口的被调查人数多2万，且B，C两个出口的被调查游客在园区内公购买了49万瓶饮料，B出口的被调查游客人数是多少？ 出口 B C 人均购买饮料数量/瓶 3 2 (4)为给配合，参与调查的游客给予一定奖励，环境保护局决定给从B，C出口离开的游客发放可乐和冰红茶，已知可乐的单价为2元，冰红茶的价格为3元，选择要可乐的人比选择冰红茶的人数少1万人，那么环境保护局准备了多少资金来购买可乐和冰红茶？ 【答案】(1)扇形统计图见解析， 60，可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系． (2)她的说法不对，理由见解析 (3)B出口游客人数为9万人． (4)环境保护局准备的资金为万元 【知识点】求扇形统计图的某项数目、由条形统计图推断结论、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、一元一次方程的应用等知识点，理解条形统计图以及根据题意列出一元一次方程成为解题的关键． （1）先根据条形统计图求得购买不少于2瓶饮料的游客人数的人数，然后画出扇形统计图并标记各个数量所对应的百分比，再根据扇形统计图的特点即可解答； （2）根据游客质量和购买饮料状况是否有关联即可解答； （3）设B出口人数为x万人，则C出口人数为万人．根据B、C两个出口的被调查游客在园区内共购买了49万瓶饮料列方程求解即可； （4）设选择冰红茶的人数为y万人，则选择可乐的人数为万人，然后列一元一次方程求得人数，最后求出费用即可． 【详解】（1）解：由图可知，购买不少于2瓶饮料的游客人数为（万人）， 而总人数为：（万人）， 所以购买不少于2瓶饮料的游客人数占A出口的被调查游客人数的． 根据题意画出扇形统计图如下： 因此，扇形统计图的优势：可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系 故答案为：60，可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系． （2）解：她的说法不对，理由如下：游客的质量与饮料购买没有必然联系． （3）解：设B出口人数为x万人，则C出口人数为万人． 则有，解得． 答：B出口游客人数为9万人． （4）解：由（3）易得：B出口游客人数为9万人，C出口游客11万人，共20万人． 设选择冰红茶的人数为y万人，则选择可乐的人数为万人． 则有，解得， 所以选择冰红茶的人数为万人，则选择可乐的人数为万人， 所以环境保护局准备的资金为万． 答：环境保护局准备的资金为万元． 57．（2024·上海闵行·三模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用， 设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【详解】解：设该学生接温水的时间为， 根据题意可得：， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 58．（2024·上海长宁·二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八折 乙 所购商品按原价每满300元减80元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）； (2)购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值； (3)顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)x的值是400元； (3)当或时，选择乙商店更合算． 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式 【分析】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用． （1）根据付款y等于原价乘以折扣； （2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）由题意得选择甲商店所需付款为元，选择乙商店当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵所购商品在甲商店按原价打八折销售， ∴； （2）解：设这种商品的原价是元， 则， 解得， 答：x的值是400元； （3）解：这种商品的原价为x元， 则选择甲商店所需付款为：元， 选择乙商店的付款，当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， ①当时，，此时无论为何值，都是选择甲商店更合算，不符合题意， ②当时，，解得， 即：当时，选择乙商店更合算， ③当时，，解得， 即：当时，选择乙商店更合算， 综上：当或时，选择乙商店更合算． 59．（2024·上海徐汇·二模）A市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时千米，人步行的平均速度是每小时千米（上、下车时间忽略不计）． (1)如果该小汽车先送名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由； (2)试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由． 【答案】(1)不能，见解析 (2)见解析 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意分别求出单程送达比赛场地的时间和另外送4名学生的时间，进而问题可求解； （2）设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时，根据题意可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地． ∵单程送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟）； ∴送完另名学生的时间是：（分钟）（分钟）； ∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地． （2）解：先将名学生用车送达比赛场地，另外名学生同时步行前往比赛场地， 汽车到比赛场地后返回到与另外名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用这种方案送这名学生到达比赛场地共需时间约为分钟）．理由如下： 先将名学生用车送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟）， 此时另外名学生步行路程是：(千米)； 设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时． 则； 解得（小时）（分钟）； 从相遇处返回比赛场地所需的时间也是（分钟）； 所以，送这名学生到达比赛场地共需时间为： （分钟）； 又； 所以，用这种方案送这名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地． 60．（2024·上海普陀·二模）甲外卖平台的外卖员小张看到乙外卖平台外卖员小王的月工资收入比自己高，于是想跳槽去乙外卖平台工作，如果不考虑其他因素，仅根据以下信息，请你帮助小张来决策是否需要跳槽到乙外卖平台，并说明理由． 信息一：甲、乙两个外卖平台的税前月工资收入计算方式相同，如下： 税前月工资收入＝（每日底薪＋每单提成×日均送单数）×月送单天数－当月违规扣款 （其中这两个外卖平台每个月的月送单天数均相同） 信息二：乙外卖平台外卖员小王的月工资单如下表： 每日底薪（元） 每单提成（元） 日均送单数 当月违规扣款 税前月工资收入（元） 每单扣款（元） 违规送单数 信息三：甲外卖平台外卖员每日底薪元，每单提成元，违规每单扣款元； 信息四：如图1，随机抽取了小张在甲外卖平台若干天的日均送单数绘制成条形图；如图2，根据小张在一年中每月的违规送单数绘制成条形图． 【答案】不需要跳槽，理由见解析 【知识点】求一组数据的平均数、由条形统计图推断结论、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了条形统计图，一元一次方程的应用，根据题目信息先求得小张在甲外卖平台日均送单数，小张月违规送单数，根据信息二求得送单天数，进而分别求得小张在两个平台的税前收入，即可求解． 【详解】解：小张在甲外卖平台日均送单数为单， 小张月违规送单数平均数为：单 根据信息二：设送单天数为天， 解得： 小张在甲外卖平台的工资为（元） 若小张在乙外卖平台工资为（元） ∴不需要跳槽 题型七：不等式与不等式组有关的生活情境 61．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】(1)， (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解： 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 62．（2024·上海·模拟预测）某品牌新能源汽车原厂年销售总额为万元，年销售总额为万元，年每辆车的销售价格比年降低万元，年销售量是年销售量的倍 (1)求年每辆车的销售价格 (2)若年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购辆车，每售出一辆车要交税万元，则为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？ 【答案】(1)万元 (2)万元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式，正确解分式方程，解一元一次不等式是解题的关键； （1）根据题中的等量关系建立分式方程，解方程即可； （2）根据题意列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）根据题意，设年每辆车的销售价格为万元，列方程可得： ； 解得： 答：年每辆车的销售价格为万元． （2）解：设定价至少要万元；根据题意列不等式， 解得：， 答：为使售完辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于万元． 63．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 题型八：与一元二次方程有关的生活情境 64．（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 (3)或，示意图见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解题的关键． （1）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的底面积为，可得方程求解即可； （2）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的侧面积等于，可得方程，再根据根的判别式作出判断； （3）可设剪去的正方形边长为，分成两种情况，根据侧面积为列方程讨论求解． 【详解】（1）设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 即， 解得：（不合题意，舍去），． ∴剪去的正方形的边长为． （2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于，理由如下： 设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数解． 即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于． （3）设剪去的正方形边长为， 若按图1所示的方法剪折， 有：， 整理得：， ， ∴此方程无解； 若按图2所示的方法剪折， 有：， 整理得：， 解得：，， 当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到． 65．（2024·上海·模拟预测）已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，)满足一次函数的关系，部分数据如下表： （元/件） 12 13 14 15 16 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求y关于x的函数表达式； (2)已知线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.如果线上和线下月利润总和达到6900元，求此时的线下售价. 【答案】(1) (2)线下售价为元时，线上和线下月利润总和达到元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查一元二次方程的应用和求一次函数解析式，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据题意利用月利润线下利润线上利润列方程解题即可. 【详解】（1）解：∵ 与满足一次函数的关系，设， 将代入得： ，解得：， ∴ 与的函数关系式为： （2）由题意得，则 ， 即 整理得： 解得： (不符合题意，舍去) 答：线下售价为元时，线上和线下月利润总和达到元. 66．（2024·上海嘉定·二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数（） 1 2 3 利润数（）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； (2)这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 【答案】(1)2月份的利润为98万元 (2)这个企业利润数的月平均增长率为 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数解析式，根据等量关系，列出方程． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，然后将代入求值即可； （2）设这个企业利润数的月平均增长率为x．根据经过两个月后的5月份获得利润为121万元，列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意设利润数y与月份数x一次函数关系式为，根据题意得： ， 解此方程组得：， ∴利润数y与月份数x一次函数关系式为：， 当时，， 答：2月份的利润为98万元； （2）解：设这个企业利润数的月平均增长率为x．根据题意得： ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 答：这个企业利润数的月平均增长率为． 67．（2024·上海浦东新·二模）某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，为不合格、为合格，为良好，为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：    (1)估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有________人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据； (2)小明对统计图进行了研究，得出了如下结论： ①中位数一定落在80分—90分这一组内； ②众数一定落在80分—90分这一组内； ③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强； ④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数． 上述结论中错误的是________（填序号）． (3)估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？ 【答案】(1)人，补全图形见解析 (2)②④ (3)合理； 【知识点】因式分解法解一元二次方程、由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求众数 【分析】（1）由总人数乘以样本优秀率即可得到答案，再求解样本容量及的人数，再求解扇形图中的各百分比补全图形即可； （2）根据中位数，众数，样本平均数的含义可得答案； （3）根据x与的积恰好等于样本容量的15倍建立方程求解，结合得分60分以下的学生有可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， 六年级参赛学生中成绩为良好的学生有人； ∵良好占， ∴合格占 补全条形图如下：    （2）由个数据，第个，第个数据落在80分—90分这一组，故①正确； 众数是出现次数最多的数据，不一定落在80分—90分这一组内，故②不正确； 仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；故③正确； 从这两个统计图中不能准确求出样本的平均数，故④不正确； ∴上述结论中错误的是②④； （3）由（1）得：，样本容量为， ∴， 整理得：， 解得：，， ∵得分60分以下的学生有， ∴合理； 【点睛】本题考查的是从扇形图与条形图中获取信息，中位数，众数的含义，样本容量的概念，一元二次方程的解法，掌握以上基础知识是解本题的关键； 题型七：与二次函数有关的生活情境 68．（2025·上海徐汇·一模）通过二次函数的学习，小杰知道形如的函数，其图像始终经过点，也即拋物线经过定点．于是他进一步探究了形如的函数图像，发现抛物线经过定点与．他探究的思路是：设法找到的某些取值，使表达式中含的各项之和为0． 具体的解法如下： 含的各项之和：，令，解得． 当时，，得到定点；当时，，得到定点． 小杰还探究了抛物线，发现它也经过两个定点，其中一个位于轴上，可记作点，另一个位于第一象限内，可记作点． (1)求点的坐标； (2)当时（如图），抛物线的顶点为，与轴的另一个交点为． ①如果，求的值； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①  ② 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的图象和性质，正确理解题意和处理数据是解题的关键. （1）函数关系式化为，然后计算解题； （2）先求出点的横坐标为：，点的横坐标为：，①过点B作轴于点E，即可得到，然后代入计算即可；②过点作轴于点，则，代入就计算即可. 【详解】（1）解： ， 令，解得，， 当 时，，当时，， 即点、的坐标分别为； （2）解：由抛物线的表达式可得点的横坐标为：，点的横坐标为：， ①如果，如图，过点B作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； ②当 时，如图，过点作轴于点， 则， 即， 解得： (不合题意的值已舍去)． 69．（2025·上海徐汇·一模）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展．滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间（秒） 0 1 2 3 4 滑行距离（米） 0 4.5 14 28.5 48 为观察与的之间的关系，以为横轴，为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分． (1)由上述信息，设这条曲线的表达式为，求与的函数关系式； (2)若将拋物线先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据（1），再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，得解得； 与的函数关系式为． （2）解：由（1）得，； 所以，新抛物线的表达式为； 即． 70．（2024·上海嘉定·三模）篮球是学生非常喜爱的运动项目之一．篮圈中心距离地面的竖直高度是，小丁站在距篮圈中心水平距离处的点跳起练习定点投篮，篮球从小丁正上方出手到接触篮球架的过程中，其运行路线可以看作是抛物线的一部分．当篮球运行的水平距离是 （单位：m） 时，球心距离地面的竖直高度是 （单位：m）．在小丁多次的定点投篮练习中，记录了如下两次训练： (1)第一次训练时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度/m 2.0 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 3.2 ①在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接； ②结合表中数据或所画图象，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度，并求与满足的函数解析式； ③已知篮网长，则小丁第一次投篮练习结果为__________（“打板”“空心刷网”“擦网而过”“三不沾”） (2)第二次训练时，小丁通过调整出手高度的方式将球投进．篮球出手后运行路线的形状与第一次相同，达到最高点时，篮球的位置恰好在第一次的正上方，则小丁的出手高度是 m 【答案】(1)①见解析②3.6米；③擦网而过 (2)2.075 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的应用；关键是根据图象求出抛物线解析式． （1）①根据表中数据，描点，连线，作出函数图象； ②根据表格数据和函数图象设抛物线解析式为，然后由待定系数法求出函数解析式； ③当时求出y的值与3.05比较即可； （2）根据题意第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位，然后把代入解析式求出m即可． 【详解】（1）解：①描点，连线，作出函数图象， ②结合表中数据或所画图象可知，篮球运行的最高点距离地面的竖直高度为3.6米， 由表格数据和函数图象可知，抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入解析式得：， 解得， ∴y与x满足的函数解析式为； ③当时，， 又 而， ∴小石第一次投篮练习擦网而过； 故答案为：擦网而过； （2）解：根据题意可知，第二次篮球运行的抛物线相当于第一次篮球运行的抛物线向上平移m个单位， 则第二次篮球运行的抛物线解析式为， ∵第二次篮球运行的抛物线经过， ∴， 解得， ∴米， 答：小石第二次篮球刚出手比第一次篮球刚出手时的高度高2.075米． 故答案为：2.075． 题型八：新定义问题 71．（2025·上海普陀·一模）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 【答案】(1)的值等于3； (2)图见解析，是“线垂三角形”，是“分角”，是“线垂三角形”，是“分角”，理由见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点E作，交于点G．由“线垂”三角形的定义求得，由等腰三角形的性质求得，证明，，推出，，据此求解即可； （2）在边上取点M，使，联结，那么是“线垂三角形”，是“分角”，证明，得到，则也是“线垂三角形”，是“分角”； （3）作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N，延长至点G，使，联结，证明，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点E作，交于点G．    由是“线垂”三角形的“分角”，， 可知， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴的值等于3 ∴的值等于3； （2）解：在边上取点M，使，联结，    那么是“线垂三角形”，是“分角”， 可得， ∵为公共角， ∴， ∴， ∴也是“线垂三角形”，是“分角”； （3）解：作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N， 由（2）得， ∴， 可得， 又∵， ∴． ∴． ∴，． 延长至点G，使，联结， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， ∴． 【点睛】本题考查了“线垂三角形”的定义，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 72．（2024·上海·三模）新定义1：多边形顶点之间最长距离与最短距离的比值叫做多边形的特征值，如：正五边形的特征值为． 新定义2：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形． (1)如图，已知四边形为圆O的内接矩形，是圆O的内接三角形，若四边形的特征值为，的特征值为1，求证： (2)设正边形（且n为整数）的一边长与边数值恰好相同，一个内角的余弦值为x，特征值为y，求：y关于x的函数解析式（注：当时，） (3)如图，在梯形中，（），，点B，D在以C为圆心，6为半径的圆上，将梯形绕点C按逆时针方向旋转，使点B与点D重合，此时A，D的对应点是点E，F，设是一个正多边形的中心角，联结，请说明以线段为边的正多边形是双同正多边形的理由．当这两个正多边形的面积比是时，求：双同正多边形的特征值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)2 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，记交于点K，在上取点Q，使得，可知矩形是正方形，为等边三角形，求出，则，设，则，，故，即可证明； （2）当时，则，则正边形中心角为，而中心角与外角相等，故外角，故每一个内角为钝角，画出正边形的局部，设内角，外角，则，故，设正边形的半径为，由题意得：，过点A作，，解直角三角形得，则，，故，化简得：，故，当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式； （3）连接，过点作于点，由旋转得，，设，则以线段为边的正多边形边数为，故以线段为边的正多边形同中心点C，同边数，因此以线段为边的正多边形是双同正多边形，可证明，则，设，由勾股定理得，，则，故，因此双同正多边形的边数为，则该正多边形为正六边形，故特征值为：． 【详解】（1）解：连接，记交于点K，在上取点Q，使得， 对于矩形，由题意得，最长，或最短， ∵四边形的特征值为， ∴或， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，是直径， ∴矩形是正方形， ∴中心角： ∵的特征值为1， ∴或或， ∴为等腰三角形， 若底边不与腰相等，则则不满足特征值为1， ∴为等边三角形， ∴中心角：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴ ∴； （2）解：当时，则， ∴正边形中心角为， 而中心角与外角相等，故外角， ∴每一个内角为钝角， 画出正边形的局部，如图： 设内角，外角， ∵， ∴， 设正边形的半径为， 由题意得：， 过点A作，， 由中心角等于外角得，， ∴， 则， 而， ∴， 化简得：， ∴， 当时，此时每一个内角为，也符合该函数解析式， ∴综上，y关于x的函数解析式为：； （3）解：连接，过点作于点， 由旋转得，， 设， ∴以线段为边的正多边形边数为， ∴以线段为边的正多边形同中心点C，同边数， ∴以线段为边的正多边形是双同正多边形， 当两个正多边形面积比为时， 则， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 设， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴双同正多边形的边数为， ∴该正多边形为正六边形，如图： ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴则最长距离为，最短距离为， ∴特征值为：． 【点睛】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度较大，正确理解题意是解决本题的关键． 73．（2024·上海松江·二模）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”． (1)如图所示的四边形是一个“精致四边形”，其中，．试写出该“精致四边形”的两条性质（，除外）； (2)如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值； (3)如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数． 【答案】(1)①，平分；②四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴；③，， (2)画图形见解析，该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值为 (3)画图形见解析，两种长度的线段各是，它的各内角度数 【知识点】线段垂直平分线的判定、等边对等角、根据菱形的性质与判定求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了新定义，菱形的性质，梯形的性质，解题的关键是正确理解题目所给“精致四边形”的定义，正确画出图形，以及熟练掌握相关性质定理． （1）根据题意易得是的垂直平分线，，是等边三角形，即可得出结论； （2）根据题意画出图形，则在菱形中，且，根据菱形的性质得出，，，进而得出，则； （3）根据题意画出图形，推出，， 再根据平行线的性质得出，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是的垂直平分线， 则，平分； ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴； ∵， ∴是等边三角形，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上：该“精致四边形”的性质有： ①，平分； ②四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴； ③，，． （2）解：画图                                  ∵在菱形中，且，           ∴，，，          ∴， ∴ ． （3）解：画图，如图：，，          ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 则， ∵， ∴，                  ∵， ∴，则， 解得：， ∴，． 74．（2025·上海宝山·模拟预测）新定义：平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”，并且把该平行四边形的长边与短边之比成为该平行四边形的“度量值” (1)如图1，已知矩形，为其“中直三角形”，其中，求：矩形的“度量值”； (2)如图2，为的“中直三角形”，其中，，求：的“度量值”； (3)在中，，，请直接写出以为中直三角形的平行四边形的“度量值”． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】（1）证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可； （2） 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可； （3） 由题意知，分C点与邻边上的顶点重合，B点与邻边上的顶点重合，A点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解即可． 【详解】（1）解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴矩形ABCD的“度量值”为， （2）解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； ∴的“度量值”为； （3）解：由题意知，分C点与邻边上的顶点重合，B点与邻边上的顶点重合，A点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$