海南省2024-2025学年高三下学期学业水平诊断（三）数学试卷

绝密★启用前 海南省2024一2025学年高三学业水平诊断（三） 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应題目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.抛物线x2=2y的准线方程为 Aa-分 B.x=-1 D.y=-1 2复数：=号-i的虚部为 A-克 B号 c D.1 3.已知集合A={x22-24<1},B={xl-1<x<11,则(CnA)nB= A.{xl0<x<1 B.{xl-1<x<0} C.{xl0≤x<1 D.{xl-1<x≤0} 4.已知sin0+引-cos0,则am0= A.-5 B.- D.5 3 唱 5.已知等差数列|an}的前n项和为S。,若a6+a,=6-a,则S,= A.12 B.16 C.20 D.22 6.在同一平面内，向量a,b,c满足1a|=2,1cl=1,a·c=0,a·b=2,则1a+b-cl的最小 值为 A.3 B.2 C.1 数学试题第1页（共4页） 扫描全能王创建 7.若边长为整数的正方形的四个顶点均在椭圆C:三+=1上，则C的焦距为 A.2 B.26 C.23 D.22 3 3 3 8.已知|a}是递增的等比数列，若a-2a2+a1=1,则当a,取得最小值时，4，= B.1 C.4 D.16 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知实数x,y满足x<y,则下列不等式一定成立的是 A.y>x B.logs (y-x)>0 c.1>1>0 D.e-e' ”xy 2之>x-y 10.须弥座是一种古建筑的基座形式，又名“金刚座”，通常用于官殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的 基座部分，由多层不同形状的构件组成，具有很高的艺术价值如图所示，某古建筑的须弥座 最下层为正六棱台形状，该征六棱台的上底面边长为3，下底面边长为4，侧面积为213，则 A.该正六棱台的高为3 B,该正六棱台的侧面与下底面的夹角为号 C.该正六棱台的侧棱与下底面所成角的正弦值为3压 13 D.该正六棱台的体积为业区 d 11.已知函数八x)的定义域为R,且f(2)=6,若八x)=(x-y)+(y)+y(x-y）,则下列说 法正确的是 A.(1)=2 B.八x)是奇函数 C.八4x)=f八x)+16x2 D.若neN,则a)=+n 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12,若(：+)（如为正常数）的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中的常数项为 数学试题第2页（共4页） 扫描全能王创建 13.已知函数八)=2cos2wx-)-1(u>0)在0，上的最小值为-3，则w的最小值为 14,某商场举行有奖问答游戏，每名参加者要依次回答若干道题，若连续答对两题则结束游 戏，并获得奖品，若连续答错两题也结束游戏，但不能获得奖品，只要没有出现连续答对或 连续答错的情况，就继续答恩已知小明答对每道题的概率都为子，则小明获得奖品的概 率为」 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2 acos A. (I)求A: （Ⅱ)若bc=4,求△ABC外接圆半径的最小值. 16.(15分) 如图，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线AD翻折，得到四面体PABD, (I)证明：AD⊥平面PBD: (Ⅱ)若AD=2,PB=2√5，求平面PAD与平面PAB夹角的余弦值 D 17.(15分) 已知双前线c号-卡=1(a>0,6>0)的焦距为4厄，过点(0,2)的直线1与C交于A,B 两点，且当AB∥x轴时，IAB1=42. (I)求C的方程： (Ⅱ)若点A,B都在C的左支上，且以AB为直径的圆与x轴相切，求1的斜率 数学试题第3页（共4页） 扫描全能王创建 18.(17分) 已知函数八x)=xc-lnx-(a-1)2-x-1. (I)若曲线y=八x)在点(11)处的切线平行于直线(2e-4)x-y+2e=0,求； (Ⅱ)若a=1,且函数y=x)+(1-b)xe只有一个极值点，求实数b的取值范围； (Ⅲ)若八x)≥0，求实数a的取值范围. 19.(17分) 在一个足够大的不透明袋中进行一个轮摸球试验，规则如下：每一轮试验时，袋中均有 红、黑、白三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸出红球，则试验 成功；若摸出白球，则试验失败；若摸出黑球，则进人判定环节：判定时，放回两个黑球取出 一个白球，再从中随机摸出一个球，若为白球则试验失败，否则试验成功.若试验成功，则 结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或n轮试验进行完.已知第(i=1, 2,…,n)轮试验开始时，袋中有1个红球，i个黑球，(i+2)个白球 (I)求第1轮试验成功的概率； (Ⅱ)某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第i (任=1,234,5)轮试验成功志愿者的比例，记需=宁，发现名与线性相关，求y 关于￥的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； ()记试验结束时，试验成功的概率为P,证明：卫，<是 参考数6=0.46,7=0.69，启6-=0.42，名=l.503. 附：回归方程夕=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为B= 盒%--列 含西-动” 数学试题第4页（共4页） 扫描全能王创建 海南省2024一2025学年高三学业水平诊断（三） 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案C 命题透析本题考查抛物线的基木性质。 解析由抛物线的标准方程产=2=2p,得P=1,且焦点在y轴上.准线方程为y=一号，即y=-分 2.答案B 命题透析本题考查复数的基本概念及运算. 解析 因为：吕-i:4-以0+出-=多+宁，所以：的能部为分 2 3.答案D 命题透析本题考查集合的表示与运算，指数函数的性质。 解析由22-<1=2°，得x2-2x<0,解得0<x<2,故A=1xl0<x<2引，故C.A=1xlx≤0或x≥21，由B= Ixl-1<x<11,得(C.A)nB=|xl-1<x≤0l. 4.答案A 命题透析木题考查三角恒等变换 解析因为sn(0+君）-号n0+分s0=-s0,所以5n0=-3s0.得m0=-. 5.答案D 命题透析本题考查等差数列的基本运算 解析由等差数列的性质可知，+，+a,=3,=6,则，=2，所以S-山a,+=11,=2 2 6.答案A 命题透析本题考查平面向量的运算 解析h题意不妨设a=(2,0).c=(0,1),b=(x,y),则由a·b=2,得x=1,故b=(1,y),所以a+b-c=(3, y-1),故1a+b-cl=√9+(y-1),当y=1时，la+b-cl取得最小值，为3. 7.答案B 命题透析本题考查椭圆的基本性质 解析由对称性可知，正方形的四个顶点必在直线y=±x上，由于C在y轴上的两顶点间的距离为2，故正方 1 形的边长只能为1，因此点（分）在C上.代入C的方程得系+子=1，解得m2子枚C:32+=1,则C 的焦距为欢√一行2 架 扫描全能王创建 8.答案D 命题透析本题考查等比数列与函数的综合问题。 解析设{a1的公比为g,由a1-2a2+a,=1,得a,(g-1)2=1,所以a1>0,又因为1a.I是递增数列，所以g> L因为a=4g,所以，取得最小值等价于两数八g)=名取得最小价，求导得了) q-1 名兰：得侣品当子)时)单调递波当9（仔+时）单调适游放当9=号 时，a,取得最小值，此时a,=16. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AD 命题透析本题考查基本初等函数的性质 解析对于A,x’<y一x<y,故A正确： 对于B,要使log(y-x)>0成立，需y-x>1,故B错误： 对于C,取-2，y=-1,不清足子>>0.放C错误： 对于D,易知函数)=+2单调递增，故e+2<e+2y,整理可得>-y,故D正确 10.答案BCD 命题透析本题考查简单几何体的基本性质。 于A由已知可得每个侧面等腰梯形的面积为？2，梯形的高为万，由此可得棱 √3-4-3=子故A错误： 3 对于B,设侧面与下底面的夹角为a,因为侧面梯形的商为，5，棱台的高为子，所以na= 知为 锐角，放α=于，故B正确： 对于C,设侧棱与下底酯所成的角为.由棱台的高为子，上.下底面边长分别为3和4，科m0=名-子，所 2 以n0=3三=3正故C正确： 2+3=13 对于D,该校台上底面面积8：，下帐面面积&=24厅，故棱台的体积V:士× (25+24万+V2mx3x)×号5.放D正确 11.答案ABD 命题透析本题考查抽象函数的性质， 2 扫描全能王创建 解析对于A,在八x)=八x-y）+八y)+x(x-y)中，取x=2,y=1,得八2)=2八1)+2=6，所以八I)=2,故 A正确： 对于B,取x=y=0,得八0)=2(0)，所以八0)=0，令x=0,得八-y)+八y）=0,故B正确： 对于C,令x=2y,得八2y)=2八y)+2y2,所以(4x)=22x)+16r3=4(x)+4x23+16x3=4x)+20x2,故C 错误： 对于D,取x=n,y=n-l,得n-n-1)=2+a(n-1)=2+a+)mn-),nn-)n-2,所以利用 3 累加法可得)-n-1)+n-)-n-2)+…+2)-1)=2(n-)+a+)An-业，所以m)= 3 2n+a+a-山=宁+号a,放D正确 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案24 命题透析本题考查二项式定理的应用 解析 令x=1,可得所有项的系数之和为(1+)=81=3，由a>0,得a=2,故(x+2) 的展开式中的常数 项为c(2)=24 13答案子 命题透析本题考查三角函数的性质， 解桥若xe[0,引则2ar-君∈[-石号-晋引向题转化为y=msx在[-吾受-晋引上的最小值为 -1,所以号-君≥，解料0≥子 14.答案 5 52 命题透析本题考查全概率公式的应用， 解析设小明第一题答对为事件B,获得奖品为事件A,则他获得奖品可分为两种情况，第一题答对与答错，则 PAB)=子+xPAB),PA=子×子+子×PA1,解得PAB)=号，P(A1丽)=号，所以 由全企概率公式知P)=P(B)P(41)+P(P41)=子×号+寸×号-瓷 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.命题透析本题考查正弦定理、余弦定理的应用， 解析(I)由beos C+ceos B=2acsA及正弦定理得sin(B+C)=sinA=2 sin Acos A,…(2分) 因为inA≠0，所以2cosA=1,即cosA= 2 ,…(4分）》 又因为Ae(0,r）,…(5分） 所以A=牙 …(6分) 3 扫描全能王创建 可只 （Ⅱ)由题意得外接圆半径r= -u ,…(7分） 要使外接圆的半径最小，只需a最小，…(8分)》 又因为bc=4,a2=b2+c2-2 becos A=b2+c2-bc-(9分) ≥2bc-be=be=4,…(11分) 当且仅当b=c=2时取等号，此时a=2,…(12分) 所以。2，即外接阴半径的最小值为泸 (13分) 16.命题透析本题考查空间向量与立体几何的综合问题。 解析(I)因为△ABC是等腰直角三角形，AD是斜边BC上的中线， 所以BD⊥AD,CD⊥AD.…(2分) 由于翻折不改变PD与AD的垂直关系，所以PD⊥AD.…(3分) 又因为PD门BD=D, (4分) 所以AD⊥平面PBD.… …(5分) (Ⅱ)以点D为坐标原点，D,D的方向分别为x轴y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。 由已知得BD=PD=2,PB=2F,所以∠BDP=2红 …(7分)》 故D(0,0,0),A(2,0,0）,B(0,2,0),P(0,-1,5),… (8分) 则店=(-2,2,0)，市=(0,3，-5)，设平面P1B的法向量为n=(a,b,c), rn·i=0,「-2a+2b=0. 则。…i=0,b-5c=0 即 取n=(1,1,5). (10分) 同理得平面PAD的一个法向量为m=(0,5,I). (12分)】 因为m(m,）=n2兰 25 5 (14分) 所以平面PMD与平面PAB夹角的余弦值为压 5 (15分) 17.命题透析本题考查双曲线与直线的位置关系。 解析(I)因为当AB∥x轴时，IAB1=4万，所以点(22,2)在C上， 所以是-各=1.0 …(2分)） 因为C的焦距为4万，所以2+b2=(2万)2=8.②… (3分) 联立02.解得d=心=4，所以c的方程为号-千=1 …(5分) 扫描全能王创建 （1）设【：y=kr+2,A(x,J）,B(x,,2 由=+2， l-y2=4, 得(k2-1)x2+4k红+8=0，…(6分) 4=16k2-32(k2-1)>0, -4k 因为1与C的左支有两个交点，所以产+<0， …(7分） >0, 解得1<k<万.…(8分) 所以=2张”=k×”+2=2 2k2-12 2 k2-1' (10分) 且MB1=+F1x-=+R石-4+R2-E k2-1 k2-1 (12分) 因为以4为直径的阙与：轴相切，所以9=乎 …(13分) 2 2四豆品解相=√ +5 k2-1 2 (14分) 1+5 即1的斜率为√2 (15分) 18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解折(1)由题意，得/()=(x+1e-2(a-1-1 (1分) 因为f'(1)=2e-1-2(a-1)-1=2e-2a,…(2分) 所以由题意得2e-2a=2e-4,…(3分) 解得a=2。…(4分） (Ⅱ)当a=1时八x)=xe'-lnx-x-1, y=f(x)+(1-b)xe'=b(xe'-In x-x-1)+(1-b)xe'=xe'-bln x-bx -b. 设g(x）=xe'-blnx-bx-b, 则g)=x+1e-是-b=x+10e-+）(e-)>0 …(5分）》 当b≤0时，g(x)>0,g(x)在(0，+∞)上单调递增，g(x)不存在极值.…(6分) 当b>0时，令g(x)=0,即+(xe-b)=0,得xe=b, 令h(x)=xe-b,则h'(x)=(x+I)e>0在(0，+∞)上恒成立，所以h(x)在(0，+)上单调递增. 又h(0)=-b<0,h(b)=b(e”-1)>0,所以存在唯一的n∈(0，b),使得h(x)=0.…(8分) 当xe(0,xa)时，h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减， 当xe(xo,+)时，h(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)仅在x=x。处取得极小值，符合题意， 故当g(x)只有一个极值点时，实数b的取值范围为(0，+②).…(10分) （Ⅲ)由八x)=和-hx-(a-1)x2-x-1≥0，参变分离得a-1≤0-n-x-」 -5- 扫描全能王创建 设(x)=o-h-x-,则a-1≤(x) (11分) 因为c=e“,所以k()=-E+n- +3 …(们2分）》 令1=lnx+x,因为x>0,所以teR 设p()=e'-t-1,于是p'()=e-1. 令p(）=0,则1=0，当1>0时，p'(1）>0,当1<0时，p'()<0,…(13分)》 所以p()在(-，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，…(14分) 所以p()n=(0=0,即e“-(lnx+x)-1的最小值为0，即k(x)n=0.…(15分) 所以a-1≤0，即a≤1. 故实数的取值范围为（一约，1].…（I7分） 19.命题透析本题考查概率的计算，回归分析的应用 解析（I)第1轮试验中有1个红球，1个黑球，2个白球， 摸出红球，即试验成功的概率为+1+24，” (1分) 换出黑球且试验成功的概率为好×，-台+2。， 1+2 3 (3分) 所以第1轮试验成功的慨米P=子+品=石 (4分) -5·5 -1.503-5×0.46×0.69=-0.2.…(7分） 0.42 - ∑(-)2 所以4=0.69+0.2×0.46=0.782.… (8分) 所求经验回归方程即为=-0.2x+0.782. (9分) 当试验轮数足够大，即i足够大时，x接近于0，则y接近于0.782， 放预测成功志愿者的比例为0.782。…(10分) (Ⅲ)依题意，n轮试验失败的概率为1-P。,设第i轮试验失败的概率为P:, 则1一Pn=P乃归…p…(11分) 2发生有两种可能，直接模出白球，概率为=千品 i …(2分） 或指模出圆球后程孩白球.概米为中品 …(13分) 所以n,-i++i+-山.i+山2+i+2-1.2+4i+42.2i+2 ,…(15分)】 (i+1) (i+1)4 (i+1) (i+1) 则1-x2x…x2a22 2× 004t010000000400400000000000000040040 (n+1)°4(n+1) (16分) 因此八1%器<1-是 (17分) 扫描全能王创建