精品解析：江苏省南通市海门区海南中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

南通市海门区海南中学2025学年度九年级三月份第一次月考测试卷 数学・试题卷 试卷类型：A卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. ( ) A. 1 B. -1 C. 2020 D. -2020 【答案】B 【解析】 【分析】底数为1，1的任意次方都为1，进而求解． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查乘方的运算，找对底数是解决乘方问题的关键． 2. 下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 3. 如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　） A. 4℃ B. 8℃ C. 12℃ D. 16℃ 【答案】C 【解析】 【分析】根据A市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案． 【详解】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是﹣4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象，掌握数形结合思想、认真观察函数图象图，从不同的图中得到必要的信息是解决问题的关键． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘、完全平方公式、幂的乘方、合并同类项，解题关键是熟练掌握相关运算． 结合同底数幂相乘、完全平方公式、幂的乘方、合并同类项对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，运算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，运算正确，符合题意，选项正确； 选项，、不是同类项，运算错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 5. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解． 【详解】解：∵是的直径 ∴∠ ∵ ∴ ∴∠ ∵ ∴∠ ∴∠ ∴∠ 故选：B． 【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键． 6. 已知一次函数y =（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（ ） A. m>- B. m<3 C. -<m<3 D. -<m≤3 【答案】D 【解析】 【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况. 【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时， ，解得：－＜m＜3. 当函数图象经过第一，三象限时， ，解得m＝3. ∴－＜m≤3. 故选D. 【点睛】一次函数的图象所在的象限由k，b的符号确定：①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，三，四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx＋b的图象经过第一，二，四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx＋b的图象经过第二，三，四象限.注意当b＝0的特殊情况. 7. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．本题可通过旋转的性质得出，，，，，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：由已知得：，则，，，， ∵， ∴，故A错误； ∵与不一定全等， ∴， ∵， ∴，故B错误； ∵， 又∵， ∴，故C错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　） A. 若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B. 若M1＝1，M2＝0，则M3＝0 C. 若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D. 若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 【答案】B 【解析】 【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可． 【详解】解：选项B正确． 理由：∵M1＝1， ∴a2﹣4＝0， ∵a是正实数， ∴a＝2， ∵b2＝ac， ∴c＝b2， ∵M2＝0， ∴b2﹣8＜0， ∴b2＜8， 对于y3＝x2+cx+4， 则有△＝c2﹣16＝b2﹣16＝（b2﹣64）＜0， ∴M3＝0， ∴选项B正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点个数及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本题的关键． 9. 对于每个x，函数y是，，这三个函数中的最小值，则函数y的最大值是（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别联立三个函数中任意两函数，求出函数的交点坐标，根据此交点坐标即可求解． 【详解】分别联立得：；；， 解得：；；， 如图所示：可知的交点；的交点；的交点， ∵函数y是，，这三个函数中的最小值， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴y的最大值为6． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，根据题意得出任意两函数的交点坐标是解答此题的关键． 10. 有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分.每队的4项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】四队总分和为(5+3+2+1)×4=44分 获得了三项比赛的第一名的队至少得5+5+5+1＝16分 其他3队总分和为44-16＝28 ＝9……1 28＝9+9+10 已知各队的总分不相同,所以只有28＝8+9+11 总分最少的队伍最多得8分.故选A. 二、填空题（本大题共8小题，第111̃2题每小题3分，第131̃8题每小题4分，共30分） 11. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式a即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法分解因式，解题的关键是正确确定公因式． 12. 将个相同的球放入位于一排的个格子中，每格至多放一个球，则个空格相连的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是概率公式，解题关键是找到所有可能的结果数和“个空格相连”事件的结果数． 计算出所有可能的结果数和“个空格相连”事件的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：将个相同的球放入位于一排的个格子中，每格至多放一个球，共有个结果数， 其中个空格相连结果数为， 个空格相连的概率是． 故答案为：． 13. 如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．若点也在此函数的图象上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案． 【详解】解： 的面积为6． ＞， 把代入 经检验：符合题意． 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，的几何意义，掌握以上知识是解题的关键． 14. 如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为__cm（结果保留π）． 【答案】18π 【解析】 【分析】根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°， ∴的长＝＝18π（cm）， 故答案为：18π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 15. 如图，半径为的与边长为的正方形的边相切于E，点F为正方形的中心，直线过点．当正方形沿直线以每秒的速度向左运动__________秒时，与正方形重叠部分的面积为． 【答案】1或． 【解析】 【分析】将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论． 【详解】解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA，OB，AB交OF于点E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OAB-S△OAB 由题意可知：OA=OB=AB=2，OF⊥AB ∴△OAB为等边三角形 ∴∠AOB=60°，OE⊥AB 在Rt△AOE中，∠AOE=30°，∴AE=，OE= ∴S扇形OAB-S△OAB ∴OF= ∴点F向左运动个单位 所以此时运动时间为秒 ②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC，OD，CD交OF于点E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OCD-S△OCD 由题意可知：OC=OD=CD=2，OF⊥CD ∴△OCD为等边三角形 ∴∠COD=60°，OE⊥CD 在Rt△COE中，∠COE=30°，∴CE=，OE= ∴S扇形OCD-S△OCD ∴OF= ∴点F向左运动个单位 所以此时运动时间为秒 综上，当运动时间为1或秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为 故答案为：1或． 【点睛】本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键． 16. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接AE、AF，先证明△GAE≌△HAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案． 【详解】解：如图，连接AE、AF， ∵点A为大正方形的中心， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴∠AEF=∠AFE=45°， ∵∠GEF=90°， ∴∠AEG=∠GEF－∠AEF=45°， ∴∠AEG=∠AFE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB=∠EAF=90°， ∴∠GAE=∠HAF， 在△GAE与△HAF 中， ∴△GAE≌△HAF（ASA）， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴同理可得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键． 17. 已知a、b、c都是实数，且满足a＞b＞c,a+b+c=0.那么，的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】本题解析：∵a+b+c=0， ∴a>0，c<0① ∴b=−a−c，且a>0，c<0 ∵a>b>c ∴−a−c<a，即2a>−c ② 解得>−2， 将b=−a−c代入b>c，得−a−c>c，即a<−2c ③ 解得<−， ∴−2<<−.故答案为−2<<−. 点睛：先将a+b+c=0变形为b=-a-c，代入不等式a>b，b>c，得到两个不等关系，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系，联立求得的取值范围． 18. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】由图可得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小，根据正方形的性质及勾股定理即可求得结果． 【详解】解：由题意得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小． 所以线段DH长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中动点问题，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算 （1）解不等式组 （2）计算： （3）先化简，再求代数式的值，其中 【答案】（1）； （2）； （3），． 【解析】 【分析】（1）分别解不等式①②，再按“大小小大取中间”即可求得不等式组解集； （2）先求绝对值，再化简二次根式，再加减运算即可； （3）先化简原式为，再结合特殊角的三角函数值算出代入计算即可． 【小问1详解】 解：由①得：， 即； 由②得：， 即， ． 【小问2详解】 解：原式， ． 【小问3详解】 解：原式， ， ， 原式． 【点睛】本题考查的知识点是解一元一次不等式组、求一个数的绝对值、化简二次根式、实数的混合运算、特殊角的三角函数值、分式的化简求值，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 20. 新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动．某市为了解初中生每日线上学习时长(单位：小时)的情况，在全市范围内随机抽取了名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）在这次调查活动中，采取的调查方式是_ (填写“全面调查”或“抽样调查”)，_ ． （2）从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“”范围的概率是 ； （3）若该市有名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“”范围的初中生有_ 名． 【答案】（1）抽样调查； （2） ；（3）1200 【解析】 【分析】（1）先根据全面调查和抽样调查的定义进行判断，再根据1≤t<2时，在频数分布直方图和扇形统计图中的数据，计算即可求解． （2）由（1）知总人数，根据频数分布直方图，求出时的人数，计算即可求解． （3）由（1）知总人数，求出时的人数所占比例，计算即可求解． 【详解】（1）根据＂在全市范围内随机抽取了名初中生进行调查＂可知，采取的调查方式是抽样调查． 由频数分布直方图可知：当1≤t<2，有100名； 由扇形统计图可知，当1≤t<2，人数占总人数的20%， 则总人数=名． 即n=500． （2）由（1）可知，n=500 从频数分布直方图中，可得： 当时，人数=500-50-100-160-40=150名． ∴恰好在的范围的概率． （3）由（1）可知，n=500． 从频数分布直方图中，可得： 当时，有40人，占总人数． ∴该市每日线上学习时长在“”范围的初中生有． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图和扇形统计图的应用，熟练掌握频数分布直方图和扇形统计图中数值的意义是解题的关键． 21. 人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB=AC，BD=140cm，∠BAC=40°，求点D离地面的高度DE．（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0. 94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94） 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AF⊥BC于点F，根据等腰三角形的三线合一性质得∠BAF的度数，进而得∠BDE的度数，再解直角三角形得结果． 【详解】解：过点A作AF⊥BC于点F，则AF∥DE， ∴∠BDE=∠BAF， ∵AB=AC，∠BAC=40°， ∴∠BDE=∠BAF=20°， ∴DE=BD×cos20°≈140×0.94=131.6（cm） 故点D离地面的高度DE约为131.6cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，关键是构造直角三角形求得∠BDE的度数． 22. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC． （2）设， ①若BC＝12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①BE＝4；②45 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论； （2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果； ②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果． 详解】（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠DEB＝∠FCE， ∵EF∥AB， ∴∠DBE＝∠FEC， ∴△BDE∽△EFC； （2）解：①∵EF∥AB， ∴＝＝， ∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE， ∴＝， 解得：BE＝4； ②∵＝， ∴＝， ∵EF∥AB， ∴△EFC∽△BAC， ∴＝（）2＝（）2＝， ∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质． 23. 昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元． （1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元； （2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪． 【答案】（1）每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；（2）昌云中学最多可以购买5个大地球仪． 【解析】 【分析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元， 由题意可得， 解得：， 答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元； （2）设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个， 根据题意得52m+28(30-m)≤960 解得m≤5 ∴昌云中学最多可以购买5个大地球仪． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用，根据题意列出式子是解题关键． 24. 如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB； （3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标． 【答案】（1）y＝x2；（2）见解析；（3）P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题． 【详解】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2， 得到＝9a， ∴a＝， ∴抛物线的解析式为y＝x2． （2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有， 解得， ∴直线l的解析式为y＝﹣x+， 令x＝0，得到y＝， ∴C（0，）， 由，解得或， ∴B（1，）， 如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1， ∴＝＝＝，＝＝＝， ∴＝， 即MC2＝MA•MB． （3）如图2中，设P（t，t2） ∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形， ∴PD∥OC，PD＝OC， ∴D（t，﹣t+）， ∴|t2﹣（﹣t+）|＝， 整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0， 解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃）， ∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、平行线分线段成比例的性质． 25. 喜欢钻研的小亮对角的三角函数发生了兴趣，他想：度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求的正弦值呢？经研究，他发现：，于是他大胆猜想：（和为锐角）．将图（）等积变形为图（）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图（）和图（）．如图，锐角为的直角三角形斜边为，锐角为的直角三角形斜边为，请你借助图（）和图（）证明上述结论能成立． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形面积公式求出图（）中的平行四边形面积，根据矩形的面积公式求出图（）中的矩形和矩形面积，由图（）中的平行四边形面积和图（）中的矩形和矩形面积和相等，即可证明． 【详解】解：如图（），原来内部的正方形变成了一个平行四边形，，为相邻两边，其夹角为， 作的高交于点， 则， 则, 如图（），原来的两个小正方形变成矩形和矩形， 则， ， 图（）中的平行四边形面积和图（）中的矩形和矩形面积和相等， ， 即得证． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，解题关键是理解图（）中的平行四边形面积和图（）中的矩形和矩形面积和相等． 26. 已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； ②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①外心P一定落在直线DB上；②为定值2. 【解析】 【分析】（1）连接OE、OF，根据菱形得出AC⊥BD，BD平分∠ADC，AO=DC=BC，则∠COD=∠COB=∠AOD=90°，∠ADO=30°，根据E、F分别为中点得出OE=OF=OA，即外心； （2）①分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，则∠PIE=∠PJD=90°，∠ADC=60°，∠IPJ=120°，根据点P是等边△AEF的外心得到∠EPA=120°，PE=PA，从而说明△PIE≌△PJA，即PI=PJ，从而得出结论； ②当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点，连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心，设DM=x，DN=y则CN=y－1，根据BC∥DA得到△GBP≌△MDP，则BG=DM=x，CG=1－x，根据BC∥DA得到△GBP∽△NDM则，即从而得出结论. 【详解】（1）证明：如图1，分别连接OE、OF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=DC=BC ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°，∠ADO=∠ADC=×60°=30° 又∵E、F分别为DC、CB中点， ∴OE=CD，OF=BC，AO=AD ∴OE=OF=OA ∴点O即为△AEF的外心． （2）①猜想：外心P一定落直线DB上．证明如下： 如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J， ∴∠PIE=∠PJD=90°， ∵∠ADC=60°， ∴∠IPJ=360°－∠PIE－∠PJD－∠JDI=120°， ∵点P是等边△AEF的外心， ∴∠EPA=120°，PE=PA， ∴∠IPJ=∠EPA． ∴∠IPE=∠JPA， ∴△PIE≌△PJA（AAS）， ∴PI=PJ， ∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上 ②为定值2 当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点． 连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心 如图3．设MN交BC于点G， 设DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），则CN=y－1， ∵BC∥DA， ∴△GBP≌△MDP， ∴BG=DM=x， ∴CG=1－x， ∵BC∥DA， ∴△GBP∽△NDM ∴，即， ∴x＋y=2xy， ∴，即=2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南通市海门区海南中学2025学年度九年级三月份第一次月考测试卷 数学・试题卷 试卷类型：A卷 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 4．作弊者，本卷按0分处理． （请考生将自己信息如实填写在上面，不写、漏写、错写为无效试卷） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. ( ) A. 1 B. -1 C. 2020 D. -2020 2. 下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（　　） A. 4℃ B. 8℃ C. 12℃ D. 16℃ 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ） A B. C. D. 6. 已知一次函数y =（2m+1）x+m-3图像不经过第二象限，则m的取值范围（ ） A. m>- B. m<3 C. -<m<3 D. -<m≤3 7. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　） A. 若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B. 若M1＝1，M2＝0，则M3＝0 C 若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D. 若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 9. 对于每个x，函数y是，，这三个函数中的最小值，则函数y的最大值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10. 有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分.每队的4项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共8小题，第111̃2题每小题3分，第131̃8题每小题4分，共30分） 11. 分解因式：___________. 12. 将个相同的球放入位于一排的个格子中，每格至多放一个球，则个空格相连的概率是___________． 13. 如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．若点也在此函数的图象上，则__________． 14. 如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为__cm（结果保留π）． 15. 如图，半径为的与边长为的正方形的边相切于E，点F为正方形的中心，直线过点．当正方形沿直线以每秒的速度向左运动__________秒时，与正方形重叠部分的面积为． 16. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）． 17. 已知a、b、c都是实数，且满足a＞b＞c,a+b+c=0.那么，的取值范围是__________. 18. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算 （1）解不等式组 （2）计算： （3）先化简，再求代数式的值，其中 20. 新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动．某市为了解初中生每日线上学习时长(单位：小时)的情况，在全市范围内随机抽取了名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）在这次调查活动中，采取的调查方式是_ (填写“全面调查”或“抽样调查”)，_ ． （2）从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“”范围的概率是 ； （3）若该市有名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“”范围的初中生有_ 名． 21. 人字折叠梯完全打开后如图1所示，B，C是折叠梯的两个着地点，D是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图，AB=AC，BD=140cm，∠BAC=40°，求点D离地面的高度DE．（结果精确到0.1cm；参考数据sin70°≈0. 94，cos70°≈0.34，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94） 22. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB． （1）求证：△BDE∽△EFC． （2）设， ①若BC＝12，求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积． 23. 昌云中学计划地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元． （1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元； （2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪． 24. 如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB； （3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标． 25. 喜欢钻研的小亮对角的三角函数发生了兴趣，他想：度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求的正弦值呢？经研究，他发现：，于是他大胆猜想：（和为锐角）．将图（）等积变形为图（）可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图（）和图（）．如图，锐角为的直角三角形斜边为，锐角为的直角三角形斜边为，请你借助图（）和图（）证明上述结论能成立． 26. 已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明； ②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$