精品解析： 重庆市育才中学教育集团2024-2025学年九年级上学期第一次自主作业数学试卷

2024-2025学年重庆市育才中学教育集团九年级（上）第一次自主作业数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，在每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在实数|﹣3|，﹣，0，-π中，最小的数是（　　） A. |﹣3| B. ﹣ C. 0 D. -π 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 4. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 估算的结果（ ） A. 在7和8之间 B. 在8和9之间 C. 在9和10之间 D. 在10和11之间 6. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，，．则四边形ABCD的面积为（ ） A. 240 B. 120 C. 60 D. 30 9. 如图，在正方形的边上取一点E，连接并延长交的延长线于点F，将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，连接，若，则的大小是（　　） A. α B. C. D. 10. 有如下的一列等式： ，，，，……， 若将记为，其中为正整数，的各项系数均不为0．那么以下说法正确的有（ ） ①若，则； ②若，那么的所有系数之和为1； ③若，那么当时，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 计算：______． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 13. 一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个红球和1个白球，一次摸出两个球，摸到两个都是红球的概率是________． 14. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程________________________． 15. 如图，在等边中，是边上一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接．若，则的周长最小值是______． 16. 若数使关于的一元一次不等式组至少有4个整数解，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和为________． 17. 如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是______． 18. 一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则________；若已知数为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最小值为 _________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算题： （1）计算：； （2）化简：． 20. 如图，在菱形中，对角线、相交于点． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形．（补全证明过程） 证明： 四边形是菱形 ， ① ， 为的中位线 ② ③ 四边形为矩形．（ ④ ） 进一步研究上述问题发现，当和满足位置关系： ⑤ 时，四边形为正方形． 21. 2022年9月，九龙坡区“三捐集花日行一善”公益嘉年华活动开始，每人每天可通过“答题捐”、“走路捐”、“一元捐”方式进行捐助集花．某公司为了解9月甲、乙两个部门参与集花的情况，从甲、乙两个部门各抽取10人，记录下集花的数量（单位：朵），并进行整理、描述和分析（集花数量用x表示，共分为四组：A：0x15，B：15x30，C：30x45，D：45x60），下面给出了部分信息： 甲部门10人的集花数量：14，25，28，38，40，40，42，50，53，60 乙部门10人的集花数量在C组中的数据是：39，43，44，44 抽取的甲、乙两个部门集花数量统计表 部门 平均数 中位数 众数 甲 39 40 a 乙 39 b 44 抽取的乙部门集花数量扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a=___，b=___，m=___． （2）9月甲部门共有100人参与集花活动，乙部门共有120人参与集花活动，估计该月甲、乙两个部门集花数量在C组的一共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个部门参与9月集花活动的积极性更高？请说明理由（写出一条即可）． 22. 如图所示，、、三地在同一直线上，已知、两地分别与地的距离为和，甲、乙两人分别从、两地同时匀速前往地． （1）若甲、乙的速度之和为，且甲出发40分钟后追上乙，求甲的速度； （2）若甲、乙的速度之和为，当甲到达地后立即折返与乙相遇，求甲、乙的速度． 23. 如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围． 24. 为实现“绿水青山就是金山银山”的理念，重庆市建了多个湿地公园．如图，某区湿地公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点在点A的正东方向．点在点的正北方向，米．点在点的北偏东，在点的北偏东方向，米． （1）求步道的长度（精确到个位）； （2）小王每天步行上学都要从点到点，他可以从点A经过点到点，也可以从点A经过点到点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，） 25. 已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）如图1，点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴交于点，再过点作于点，求周长的最大值以及此时点的坐标； （3）如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线经过点．且与轴交于两点，连接，．点是抛物线上一点，连接，若，直接写出所有符合条件的点的坐标．并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 26. 已知，矩形中，点为边上一点． （1）如图1，将沿直线翻折，点落在点处，当，且时，求的度数； （2）如图2，将沿直线翻折，点落在点处，连接，，若，且平分，判断的形状，并证明； （3）如图3，点为上一点，将沿直线翻折，点落在点处，若，，且，直接写出的最短距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年重庆市育才中学教育集团九年级（上）第一次自主作业数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，在每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 在实数|﹣3|，﹣，0，-π中，最小的数是（　　） A. |﹣3| B. ﹣ C. 0 D. -π 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数大小比较的法则比较即可． 【详解】根据实数大小比较的法则,-π＜ -＜0＜|-3|，所以答案为D. 【点睛】本题考查了实数的大小比较法则的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 如图是二次函数 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一次函数和不等式的综合，根据图象得到二次函数图象在一次函数图象上方横坐标的取值范围即可 【详解】解：根据图象得二次函数与一次函数图象的交点横坐标为和， ∴当时，二次函数图象在一次函数图象上方， ∴当时，x的取值范围是， 故选：C 4. 近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作，     ∵， ∴， ， ， ， ∵， ， ， 故选：C． 5. 估算的结果（ ） A. 在7和8之间 B. 在8和9之间 C. 在9和10之间 D. 在10和11之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先进行计算，再利用夹逼法求出无理数的范围即可得出结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴； 故选D． 6. 风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 7. 一次函数与在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据b的正负判断一次函数图象所经过的象限．根据一次函数图象与系数的关系分析即可解答． 【详解】解：当时， 一次函数的图象经过第一、二、三象限； 一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当时， 一次函数的图象经过第一、三、四象限； 一次函数的图象经过第一、二、四象限； 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 8. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，，．则四边形ABCD的面积为（ ） A. 240 B. 120 C. 60 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先证四边形ABCD是菱形，再由勾股定理可求BO的长，然后由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，如图所示： ∵两条纸条宽度相同， ∴AE＝AF． ∵ABCD，ADBC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE． 又∵AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴ABCD是菱形， ∴AO＝CO=，BO＝DO=，AC⊥BD， ∵， ∴CO＝AO＝5，BO＝＝=12， ∴BD＝24， ∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×10×24＝120． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，解题的关键是证得四边形ABCD为菱形． 9. 如图，在正方形的边上取一点E，连接并延长交的延长线于点F，将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，连接，若，则的大小是（　　） A. α B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，由“”可证，可得，由角的数量关系可求解．． 【详解】解：在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 有如下的一列等式： ，，，，……， 若将记为，其中为正整数，的各项系数均不为0．那么以下说法正确的有（ ） ①若，则； ②若，那么的所有系数之和为1； ③若，那么当时，． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式中的规律问题． ①时代入到中计算即可； ②令即可计算出结论； ③时代入得即，分别令和得两式再相加即可． 【详解】解：①时， 此项正确； ②若，则，令，那么的所有系数之和为，此项正确； ③若，当时， 令得， 令得， 两式相加得 ， 此项正确，故正确的有3个． 故答案为：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应横线上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查绝对值化简及零次幂、负整数指数幂的运算，根据运算法则化简即可得出结果． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和与外角和，根据题意，设该多边形的边数为，由题意列方程求解即可得到答案．熟记多边形内角和与外角和是解决问题的关键． 【详解】解：设该多边形的边数为， 这个多边形的内角和为， 多边形的内角和是它的外角和的3倍， ，解得， 故答案为：八． 13. 一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个红球和1个白球，一次摸出两个球，摸到两个都是红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】一次摸出两个球，可看成是不放回摸球，画出树状图即可解答． 【详解】解：树状图如下： 则总共有6种情况，符合条件的有2种， ∴摸到两个都是红球的概率是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是列出表格或画出树状图，得出符合条件的情况数． 14. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三周参与阅读人次第一周参与阅读人次参与阅读人次的月平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 15. 如图，在等边中，是边上一个动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到，连接．若，则的周长最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过点作于，利用等边三角形的性质以及勾股定理可计算出，再根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，易知，，证明，可知，所以的周长，利用垂线段最短得点运动到点时，取最小值，即可获得答案． 【详解】解：过点作于，如图， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∵是边上一个动点， ∴当点运动到点时，取最小值，最小值为， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 16. 若数使关于的一元一次不等式组至少有4个整数解，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和为________． 【答案】12 【解析】 【分析】首先由不等式组，解得，根据不等式组至少有4个整数解，可得，再由分式方程有非负整数解，可得，，且a为奇数，综合可得a的值，再求和即可得解． 本题主要考查了解分式方程及利用不等式组的解求待定字母的取值，熟练掌握不等式组的解法及检验分式方程的解是解此题的关键． 【详解】解：不等式组，整理得， ∵不等式组至少有4个整数解， ∴4个整数解为4、3、2、1， ， 解得； 分式方程去分母得， ， ∴， 得． ∵分式方程有非负整数解， ∴，，且为偶数， ∴，，且a为奇数， ∴， 综上，符合条件的所有整数a的值为5和7， ∴符合条件的所有整数的值之和为， 故答案为：12． 17. 如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转全等和勾股定理解三角形，将顺时针旋转到位置，得到直角三角形，可求出，再证明，得到，进而求出，过点A作，由等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再在直角三角形求出． 【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转到位置，连接 ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题涉及了旋转的性质、半角模型、构造全等三角形转换线段关系和勾股定理，解题关键是通过旋转构造全等三角形得到，由求出． 18. 一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则________；若已知数为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最小值为 _________． 【答案】 ①. 486 ②. 4114 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及完全平方数的概念，新定义的实数运算，根据代入代数式计算即可；设，则，由题意得．由是一个完全平方数，结合，的取值范围，可得，从而得到的最小值，充分理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时，． 设，则， ， ， ． 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，， ， ，即， 当时，有最小值4， 此时的最小值为4114． 故答案为：486，4114． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，分式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在菱形中，对角线、相交于点． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形．（补全证明过程） 证明： 四边形是菱形 ， ① ， 为的中位线 ② ③ 四边形为矩形．（ ④ ） 进一步研究上述问题发现，当和满足位置关系： ⑤ 时，四边形为正方形． 【答案】（1） 如图： （2）①；②；③；④有三个角是直角的四边形是矩形； ⑤ 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可求解． 【小问1详解】 如图： 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定，正方形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． 21. 2022年9月，九龙坡区“三捐集花日行一善”公益嘉年华活动开始，每人每天可通过“答题捐”、“走路捐”、“一元捐”方式进行捐助集花．某公司为了解9月甲、乙两个部门参与集花的情况，从甲、乙两个部门各抽取10人，记录下集花的数量（单位：朵），并进行整理、描述和分析（集花数量用x表示，共分为四组：A：0x15，B：15x30，C：30x45，D：45x60），下面给出了部分信息： 甲部门10人的集花数量：14，25，28，38，40，40，42，50，53，60 乙部门10人的集花数量在C组中的数据是：39，43，44，44 抽取的甲、乙两个部门集花数量统计表 部门 平均数 中位数 众数 甲 39 40 a 乙 39 b 44 抽取的乙部门集花数量扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a=___，b=___，m=___． （2）9月甲部门共有100人参与集花活动，乙部门共有120人参与集花活动，估计该月甲、乙两个部门集花数量在C组的一共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个部门参与9月集花活动的积极性更高？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）40、41、30 （2）估计该月甲、乙两个部门集花数量在C组的一共有88人 （3）乙更积极，因为甲乙平均数相同，而乙的中位数和众数均大于甲年级． 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出m的值； （2）用样本估计总体即可； （3）乙更积极，因为甲乙平均数相同，而乙的中位数和众数均大于甲年级． 【小问1详解】 解：甲集花数量出现次数最多的是40，故众数a=40； ∵D组人数为 ∴乙从大到小排列，排在中间的两个数位于C组，为第5名和第6名， 则中间两个数即39、43，故中位数， 由题意可得， 即； 故答案为：40、41、30． 【小问2详解】 人 故估计该月甲、乙两个部门集花数量在C组的一共有88人． 【小问3详解】 乙更积极，因为甲乙平均数相同，而乙的中位数和众数均大于甲年级． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键． 22. 如图所示，、、三地在同一直线上，已知、两地分别与地的距离为和，甲、乙两人分别从、两地同时匀速前往地． （1）若甲、乙的速度之和为，且甲出发40分钟后追上乙，求甲的速度； （2）若甲、乙的速度之和为，当甲到达地后立即折返与乙相遇，求甲、乙的速度． 【答案】（1）甲得速度为 （2）甲的速度为，乙的速度为 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用． （1）先求出A、B两地的距离，设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程，求解即可； （2）设甲的速度为，则乙的速度为，根据甲当甲到达C地后立即折返与乙相遇，即可列出分式方程求解． 【小问1详解】 解：、两地分别与地的距离为和， 、两地相距， 设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意得：， 解得：， 甲得速度为； 【小问2详解】 解：设甲的速度为，则乙的速度为， 当甲到达地后立即折返与乙相遇， 甲和乙在相同的时间内分别走了和， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：甲的速度为，乙的速度为． 23. 如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出的图象与的图象有1个公共点时的取值范围． 【答案】（1） （2） 画图，如下： 当时，有最小值为3； （3）或 【解析】 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了平行四边形的性质，含的直角三角形的性质、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （1）分点P在和上讨论即可； （2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解； （3）结合函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：平行四边形中，，，， 如图，过点A作交的延长线于点M， ∵，， ∴， ∵，， 当时，，， ∴； 当时，如图，， ∵，， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把代入，得， 把代入，得， 把代入，得， 如图所示， 观察函数图形可得当或时，的图象与的图象有1个公共点． 24. 为实现“绿水青山就是金山银山”的理念，重庆市建了多个湿地公园．如图，某区湿地公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点在点A的正东方向．点在点的正北方向，米．点在点的北偏东，在点的北偏东方向，米． （1）求步道的长度（精确到个位）； （2）小王每天步行上学都要从点到点，他可以从点A经过点到点，也可以从点A经过点到点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，） 【答案】（1）848米 （2）从点A经过点到点的路线较近 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再求出的长，在中，求出的长即可解答； （2），求出的长，在中，求出的长，再求出的长，最后求出的长即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点． 由题意，得，． 在中，， ． 由题意，得， ． 在中，， ． 答：步道的长度约为848米． 【小问2详解】 在中，， ． 由题意，得． 在中，， ． ． ． 又． 小王从点经过点到点的路线较近． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值和点的坐标； （2）如图1，点为直线上方抛物线上的一点，过点作轴交于点，再过点作于点，求周长的最大值以及此时点的坐标； （3）如图2，平移该抛物线，平移后的抛物线经过点．且与轴交于两点，连接，．点是抛物线上一点，连接，若，直接写出所有符合条件的点的坐标．并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）， （2）, （3）或 【解析】 【分析】(1) 根据抛物线与轴交于点，代入解析式求解即可． (2) 设直线的解析式为：，确定直线的解析式为：，设，则，，延长交x轴于点E，确定，，得到的周长为，借以构造二次函数，用函数思想求最值即可． (3)先运用平移思想确定新抛物线的解析式，后运用分类思想，构造出符合题意的直线，确定直线与抛物线的交点，运用解析式交点法确定坐标即可． 【小问1详解】 ∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为， 解方程， 解得， 故． 【小问2详解】 ∵抛物线的解析式为，， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得：， 解得， 直线的解析式为：， ∴设，则， ∴， 延长交x轴于点E， ∵轴,, ， ∴， ∴， ∴的周长为 ∵， ∴的周长有最大值，且当时，取得最大值，最大值为， 此时，故点． 【小问3详解】 ∵抛物线的解析式为， 设平移后抛物线的解析式为， ∵抛物线经过， ∴， 解得， 整理，得抛物线的解析式为， 作于点M， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，且， 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得． ∴直线的解析式为：， 设直线与直线交于点N， 则， 此时， 延长交抛物线于点F， 则， 设直线的解析式为：， 把代入解析式，得， 解得． ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故； 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去）， 此时 故点； 过点E作，交抛物线于点F， 则； ∵直线的解析式为：， 不妨设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得，， 故点； 综上所述，符合题意的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，，平移思想，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的灵活应用，二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式，平移思想，三角函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 26. 已知，矩形中，点为边上一点． （1）如图1，将沿直线翻折，点落在点处，当，且时，求的度数； （2）如图2，将沿直线翻折，点落在点处，连接，，若，且平分，判断的形状，并证明； （3）如图3，点为上一点，将沿直线翻折，点落在点处，若，，且，直接写出的最短距离． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形，见解析 （3）的最短距离是10 【解析】 【分析】（1）首先由矩形得到，求出，然后由折叠得到，进而求解即可； （2）延长交于，过作于，首先由矩形得到，然后得到，求出，由折叠的性质得到，，得到是等边三角形，进而求解即可； （3）如图，连接，勾股定理求出，由折叠的性质得到：，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，四边形是矩形， ， ， ， 由折叠的性质得到：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图所示，延长交于，过作于， 四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得到：，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，，， ， ∴， ， 垂直平分， ， ， ， △是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图，连接， ，， ， ，， ， 由折叠的性质得到：， ， 的最短距离是10． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，折叠的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $