精品解析：上海市延安中学2024-2025学年高二下学期3月调研数学试卷

2025年 延安中学 高二年级 下学期3月调研 2025.03 一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题4分，共42分） 1. 圆的半径为________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆的一般方程半径公式求解. 【详解】圆的半径为. 故答案为：2. 2. 直线的倾斜角为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程转化为斜截式方程，得到斜率，即可求倾斜角. 【详解】由题可得，直线的斜截式方程为， 所以直线的斜率为，则倾斜角为， 故答案为：. 3. 已知点，若直线的一个方向向量坐标为，则实数的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方向向量的概念和向量共线的坐标表示列方程组求解即可. 【详解】由题意可得， 因为直线的一个方向向量坐标为， 所以，即，解得， 故答案为： 4. 直线与直线的夹角的大小为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程得到直线倾斜角的正切值，由此可得结果. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，， ∴， 设直线与直线的夹角为，则， 由得. 故答案为：. 5. 已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的知识求得正确答案. 【详解】设圆锥的母线长为，则. 故答案： 6. 若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正三棱柱的体积计算出的值，由此可计算出该正三棱柱的侧面积. 【详解】正三棱柱的底面积为， 所以，该正三棱柱的体积为，解得， 因此，该正三棱柱的侧面积为. 故答案为. 【点睛】本题考查正三棱柱的侧面积的计算，解题的关键就是利用正三棱柱的体积计算出棱长，考查计算能力，属于基础题. 7. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求. 【详解】因为，，共面且，不共线，所以可设， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：1. 8. 已知A，B是球O球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________． 【答案】144π 【解析】 【分析】易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可. 【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36， 故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π. 故答案为144π. 【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题. 9. 已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式求出，再结合图形求出直线l的斜率的取值范围. 【详解】根据题中条件画出图形，如图所示， 因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 10. 已知实数满足，则的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】先证明和，即可得到，最后验证上的每个值都能被取到，即可得到的取值范围是. 【详解】①一方面，由于，故，从而. 又由于，故. 将和结合，就得到，即. ②另一方面，对任意，可验证是方程的正数解. 此时取，根据上面方程，就有，同时显然有. 综合①②两个方面，即知的取值范围是. 故答案为：. 11. 已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可. 【详解】两边平方化简得：，① 因为，所以， 又，代入①得：，解得：， 所以在上的投影向量坐标为 . 故答案为： 12. 已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆：可化为， ，， ，是圆的两条切线，则，， 、、、四点共圆，且，， ， ， 当最小，即时，取得最小值， 此时方程为， 联立，解得，，即， 以为直径的圆的方程为， 即， 圆：，两圆相交， 两圆方程相减即为的方程. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解. 二、选择题（第小题3分，共12分） 13. 下列命题中正确的是（ ）． A. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 B. 若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C. 平行于x轴的直线的倾斜角为 D. 若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为 【答案】D 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案. 【详解】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确； 对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确； 对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确； 对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的. 故选：D 14. 已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线、平面之间的位置关系作出判断. 【详解】对于A选项，若，则或，故A错误； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若，则与可以异面，故C错误； 对于D选项，若，如果与相交，则，但如果，则或或与斜交，故D错误. 故选：B. 15. 已知圆，，则两圆的位置关系（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆心距与半径和与差的关系判断即可. 【详解】解：圆 即，圆心坐标为，半径为 即，圆心坐标为，半径为 所以两圆的圆心距为，半径之差为 所以圆心距与半径差相等 所以两圆内切 故选：D. 16. 三棱锥中，两两垂直，且，下列命题中错误的是（ ） A. B. C. 三棱锥的体积为 D. 和的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律以及完全平方公式，计算可得A正确，B正确，再由锥体的体积公式可验证C错误，利用向量夹角公式代入计算可得D正确. 【详解】对于A，易知， 因为两两垂直，所以，而， 所以，即A正确； 对于B，易知， 因为两两垂直，所以，所以，即B正确； 对于C，易知， 显然，所以， 因此， 又，，所以， 所以， 因为两两垂直，且， 所以三棱锥的体积为，即C错误； 对于D，因为， 又，所以， ， 同理， 设和的夹角为， 可得，可得，即D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将模长、数量积、夹角都转化成向量数量积运算律的计算，再根据垂直关系以及模长即可判断结论. 三、解答题（共46分） 17. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是和的中点： （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成的二面角的大小. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算点到平面的距离. （2）利用空间向量可计算结果. 【小问1详解】 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，， ∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， ∴点到平面的距离为. 【小问2详解】 由（1）得，. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， ∴， ∴平面与平面所成的二面角为或. 18. 如图，平行六面体中，已知，且； （1）用表示，并求； （2）求异面直线与所成角的大小； 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算，及模长公式即可求解； （2）由异面直线夹角的向量法求解即可； 【小问1详解】 由题意可得：， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 由（1）可得：, 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 所以 19. 在平面直角坐标系中，已知的顶点； （1）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； （2）若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂直关系得到直线的斜率，再利用点斜式求解即可； （2）设点坐标，利用已知信息求得点坐标，再求点关于直线的对称点，由两点式可求直线方程. 【小问1详解】 因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 20. 如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km， km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q． （1）求水上旅游线AB的长； （2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为 （a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以 km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由条件建立直角坐标系较为方便表示：，直线的方程为．由Q到海岸线ON的距离为km，得，解得，再由两直线交点得，利用两点间距离公式得（2）由题意是一个不等式恒成立问题：设小时时，游轮在线段上的点处，而不等式恒成立问题往往利用变量分离将其转化为对应函数最值问题： 试题解析：（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示． 则由题设得：，直线的方程为． 由，及得，∴．∴直线的方程为，即， 由得即，∴，即水上旅游线的长为． （2）设试验产生的强水波圆，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段上的点处，则，∴．强水波不会波及游轮的航行即，当时 ，当. ，，当且仅当时等号成立，所以，在时恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行． 考点：函数实际应用，不等式恒成立 21. 已知圆C过，，且圆心C在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将，代入求得即可； （2）讨论直线斜率是否存在，当直线斜率存在时，设直线方程，根据圆的弦长公式求得直线方程； （3）设直线的方程分别为，求出的坐标，将表达为的函数，用基本不等式求最大值. 小问1详解】 由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为； 【小问2详解】 因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为， ①若直线斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意． ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线． 综上所述，直线的方程为或． 【小问3详解】 由题意知，，设直线斜率为，则直线的方程为， 由，得，解得或， 则点坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为 由题可知：，， 故， 又∵，同理， ∴． 当且仅当时等号成立．所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年 延安中学 高二年级 下学期3月调研 2025.03 一、填空题（1-6每小题3分，7-12每小题4分，共42分） 1. 圆半径为________ 2. 直线的倾斜角为________ 3. 已知点，若直线的一个方向向量坐标为，则实数的值为________ 4. 直线与直线的夹角的大小为________. 5. 已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________ 6. 若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则侧面积为______. 7. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________. 8. 已知A，B是球O球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________． 9. 已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为______． 10. 已知实数满足，则的取值范围为________ 11. 已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________. 12. 已知点为直线上动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________ 二、选择题（第小题3分，共12分） 13. 下列命题中正确的是（ ）． A. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 B. 若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C. 平行于x轴的直线的倾斜角为 D. 若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为 14. 已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 已知圆，，则两圆的位置关系（ ） A 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 16. 三棱锥中，两两垂直，且，下列命题中错误的是（ ） A. B. C. 三棱锥的体积为 D. 和的夹角为 三、解答题（共46分） 17. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是和的中点： （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成的二面角的大小. 18. 如图，平行六面体中，已知，且； （1）用表示，并求； （2）求异面直线与所成角的大小； 19. 在平面直角坐标系中，已知的顶点； （1）若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； （2）若边上中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 20. 如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km， km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q． （1）求水上旅游线AB的长； （2）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t h时的半径为 （a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以 km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行． 21. 已知圆C过，，且圆心C在x轴上． （1）求圆C的标准方程； （2）若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记，面积为，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $